Post on 02-Feb-2016
¿Hay matemáticas en las pajaritas de papel?
José Ignacio Royo Prieto
Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea
Matematika Eguneroko Bizimoduan
Bilbao, 22 de noviembre de 2007
Papiroflexia: pajaritas… ¡y mucho más!
SUPERLÓPEZ
Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)
• Se utiliza un único trozo de papel cuadrado;
• Sólo se puede plegar el papel;
• No se pueden realizar cortes;
• No se puede usar pegamento.
Modelos tradicionales
Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis CarrolBarco de papel
León, leona y cría (David Brill,
Lancaster, Inglaterra)
Mantis religiosa (Ronald Koh, Singapur)
Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)
Rosa (Toshikazu Kawasaki, Japón)
Insectos (Robert Lang, California, EEUU)
Leonardo (Saadya Sternberg, Breesheva, Israel)
Clarinetista
MÚSICOS (Eric Joisel, París, Francia)
¡Hoy es Santa Cecilia!
Bandoneón
Trombón
Percusionista
Flautista
Saxofonista
Violinista
Phoenix
(Satoshi Kamiya,
Nagoya, Japón)
Dragón (Shatoshi Kamiya)
Stegosaurus (Fumiaki Kawahata)
Jedi Master Yoda
(Fumiaki Kawahata)
¿Error de diseño?
¡Diseño correcto!
May the Force be with you…
Máscara de Guy Fawkes y Rosa
(Michael Chan)
Tomoko Fuse
Pájaro aleteador
Origami
Ori = Doblar
Kami= Papel
“Un mago convierte hojas de papel en pájaros”
Grabado en madera japonés de 1818.
“Senbazuru Orikata”
Japón, 1789
Miguel de Unamuno (Zuloaga, 1925)
Escudo del Colegio Mayor Miguel de
Unamuno (Bilbao)
Miguel de Unamuno (Solana, 1933)
Akira Yoshizawa
(1911-2005)
Akira Yoshizawa
Elefantes (Akira Yoshizawa)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
• Diseño de figuras con métodos matemáticos
• Figuras geométricas de papiroflexia
• Herramienta pedagógica
• Problemas clásicos
• …
MatemáticasPapiroflexia
Métodos matemáticos de diseño
Proceso de creación
Caballo(Saadya Sternberg)
Proyección sobre la base de un modelo plano
Mapa de cicatrices y base correspondiente
La sabiduría popular resuelve el problema de Kepler
Foto:Ana
Raposo(Lugo)
Empaquetado de círculos (circle packing)
Langosta (R. Lang)
Treemaker de Robert Lang
Teorema del árbol de Lang
Figura diseñada con Treemaker
Origag
(Roberto Morassi, 1984)
Teselación hexagonal
(Joel Cooper)
TESELACIONES
Nabucodonosor
(Joel Cooper)
Rostro con barba
(Joel Cooper)
Rostro sonriente (Joel Cooper)
rostros
(Joel Cooper)
Poliedros
• Definición: conjunto conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen:
• cada lado de cada cara es compartido con otra cara;
• en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.
Sólidos Platónicos- Definición: Un poliedro convexo es regular si:
-sus caras son polígonos regulares;
-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.
-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:
Cubo OctaedroTetraedro Dodecaedro Icosaedro
Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)
Icosaedro truncado, cuestión de estado.
El balón de la Champions
• Pentágonos• Triángulos• ¿Cuadrados?
Papiroflexia modular
• Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)
• El interés para con las matemáticas es doble:– representación de poliedros y otras figuras;– la construcción nos acerca a las propiedades de
esas figuras.
Clases de módulos
• Por vértices;
• por aristas;
• por caras.
Dualidad de poliedros
Dualidad icosaedro-dodecaedro
Dualidad cubo-octaedro
PoliedrosM.C. Escher
Juan Pedro Rubio (Madrid)
Teoremas de papel
• Teoremas del triángulo
Trisección del ángulo con Origami
Método de Hisashi Abe
Axiomática de Humiaki Huzita
O1
O6
O5
O4
O3
O2
New York Journal of Mathematics, 2000
Eskerrik asko!http://www.ehu.es/joseroyo
Para saber más…http://www.pajarita.org (A.E.P.)
http://www.divulgamat.net
(cultura => matemáticas y papiroflexia)