Post on 19-Oct-2020
I. 4.
Observable & Erwartuugswerte
Def . ; Sei SER cine endlich Menge run inoghileu Messergebwissen ,
17:25 → BCH )
ein POVM und SEBCH ) ein Dichte operator . Dann definiert
. e M > := I m Plm ) den" Erwwtungswert
"
undmts
. var ( M ) := ( ⇐ uiplm ) ) - < 17>2 die,
Variauz"
Ben . :° Wir konneu denErwwtungswwt Schreiber als < M > = tr[ st ] with : :[ MMH
MES
• 1st Mein PVM,
daun . ' st die Abbildung ( M
,tm }n ,
) t > A
injekwv durch die Spektralzuleguug von R.
In diesem Fall gilt S = spec ( A ) sowie
var ( M ) : < IT 's - < As'
= : var ( in )
and wir neuuen den hvmitescheu Operator 15"
Observable"
.
( Achtung : Twminoloyie variiut in dv Literature )
Bsp . : 1st 71=62 und beschreibt 5 die Preparation des Spins lines Ehektrous,
daun
entsprecheu die Observable r. .
Tz,
T} den komponenten des Spins bzgl .der drei
Richtuugen in , Raum.
II . Uuscharferelationeu und gemeinsame Messbwkeit
Thin. : [ Robertson
'29 ]
Sind A. BE BCH ) Observable,
daun gilt fir alle Dichteopvutoren SEBCH ) :
var ( A) var ( B ) s. ty / e [ A. B ] > /
"
wobei [ A, B ] .
'
= AB - BA der"
kommutator"
ist.
Beweis : Definiere At := A . e A > I,
I : :B - EB > I.
Danu ist < An s = e I > = 0,
var ( A) = < 12 > - < Is'
= < A2
- 2< As'
# + e A 51 > = var ( A ),
var ( B ) : var ( B )
und [ At, I ] = [ A
, B ] .
Angeuommen 5=14×41 ist rein.
Mit Cauchy - Schwarz & Humitezitat
gilt dann var ( A) var ( B ) = < 4.An 't > it
,I '
4 )
= hit1121154112
>. leant
, BY > 12=1 < t,
EBY > 1
'
= 1 Re et,
I By > It llmet ,IBY > 12
= ÷, let ,
1 II + Biiltsptt, let .[ I. I ]t > 1
'
>. ty / it
,[ A. B ]Y > 12
.
Dies bewist die Aussage fir alle reinen Zustaude . Das dies dann
antomahsch anch fer akc gemischhn Zustaude gilt , folgt aus
" Purifzierung"
( → naiohsk Woche ).
D
° Dies gilt anch wenn A dB die Observable fir Ort und lmpwls sind.
In dem
Fall gilt [ A. B) =i1 ( in Einhciten von A ~ 10.343 's ),
so class
var ( A)"
var ( B)" 2
t I (, Heisenberg's che Uuscharferelakon
"
)
Def .:
Zwei POVMS M;
:25"
→ BLH )
,ietl ? }
,he pen " gemeinsam
messbar"
.
wenu es ein POVM M : 251×5 ' → BIH ) gibt ,so dass
M ( Ix S,
) = M.LI ) ¥I c- S,
M ( S, × ] ) = M
,( ] ) V. 3 c- S
,
Interpretation : M beschreibt line Messing dwen Messergebnisse Pane sind,
so dap
die zuytnorigeu Marginal rvtuluugen idenlisch sind unit den Uvtilnuyn ,
die M,
btw.
M, tefvn ( bei gleiuw Preparation )
.
11 11
2- . B.
s
S > M = s → M,
→
v
Umgemeinsame Messbwkiit und kommntntivitat in Beziehungzn setzen
,
benotigen wir :
Lemma : Sind A. B.CEBCH) so
,
class OEA :B,
dann giltBC : 0 ⇒ AC :O
.
Beweis : BC :O ⇒ C+ Bc =0
Mit o= (it Bc 7 C
+
A C ' . 0 gilt dann
0 : C*
AC : ( A c)+
( AC ) and damit AC = 0.
Folglich anch AC :O . 17
Thin.
: Zwei PVMS M;
: 2£' → BCH )
, it 17,2 },
sind gemeinsam messbwg.
d. w . :
[ M,
( I,
).
17,
( I. ) ] : 0 V. I; e zs:
.
Beweis :
"
⇐"
MCI ) := [ M.
" ' this ) vfillt die gewiuschten Ggenschaften
,( i. JIEI
da M, II. 117 ,lIz ) ' . 0 Winn die Opvntoren kommutrwm
.
I,
:=S,\I,
"
⇒
"
M ,( I,
)M,
( I, ) : M ( I. xs
.) M( 5
, xi,
)
- ( 171 I. ×I, ) + MII .×I ,
) ) ( MII .×I ,It Ml ¥XI
,) )
= M ( I, XI
,
)2
Die drei inbrigeu Twine vuschwinden in Folgedes uorigen Lemmas.
Z. B. : M.LI
,)M
,( I
,)=O => MII
,
× I,) M.LI
,) : 0
⇒ M ( I ,×I ,)M( E. × I
,) :O
.
Dasselbc Argument wit 1 ⇒ 2 vvtanscht fuihrt daun zu
M,
LI,
) M,
( I.
) = Ml I. XI,)
"
: M.LI.
) MZLIZ ). a