Funciones de Lyapunovbasadas en la aplicación del

Teorema de Krasovskii

Ejemplos de control por seguimientoObjetivo: Obtener dinámica exponencialmente estable de la forma

Raíces del siguiente polinomio en el semiplano izquierdo

Sistema equivalente

Autovalores: Parte real negativa

Ejemplos de control por seguimiento (II)

Forma canónica controlable

Se aplica la estrategia de control

Resulta

Ejemplos de control por seguimiento (III)

Ejemplo: Sea el modelo de un péndulo invertido

Se define la ley de control

Raíces en el semiplano izquierdo

Sistema asintóticamente estable

Ejemplos de control por seguimiento (IV)

Resultado

Ejemplos de control por seguimiento (V)

Un eslabón robótico

Se define la ley de control

Resulta

Un brazo articulado

Se define la ley de control

Resulta:

Ejemplo de estabilización

Sistema caótico de Duffin

Se desea el siguiente sistema asintóticamente estable

Se propone un controlador que cancele las no linealidades

Ejemplo de estabilización (II)

Resultado

Jacobiano en lazo abiertoPara representar al sistema

Se define un conjunto de reglas, para cada función de estado

Función no lineal equivalente FP Gausiana

Jacobiano en lazo abierto (II)Basado en

Se definen

Se cumple

Jacobiano en lazo abierto (III)Cálculo de términos del Jacobiano

Basado en desarrollo resulta

Jacobiano en lazo abierto (IV)Análisis del término Jacobiano

El Jacobiano, evaluado en el punto de equilibrio x=0, nos informa de la estabilidad en el origen

del sistema en lazo abierto

Jacobiano en lazo cerradoDefinición del conjunto de reglas

¡u en el consecuente!

Jacobiano en lazo cerrado (II)Funciones equivalentes

Después de desarrollar, se cumple

Jacobiano en lazo cerrado (III)Diferencial del término Jacobiano (desarrollo)

Expresiones y parámetros

Planta

Jacobiano en lazo cerrado (IV)Diferencial del término Jacobiano

Evaluado en el punto x=0

Teorema de Krasovskii

Sistema no lineal

Puede representarse por:

Jacobiano:

La función candidata de Lyapunov se define en términos de f(x) y no de x

Si resulta definida negativa:

Una función candidata de Lypunov es:

Si, adicionalmente, se cumple:

El sistema es global y asintóticamente estable en el punto de equilibrio

Teorema de Krasovskii (II)

Ejemplo

Términos del Jacobiano

Se cumple

Función de Lyapunov

Búsqueda de funciones de Lyapunov

Sistema dinámico representado por sistemas borrosos

Búsqueda de funciones de Lyapunov (II)

Términos del Jacobiano en x=0

[0, 1] [0, 1]

Seleccionar parámetros de forma tal que

Sea definida negativa, entonces

Es una función de Lyapunov