ETAPA 4

SECCIONES CÓNICAS

FUNCIONES Y RELACIONES

Lección 1- Secciones y curvas formadas por la intersección de un plano y un cono

Las Secciones Cónicas o simplemente Cónicas son las figuras geométricas que se

pueden obtener cuando se interseca un cono circular recto de dos mantos con un

plano.

Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

Lección 2- la circunferencia como lugar geoméTrico

Definición Geométrica. - La circunferencia es el lugar geométrico de todos los

puntos en el plano que son equidistantes de un punto fijo llamado Centro.

Si C(h, k) es el centro de la circunferencia, P(x, y) es cualquier punto que

pertenece a la circunferencia y “r” es el radio de la misma como en la siguiente

figura:La “Ecuación Ordinaria o Reducida de la

Circunferencia” es:

22 2( )x h y k r

22 2( )x h y k r

Pero, si el Centro de la circunferencia es el origen C(0, 0), entonces la ecuación es

llamada “Ecuación Canónica de la Circunferencia” y esta dada por:

2 2 2r x y

22 2( )x h y k r

2 2 25 2 4x y

2 2

5 2 16x y

Ejemplo 1.- Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(-5, 2) y de

radio 4 unidades

Solución: El centro es C(h, k) = C(-5, 2), identificamos h = -5, k = 2 y el radio es r = 4

Sustituimos en la ecuación reducida

Al desarrollar y simplificar el miembro izquierdo de la ecuación anterior, tenemos:

2 210 25 4 4 16x x y y

2 2 10 4 25 4 16 0x y x y

2 2 10 4 13 0x y x y

Ejemplo 2.- Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el Origen y de radio 5

unidades

Solución: Ya que el centro es el origen C(0, 0), sustituimos r = 5 en la ecuación canónica:

2 2 2x y r

2 2 25x y

2 2 25x y

Ejemplo 3.- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (2, 1) y cuyo centro

es C (-2, 3).

Solución: La longitud del radio de la circunferencia es igual a la distancia que hay entre el punto y

el centro, entonces usamos la fórmula de distancia para calcular dicha longitud:

22

2 1 2 1( )d x x y y

22 2 2( 2 2) 3 1 ( 4) (2) 16 4 20d 20r

( 2,3)C

22 2( )x h y k r

Luego, con radio y Centro

sustituimos en la forma ordinaria:

entonces

20r

22 2

2 3 20x y

2 2

2 3 20x y

Al desarrollar y simplificar el miembro izquierdo de

la ecuación anterior, tenemos

2 2

2 2

2 2

4 4 6 9 20

4 6 4 9 20 0

4 6 7 0

x x y y

x y x y

x y x y

2 2

2 3 20x y

Forma Ordinaria o

Reducida:

Forma General:

2 2 4 6 7 0x y x y

Forma general de la ecuación de la circunferencia

La Forma General de la ecuación de la circunferencia esta dada por

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, donde D, E y F son constantes reales

Se tienen los siguientes casos:

A) Si 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 > 0, entonces la ecuación representa una circunferencia

con centro en el punto 𝐶 −𝐷

2, −

𝐸

2y radio 𝑟 =

1

2𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹

B) Si 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 = 0, entonces la ecuación representa el punto 𝐶 −𝐷

2, −

𝐸

2

C) Si 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 < 0, entonces la ecuación no representa lugar geométrico

22 2( )x h y k r

Ejemplo 3.- Determina si la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 9 = 0 representa una circunferencia y

justifica tu respuesta.

Si representa una circunferencia, entonces determina:

A) Las coordenadas de su centro.

B) La longitud de su radio.

C) La Forma Ordinaria o Reducida

Solución: Identificamos D = -4, E = 6 y F = 9 según la forma general. Entonces sustituimos en la

expresión 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 = −4 2 + 6 2 − 4 9 = 16, el cuál es positivo. Por lo tanto la ecuación

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 9 = 0 representa una circunferencia.

A) El centro es el punto con coordenadas 𝐶 −𝐷

2, −

𝐸

2= 𝐶 −

−4

2, −

6

2= 𝐶 2,−3

B) La longitud de su radio es r =1

2𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 =

1

2−4 2 + 6 2 − 4 9 =

1

216 = 2

C) Sustituimos el centro 𝐶 2,−3 = 𝐶 ℎ, 𝑘 y el radio 𝑟 = 2 en la forma Reducida:

22 2( )x h y k r

22 2

22

( 2) 3 2

( 2) 3 4

x y

x y

Lección 3- la parábola como lugar geoméTrico

Definición Geométrica. - La parábola es el lugar geométrico de todos los

puntos en el plano cartesiano cuya distancia a un punto fijo llamado foco es

igual a su distancia a una recta fija llamada directriz..

Elementos de la Parábola:

V: Vértice

F: Foco

Ecuaciones Ordinarias de la parábola con vértice en el origen:

A) Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y el eje X como

Eje Focal :

𝑦2 = 4𝑎𝑥

Casos:

a) Si a > 0 abre hacia la derecha: b) Si a < 0 abre hacia la izquierda:

B) Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y el eje Y como

Eje Focal :

𝑥2 = 4𝑎𝑦

Casos:

a) Si a > 0 abre hacia arriba: b) Si a < 0 abre hacia abajo:

Ejemplo: Dadas las siguientes ecuaciones de una parábola, determina para cada una:

A) Las coordenadas del foco.

B) La longitud del lado recto.

C) La ecuación de la directriz.

D) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.

E) La gráfica.

1) 𝑦2 = 16𝑥

Solución: La ecuación 𝑦2 = 16𝑥 es de la forma 𝑦2 = 4𝑎𝑥, luego por comparación tenemos que

4a = 16, entonces a = 4, y por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y por consecuencia:

A) Coordenadas del Foco: El foco está sobre el eje X a 4 unidades a la derecha del eje Y, entonces

F(4, 0).

B) La longitud del Lado Recto es 𝐿𝑅 = 4𝑎 = 4 4 = 16

C) La ecuación de la Directriz es 𝑥 = −𝑎; es decir 𝑥 = −4 o 𝑥 + 4 = 0

D) En la gráfica observamos que el valor de las abscisas en los puntos extremos del lado recto es igual

a la abscisa del foco 𝑥 = 4, por consiguiente:

𝑦2 = 16 4𝑦2 = 64

𝑦 = ± 64𝑦 = ±8

Por lo tanto, las coordenadas de los puntos extremos del Lado Recto son: 4, 8 𝑦 4,−8

E) Gráfica:

Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación de una parábola, determina:

A) Las coordenadas del foco.

B) La longitud del lado recto.

C) La ecuación de la directriz.

D) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.

E) La gráfica.

1) 𝑥2 = −12𝑦

Solución: La ecuación 𝑥2 = −12𝑦 es de la forma 𝑥2 = 4𝑎𝑦, luego por comparación tenemos que

4a = -12, entonces a = -3, y por lo tanto, la parábola abre hacia abajo y por consecuencia:

A) Coordenadas del Foco: El foco está sobre el eje Y a 3 unidades hacia abajo del eje X, entonces

F(0, -3).

B) La longitud del Lado Recto es 𝐿𝑅 = 4𝑎 = 4 −3 = 12

C) La ecuación de la Directriz es 𝑦 = −𝑎; es decir 𝑦 = −(−3) o 𝑦 − 3 = 0

D) En la gráfica observamos que el valor de las ordenadas en los puntos extremos del lado recto es el

igual a la abscisa del foco 𝑦 = −3, por consiguiente:

𝑥2 = −12 −3𝑥2 = 36

𝑥 = ± 36𝑥 = ±6

Por lo tanto, las coordenadas de los puntos extremos del Lado Recto son: −6,−3 𝑦 6,−3

E) Gráfica:𝑦 = 3

Ejemplo 3.- Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y Foco en el punto (-5,0)

Solución:

Realicemos el bosquejo de la gráfica según la información dada:

Dado que la parábola tiene su vértice en el origen y el foco esta

sobre el eje X, entonces el eje focal es el eje X y la parábola abre

hacia la izquierda; y por consecuencia su ecuación es de la

forma 𝑦2 = 4𝑎𝑥 con a = -5.

Por lo tanto:

𝑦2 = 4 −5 𝑥𝑦2 = −20𝑥

Lección 4- la ELIPSE como lugar geoméTrico

Definición Geométrica. - La Elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el

plano cartesiano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados

focos es constante.

Elementos de la Elipse:

C: Centro

V y V´ : Vértices

F y F´ : Focos

𝑩𝑩´ : Eje menor

𝑽𝑽´: Eje Mayor

𝑳𝑹 𝒚 𝑳´𝑹´ : Lados Rectos

Ecuaciones Ordinarias de la Elipse con centro en el origen:

A) Ecuación de una Elipse con centro en el origen y cuyo eje focal es el eje X:

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

“a” es la semilongitud del Eje Mayor

“b” es la semilongitud del Eje Menor

𝑎2 > 𝑏2

“c” es la Longitud Focal.

La ecuación de una elipse con centro en el origen y eje focal el eje X es: 2 2

2 21

x y

a b , donde

2 2a b y 2 2 2c a b

Y tiene las siguientes características:

1. Las coordenadas de sus vértices son V(a, 0) y V´(–a, 0).

2. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B(0, b) y B´(0, – b).

3. Las coordenadas de sus focos son F(c, 0) y F´(–c, 0).

4. La longitud de su eje mayor VV´ es 2a.

5. La longitud de su eje menor BB´ es 2b.

6. La longitud de cada uno de sus lados rectos

22bLR

a

7. La excentricidad c

ea

B) Ecuación de una Elipse con centro en el origen y cuyo eje focal es el eje Y:

𝑥2

𝑏2+𝑦2

𝑎2= 1

“a” es la semilongitud del Eje Mayor

“b” es la semilongitud del Eje Menor

𝑎2 > 𝑏2

“c” es la Longitud Focal.

Una elipse con centro en el origen y cuyo eje focal es el eje Y es: 2 2

2 21

x y

b a , donde

2 2a b y 2 2 2c a b

Y tiene las siguientes características:

1. Las coordenadas de sus vértices son V(0, a) y V´(0, -a).

2. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B(b, 0) y B´(– b, 0).

3. Las coordenadas de sus focos son F(0, c) y F´(0, –c).

4. La longitud de su eje mayor VV´ es 2a.

5. La longitud de su eje menor BB´ es 2b.

6. La longitud de cada uno de sus lados rectos

22bLR

a

7. La excentricidad c

ea

Ejemplo 1.- Dada la ecuación de la elipse 𝑥2

25+

𝑦2

169= 1 encontrar:

a) Las coordenadas de los vértices. e) La longitud del eje mayor.

b) Las coordenadas de los focos. f) La longitud del eje menor

c) Las coordenadas de los extremos del eje menor g) La excentricidad

d) La longitud de cada lado recto. H) Realiza la gráfica

Solución: Dado que se sabe que 2 2a b , entonces se tiene que

2 169a y 2 25b ,

entonces la ecuación

2 2

125 169

x y es de la forma

2 2

2 21

x y

b a con 13 y 5a b

cuyo eje focal es el eje Y; y por consecuencia los vértices y los focos están sobre el eje Y

(con abscisas igual a 0) y los puntos extremos del eje menor están sobre el eje X (con

ordenadas igual a 0). Entonces:

a) Coordenadas de los vértices: (0, ) (0,13) y (́0, ) (́0, 13)V a V V a V

b) Coordenadas de los Focos: La longitud focal la calculamos mediante la relación

2 2 2c a b , entonces2 213 5 12c . Por lo tanto, las coordenadas de

los focos son:

(0, ) (0,12) y F (́0, ) (́0, 12)F c F c F

c) Las coordenadas de los extremos del eje menor:

( ,0) (5,0) y B́ ( ,0) (́ 5,0)B b B b B

d) La longitud de cada lado recto:

22 2 52 503.84

13 13

bLR

a

e) La longitud del eje mayor 2 2(13) 26a

f) La longitud del eje menor 2 2(5) 10b

g) Excentricidad: 𝑒 =𝑐

𝑎=

12

13= 0.923

h) Gráfica:

Ejemplo 2.- Dada la ecuación de la elipse 𝑥2

25+

𝑦2

9= 1 encontrar:

a) Las coordenadas de los vértices. e) La longitud del eje mayor.

b) Las coordenadas de los focos. f) La longitud del eje menor

c) Las coordenadas de los extremos del eje menor g) La excentricidad

d) La longitud de cada lado recto. H) Realiza la gráfica

Solución: Dado que se sabe que 2 2a b , entonces se tiene que

2 25a y 2 9b ,

entonces la ecuación

2 2

125 9

x y es de la forma

2 2

2 21

x y

a b con 5 y 3a b

cuyo eje focal es el eje X; y por consecuencia los vértices y los focos están sobre el eje X

(con ordenadas igual a 0) y los puntos extremos del eje menor están sobre el eje Y (con

abscisas igual a 0). Entonces:

a) Coordenadas de los vértices: ( ,0) (5,0) y (́ ,0) (́ 5,0)V a V V a V

h) Gráfica:

Ejemplo 3.- Encontrar la ecuación de la elipse con Vértices en los puntos V(25, 0) y V´(-25, 0), cuya

excentricidad es igual a 7

25.

Los vértices V(25, 0) y V(-25, 0) son puntos que están sobre el eje X, entonces los focos también

estarán sobre éste eje, es decir el eje focal es el eje X, y por lo tanto, la ecuación tiene su centro en el

origen y es de la forma𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1, donde la distancia del Centro de la elipse a los vértices está dado

por el valor de “a”; es decir a = 25.

Luego, la excentricidad está dada por la fórmula 𝑒 =𝑐

𝑎, donde sustituyendo tenemos que

7

25=

𝑐

25, entonces c = 7.

Para calcular el valor de “b” usemos la relación entre “a”, “b” y “c”:

𝑐2= 𝑎2 − 𝑏2

72 = 252 − 𝑏2 y despejando tenemos

𝑏2 = 252 − 72 = 625 − 49 = 576: es decir 𝑏 = 576 = 24

Por lo tanto la ecuación de la elipse es 𝑥2

252+

𝑦2

242= 1

𝑥2

625+

𝑦2

576= 1

Lección 5- la hipérbola como lugar geoméTrico

Definición Geométrica. - La Hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano

cartesiano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos

llamados focos es constante.

Elementos de la Hipérbola:

C: Centro

V y V´ : Vértices

F y F´ : Focos

𝑩𝑩´ : Eje Conjugado

𝑽𝑽´: Eje Transverso

𝑳𝑹 𝒚 𝑳´𝑹´ : Lados Rectos

L

R

L´

R´

Ecuaciones Ordinarias de la Hipérbola con centro en el origen:

A) Ecuación de una Hipérbola con centro en el origen y cuyo eje focal es el eje X:

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1

“a” es la semilongitud del Eje Transverso

“b” es la semilongitud del Eje Conjugado

“c” es la Longitud Focal.

La gráfica de la ecuación

2 2

2 21

x y

a b es una hipérbola con:

a) Centro en el origen.

b) Vértices en ( ,0) y ( ,0)V a V a

c) Focos en ( ,0) y (́ ,0)F c F c 0), es decir, el eje focal está en el eje X, donde

2 2 2c a b

d) La longitud del eje transverso es igual a 2a.

e) La Longitud del eje conjugado es igual a 2b.

f ) La Longitud de cada lado recto es

22bLR

a

g) Excentricidad: c

ea

B) Ecuación de una Hipérbola con centro en el origen y cuyo eje focal es el eje Y:

−𝑥2

𝑏2+𝑦2

𝑎2= 1

“a” es la semilongitud del Eje Transverso

“b” es la semilongitud del Eje Conjugado

“c” es la Longitud Focal.

Ejemplo 1.- Dada la ecuación de la hipérbola −𝑥2

144+

𝑦2

25= 1 encontrar:

a) Las coordenadas de los vértices. d) La excentricidad.

b) Las coordenadas de los focos. e) Las ecuaciones de sus asíntotas

c) La longitud de cada uno de los lados rectos f) Realiza la gráfica

Solución:

La ecuación

2 2

1144 25

x y es de la forma

2 2

2 21

x y

b a con

2 25a de donde

5a y con 2 144b de donde 12b cuyo eje focal es el eje Y; y por consecuencia los

vértices y los focos están sobre el eje Y (con abscisas igual a 0) y los puntos extremos del

eje conjugado están sobre el eje X (con ordenadas igual a 0). Entonces:

a) Coordenadas de los vértices: (0, ) (0,5) y (́0, ) (́0, 5)V a V V a V

f) Gráfica:

Ejemplo 2.- Dada la ecuación de la hipérbola 𝑥2

9−

𝑦2

16= 1 encontrar:

a) Las coordenadas de los vértices. d) La excentricidad.

b) Las coordenadas de los focos. e) Las ecuaciones de sus asíntotas

c) La longitud de cada uno de los lados rectos f) Realiza la gráfica

Solución: La ecuación

2 2

19 16

x y es de la forma

2 2

2 21

x y

a b con

2 9a de donde

3a y con 2 16b de donde 4b cuyo eje focal es el eje X; y por consecuencia los

vértices y los focos están sobre el eje X (con ordenadas igual a 0) y los puntos extremos

del eje conjugado están sobre el eje Y (con abscisas igual a 0). Entonces:

Coordenadas de los vértices: ( ,0) (3,0) y (́ ,0) (́ 3,0)V a V V a V

f) Gráfica:

Referencia Bibliográfica:

Charles, C., Contreras, F., Cuéllar, J., García, O.,

Jésica, G. & Nava (2019) Funciones y Relaciones

(1ª ed.) Ediciones de Laurel.

GRACIAS POR TU ATENCIÒN