Cálculo Diferencial

MATLAB

1

PRÁCTICA 1FUNCIONES Y GRÁFICAS

Cálculo Diferencial

Objetivo: Ingresar y graficar una función en la ventana de comandos, además de encontrar sus raíces.

Teoría: Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Se dice que y es función de la variable x cuando a todo valor de x (tomado en un determinado conjunto de valores) corresponde un valor de y.

 

Cálculo Diferencial

Se escribe así, y = f(x). En matemáticas, se estudian particularmente las funciones en las que la relación que liga a la variable con la función es precisamente una relación matemática.

 Al conjunto de valores de x se le llama dominio de R, el conjunto de valores de y es el codominio de R y al conjunto de elementos de y, que son segundas componentes de alguna pareja ordenada de R, se le llama imagen de R.

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Tipos de FuncionesFunción suprayectiva.Definición. Si todo elemento del codominio de una función f es

imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva.

f

f : A B suprayectiva

f : A B inyectiva

Cálculo Diferencial

Función inyectiva.Definición: A una función f en la que a cualquier par de elementos

diferentes del dominio les corresponden imágenes diferentes, se les llama función inyectiva.

Es decir, f: A B es inyectiva si para todo a1, a2 A, y a1 a2, f(a1) f(a2); o lo que es lo mismo:

si f(a1) = f(a2) entonces a1 = a2

f

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Definición: Una función que es suprayectiva e inyectiva se llama función biyectiva.La función biyectiva admite inversa.La función inversa es aquella donde el dominio y el conjunto imagen intercambian posiciones, se invierten. El dominio será el conjunto imagen y viceversa. Para hallar la inversa de una función cambiamos x por y, (y viceversa), despejamos  y. Diferenciamos una función de su inversa pues en esta última colocamos (a modo de potencia) sobre y ó f(x) -1.

25)( xxf2)(5 1 xfx

)2(51

)( 1 xxf

Ejemplo: Sea

, para hallar la inversa cambiamos x por f(x)-1, y viceversa:

, despejamos

es la inversa.

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Una función se denomina explícita cuando la y está despejada en un miembro (por ejemplo y = 3x – 1).

Se denominan implícitas aquellas funciones que están ligadas a su variable x por una ecuación no resuelta: 3x2 + 2xy + y2 – 4 = 0, define una función implícita. Las funciones se llaman algebraicas cuando para calcular el valor de y la variable x ha de someterse sólo a operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación). Por ejemplo, y = 4x2 – 5x2 + 12. 

Una función que no es algebraica es una función trascendente. Por ejemplo y = log x, y = ax, y = cosx.

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Solución a las ecuaciones f(x) = 0. 

Se puede conocer los valores de x para los cuales se cumple f(x) = 0, que serán las raíces de la ecuación, por medio de una tabulación de valores o por alguna fórmula en caso de conocerla o por algún método heurístico, o por medio gráfico a través de un zoom en donde están las intersecciones en el eje x de modo que se pueda localizar (aproximadamente) la solución de la ecuación cuando f(x) = 0.

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Software a Utilizar: MATLAB 

Comandos a Utilizar:

syms % El atajo por construir los objetos simbólicos.plot % Crea un dibujo de vectores o columnas de matricesezplot % Grafica la función f = f(x).grid on % Agrega las líneas de la reja.solve % Solución simbólica de ecuaciones algebraicas.

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Funciones matemáticas comunes:abs(x) Calcula el valor absoluto de xsqrt(x) Calcula la raíz cuadrada de xround(x) Redondea x al entero más cercanofix(x) Redondea (o trunca) x al entero más cercano a 0.sign(x) Devuelve un valor de -1 si x es menor que 0, un valor de 0si x es igual a 0 y un valor de 1 si x es mayor que 0.rem(x,y) Devuelve el residuo de x/y. También se llama módulo.exp(x,y) Calcula ex, donde e = 2.718282log(x) Calcula el logaritmo natural de x: ln xlog10(x) Calcula el logaritmo común de x: log10

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Símbolo Color Símbolo Marcadores (markers)y yellow . puntos

m magenta o círculos c cyan x marcas en x r red + marcas en +

g green * marcas en * b blue s marcas cuadradas (square)

w white d marcas en diamante (diamond) k black ^ triángulo apuntando arribaSímbolo Estilo de línea v triángulo apuntando abajo

‘-’líneas continuas > triángulo apuntando a la dcha ‘-.’ líneas a barra-punto < triángulo apuntando a la izda -- líneas a trazos p estrella de 5 puntas ‘:’ líneas a puntos h estrella se seis punta

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Ejemplo 1: Gráfica de una función. F(x)=x^2+3x+2, F1(x)=2x+3, F2(x) = 2

syms x;x = -25:25;f=x.^2+3*x+2;f1 =2*x+3;f2 = 2;plot(f,'--k')hold onplot(f1,':r')plot(f2,'-.bs', 'LineWidth', 2, 'MarkerEdgeColor','r', 'MarkerFaceColor', 'k', 'MarkerSize', 10)hold off

0 10 20 30 40 50 60-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Cálculo Diferencial

La siguiente ecuación cuadrática 2 2 5 0x x

Para graficar ésta función en MATLAB, se ejecutan las siguientes instrucciones

x=-4:.1:4;y=x.^2-2*x-5;>> plot(x,y)

Comandos Acciones>> syms x;>> f = x^2 - 2*x - 5;>> ezplot(f);>> grid on 

Declaramos la variable xDeclaramos la funciónGraficamos la funciónCuadriculamos la gráfica

ó

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Éste código genera la siguiente gráfica

Que tiene valores entre 0 y -2 y 2 y 4 una posible raíz.

Cálculo Diferencial

Una tabulación de los valores de x e y son:x=-4:4;>> y=x.^2-2*x-5;x, y x = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  y = 19 10 3 -2 -5 -6 -5 -2 3 Se observa el cambio de signo entre -2 y -1 y entre 3 y 4.Ahora para encontrar las soluciones de la ecuación usaremos las siguientes instrucciones.

Ahora para encontrar las soluciones de la ecuación usaremos las siguientes instrucciones.

Estas instrucciones generan la siguiente respuesta:x =1+6^(1/2) y 1-6^(1/2) y =0

Lo cuál es equivalente a que las soluciones de la ecuación son:

Cálculo Diferencial

Comando Acción>> [x,y] = solve('x^2-2*x -y = 5','y = 0') Encuentra la solución al sistema

entre la función y el eje x.

2 2 5 0x x

1

2

1 6 3.449

1 6 1.449

x

x

Cálculo Diferencial

Ejemplo 2: Agranda tantas veces como sea posible la gráfica de la

parábola y = x2 – 2, para aproximar sus raíces (21/2) hasta con 4 decimales. Primero definamos la función y después la graficaremos utilizando el siguiente código.

>> syms x;>> f=x^2 - 2;>> ezplot(f);

>> grid on;

-6 -4 -2 0 2 4 6-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

x

x2-2

El cual genera la siguiente gráfica:

Cálculo Diferencial

Comandos Acciones>> ezplot(f, [1.4135,1.4145]);>> grid on >> figure; >> ezplot(f, [-1.4145,-1.4135]);>> grid on

Graficamos la función en el intervalo (1.4135, 1.4145) en el cual está incluida la raíz positiva de la ecuación.FIGURE se utiliza para hacer otra gráfica sin borrar la anterior.De la misma manera graficamos la función en el intervalo de la solución negativa.

Ahora para hacerle un zoom a la gráfica la volveremos a graficar, pero ahora bajo el siguiente código:

Cálculo Diferencial

-1.4145-1.4144-1.4143-1.4142-1.4141 -1.414 -1.4139-1.4138-1.4137-1.4136-1.4135

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-3

x

x2-2

x2 = -1.4142

1.4135 1.4136 1.4137 1.4138 1.4139 1.414 1.4141 1.4142 1.4143 1.4144 1.4145

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-3

x

x2-2

x1 = 1.4142

De ésta manera se obtienen las siguientes gráficas

De las gráficas se puede observar las soluciones de la ecuación, las cuales son aproximadas a 1.4142

.

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syms x y;  f = x^2 -16;g1 = -x/(16-x^2)^0.5;g2 = x/(16-x^2)^0.5; ezplot (f);hold on;axis([-9,9 -9,9]);grid on; pause;ezplot(g1);hold on;ezplot(g2); 

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

x2 - 16

Cálculo Diferencial

clear all;syms x y;f = 2*x^2 - 6;g = y^2-4*x;ezplot(f);hold on;axis([-9,9 -9,9]);grid on;pause;ezplot(g);

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

2 x2 - 6

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senxey

Problemas:1. Represente las siguientes funciones en los intervalos y con las opciones que se indican, primero por separado y después en un mismo dibujo.

a) en [0,8]syms x;y=exp(sin(x));ezplot(y,[0 8]);grid on;

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.5

1

1.5

2

2.5

x

exp(sin(x))

Cálculo Diferencial

b) y = ln x en [2,6]. syms x;y=log(x);ezplot(y,[2 6]);grid on;

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

x

log(x)

Cálculo Diferencial

c) en [-1,5]. syms x;y = (x/4)^2;ezplot(y,[-1 5]);grid on;

2

4

xy

-1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x

x2/16

Cálculo Diferencial

2. Dibuje con un solo color la gráfica de la función a trozos de la sección anterior.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.5

1

1.5

2

2.5

x

exp(sin(x))syms x;f=log(x);ezplot(f,[2 6]);hold on;y = (x/4)^2;ezplot(y,[-1 5]);hold on;g=exp(sin(x));ezplot(g,[0 8]);grid on; hold off;

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3. Encuentre las raíces de la siguiente ecuación:

033 23 xxxTanto gráficamente como

analíticamente.syms x;f=x^3 + 3*x^2-x-3;ezplot(f);grid on;solve(f)

Command Window:ans = 1 -1 -3

-6 -4 -2 0 2 4 6-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

x

3 x2 - x + x3 - 3

Tabule los valores de x multiplicando por x, y entonces reste 2.

4. Suponga que necesita encontrar la raíz cuadrada de 2, utilizando solo operaciones arimeticas. Considere un número x tal que x2 = 2, así x2 - 2 = 0. Esto es, es una solución a la ecuación: f(x)=x^2-2=0

Cálculo Diferencial

2x

.

clear all;syms x;x=-5:5;y=x.^2-2;x,y

Command Window:

x = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y = 23 14 7 2 -1 -2 -1 2 7 14 23

-6 -4 -2 0 2 4 6-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

x

x2 - 2

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-20

-15

-10

-5

0

5

10b) Encuentre

Cálculo Diferencial

53 100,25,17

.

clear all;syms x;x=-5:5;y=x.^2-17;x,y

Command Window:x = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y = 8 -1 -8 -13 -16 -17 -16 -13 -8 -1 8

17

b) Encuentre

Cálculo Diferencial

53 100,25,17

.

clear all;syms x;x=-5:5;y=x.^3-25;x,y

Command Window:x = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y = -150 -89 -52 -33 -26 -25 -24 -17 2 39 100

3 25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-150

-100

-50

0

50

100

b) Encuentre

Cálculo Diferencial

53 100,25,17

.

clear all;syms x;x=-5:5;y=x.^5-100;x,y

Command Window:x = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y = -3225 -1124 -343 -132 -101 -100 -99 -68 143 924 3025

5 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

Cálculo Diferencial

22 xy 022 x22 xy 2

5. Para el problema de arriba, considere la intersección de la parábola y el eje-x positivo, que es lo mismo que

resolver Magnifique sucesivamente la gráfica de

y aproxime

con cuatro decimales.

-1.415 -1.4148-1.4146-1.4144-1.4142 -1.414 -1.4138-1.4136-1.4134-1.4132 -1.413

-3

-2

-1

0

1

2

x 10-3

x

x2 - 2

1.413 1.4132 1.4134 1.4136 1.4138 1.414 1.4142 1.4144 1.4146 1.4148 1.415

-3

-2

-1

0

1

2

x 10-3

x

x2 - 2

clear all;syms x;y=x^2-2;ezplot(y,[-1.415 -1.413]);grid on;figure;ezplot(y,[1.413 1.415]);grid on;

X1= -1.4142 x2= 1.4142

Cálculo Diferencial

53 100,25,17

5. Similarmente, encuentre la aproximación a las raíces de

-4.1235-4.1235-4.1234-4.1234-4.1233-4.1233-4.1232-4.1231-4.1231-4.1231 -4.123

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 10-3

x

x2 - 17

4.123 4.1231 4.1232 4.1233 4.1234 4.1235

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 10-3

x

x2 - 17

clear all;syms x;y=x^2-17;ezplot(y,[-4.1235 -4.123]);grid on;figure;ezplot(y,[4.123 4.1235]);grid on;

X1= -4.1231 x2= 4.1231

17a)

Cálculo Diferencial

53 100,25,17

5. Similarmente, encuentre la aproximación a las raíces de

clear all;syms x;y=x^3-25;ezplot(y,[2.924 2.9241]);grid on;

X = 2.9240

b) 3 25

2.924 2.924 2.924 2.924 2.924 2.9241 2.9241 2.9241 2.9241 2.9241 2.9241

-5

0

5

10

15

20

x 10-4

x

x3 - 25

Cálculo Diferencial

53 100,25,17

5. Similarmente, encuentre la aproximación a las raíces de

clear all;syms x;y=x^5-100;ezplot(y,[2.5118 2.5119]);grid on;

X = 2.5119

c) 5 100

2.5118 2.5118 2.5118 2.5118 2.5118 2.5119 2.5119 2.5119 2.5119 2.5119

-15

-10

-5

0

x 10-3

x

x5 - 100