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8/6/2019 Funciones TrigoUNI
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A C A D
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C E S A R
V A L L E J
O
Leonhard Euler
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
Introduccin
Las funcionestrigonomtricas sonfunciones muy utilizadasen las ciencias naturalespara analizar fenmenosperidicos tales como:movimiento ondulatorio,corriente elctricaalterna, cuerdasvibrantes, oscilacin depndulos, ciclos
comerciales, movimiento peridico de losplanetas, ciclos biolgicos, etc.
Las funciones trigonomtricas fueronsistematizadas por Newton y Leibniz, quieneshaban dado expansiones en forma de serie paralas mismas.
0k
1k 2k
x!1k 2
1 xsen
Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo ysistemtico a las funciones trigonomtricas. Laperiodicidad de estas funciones y la introduccinde la medida de los ngulos por radianes, fuerealizada por Euler en su Introductio in AnalysisInfinitorum en 1748.
Concepto: Las funciones trigonomtricas sonfunciones reales de variable real cuya variabledependiente y es el valor obtenido al evaluar eloperador trigonomtrico en un nmero realx
adecuado.Ejemplos:
Funcin seno: senx y ; R x . Funcin tangente:
xtan y ; 2
1k 2 R x
xcos xsen xcot y 2 ; k R x Dominio de una funcin
Es el conjunto de valores que admite la variableindependiente.
NOTACIN:Dom, D.
Sugerencias para calcular dominio
a) Para cociente:
xgk
x f ; k constante
Hacemos: 0 xg .
Ejemplos: Calcular dominio
* xsec x f .
* xcsc x f
Observacin:
* , xtan xsec estn definidas para 21k 2 x
, Z k
* xcot , xcsc estn definidas para k x , Z k .
b) Para radicacin
n2 xg x f , N n
Hacemos: 0 xg
Ejemplos: Calcular el dominio
* senx x f
* xcos21
x f ;2
,2
x
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Observacin: Cuando queremos calcular eldominio de una funcin tipo:
xg1
x f
Consideramos los R x tales que 0 xg .
Ejemplo: Calcular el dominio de:
senx21
1 xg ; ,0 x
Rango de una funcin
Es el conjunto de valores que toma la variabledependiente.
NOTACIN: Ran , Im.
Sugerencias para calcular rango
Obtener el dominio de la funcin Simplificar la regla de correspondencia A partir del dominio construir la regla decorrespondencia simplificada.
Ejemplos: Calcular rango
* x2sen xsen xcos x f 2222 .
* xcos1 xcos1
xh2
Funcin par
f es una funcin par si:
x f x f Domf x , x
Grficamente una funcin es par si es
simtrica respecto al eje Y.
Funcin impar
f es una funcin par si:
x f x f Domf x , x
Grficamente una funcin impar es simtricarespecto al origen de coordenadas.
Ejemplos: Indicar si es una funcin par e impar
* ( ) ( ( )) * ( )* ( )
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/Funci%C3%B3n_impar_01.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Funci%C3%B3n_par_01.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/Funci%C3%B3n_impar_01.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Funci%C3%B3n_par_01.svg8/6/2019 Funciones TrigoUNI
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Funcin Creciente
f es una funcin creciente si para todo tal que entonces
( ) ( ) Funcin Decreciente
f es una funcin creciente si para todo tal que entonces
( ) ( ) En la figura se representa la grfica de la funcin f en el intervalo[ ]donde se puede observarseque la funcin f es:
1.) Creciente en los intervalos
2.) Decreciente en los intervalos
Observacin:
* Sea ( ) [ ]una funcin crecienteentonces se tiene:
( ) ( ) ( ) * Sea ( ) [ ] una funcindecreciente entonces se tiene:
( ) ( ) ( ) Ejemplos: Calcular el rango de la funcin
* ( )
Funcin peridica
f es una funcin peridica si existe tal que para todo se cumple:
( ) ( ) Grficamente se repite cada cierto intervalo delongitud T
Nota:
Sea ( ) ( ) DondeF. T :
Funciones Exponente Periodo
sen, cos,sec, csc
Si esimpar | |
Si es par | |
tan, cot Paracualquier | |
T T T T
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://www.wikimatematica.org/images/9/9b/Fab.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://www.wikimatematica.org/images/9/9b/Fab.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://www.wikimatematica.org/images/9/9b/Fab.gif8/6/2019 Funciones TrigoUNI
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Grfica de las funciones trigonomtricas
Grafica de la funcin seno
CARACTERISTICAS
Dominio: . Rango: ( ) [ ] Periodo: Es una funcin impar Es una funcin continua en su dominio. Es una funcin creciente
y es decreciente
, donde Puntos de inflexin: n x ; Z n . (En
estos puntos hay un cambio de concavidad1)
Anlisis grfico de las funciones de la forma: DC BxT .F A x f
Para graficar estas funciones vasta tener encuenta:
A>0 ampliacin o reduccin vertical
A0 ampliacin o reduccin horizontal
B
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Cambio de fase o nmero de fase:
Desplazamiento horizontal
0 Desplazamiento horizontal hacia la
derecha.
0 Desplazamiento horizontal hacia la
izquierda.
Desplazamiento vertical: D
D>0 desplazamiento vertical hacia arriba.
D