Post on 31-Jan-2016
GraficaciónIA7200-T
Algoritmos Clásicos
Graficación 2
Una Línea Ideal
• Solo podemos lograr una aproximación
• Iluminar pixeles tan cerca a la línea ideal como sea posible– Pixel {0,1}
Graficación 3
Linea Ideal
• Recta y continua– Solo es posible a 0 y 45o
• Se debe interpolar• Debe ser eficiente
– Se requiere dibujar muchas!!!
Graficación 4
Linea Simple
Basada en la ecuación:
y = mx + b
Solución:
incrementa x, resuelve para y
Se require aritmética de Punto Flotante
Graficación 5
Funciona?Sí, para líneas con m<=1.
Si m>1, la línea se hace muy discontinua.
Se requiere mas de 1 pixel por columna
Solución? - simetría.
Graficación 6
Modificar algoritmo por octante
o incrementar en x si dy<dx, si no, incrementar en y
Graficación 7
Algoritmo DDA
• DDA = Digital Differential Analyser– Differencias finitas
• Tratar la linea como una ecuación paramétrica en t :
)()(
)()(
121
121
yytyty
xxtxtx
−+=−+=
),(
),(
22
11
yx
yxInicio -Fin -
Graficación 8
Algoritmo DDA
• Empezar en t = 0
• En cada paso, incrementar t en dt
• Elegir un valor para dt
• Asegurar que se nos pasan pixeles:– Implica y
• dt = maximum(dx, dy)
)()(
)()(
121
121
yytyty
xxtxtx
−+=−+=
dt
dyyy
dt
dxxx
oldnew
oldnew
+=
+=
1<dtdx
1<dtdy
Graficación 9
Algoritmo DDAline(int x1, int y1, int x2, int y2)
{float x,y;int dx = x2-x1, dy = y2-y1;int n = max(abs(dx),abs(dy));float dt = n, dxdt = dx/dt, dydt = dy/dt;
x = x1;y = y1;while( n-- ) {
point(round(x),round(y));x += dxdt;y += dydt;}
}
n – rango de t.
Graficación 10
Algoritmo DDA
• Aun se necesitan muchas operaciones de PF.– 2 ‘round’s y 2 adds por pixel.
• Hay una manera más simple?
• Podemos usar solo aritmética entera?– Mas fácil de implementar en hardware
Graficación 11
Observación en Líneas
while( n-- ) {draw(x,y);move right;if( below line )move up;}
Graficación 12
Arriba o Debajo de la Línea?
• Test para pixel• Escribir la línea en forma implícita:
0),( =++= cbyaxyxF•F<0 para puntos arriba de la línea, F>0 para puntos debajo.
Graficación 13
Testing for the side of a line.
• Need to find coefficients a,b,c.• Recall explicit, slope-intercept form :
• So:
0),( =++= cbyaxyxF
bxdx
dyybmxy +=+= so and
0..),( =+−= cydxxdyyxF
Graficación 14
Variable de Decisión
Pixel anterior(xp,yp)
Posible pixelactual
Posiblespixeles
siguientes
Evaluar F ent M
Se llama variable de decisión
)2
1,1( ++= pp yxFd
M
NE
E
Graficación 15
Variable de Decisión
Evaluatar d para el siguiente pixel. Depende si se elige E o NE:
Si se elige E:
cybxayxFd ppppnew ++++=++= )21
()2()21
,2(
Recuerden:
cybxa
yxFd
pp
ppold
++++=
++=
)21
()1(
)21
,1(
Entonces:
dyd
add
old
oldnew
+=+=
M
E
NE
PixelPrevios(xp,yp)
PosiblePixel
Actual
PosiblePixel
Siguiente
Graficación 16
Variable de Decisión
Si se elige NE:
cybxayxFd ppppnew ++++=++= )23
()2()23
,2(
So :
dxdyd
badd
old
oldnew
−+=++=
M
E
NE
PixelPrevios(xp,yp)
PosiblePixel
Actual
PosiblePixel
Siguiente
Graficación 17
Resumen del Algoritmo dePunto Medio
• Elegir entre 2 pixelse en cada iteración, dependiendo del signo de la var. de decisión
• Atualizar la variable de decisión dependiendo de que pixel es elegido
• Comenzar en (x1,y1)
• Calcular en valor inicial de d
Graficación 18
Valor Inicial de d
2
)2
1()1()
2
1,1(
11
1111
bacbyax
cybxayxFdstart
++++=
++++=++=
Pero (x1,y1) es un punto en la línea, F(x1,y1) =0
2/dxdydstart −=
Multiplicar por 2 para remover la fracción no afecta el signo
2),( 11
bayxF ++=
Inicioo: (x1,y1)
Graficación 19
Algoritmo de Bresenham
void MidpointLine(int x1,y1,x2,y2)
{
int dx=x2-x1;
int dy=y2-y1;
int d=2*dy-dx;
int increE=2*dy;
int incrNE=2*(dy-dx);
x=x1;
y=y1;
WritePixel(x,y);
while (x < x2) {if (d<= 0) {
d+=incrE;x++
} else {d+=incrNE;x++;y++;
}WritePixel(x,y);
}}
Graficación 20
Bresenham no fue el final!
Algoritmo doble de Xiaolin Wu:
El programa de dibujado es un autómata (máquina de estados finitos). i.e. Checar los siguientes dos pixeles de la línea.
Solo existen un número finito (pequeño) de posibilidades.
El algoritmo doble explota simetría dibujando simultáneamente de ambos extremos hacia el centro.
Graficación 21
Algoritmo DobleLas posiciones posibles de los dos pixeles siguientes dependen de la pendiente – pixel actual en azul:
0<=m<=½
½<=m<=1
1<=m<=2
m>2
Graficación 22
Círculos
• Podemos usar Bresenham para círculos• Usar simetría 8-tuple
PosiblePixel
Siguiente
M
E
SE
PixelPrevios
PosiblePixel
Actual
Graficación 23
Círculos
• La forma Implícita de un círculo es:
€
Si se elige SE :
dnew = dold + (2x p − 2y p + 5)
dnew = dold + (2x p + 3)
Las Funciones son ecuaciones lineales en términos de
(xp,yp)
–Llamado punto de evaluación
€
f (x, y) = (x − xc )2 + (y − yc )2 − r2