IDEAS PREVIAS

1. Planos paralelos. 2.Planos perpendiculares

3.Planos oblicuos.

PRISMA

Es el sólido geométrico que tiene dos regionespoligonales congruentes y situados en planosparalelos. Siendo las otras caras regiones paralelográmicas, llamadas caras laterales.

ELEMENTOS DEL PRISMA:

Bases:

Aristas:

Altura:

ABCDE y FGHIJ

BG, FA, JE, ……

Es el segmento perpendicular a las bases.

CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS.

1. Prisma recto:Cuando sus aristas lateralesson perpendiculares a las bases.

2. Prisma oblicuo:Cuando sus aristas lateralesno son perpendiculares.

3. Prisma regular:Es prisma recto, cuyas basesson polígonos regulares.

h

Área lateral (A )

ABASE

L

Área total (A )T

V = A AlturaxBase

Volumen (V)

A = A + 2AT

A =Perímetro

L Basex h

L Base

ABASE

h: Altura del prisma

ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA ORTOGONAL

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR O ORTOEDRO.

Es aquel paralelepípedo recto, cuyas caras son todas rectangulares.

D c

a b

A = 2(ab + ac + bc)

D = a + b + c2 2 2 2

V = abc

Problemas resueltos:

1.Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un rectángulo de dimensiones 4 y 5 m y cuya altura es 12.

Desarrollo:

4

5

122

T L baseA A A

L

perímetroA h

base

218 12 216

LA m

2 2216 2 20

TA m m

baseV A h

220 12V m m

3240V m

2256

TA m

2.Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un triángulo regular de dimensiones de 4 m de lado y 10m de altura.

Desarrollo: L

perímetroA h

base

2T L base

A A A

Hallan do el área de la base:

44

4

10

2 212 10 120

LA m m

23

4

LA

24 3A m

2 2120 2 4 3

TA m m

2 2120 8 3

TA m m

28 15 3

TA m

24 3 10V m m

340 3V m

3.Encuentra la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son:5, 3 y 2 m.

Desarrollo:

5

32

2 2 2d a b c

2 2 25 3 2d

238d m

baseV A h

4.En el prisma regular mostrado, hallar el área total.

3

Desarrollo:

Como la base es un triánguloequilátero, entonces las carasson cuadrados de lado 6.

33

2T L base

A A A

66

6

26 3

18 6 24

TA

18 6 18 3T

A

18 6 3T

A

CILINDRO:Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica y dos planosparalelos secantes a dicha superficie.

Altura

Generatriz

Base

CLASIFICACIÓN DE LOS CILINDROS

1. Cilindro recto:Es el cilindro donde las generatricesson perpendiculares a los planosde las bases.

2. Cilindro oblicuo:Es el cilindro donde las generatricesno son perpendicularesa los planos de las bases.

ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO RECTO

Área lateral (A )L

Área total (A )T

Volumen (V)

A = A + 2AT L Base

A = 2 rgL

Gen

erat

riz

r

g

V = r g2g : Generatrizr : Radio de las bases

ABASE

A = 2 r(g + r)T

Ejemplos diversos

1. Halla el área lateral , total y volumen de un cilindro recto que tiene como baseun círculo de 3 cm de radio 18 cm de altura.

Desarrollo: 2L

A rg

2 3 18L

A

2108

LA cm

2T L base

A A A

2 2108 2 9

TA cm cm

2126

TA cm

2V r g

23 18V

3162V cm

2.Halla el área total del cilindroAB = 13 cm y BC = 5 cm

Desarrollo.

Hallando el radio de la base porPitágoras:

AC = 12 cm

r = 6 cm

2T L base

A A A

2L

A rg

Hallando:

2 6 5L

A 260

LA cm

Halando el área del círculo:

236A cm

2 260 2 36

TA cm cm

2132

TA cm

3.El desarrollo de un cilindro es un rectángulo de base igual 4 cm. Hallar el radio del cilindro.

Desarrollo.

4 cm

2C

L r

4 2 r

2r cm

4.La figura muestra a un cilindro recto de 3 cm de radio y a su desarrollo lateral. Calcular el valor de “b”.

2C

L r

Desarrollo:

2 3b2

6b cm

5.Si la diagonal de un rectángulo es el doble de su ancho y el largo es entonces halla el volumen que se genera cuando el rectángulo gira 360°sobre su mayor lado.

Desarrollo:

6 3

x2x

6 3

Resolviendo por Pitágoras:

X = 6

2V r g

2C

L r

Pide:

g = 6

Hallando el radio:

6 3 2 r

3 3r

Hallando el volumen:

2

3 36V

162V

PIRÁMIDE

Las pirámides a diferencia de los prismastiene una base, que puede ser un polígonode cualquier forma. Las caras laterales sontriángulos, todos ellos tienen un punto encomún que se llama vértice de la pirámide.

Altura:Se llama altura al segmento perpendiculara la base que se traza desde el vértice.

Pirámide regular:si la base es un polígono regular y las aristaslaterales iguales se dice que la pirámide es unapirámide regular.En las pirámides regulares a la altura de cadauno de los triángulos laterales se llamaAPOTEMA.

A = p ApxL Base

p semiperímetro

A = A + AT L BASE

BaseA hx13

V =

PIRÁMIDE REGULAR

ÁREA LATERAL (AL)

ÁREA TOTAL (AT)

VOLUMEN (V)

vértice

Lateral.

Altura.

Base.

Apoltema( Ap )

Ejemplos diversos:

1.La altura de una pirámide regular triangular es 10 m y su base tiene 6 m como perímetro. Hallar su volumen.

Desarrollo:

10

2

Área de la base:

2

22 33

4A m

BaseA hx13

V =

213 10

3V m m

310 3

3

mV

2.La arista básica de la pirámide regular mide 10 cm y el apotema del sólido es de 6 cm. Calcular el área lateral y total del sólido.

Desarrollo:

10

6

La base de la pirámide es un cuadrado de lado 10 cm

.L base

A p ap

A = A + AT L BASE

20 6L

A cm cm2

120L

A cm

22120 10

TA cm cm

2 2120 100

TA cm cm 2

220T

A cm

3.La figura indica el desarrollo de una pirámide triangular regular. Calcular su área lateral.

Desarrollo:

Pide:

P =3

2 2

1 1

3

3ap

3 3L

A

.L base

A p ap

CONO:es el solido que se determina al trazar un plano secante a unasuperficie cónica.

h

r

Vértice

Generatriz

Altura

gh

r

g

h

O

g

r

g

ÁREA LATERAL (AL)

ÁREA TOTAL (AT)

VOLUMEN (V)

A = r.gL

A = r . (g + r)T

r . h13

V =2

h

r

g

g

g

2 r

Desarrollo lateral del cono

2

g

r=

Ejemplos diversos:

1.Hallar la razón entre área lateral y volumen del cono recto, si: r = 4.

r 60°

Desarrollo:

Pide: LA

V

60°

30°

4

8

4 3

A = r.gL

4 8L

A

32L

A

r . h13

V =2

21. 4 4 3

3V

64 3.

3V

La razón es:3

2

2.El radio de la base de un cono mide 4 cm y la altura es de 3 cm. Calcular el valor de su área total y volumen

Desarrollo:

AB

C

4

35

A = r . (g + r)T

4 5 4T

A

236

TA cm

r . h13

V =2

214 3

3V

316V cm

3.Si la diferencia de cuadrados entre la generatriz y la altura de un cono recto es 225 dm y la generatriz mide 25 dm, hallar el ángulo de desarrollo de la superficie lateral del cono.

Desarrollo:

h

25

r

Por dato:

2 225 225h

2 2225g h

2625 225h

h = 20 dm

2025

15

53°

37°

Respuesta: 74°

4.En el gráfico halla el volumen del cono de revolución, si el volumen del cilindro es 2

30cm

Desarrollo:

rr2r

340

conoV cm

3 230cm r h

3 230cm r h

214

3cono

V r h

1.4 30

3cono

V3

40cono

V cm

R2R

R

Círculo menor

Círculo mayoro máximo

A = 4 R2

V = 43

R3

ESFERA:es el solido limitado por una superficie en la que todas sus puntos equidistande un punto interior denominado centro.

1.El radio de una esfera es de 6 dm. Calcule su área y volumen.

Ejemplos diversos

Desarrollo:

6

24

esfA R

24 6

esfA

2144

esfA dm

34

3esf

V R

346

3esf

V

3288

esfV dm

2.Halla el volumen de una esferade 10 cm de diámetro.

Desarrollo:

10

r = 5 cm

3100

3esf

V cm

345

3esf

V

3100

3esf

V cm

2.Halla el volumen de una esferainscrita en un cono equiláterode altura 6m

Desarrollo:

30°

O

r

2r

h = 3r

6 = 3r

r = 2

332

3esf

V cm

342

3esf

V

332

3esf

V cm