Post on 06-Jun-2015
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FUNCIONES A TROZOS
EJERCICIOS FOTOCOPIA
Aurora Domenech
31
3
325
22
)( 2
xx
xx
xx
xf
Analizamos:•Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente es 2. Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -2 ; acabando en un punto “abierto” .•Segundo “trozo”: parábola, de eje de simetría: el eje de coordenadas x=0; de vértice, el punto (0,-5) , y de puntos de corte con los ejes : .• Comienza desde la vertical que pasa por x= -2 con un punto “cerrado” ; acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” .•Tercer “trozo”: hipérbola en el primer cuadrante, la “patrón” desplazada verticalmente tres unidades hacia arriba con asíntota horizontal la recta y=3.Comienza desde la vertical que pasa por x= 3 con un punto “cerrado”; acabando de forma decreciente aproximándose a la asíntota horizontal .
0,50,5 y
Pasos para su representación
Delimitamos las zonas de definición de cada “trozo”
Dibujamos la recta y=2x , pero nos quedamos solo con la parte de la zona 1
Dibujamos la parábola, pero nos quedamos solo con la parte de la zona 2
Dibujamos la hipérbola, pero nos quedamos solo con la parte de la zona 3
DIBUJAMOS:
Esta función presenta dos puntos claros de discontinuidad en x=-2 y x= 3Tiene un mínimo en (0,-5)Crece en los intervalos (-∞,-2)U(0,3) Decrece en los intervalos (-2,0)U(3,+∞)
Asíntota horizontal de la función racional
31
3
325
22
)( 2
xx
xx
xx
xf
Recordamos características de las
funciones
311
1)(
xx
xxxf
Analizamos:•Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente es 1. Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -1 ; acabando en un punto “cerrado” .•Segundo “trozo”: es una función de la familia de las raíces cuadradas, definida solo para valores mayores que -1. Comienza desde la vertical que pasa por x= -1 con un punto “abierto” ; acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” .
Dibujamos: Recordamos características de las
funciones
•Esta función presenta un punto de discontinuidad en x=-1•Su dominio es (-∞,3)•Crece en todo su dominio
311
1)(
xx
xxxf
212
21
6)(
xx
xxxf
Analizamos:•Primer “trozo”: hipérbola, con asíntota vertical en x=1 y horizontal en y=0.Comienza desde -∞ y se “escapa “ por la izquierda de la vertical que pasa por x= 1 ; baja por la derecha de esa asíntota quedándose en la vertical de x=2, con un punto “abierto” .•Segundo “trozo”: es una recta, que pasa a una unidad del origen de coordenadas y cuya pendiente es 2. Comienza desde la vertical que pasa por x= 2 con un punto “cerrado” ; y sigue creciendo de forma indefinida.
Dibujamos:
212
21
6)(
xx
xxxf
•Esta función presenta un punto de discontinuidad en x=1•Su dominio es todos los reales excepto el 1•Decrece en(-∞,1)U(1,2)•Crece en (2,∞)
Recordamos características de las
funciones
33
36
33
)(
2
xx
x
xx
xf
Analizamos:•Primer “trozo”: parábola. Eje x=0, vértice (0,-3) Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= 3 ; acabando en un punto “abierto” .•Segundo “trozo”: es un punto.El (3,6). (veréis al dibujarlo que coincide en esta ocasión con el punto “abierto” de la parábola)• Tercer “trozo”: Es una recta que comienza desde la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de forma indefinida.(Observa que la pendiente es -1)
33
36
33
)(
2
xx
x
xx
xfDibujamos
•Esta función presenta un punto de discontinuidad en x=3•Su dominio es todos los reales•Decrece en(-∞,0)U(3,∞)•Crece en (0,3)•Tiene un mínimo relativo en (0,-3)
03
03
1)(
x
xxfx
x
Analizamos:•Primer “trozo”: función exponencial decreciente por ser la base menor que la unidad.Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “cerrado” .•Segundo “trozo”: función exponencial creciente por ser la base mayor que la unidad Comienza desde la vertical que pasa por x= 0 con un punto “abierto” ; y sigue creciendo de forma indefinida.
Observarás que las asíntotas particulares de cada uno de los trozos, no afectan a la función resultante.
Dibujamos:
03
03
1)(
x
xxfx
x
•Esta función es continua•Su dominio son todos los reales•Decrece en(-∞,0)•Crece en (0,∞)•Tiene un mínimo absoluto en (0,1)
22
220
22
)(
xx
x
xx
xf
Analizamos:•Primer “trozo”: recta creciente de pendiente uno, y que llega hasta la vertical que pasa por x= -2 ,acabando con un punto “cerrado” .•Segundo “trozo”: recta horizontal de altura cero, que va desde la vertical x=-2 , con un punto “abierto”, hasta la vertical x=2 , acabando en un punto “cerrado”.• Tercer “trozo”:Recta decreciente que comienza desde la vertical x= -2 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de forma indefinida.
22
220
22
)(
xx
x
xx
xfDibujamos:
•Esta función es discontinua en x=2•Su dominio son todos los reales•crece en(-∞,-2)•decrece en (2,∞)•Es constante en (-2,2)
22
1202
0
)(
xx
x
xx
xf x
Analizamos:•Primer “trozo”: función raíz cuadrada que llega hasta la vertical que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “abierto” .•Segundo “trozo”: exponencial creciente, que va desde la vertical x=0 , con un punto “cerrado”, hasta la vertical x=2 , acabando en un punto “cerrado”.• Tercer “trozo”:hipérbola que comienza desde la vertical x= 2 donde tiene una asíntota vertical ; y sigue decreciendo de forma indefinida hacia su asíntota horizontal y=0.
Dibujamos:
22
1202
0
)(
xx
x
xx
xf x
•Función discontinua en x=0 y x=2•Dominio todos los reales •Decrece desde (-∞,0)U(2,∞)•Crece en (0,2)
012
022
)(x
x
xxxf
Analizamos:•Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= 0 donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=2 .•Segundo “trozo”: hipérbola que comienza desde la vertical x= 0 donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=-1.
Observa que en el punto x=0 no está definida esta función; por lo tanto habrá que quitarlo de su dominio
Dibujamos:
012
022
)(x
x
xxxf
Función decreciente en (-∞,0)Función creciente en (0,∞)
55
529
)(xx
xxxf
Analizamos:•Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= -5 acabando en punto “abierto”; su asíntota horizontal y=2 .
•Segundo “trozo”: función raíz cuadrada que comienza desde la vertical x= -5 con un punto “cerrado”.
55
529
)(xx
xxxf
Dibujamos:
Función discontinua en x=-5Siempre decrecienteDominio: todos los realesAsíntota horizontal y= 2 por la izquierda