Post on 13-Oct-2020
mejor saberfec s
y = -p P´(x, -p)
V x
y
F(0, p)P(x, y)
PARÁBOLA
2x = 4py
GEOMETRÍA ANALÍTICA - SECCIONES CÓNICAS
x
y
M(0, b)
V(-a, 0)
M(0, -b)
V(-a,
F(-c, 0) F(c, 0)
ELIPSE
2x 2y2a 2b
+ = 1 22 2donde a = b + c
2x 2y2a 2b
= 1 22 2donde c = a + b-
HIPÉRBOLA
x
y
V(-a, 0)
F(-c, 0) F(c, 0)
V(-a, 0)
W(0, b)
W(0, -b)
b
a
ab xy = - a
b xy =
mejor saberfec s
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA DE NÚMEROS REALES
hipop
ady
sen op
hip
cos ady
hip
tan adyop
csc ophip
sec adyhip
cot adyop
sen br
cos
tan
ar
ba
csc br
sec
cot
ar
ba
y
x
(a, b)
r
y
x
t(x, y)
(1, 0)
r (radianes)
sen t
cos t
tan t
csc t
sec t
cot t
x
y
xy x
y
x1
y1
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES
TRIÁNGULOS ESCALENO ÁREA
LEY DE LOS COSENOS LEY DE LOS SENOS
ALFABETO GRIEGO
VALORES ESPECIALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2√
45°
1
12
1
30°
60°
3√
C
A
Ba
cb
A =12
bc sen
A =12
ac sen
A =12
ab sen
A = s(s - a)(s - b)(s - c),
22 2a = b + c - 2bc cos 22 2b = a + c - 2ac cos
22 2c = a + b - 2ab cos
sen sen sen = =a b c
donde s (a + b + c)12
(Fórmulade Herón)=
Letra Nombre Letra Nombrealfa beta gamma delta épsilon dseta eta zeta iota kapa lambda mu
nu xi omicrón pi ro sigma tau ipsilón fi ji psi omega
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ
Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
ν ξ ο π ρ σ/ς τ υ φ χ ψ ω
0°
30°
60°
45°
90°
0
6
4
3
2
rad sen cos tan cot sec csc
2
0
3√ 2
1
2√ 2
1
2√ 2
3√ 2 2
1
1 0
3√ 2
0
1
3√ 3√ 3
1
3√
0
2√
3√ 3
1
2
2
2√
3√ 3
2
1
2
FORMULAS DE TRIGONOMETRÍA
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área (de figura): A Perímetro: P, C volumen: V área de superficie (de cuerpo): S altura: h radio: r
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TRIÁNGULOS (CUALQUIERA) TRIÁNGULOS EQUILÁTERO
RECTÁNGULO PARALELOGRAMO TRAPECIO
CÍRCULO SECTOR CIRCULAR ANILLO CIRCULAR
PRISMA RECTANGULAR ESFERA CILINDRO (CIRCULAR RECTO)
PRISMA OBLICUO (CUALQUIERA)
c
b
a
2 2 2Teorema de Pitágoras: c = a + b Área = bh12
C = a + b + c3 s√ 2=h A =
23 s√ 4
A = lw C = 2l + 2w
l
w
A = bh
b
h
A = (a + b)h 12
a
h
b
s s
s
h
2A = r C = r
r s
r
A = 2 r 21 s = r
r
R
2 2 A = R - r
43
3rV = 2S = 4r
r
V = lwh S = 2(hl + lw + hw)
CONO TRUNCADOCONO (CIRCULAR RECTO)
13
2r hV = S = r 2 2r + h 13 2 2h (r + rR + R )V = V = Bh, siendo B el área de la base
h
l
w
h
r
r
h
r
h
GEOMETRÍA - FÓRMULAS
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FÓRMULA DE LA DISTANCIA ECUACIÓN DE UNA CIRCUFERENCIA
PENDIENTE m DE UNA RECTA
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNCUADRÁTICA (PARABÓLICA)
FORMA PUNTO - PENDIENTE DE UNA RECTA
CONSTANTES MATEMÁTICAS
FORMA PENDIENTE - INTERCEPCIÓN y DEUNA RECTA
EQUIVALENCIAS DE UNIDADES
FORMA DE INTERCEPCIÓNES x, y DEUNA RECTA
= 2 2(x2 - x1) + (y2 - y1)d(P1, P2)
P2(x2, y2)P1(x1, y1)
x
y
x
y
r
(h, k)
2 2 2(x- h) + (y - k) = r
m =y2 - y1
x2 - x1
l
(x2 , y2)(x1 , y1)
2y = ax , a > 0 2
y = ax + bx + c, a > 0
b2a
-
x
y
x
y
x
y
y - y1 = m(x - x1) ≈ 3.14159
e ≈ 2.71828
(0, b)
x
y l
(x1 , y1)
x
y l
y = mx + b
(0, b)
x
yl
(a, 0)
xa b
y= 1+ (a = 0, b = 0)
1 grado (°) ≈ 0.0175 radianes (rad)1 radián (rad) ≈ 57.296 grados (°)1 metro (m) ≈ 3.2808 pies (pies. ft)1 centímetro (cm) ≈ 0.3937 pulgadas (pulg. in)1 kilómetro (km) ≈ 0.6214 millas (mi)1 kilogramo (kg) ≈ 2.2046 libras (lb)1 litro (L) ≈ 0.2642 galones (gal)1 mililitro (mL) ≈ 0.0381 onzas (oz) (líquido) 1 newton (N) ≈ 0.2248 libras fuerzas (lbf)1 joule (J) ≈ 0.7379 pies-libras fuerza (pies lbf. ft lbf)1 lumen (1m) ≈ 0.0015 watts (W)
GEOMETRÍA ANALÍTICA - FÓRMULAS Y DATOS
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ddx
[cu] = cu´1.
ddx
vu´4. [ ]u
v = - uv´2v
dx[x] =7.
d1
ddx
u[e ] =10. ue u´
ddx
[sen u ] =13. (cos u) u´
ddx
[cot u ] =16.2- (csc u) u´
ddx
[arcsen u ] =19.u´
21 - u
ddx
[arccot u ] =22.- u´
21 + u
ddx
[senh u ] =25.
u´
(cosh u)u´
ddx
[coth u ] =28.2
- (csch u)u´
ddx
-1[senh u ] =31.2u + 1
u´ddx
-1[coth u ] =31. 21 - u
ddx
[ u + v ] = u´2. v´+
dx[c] =5.
d0
ddx
[ |u| ] =u
8. (u´), u = 0|u|
ddx
[log u]a =11.u´
(ln a) u
ddx
[cos u ] =14. - (sen u) u´
ddx
[sec u ] =16. (sec u tan u) u´
ddx
[arccos u ] =20.- u´
21 - u
ddx
[arcsec u ] =23. u´
2 u - 1 |u|
ddx
[cosh u ] =26. (senh u)u´
ddx
[sech u ] =29. - (sech u tanh u)u´
u´ddx
-1[cosh u ] =31.2u - 1
- u´ddx
-1[sech u ] =31.21 - u u
ddx
[ uv ] = uv´3. vu´+
dx=6.
d n[ u ] n-1nu u´
ddx
[ ln u] =u´
9. u
dx=12.
d u[ a ] u ( ln a)a u´
ddx
[tan u ] =15. 2(sec u) u´
ddx
[csc u ] =18. - (csc u cot u) u´
ddx
[arctan u ] =20. u´
21 + u
ddx
[arccsc u ]23. =- u´
2 u - 1 |u|
ddx
[tanh u ] =26.2
(sech u)u´
ddx
[csch u ] =30. - (csch u coth u)u´
u´ddx
-1[tanh u ] =33. 2 1 - u
- u´ddx
-1[sech u ] =36. 21 + u |u|
Reglas básicas de derivación
1. kf(u) du = k f(u) du
3. du = u + C
5. u ue du = e + C
7. cos u du = sen u + C
9. cot u du = ln |sen u| + C
11. csc u du = - ln |csc u + cot u| + C
13. 2csc u du = - cot u + C
15. csc u cot u du = - csc u + C
17. Cdu
2 2a + u a1
= arctanua +
2. [f(u) + g(u)] du = f(u) du + g(u) du
4.u a + C
6. sen u du = - cos u + C
8. tan u du = ln|cos u| + C
10. sec u du = ln |sec u + tan u| + C
12. 2sec u du = tan u + C
14. sec u tan u du = sec u + C
16.
17. Cdu
2 2u - aa1= arcsec
|u|+
( )u a du =1
ln a
2 2a - u
duarcsen Cu
a +=
ua
Fórmulas básicas de integración
DERIVADAS E INTEGRALES
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sen op
hip
cos ady
hip
tan adyop
csc ophip
sec adyhip
cot adyop
Definición de las seis funciones trigonométricas
Definiciones por triángulos rectángulos, donde 0, < </2
Adyacente
Op
ue
sto
2 2r = x + y
Definiciones como funciones, donde es cualquier ángulo.
(x, y)
y
x
r
cot yx
sec xr
csc yr
tan yx
cos xr
sen yr
x
y
56
34
23
2
3 4
6
0
76
54 4
3 32
53
74
116
2
0°
30°
45°
60°
90°
120°135°
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°315°
330°
360°(-1, 0) (1, 0)
(0, 1)
(0, -1)
( )3√ -2
1,2
( )2√ -2
, 2√ 2
,
,
( )3√ -2
1 ,2
( )2√ 2
, 2√ 2
3√ 2
1 ,2( )
3√ 2
1,2( )
( )2√ 2
, 2√ 2
3√ 2
1 ,2( )
3√ 2
1,2( )
-
-3√ -2
,
( )2√ -2
, 2√ 2
( )- 1,2
- , -
( )3√ -2
1 ,2
-
x
y
Identidades recíprocas
Identidades de tangente y cotangente
Identidades pitagóricas
Identidades de confunciones
Fórmulas de reducción
Fórmulas de suma y diferencia
Fórmulas de producto - suma
Fórmulas de suma producto
Fórmulas de reducción de potencias
Formulas de ángulo doble
sen x
cos x
tan x
csc x
sec x
cot x
1
1 1
1 1
1csc x
sen x
cos x
tan xsec x
cot x
cos xtan xsen x cos x
sen xcot x
2 2sen xcos x1
2 2 1tan xsec x
2 2 1cot xcsc x
2( )-sen x = cos x 2( )-
cos x = sen x
2( )-csc x = sec x 2( )-tan x = cot x
2( )-sec x = csc x
2( )-cot x = tan x
sen(- x) = -sen x cos(- x) = cos x
csc(- x) = -csc x tan(- x) = -tan x
sec(- x) = sec x cot(- x) = -cot x
sen (u + v) = sen u cos v + cos u sen v
cos (u + v) = cos u cos v + sen u sen v
tan (u + v) tan u + tan v
1 + tan u tan v=
sen u sen v = 12
[cos(u - v) - cos(u + v)]
cos u cos v = 12
[cos(u - v) + cos(u + v)]
sen u cos v = 12
[sen(u + v) + sen(u - v)]
cos u sen v = 12
[sen(u + v) - sen(u - v)]
sen u + sen v = 2 sen u + v( )2cos u - v( )2
sen u - sen v = 2 cos u + v( )2sen u - v( )2
cos u + cos v = 2 cos u + v( )2cos u - v( )2
cos u - cos v = -2 cos u + v( )2sen u - v( )2
2sen u = 1 - cos 2u
2cos u = 1 + cos 2u
2tan u =
2
2
1 - cos 2u
1 + cos 2u
tan 2u = 2tan u
21 - tan u
2 2 2 2cos 2u = cos u - sen u = 2cos u - 1 = 1 - 2sen u
sen 2u = 2 sen u cos u
TRIGONOMETRÍA
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Factores y ceros de polinomiosn n-1 Sea p(x) = a x + a x + a x + a un polinomio. Si p(a) = 0, entonces a es un cero del polinomio y una n n-1 1 0
solución de la ecuación p(x) = 0. Además (x – a) es un factor del polinomio.
Teorema fundamental de álgebra
Un polinomio de grado de n tiene n ceros (no necesariamente distinto) aunque todos estos ceros
pueden ser imaginarios, un polinomio real de grado impar debe tener un cero real por lo menos.
Formula cuadrática 2 2 2Si p(x) = ax + bx + c, y 0 < b – 4ac, entonces los 0 reales de p son x = ( - b+ b – 4ac) /2ª
Factores especiales2 2 3 3 2 2x - a = (x – a)(x + a)� � � � x – a = (x – a) (x + ax + a )3 3 2 2 4 4 2 2 2 2x + a = (x + a)(x – ax + a )� � � x – a = (x – a )(x + a )
Teorema del binomio2 2 2 2 2 2(x + y) = x + 2xy + y � � � � (x – y) = x – 2xy + y3 3 2 2 3 3 3 2 2 3(x + y) = x + 3x y + 3xy + y � � � (x – y) = x – 3x y + 3xy – y4 4 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(x + y) = x + 4x y + 4xy + y � � � (x – y) = x – 4x y + 6x y – 4xy + yn n n-1 n -2 2 . . . n-1 n(x + y) = x + nx y + n(n – 1) x y + + nxy + y �
2!n n n-1 n – 2 2 . . . n-1 n(x –y) = x – nx y + n(n – 1) x y - + nxy + y
Teorema de los ceros racionalesn n-1Si p(x) = a x + a – x + a x+ a tiene coeficientes enteros, entonces todos los ceros racionales de p n n 1 1 0
son de la forma x = r/s, donde r es un factor de a y s es un factor de a .0 n
Factorización por agrupamiento3 2 2 2Acx + adx + bcx + bd = ax (cx + d) + b(cx + d) = (ax + b)(cx +d)
Operaciones aritméticas
Ab + ac = a(b + c)� a c ad + bc� � a + b a b+ = = +
� � � � �
Exponentes radicales0 x x x x y x + ya = 1, a / 0 (ab) = a b a a = a
bd c c cb d
b( )a
b( )a
d( )c d( )c= =adbc
c( )ba = abc
b( )a
c=
a
bc
c( )b
a ac
b=
a - bc - d =
b - ad - c
ab + aca = b + c
1/2a = a√
xa
ya= x - y
a1/n
a = a√ n
a
b=( )
x xa
xb
m/na = a√ n 1
xa=
- xa ab = √ nb√ na √ n y xyx(a ) = a √ n
a
b b√ n
a√ n
=
2!
ÁLGEBRA
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Triángulo
2 2 a + b
2
Triángulo rectángulo
3 s √ 2=h
Área =23 s√
4
Paralelogramo
Área = bh
Trapecio
Área = (a + b)h2
Sector de un anillo circular
(p = radio medio,w = anchura del anillo, en radianes)
Área = pw
Área = ab
Elipse
Circunferencia ≈ 2
Cono
(A = área de la base)
Volumen =Ah
3
Cono circular recto
Volumen =2r h3
Área de la superficielateral
= r
Volumen =2 2 (r + rR + R ) h
3
Área = bh12
(Ley de los cosenos )
h = a sen
(Teorema de Pitágoras)
2 2 2c = a + b
2 2 2c = a + b - 2ab cos
Triángulo equilátero
2 2 r + h
Tronco de un cono circular recto
Área de la superficie lateral = s(R + r)
Círculo
2Área = r
Circunferencia = r
Sector circular
( en radianes)
Área = 2r
2
s = r
Anillo circular
(p radio medio,w = anchura del anillo)
2 2 Área = R - r
= 2pw
Cuña
(A = área de la cara superior
B = el área de la base)
A = B sec
3 r43
Esfera
=Volumen
2Área de la superficie = 4 r
Cilindro circular recto
2 r h=Volumen
Área de la superficie lateral = 2rh
c
b
a
c
b
a
s s
s
h
h
b
a
h
b
ba
h
r
s
r
r
R
Pw
{ P
w
a
b
h
r
h
A
r
h R
s
r
r
B
A
FÓRMULAS DE GEOMETRÍA