Post on 16-Apr-2017
Aplicaciones de Matrices y Determinantes
Alumno Heacutector Jaime Franco BlancasEscuela Instituto Tecnoloacutegico de Piedras
Negras Carrera Tecnologiacuteas de la informacioacuten y
ComunicacionesSemestre 3er SemestreMateria Algebra Lineal
Profesor Ingeniero Heacutector Loacutepez
Aplicaciones de MatricesEn una competicioacuten deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categoriacuteasinfantiles cadetes y juveniles El doble del nuacutemero de atletas infantiles por una parte excede en una unidad al nuacutemero de cadetes y por otra coincide con el quiacutentuplo del nuacutemero de juveniles Determina el nuacutemero de atletas
que hay en cada categoriacutea SolucioacutenLlamamos x al nuacutemero de atletas infantiles
y al nuacutemero de atletas cadetesz al nuacutemero de atletas juveniles
Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones dado en economiacutea x representa las perdidas rdquoYrdquo el pago a Z las
ganancias proveedores proveedores con un Determinante que seraacute de 35 representa el impuesto
Soluciones
bull Los determinantes presentan varias aplicaciones Entre ellas destacan las siguientes
bull Proposicioacuten 41(Calculo de rangos) Sea A isinMatnm(K) Entonces el rango
bull de A es r si y solo si existe una sub matriz de A de orden r times r con determinante no nulo
bull y todas las sub matrices de A de orden (r + 1) times (r + 1) tienen determinante 0
bull Tambieacuten sirven los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales como-
bull partibles determinados mediante la llamada Regla de Cramerbull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A)
= n ybull det(A) = 0
bull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A) =
n ybull det(A) = 0 bull Proposicioacuten 43 Sea A Matnn(K) una matriz inversible Entonces A10485761 =isinbull adj(A)t|A|10485761 donde adj(A) es la matriz adjunta de Abull I
APLICACIOacuteN DE MATRICESbull En el contexto de las ciencias son utilizadas como elementos que sirven para clasificar valores numeacutericos
atendiendo a dos criterios o variables
Ejemplo En 4 semanas las dos compantildeiacuteas Hirter y Zipfer necesitan las siguientes
bull cantidades de materia prima de levadura malta y agua (unidades de cantidad ME) bull 1ordf semanabull Hirter 8 ME levadura 4 ME malta 12 ME agua bull Zipfer 6 ME levadura 3 ME malta 12 ME agua bull 2ordf semanabull Hirter 10 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 9 ME levadura 5 ME malta 4 ME agua bull 3ordf semanabull Hirter 7 ME levadura 8 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 7 ME levadura 0 ME malta 5 ME agua bull 4 semanabull Hirter 11 ME levadura 7 ME malta 9 ME agua bull Zipfer 11 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua
RepresentacioacutenLos datos se representan de manera sencilla
Levadura Malta Agua
1 semana 8 4 12
2 semana 10 6 5
3 semana 7 8 5
4 semana 11 7 9
Resumiendo
Hirter
8 4 1210 6 5711
87
59
H =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea Hirter
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
Aplicaciones de MatricesEn una competicioacuten deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categoriacuteasinfantiles cadetes y juveniles El doble del nuacutemero de atletas infantiles por una parte excede en una unidad al nuacutemero de cadetes y por otra coincide con el quiacutentuplo del nuacutemero de juveniles Determina el nuacutemero de atletas
que hay en cada categoriacutea SolucioacutenLlamamos x al nuacutemero de atletas infantiles
y al nuacutemero de atletas cadetesz al nuacutemero de atletas juveniles
Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones dado en economiacutea x representa las perdidas rdquoYrdquo el pago a Z las
ganancias proveedores proveedores con un Determinante que seraacute de 35 representa el impuesto
Soluciones
bull Los determinantes presentan varias aplicaciones Entre ellas destacan las siguientes
bull Proposicioacuten 41(Calculo de rangos) Sea A isinMatnm(K) Entonces el rango
bull de A es r si y solo si existe una sub matriz de A de orden r times r con determinante no nulo
bull y todas las sub matrices de A de orden (r + 1) times (r + 1) tienen determinante 0
bull Tambieacuten sirven los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales como-
bull partibles determinados mediante la llamada Regla de Cramerbull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A)
= n ybull det(A) = 0
bull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A) =
n ybull det(A) = 0 bull Proposicioacuten 43 Sea A Matnn(K) una matriz inversible Entonces A10485761 =isinbull adj(A)t|A|10485761 donde adj(A) es la matriz adjunta de Abull I
APLICACIOacuteN DE MATRICESbull En el contexto de las ciencias son utilizadas como elementos que sirven para clasificar valores numeacutericos
atendiendo a dos criterios o variables
Ejemplo En 4 semanas las dos compantildeiacuteas Hirter y Zipfer necesitan las siguientes
bull cantidades de materia prima de levadura malta y agua (unidades de cantidad ME) bull 1ordf semanabull Hirter 8 ME levadura 4 ME malta 12 ME agua bull Zipfer 6 ME levadura 3 ME malta 12 ME agua bull 2ordf semanabull Hirter 10 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 9 ME levadura 5 ME malta 4 ME agua bull 3ordf semanabull Hirter 7 ME levadura 8 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 7 ME levadura 0 ME malta 5 ME agua bull 4 semanabull Hirter 11 ME levadura 7 ME malta 9 ME agua bull Zipfer 11 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua
RepresentacioacutenLos datos se representan de manera sencilla
Levadura Malta Agua
1 semana 8 4 12
2 semana 10 6 5
3 semana 7 8 5
4 semana 11 7 9
Resumiendo
Hirter
8 4 1210 6 5711
87
59
H =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea Hirter
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones dado en economiacutea x representa las perdidas rdquoYrdquo el pago a Z las
ganancias proveedores proveedores con un Determinante que seraacute de 35 representa el impuesto
Soluciones
bull Los determinantes presentan varias aplicaciones Entre ellas destacan las siguientes
bull Proposicioacuten 41(Calculo de rangos) Sea A isinMatnm(K) Entonces el rango
bull de A es r si y solo si existe una sub matriz de A de orden r times r con determinante no nulo
bull y todas las sub matrices de A de orden (r + 1) times (r + 1) tienen determinante 0
bull Tambieacuten sirven los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales como-
bull partibles determinados mediante la llamada Regla de Cramerbull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A)
= n ybull det(A) = 0
bull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A) =
n ybull det(A) = 0 bull Proposicioacuten 43 Sea A Matnn(K) una matriz inversible Entonces A10485761 =isinbull adj(A)t|A|10485761 donde adj(A) es la matriz adjunta de Abull I
APLICACIOacuteN DE MATRICESbull En el contexto de las ciencias son utilizadas como elementos que sirven para clasificar valores numeacutericos
atendiendo a dos criterios o variables
Ejemplo En 4 semanas las dos compantildeiacuteas Hirter y Zipfer necesitan las siguientes
bull cantidades de materia prima de levadura malta y agua (unidades de cantidad ME) bull 1ordf semanabull Hirter 8 ME levadura 4 ME malta 12 ME agua bull Zipfer 6 ME levadura 3 ME malta 12 ME agua bull 2ordf semanabull Hirter 10 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 9 ME levadura 5 ME malta 4 ME agua bull 3ordf semanabull Hirter 7 ME levadura 8 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 7 ME levadura 0 ME malta 5 ME agua bull 4 semanabull Hirter 11 ME levadura 7 ME malta 9 ME agua bull Zipfer 11 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua
RepresentacioacutenLos datos se representan de manera sencilla
Levadura Malta Agua
1 semana 8 4 12
2 semana 10 6 5
3 semana 7 8 5
4 semana 11 7 9
Resumiendo
Hirter
8 4 1210 6 5711
87
59
H =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea Hirter
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
Soluciones
bull Los determinantes presentan varias aplicaciones Entre ellas destacan las siguientes
bull Proposicioacuten 41(Calculo de rangos) Sea A isinMatnm(K) Entonces el rango
bull de A es r si y solo si existe una sub matriz de A de orden r times r con determinante no nulo
bull y todas las sub matrices de A de orden (r + 1) times (r + 1) tienen determinante 0
bull Tambieacuten sirven los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales como-
bull partibles determinados mediante la llamada Regla de Cramerbull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A)
= n ybull det(A) = 0
bull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A) =
n ybull det(A) = 0 bull Proposicioacuten 43 Sea A Matnn(K) una matriz inversible Entonces A10485761 =isinbull adj(A)t|A|10485761 donde adj(A) es la matriz adjunta de Abull I
APLICACIOacuteN DE MATRICESbull En el contexto de las ciencias son utilizadas como elementos que sirven para clasificar valores numeacutericos
atendiendo a dos criterios o variables
Ejemplo En 4 semanas las dos compantildeiacuteas Hirter y Zipfer necesitan las siguientes
bull cantidades de materia prima de levadura malta y agua (unidades de cantidad ME) bull 1ordf semanabull Hirter 8 ME levadura 4 ME malta 12 ME agua bull Zipfer 6 ME levadura 3 ME malta 12 ME agua bull 2ordf semanabull Hirter 10 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 9 ME levadura 5 ME malta 4 ME agua bull 3ordf semanabull Hirter 7 ME levadura 8 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 7 ME levadura 0 ME malta 5 ME agua bull 4 semanabull Hirter 11 ME levadura 7 ME malta 9 ME agua bull Zipfer 11 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua
RepresentacioacutenLos datos se representan de manera sencilla
Levadura Malta Agua
1 semana 8 4 12
2 semana 10 6 5
3 semana 7 8 5
4 semana 11 7 9
Resumiendo
Hirter
8 4 1210 6 5711
87
59
H =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea Hirter
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
bull Los determinantes presentan varias aplicaciones Entre ellas destacan las siguientes
bull Proposicioacuten 41(Calculo de rangos) Sea A isinMatnm(K) Entonces el rango
bull de A es r si y solo si existe una sub matriz de A de orden r times r con determinante no nulo
bull y todas las sub matrices de A de orden (r + 1) times (r + 1) tienen determinante 0
bull Tambieacuten sirven los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales como-
bull partibles determinados mediante la llamada Regla de Cramerbull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A)
= n ybull det(A) = 0
bull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A) =
n ybull det(A) = 0 bull Proposicioacuten 43 Sea A Matnn(K) una matriz inversible Entonces A10485761 =isinbull adj(A)t|A|10485761 donde adj(A) es la matriz adjunta de Abull I
APLICACIOacuteN DE MATRICESbull En el contexto de las ciencias son utilizadas como elementos que sirven para clasificar valores numeacutericos
atendiendo a dos criterios o variables
Ejemplo En 4 semanas las dos compantildeiacuteas Hirter y Zipfer necesitan las siguientes
bull cantidades de materia prima de levadura malta y agua (unidades de cantidad ME) bull 1ordf semanabull Hirter 8 ME levadura 4 ME malta 12 ME agua bull Zipfer 6 ME levadura 3 ME malta 12 ME agua bull 2ordf semanabull Hirter 10 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 9 ME levadura 5 ME malta 4 ME agua bull 3ordf semanabull Hirter 7 ME levadura 8 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 7 ME levadura 0 ME malta 5 ME agua bull 4 semanabull Hirter 11 ME levadura 7 ME malta 9 ME agua bull Zipfer 11 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua
RepresentacioacutenLos datos se representan de manera sencilla
Levadura Malta Agua
1 semana 8 4 12
2 semana 10 6 5
3 semana 7 8 5
4 semana 11 7 9
Resumiendo
Hirter
8 4 1210 6 5711
87
59
H =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea Hirter
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
bull Tambieacuten sirven los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales como-
bull partibles determinados mediante la llamada Regla de Cramerbull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A)
= n ybull det(A) = 0
bull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A) =
n ybull det(A) = 0 bull Proposicioacuten 43 Sea A Matnn(K) una matriz inversible Entonces A10485761 =isinbull adj(A)t|A|10485761 donde adj(A) es la matriz adjunta de Abull I
APLICACIOacuteN DE MATRICESbull En el contexto de las ciencias son utilizadas como elementos que sirven para clasificar valores numeacutericos
atendiendo a dos criterios o variables
Ejemplo En 4 semanas las dos compantildeiacuteas Hirter y Zipfer necesitan las siguientes
bull cantidades de materia prima de levadura malta y agua (unidades de cantidad ME) bull 1ordf semanabull Hirter 8 ME levadura 4 ME malta 12 ME agua bull Zipfer 6 ME levadura 3 ME malta 12 ME agua bull 2ordf semanabull Hirter 10 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 9 ME levadura 5 ME malta 4 ME agua bull 3ordf semanabull Hirter 7 ME levadura 8 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 7 ME levadura 0 ME malta 5 ME agua bull 4 semanabull Hirter 11 ME levadura 7 ME malta 9 ME agua bull Zipfer 11 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua
RepresentacioacutenLos datos se representan de manera sencilla
Levadura Malta Agua
1 semana 8 4 12
2 semana 10 6 5
3 semana 7 8 5
4 semana 11 7 9
Resumiendo
Hirter
8 4 1210 6 5711
87
59
H =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea Hirter
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
bull Proposicioacuten 42(Regla de Cramer) Sea AX = B donde A Matnn(K)isinbull XB Matn1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado isin
Entonces labull uacutenica solucioacuten del mismo viene dado por xj =bull jCj jbull jAj donde |Cj | es la matriz que se obtienebull a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B para j = 1 nbull Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A) =
n ybull det(A) = 0 bull Proposicioacuten 43 Sea A Matnn(K) una matriz inversible Entonces A10485761 =isinbull adj(A)t|A|10485761 donde adj(A) es la matriz adjunta de Abull I
APLICACIOacuteN DE MATRICESbull En el contexto de las ciencias son utilizadas como elementos que sirven para clasificar valores numeacutericos
atendiendo a dos criterios o variables
Ejemplo En 4 semanas las dos compantildeiacuteas Hirter y Zipfer necesitan las siguientes
bull cantidades de materia prima de levadura malta y agua (unidades de cantidad ME) bull 1ordf semanabull Hirter 8 ME levadura 4 ME malta 12 ME agua bull Zipfer 6 ME levadura 3 ME malta 12 ME agua bull 2ordf semanabull Hirter 10 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 9 ME levadura 5 ME malta 4 ME agua bull 3ordf semanabull Hirter 7 ME levadura 8 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 7 ME levadura 0 ME malta 5 ME agua bull 4 semanabull Hirter 11 ME levadura 7 ME malta 9 ME agua bull Zipfer 11 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua
RepresentacioacutenLos datos se representan de manera sencilla
Levadura Malta Agua
1 semana 8 4 12
2 semana 10 6 5
3 semana 7 8 5
4 semana 11 7 9
Resumiendo
Hirter
8 4 1210 6 5711
87
59
H =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea Hirter
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
APLICACIOacuteN DE MATRICESbull En el contexto de las ciencias son utilizadas como elementos que sirven para clasificar valores numeacutericos
atendiendo a dos criterios o variables
Ejemplo En 4 semanas las dos compantildeiacuteas Hirter y Zipfer necesitan las siguientes
bull cantidades de materia prima de levadura malta y agua (unidades de cantidad ME) bull 1ordf semanabull Hirter 8 ME levadura 4 ME malta 12 ME agua bull Zipfer 6 ME levadura 3 ME malta 12 ME agua bull 2ordf semanabull Hirter 10 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 9 ME levadura 5 ME malta 4 ME agua bull 3ordf semanabull Hirter 7 ME levadura 8 ME malta 5 ME agua bull Zipfer 7 ME levadura 0 ME malta 5 ME agua bull 4 semanabull Hirter 11 ME levadura 7 ME malta 9 ME agua bull Zipfer 11 ME levadura 6 ME malta 5 ME agua
RepresentacioacutenLos datos se representan de manera sencilla
Levadura Malta Agua
1 semana 8 4 12
2 semana 10 6 5
3 semana 7 8 5
4 semana 11 7 9
Resumiendo
Hirter
8 4 1210 6 5711
87
59
H =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea Hirter
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
RepresentacioacutenLos datos se representan de manera sencilla
Levadura Malta Agua
1 semana 8 4 12
2 semana 10 6 5
3 semana 7 8 5
4 semana 11 7 9
Resumiendo
Hirter
8 4 1210 6 5711
87
59
H =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea Hirter
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
Levadura Malta Agua1 Semana 6 3 122 Semana 9 5 43 Semana 7 0 54 Semana 11 6 5
Zipfer
Resumiendo
6 3 129 5 4711
06
55
Z =
Matriz de consumo de la compantildeiacutea de Zipfer
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A donde
A = [ ]
SOLUCION calcule
det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32
+ (- 1)3+3 a33 det A33
= 0 II ndash (- 2) II +0 II= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33
Consideremos el siguiente graacutefico
PODEMOS ENCONTRAR EL AREA DEL TRIANGULO USANDO LOSDETERMINATES x y 1punto1 -2 2 1punto2 1 5 1punto3 6 -1 1
Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos-2 2 11 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 16 -1 1 -1 1 -1 1 5 1= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33