Post on 27-Jul-2020
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Determina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
1) una es )(423)( 3 xfxxxf →+−=
2) 2{)(2
1)( −ℜ=→
−= fDom
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
2
1lim)(lim
2
2
22
x
xx
xf
x
x
xx
==−
=
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−
−∞→−∞→=
∞−=
−= 0
12
1lim)(lim
xxf
xx
Por la derecha: +
=∞+
==+∞→+∞→
011
lim)(limx
xfxx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
s asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
asíntotas. tieneno por tanto, y, polinómicafunción una
}2{}02/2 −ℜ==−xx
)( de A.V. es 2
0
1
2
10
1
2
1
xfx =⇒
+∞==−
−∞==−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
derecha lapor y asíntota la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
1
s asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
asíntotas.
encima.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
3) {)(1
)( 2 −ℜ=→−
−= xfDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
1lim)(lim
1
1
211 x
xxf
x
x
xx
==−
−=•
−→
−→
−→−→
+
−
lim
lim
01
1lim)(lim
1
1
211 x
xxf
x
x
xx
=−=−
−=•
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→=Ι
∞+∞+=
−−= )(
1lim)(lim
2x
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→=Ι
∞+∞−=
−−= )(
1lim)(lim
2x
xxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1,1{}01/ 2 −−ℜ==−xx
)( de A.V. es 1
0
1
1
0
1
1
2
2
xfx
x
xx
x
−=⇒
−∞==−
−
+∞==−
−
−
+
+
−
)( de A.V. es 1
01
1lim
01
1lim
2
2
xfx
x
xx
x
=⇒
−∞=−=−
−
+∞=−=−
−
+
−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+
−∞→−∞→=
∞−−=−=−
011
limlim2 xx
xxx
−
+∞→+∞→=
∞+−=−=−
011
limlim2 xx
xxx
derecha lapor y asíntota la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
2
debajo.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
4) {)(3
2)(
2
−ℜ=→−−= fDom
x
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
3
3
2lim)(lim
3
32
33 x
xxxf
x
x
xx
=−=−−=
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
=Ι∞−∞−=
−−=
−∞→−∞→)(
32
lim)(lim2
x
xxxf
xx
Por la derecha:
=Ι∞+∞−=
−−=
+∞→+∞→)(
3
2lim)(lim
2
x
xxxf
xx
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
lim3
2
lim)(
lim
2
=−−
==•∞→∞→∞→ x
x
xx
x
xfm
xxx
131
1lim
3lim)(
3
2lim])([lim
2
−−=
−
−=−
−
=Ι∞∞=
−−=−=•
∞→∞→
∞→∞→
xxx
xx
x
x
xxmxxfn
xx
xx
( de A.O. es 1 Por tanto, fxy −−=
POSICIÓN Izquierda
100
100(2100
yAsíntota
yFunciónx
−=→
−=→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}3{}03/{ −ℜ==−xx
)( de A.V. es 3
0
3
3
2lim
0
3
3
2lim
2
2
xfx
x
xx
x
xx
=⇒
−∞=−=−−
+∞=−=−−
+
−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞=−=−=−∞→−∞→
)(limlim2
xx
xxx
−∞=−=−=+∞→+∞→
)(limlim2
xx
xxx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua
31
12
lim3
2
lim)(3
2lim
22
2
2
2
2
2
2
=−
−=
−
−=Ι
∞∞=
−−
∞→∞→∞
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxxx
110
1
3
2lim
3
2lim)1(
22
−=⇒−=−−
−+−=
+
−−=
−−
∞→∞→
n
x
xxxx
x
xxx
xx
)(x
está )(
991
03,99103
102003100
)100()100 2
xf⇒
=−
≅−
−=−−−−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
3
)
, si tiene asíntota oblicua es la misma por
110110 −=⇒−=
−−
m
3lim
3
32
=−
−=
−∞→ x
xxxx
A.O. la de encimapor está
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Derecha
100100
)100(2100
yAsíntota
yFunciónx
−−=→
=→⇒=
5) {)(21
)( 2 −ℜ=→−+= xfDom
x
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
2
2
1lim)(lim 2
22 x
xxf
xx
+−=−+=•
−→−→
0
12
2
1lim)(lim
222 x
xxf
xx=+=
−+=•
→→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
por está )(
1011
03,101979800
3100)100() 2
xf⇒
−=−
−≅−=−
−
}2,2{}02/ 2 −−ℜ==−xx
0
12
2lim
0
12
2
1lim
1
22
22 x
x
x
x
x
x
x −=⇒
+∞=+−=−
−
−∞=+−=−+
=+
−−→
+−→
+
−
A.V. es 2
0
12
2lim
0
12
2
1lim
22
22 x
x
x
x
x
x
x =⇒
+∞=+=−
−
−∞=+=−+
=
+→
−→
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
4
A.O. la de debajopor
)( de A.V. es 2 xf−
)( de A.V. xf
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
−∞→−∞→=Ι
∞+∞−=
−+= )(
21
lim)(lim 2x
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→=Ι
∞+∞+=
−+= )(
21
lim)(lim 2x
xxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
6) −ℜ=→++= {)(
21
)( 2 xfDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→=Ι
∞+∞−=
++= )(
21
lim)(lim 2x
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→=Ι
∞+∞+=
++= )(
2
1lim)(lim
2x
xxf
xxx
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
−∞→−∞→=
∞−== 0
11limlim 2 xx
xxx
+
+∞→+∞→=
∞+== 0
11limlim 2 xx
xxx
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
ℜ==+ }02/ 2xx
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
−∞→−∞→=
∞−== 0
11limlim 2 xx
xxx
+
+∞→+∞→=
∞+== 0
11limlim
2 xx
xxx
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
5
encima.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
7) {)(84
)(3
2
−ℜ=→+
−= fDomx
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
12
8
4lim)(lim
3
2
22 x
xxxf
x
x
xx
==+
−=
−→
−→
−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→=Ι
∞−∞+=
+−= )(
8
4lim)(lim
3
2
x
xxxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→=Ι
∞+∞+=
+−= )(
84
lim)(lim3
2
x
xxxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor y asíntota la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
}2{}08/{ 3 −−ℜ==+xx
de A.V. es 2
0
12
8
4lim
0
12
8
4lim
3
2
2
3
2
2fx
x
xx
x
xx
−=⇒
+∞==+
−
−∞==+
−
+−
−−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
−∞→−∞→=
∞−=== 0
11limlim
3
2
xx
xxx
+
+∞→+∞→=
∞+=== 0
11limlim
3
2
xx
xxx
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
6
encima.por está derecha
)(x
encima.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
8) {)(1
)(2
2
−ℜ=→−−= xfDom
xx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
011
lim)(lim
0
0
2
2
00 xx
xxf
x
x
xx
=−=−−=•
→
→
→→
lim)(001
lim)(lim12
2
11 xx
xxf
xxx=Ι=
−−=•
→→→
Observación
1)1(
2)(lim1 =⇒
∃/
=∃→ xf
xfx Discontinuidad evitable (“punto en blanco”)
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
)(1
lim)(lim2
2
=Ι∞+∞+=
−−=
−∞→−∞→ xxx xx
xxf
Por la derecha:
)(1
lim)(lim2
2
=Ι∞+∞+=
−−=
+∞→+∞→ xxx xx
xxf
)( de A.H. es 1 xfy =
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1,0{}0/ 2 −ℜ==− xxx
)( de A.V. es 0
011
lim
011
lim
2
2
0
2
2
0xfx
xx
x
xx
x
=⇒
+∞=−=−−
−∞=−=−−
−
+
+
−
121
121lim
)1()1)(1(
lim11
xx
x
xx
xxx
=⇒=+=+=−
+−→
Discontinuidad evitable (“punto en blanco”)
HORIZONTALES
11limlim2
2
==−∞→−∞→ xx x
x
11limlim2
2
==+∞→+∞→ xx x
x
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
7
)
)( de A.V. es NO xf
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
(
1
99,0101009999
)100()100(1)100(
2
2
xf
y
y⇒
=→
==−−−−−=→
por está )(
1
01,19900
9999
100)100(
1)100(2
2
xf
y
y⇒
=
==−
−=
derecha lapor y asíntota la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
8
A.H. la de debajopor está )x
A.H. la de encimapor
encima.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
9) )(2
12)(
2
ℜ=→+
−−= fDomx
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
09
212
lim)(lim2
22 x
xxxf
x
x
xx
==+
−−=−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
Ι∞−∞+=
+−−=
−∞→−∞→(
2
12lim)(lim
2
x
xxxf
xx
Por la derecha:
∞+∞+=
+−−=
+∞→+∞→(
212
lim)(lim2
x
xxxf
xx
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
212
lim)(
lim
2
=+−−
==•+∞→∞→ x
x
xx
x
xfm
xx
5)5(lim5
lim
22
lim])([lim2
−=⇒−=−=−=
+−=−=•
∞→∞→
∞→∞→
nx
x
x
xxmxxfn
xx
xx
( de A.O. es 52 Por tanto, fxy −=
POSICIÓN Izquierda
100(2
100(2100
yAsíntota
yFunciónx
−=→
−=→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}2{−−ℜ
A.V. es 2
09
212
lim
09
212
lim
2
2
2
2x
x
xx
x
xx
x
x −=⇒
+∞==+
−−
−∞==+
−−
+−→
−−→
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−∞===Ι−∞→−∞→
)2(lim2
lim)2
xx
xxx
+∞===Ι+∞→+∞→
)2(lim2
lim)(2
xx
xxx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua
22lim2
lim)(2
12lim 2
2
2
2
===Ι∞∞=
+−−=
∞→∞→∞→ x
x
xx
xxxxx
5
lim2
4212lim2
21 22
−
=
+−−−−=
−−
∞→∞→ x
xxxxx
xxx
)(x
)(
2055)100
09,20598
200992100
1)100()100 2
xf⇒
−=−
−≅−
=+−
−−−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
9
)( de A.V. xf
tiene asíntota oblicua es la misma por
22 =⇒ m
)(3
15lim =Ι
∞∞=
−−−
∞ x
x
A.O. la de debajopor está )
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Derecha
)100(2100
)100(2100
yAsíntota
yFunciónx
=→
=→⇒=
10) )()2(
3)( 2 −ℜ=→
−−= fDom
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
)2(
3lim)(lim
0
2
202 xxf
x
x
xx
=−=−−=
→
→
→→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−
−∞→−∞→=
∞+−=
−−= 0
3
)2(
3lim)(lim
2xxf
xx
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
por está )(
1955)
09,195102
19899
2100
1)100()2
xf⇒
=−
≅=+
−−
}2{}02/{}0)2/({ 2 −ℜ==−−ℜ==− xxxx
( de A.V. es 2
0
3
)2(
3lim
0
3
)2(
3lim
2
22
xfx
x
x=⇒
−∞=−=−−
−∞=−=−−
+
+
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
10
A.O. la de encimapor
}
)x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
+∞→+∞→=
∞+−=
−−= 0
3
)2(
3lim)(lim 2x
xfxx
izquierda lapor tanto; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay
11) {)()1(
2)(
2
2
−ℜ=→+−= fDom
x
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
)1(
2lim)(lim
1
1
2
2
11 x
xxf
x
x
xx
==+−=
−→
−→
−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
2lim
)1(
2lim)(lim
22
2
+=
+−=
−∞→−∞→−∞→ xxx xx
xxf
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
−0
estáfunción la derecha lapor como izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
}1{}01/{}0)1/({ 2 −−ℜ==+−ℜ==+ xxxx
( de A.V. es 1
0
1
)1(
2lim
0
1
)1(
2lim
2
2
1
2
2
1
xfx
x
x
x
x
−=⇒
+∞==+−
+∞==+−
+
+
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
11limlim)(12 2
22
−=−=−=Ι∞+∞−=
++−
−∞→−∞→ xx x
x
x
x
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
11
A.H. la de debajopor
}
)x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
2lim
)1(2
lim)(lim 22
2
+=
+−=
+∞→+∞→+∞→ xxx xx
xxf
)( de A.H. es 1 xfy −=
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf−=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
11limlim)(12
22
22
−=−=−=Ι∞+∞−=
++−
+∞→+∞→ xx x
x
x
x
está )(
1
02,19801
9998
)1100(
)100(22
2
xf
y
y⇒
−=→
−=−=+−
−−=→
por está )(
1
98,010201
9998)1100()100(22
2
xf
y
y⇒
−=
−=−=+
−=
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
12
A.H. la de debajopor está
A.H. la de encimapor
encima.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
12) {)()1(
)(2
3
−ℜ=→+
= fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
)1(lim)(lim
2
3
11 x
xxf
x
x
xx
=−=+
=
−→
−→
−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
=Ι∞+∞−=
+=
−∞→−∞→ x
xxf
xx)(
)1(lim)(lim 2
3
Por la derecha:
=Ι∞+∞+=
+=
+∞→+∞→ x
xxf
xx)(
)1(lim)(lim 2
3
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados. nmxy +=
12lim)(
lim2
3
=++==•∞→∞→ x
xx
x
x
xfm
xx
2lim)(
12
2lim
2lim])([lim
2
2
2
3
−=Ι∞∞=
++−−=
+=−=•
∞→∞→
∞→∞→
xxx
xx
xx
xmxxfn
xx
xx
( de A.O. es 2 Por tanto, xfxy −=
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1{}01/{}0)1/({ 2 −−ℜ==+−ℜ==+ xxxx
de A.V. es 1
0
1
)1(lim
0
1
)1(lim
2
3
1
2
3
1
fx
x
x
x
x
−=⇒
−∞=−=+
−∞=−=+
+−
+−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−∞===++
=−∞→−∞→−∞→
xx
x
xx
xxxxlimlim
12lim 2
3
2
3
+∞===++
=+∞→+∞→+∞→
xx
x
xx
xxxxlimlim
12lim 2
3
2
3
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua
11limlim)(2
lim 3
3
23
3
⇒===Ι∞∞=
++ +∞→∞→∞→ x
x
xxx
xxxx
22)2(lim2
lim12
lim11
2
2
2
3
2
3
−=⇒−=−=
−=
−
++=
−
+
∞→
∞→∞→
nx
x
x
xxx
xx
xx
x
x
xx
)x
debajopor está )(
1022)100.(
02,102)1100(
)100(2
3
xf
y
y⇒
−=−−=→
−≅+−
−=→
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
13
)(x
es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
1=⇒ m
12
2 23
=
++−−
x
xxx
A.O. la de debajo
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
13) )(25
7)( 2 −ℜ=→
−= fDom
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
07
257
lim)(lim255 x
xf
x
x
xx
==−
=•
→
→
−→−→
lim
lim
0
7
25
7lim)(lim
5
5
255 xxf
x
x
xx
==−
=•
→
→
→→
+
−
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
está )(
982100
03,9810201
1000000)1100(
)100(2
3
xf
y
y⇒
=−=
≅=+
=
}5,5{}025/{ 2 −−ℜ==−xx
de A.V. es 5
07
257
lim
07
257
lim
25
25
fx
x
x −=⇒
−∞==−
+∞==−
−−→
+−→
+
−
)( de A.V. es 5
0
7
25
7lim
0
7
25
7lim
2
2
xfx
x
x =⇒
+∞==−
−∞==−
+
−
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
14
A.O. la de encimapor está
)(xf
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
+
−∞→−∞→=
∞+=
−= 0
7
25
7lim)(lim
2xxf
xx
Por la derecha:
+
+∞→+∞→=
∞+=
−= 0
7
25
7lim)(lim
2xxf
xx
izquierda lapor tanto; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
14) −ℜ=→+
= {)(4
)(2
4
xfDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
=Ι∞+∞+=
+=
−∞→−∞→ 2
4
)(4
lim)(limx
xxf
xxx
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+
+
encimapor está )( derecha lapor como izquierda xf
Como hay A.H. no hay A.O.
ℜ==+ }04/ 2xx
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞==−∞→−∞→
22
4
limlim xx
xxx
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
15
A.H. la de encima
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
=Ι∞+∞+=
+=
+∞→+∞→ 2
4
)(4
lim)(limx
xxf
xx
No tiene A.H.
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
lim4lim)(
lim2
4
=+==∞→+∞→∞→ xx
x
x
x
xfm
xxx
ordenadas de eje del
tanto tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
∞=
∞=
±∞→
±∞→
15) {)(16
24)(
2
2
−ℜ=→−
−= fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
028
1624
lim)(lim 2
2
44 x
xxf
xx=−=
−−=•
−→−→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
+∞==+∞→+∞→
22
4
limlim xx
xxx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua
hay nolimlim)(4 3
4
3
4
⇒∞===Ι∞∞=
+ ∞→∞→x
x
x
xx
xxx
OY) (eje ordenadas
rama una derecha lapor como izquierda lapor
}4,4{}016/{ 2 −−ℜ==−xx
A.V. es 4
028
1624
lim
028
1624
lim
2
2
4
2
2
4x
x
x
x
x
x
x −=⇒
+∞=−=−
−
−∞=−=−
−
−−→
+−→
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
16
tiene asíntota oblicua es la misma por
A.O.hay
dirección laen parabólica rama
)( de A.V. xf
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
lim
lim
0
28
16
24lim)(lim
2
2
44 x
xxf
x
x
xx
=−=−
−=•→→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
1624
limlim)(lim2
2
+−=
−−==
−∞→−∞→−∞→ xxx x
xxf
Por la derecha:
)(16
24lim)(lim
2
2
=Ι∞+∞−=
−−=
+∞→+∞→ xx x
xxf
)( de A.H. es 2 xfy −=
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
lapor tanto; )( de A.H. es 2y xf−=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
de A.V. es 4
0
28
16
24lim
0
28
16
24lim
2
2
4
2
2
4x
x
x
x
x
x
x =⇒
−∞=−=−
−
+∞=−=−
−
+→
−→
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
2)2(lim2
lim)(2
2
−=−=−=Ι∞+∞−
−∞→−∞→ xx x
x
2)2(lim2
lim2
2
−=−=−=+∞→+∞→ xx x
x
(
2
003,2998419996
16)100()100(24
2
2
xf
y
y⇒
−=→
−=−=−−
−−=→
está )(
2
003,29984
19996
16)100(
)100(242
2
xf
y
y⇒
−=
−=−=−
−=
debajopor está derecha lapor como izquierda la
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
17
)( xf
A.H. la de debajopor está )x
A.H. la de debajopor está
A.H. la de debajo
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
16) ℜ=→++
−= )(32
1)(
2fDom
xx
xxf
2
12420322 −±−=⇒=++ xxx
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→ ∞+∞−=
++−= (
321
lim)(lim 2 xx
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→ ∞+∞+=
++−= (
32
1lim)(lim
2 xx
xxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ℜ==++−ℜ }032/{ 2 xxx
realsolución 12 ∃/⇒
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
−∞→−∞→===Ι 0
1limlim)( 2 xx
xxx
+
+∞→+∞→===Ι 0
1limlim)(
2 xx
xxx
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
18
encima.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
17) )(32
)(2
ℜ=→−+
= fDomxx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
1
32lim)(lim
211 xx
xxf
xx
==−+
=•→→
0
3
32lim)(lim
213 xx
xxf
xx=−=
−+=•
→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→ ∞+∞−=
−+= (
32lim)(lim
2 xx
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→ ∞+∞+=
−+= (
32lim)(lim 2 xx
xxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}3,1{}032/{ 2 −−ℜ==−+−ℜ xxx
de A.V. es 1
0
1
32lim
0
1
32lim
21
21x
xx
xxx
x
x
x =⇒
+∞==−+
−∞==−+
+→
−→
+
−
A.V. es 3
0
3
32lim
0
3
32lim
23
23x
xx
xxx
x
x
x −=⇒
+∞=−=−+
−∞=−=−+=
−−→
+−→
+
−
HORIZONTALES
−
−∞→−∞→===Ι 0
1limlim)(
2 xx
xxx
+
+∞→+∞→===Ι 0
1limlim)( 2 xx
xxx
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
19
)( de xf
)( de A.V. xf
encima.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
18) )(2
5)(
2
2
ℜ=→−+
−= fDomxx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
4
2
5lim)(lim
2
2
11 xx
xxf
xx
=−=−+
−=•→→
0
1
2
5lim)(lim
2
2
22 xx
xxf
xx=−=
−+−=•
−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
lim2
5lim)(lim
2
2
==−+
−=−∞→−∞→−∞→ xxx xx
xxf
Por la derecha:
(2
5lim)(lim
2
2
Ι∞+∞+=
−+−=
+∞→+∞→ xx xx
xxf
)( de A.H. es 1 xfy =
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}2,1{}02/{ 2 −−ℜ=−+− xxx
de A.V. es 1
0
4
2
5lim
0
4
2
5lim
2
2
1
2
2
1x
xx
x
xx
x
x
x =⇒
−∞=−=−+
−
+∞=−=−+
−
+→
−→
+
−
A.V. es 2
0
1
2
5lim
0
1
2
5lim
2
2
2
2
2
2x
xx
x
xx
x
x
x −=⇒
+∞=−=−+
−
−∞=−=−+
−
−−→
+−→
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
11limlim)(2
2
===Ι∞+∞+=
−∞→−∞→ xx x
x
11limlim)2
2
===+∞→+∞→ xx x
x
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
20
)( de xf
)( de A.V. xf
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN Izquierda
1
100((
100
yAsíntota
yFunciónx
=→−
=→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
19) −ℜ=→+−= {)(2
2)(
2
2
fDomx
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
está )(0098,1
98989995
2)100()1005)100(
2
2
xf⇒≅=
−−+−−
está )(
1
99,010098
9995
2)100()100(
5)100(2
2
xf
y
y⇒
=
≅=−+
−=
derecha lapor y A.H. la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
ℜ==+ }02/{ 2xx
No tiene A.V.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
21
A.H. la de encimapor está
A.H. la de debajopor está
debajo.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
lim2
2lim)(lim
2
2
++==
+−=
−∞→−∞→−∞→ xxx x
xxxf
Por la derecha:
)(2
2lim)(lim
2
2
=Ι∞+∞+=
+−=
+∞→+∞→ xx x
xxxf
)( de A.H. es 2 xfy =
POSICIÓN Izquierda
2
(
100(2100
yAsíntota
yFunciónx
=→−
−=→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
22lim2
lim)(2
2
===Ι∞+∞+
−∞→−∞→ xx x
x
22lim2
lim2
2
===+∞→+∞→ xx x
x
está )(0096,2
10002
20100
2)100
)100()1002
2
xf⇒≅=
+−−−
está )(
1
99,11000219900
2)100()100()100(2
2
2
xf
y
y⇒
=
≅=+
−=
derecha lapor y A.H. la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
22
A.H. la de encimapor
A.H. la de debajopor está
debajo.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
20) /{)(1
3)(
2
−ℜ=→−
= xfDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
1
3lim
1
3lim
0
3
1
3lim)(lim
1
12
11 x
x
x
xxf
x
x
xx
−
−==−
=
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
=Ι∞+∞+=
−=
→−∞→−∞→lim)(
1
3lim)(lim
2
x
xxf
xxx
Por la derecha:
=Ι∞−∞+=
−=
→+∞→+∞→lim)(
1
3lim)(lim
2
x
xxf
xxx
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
1
3lim1
3
lim)(
lim
2
−=−==•
∞→+∞→∞→ xx
x
x
xfm
xxx
33)3(lim3
lim
(1
3lim])([lim
2
−=⇒−=−=−
=
−
−=−=•
∞→∞→
∞→∞→
nx
x
x
xmxxfn
xx
xx
de A.O. es 33 Por tanto, fxy −−=
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1{}01/ −ℜ==− x
)( de A.V. es 1
0
3
0
3
2
2
xfx
x
x =⇒
−∞==
+∞==
−
+
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞=−=− −∞→−∞→
)3(lim3
lim2
xx
xx
−∞=−=− +∞→+∞→
)3(lim3
lim2
xx
xx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
3)3(lim3
lim)(3
2
2
2
2
=⇒−=−=−
=Ι∞∞=
− ∞→∞→m
x
x
x
xxx
1
333lim3
1
3lim)3(
222
=
−−+
+
−=
−
∞→∞→ x
xxxx
x
xx
xx
)(xf
está )(
2973)100(3
03,297101
30000
)100(1
)100(3 2
xf
y
y⇒
=−−−=→
≅=−−
−=→
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
23
es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
3−=
)(1
3lim =Ι
∞∞=
−=
∞→ x
xx
A.O. la de encimapor está
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
21) )(642
256)(
2
4
=→−−
−= fDomxx
xxf
−−→=−− 320642 22:2 xxxx
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
255
642
256lim)(lim
2
4
11 xx
xxf
xx
−=−−
−=•−→−→
0
175
642
256lim)(lim
2
4
33 xx
xxf
xx
−=−−
−=•→→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
por está )(
3033)100(3
03,30399
30000
)100(1
)100(3 2
xf
y
y⇒
−=−−=
−≅−
=−
=
}3,1{}0642/{ 2 −−ℜ==−−−ℜ xxx
−==
=±=+±=⇒=1
3
2
162
2
124203
x
xx
0
255
642
256lim
0
255
642
256lim
0
255
2
4
1
2
4
1x
xx
x
xx
x
x
x =⇒
+∞=−=−−
−
−∞=−=−−
−
=
−−→
+−→
+
−
3
0
175
642
256lim
0
175
642
256lim
175
2
4
3
2
4
3x
xx
x
xx
x
x
x =⇒
−∞=−=−−
−
+∞=−=−−
−
=
+→
−→
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
24
A.O. la de debajopor
)( de A.V. es 1 xf−=
)( de A.V. es xf
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
∞+∞+=
−−−=
−∞→−∞→ 2
4
642
256lim)(lim
xx
xxf
xx
Por la derecha:
∞+∞+=
−−−=
+∞→+∞→ 2
4
642
256lim)(lim
xx
xxf
xx
No tiene A.H.
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
642
256
lim)(
lim2
4
=−−−
==∞→∞→ x
xx
x
x
xfm
xx
ordenadas de eje del
tanto tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
∞=
∞=
±∞→
±∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞===Ι∞∞
−∞→−∞→
22
4
2
1lim
2lim)( x
x
xxx
+∞===Ι∞∞
+∞→+∞→
22
4
2
1lim
2lim)( x
x
xxx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
2lim
2lim)(
642
256lim
3
4
23
4
==Ι∞∞=
−−−=
∞→∞→∞→
x
x
x
xxx
xxxx
OY) (eje ordenadas
rama una derecha lapor como izquierda lapor
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
25
es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
A.O.hay no2
⇒∞=x
dirección laen parabólica rama
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
22) )(9
23)(
2
3
ℜ=→−
−−= fDomx
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
20
9
23lim)(lim
2
3
33 x
xxxf
xx
−=−
−−=•−→−→
0
16
9
23lim)(lim
2
3
23 x
xxxf
xx==
−−−=•
−→→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
∞+∞−=
−−−=
−∞→−∞→ x
xxxf
xx(
9
23lim)(lim
2
3
Por la derecha:
∞+∞+=
−−−=
+∞→+∞→ x
xxxf
xx(
9
23lim)(lim
2
3
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
9
23
lim)(
lim2
3
=−−−
==•+∞→∞→ x
x
xx
x
xfm
xx
lim6
lim)(9
6lim
9
3lim])([lim
22
2
3
==Ι∞∞=
−−=
−−=−=•
∞→∞→∞→
∞→∞→
x
x
x
xx
x
xxmxxfn
xxx
xx
)( de A.O. es Por tanto, xfxy =
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}3,3{}09/{ 2 −−ℜ==−−ℜ xx
es 3
0
20
9
23lim
0
20
9
23lim
20
2
3
3
2
3
3x
x
xx
x
xx
x
x −=⇒
+∞=−=−
−−
−∞=−=−
−−
=
−−→
+−→
+
−
A.V. es 3
0
16
9
23lim
0
16
9
23lim
2
3
3
2
3
3x
x
xx
x
xx
x
x =⇒
+∞==−
−−
−∞==−
−−
+→
−→
+
−
HORIZONTALES
−∞===Ι−∞→−∞→
xx
xxxlimlim)(
2
3
+∞===Ι+∞→+∞→
xx
xxxlimlim)(
2
3
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
11limlim)(9
23lim
3
3
3
3
⇒===Ι∞∞=
−−−=
∞→∞→∞→ x
x
xx
xxxxx
006
lim
3lim
9
23lim1
9
2 3
2
3
=⇒=
−−
−
−−−=
−−
∞
∞→∞→
nx
x
xxx
x
xxx
xx
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
26
)( de A.V. es xf
)( de xf
es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
1=⇒ m
9
922
3
=
−+−− xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN Izquierda
100
(
100(100
yAsíntota
yFunciónx
−=→
−=→⇒−=
Derecha
100
100(
)100(100
3
yAsíntota
yFunciónx
=→
=→⇒=
23) )(2)( 1
1
==→= − yDomfDomxf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES
2lim
2lim22lim)(lim
1
1
1
1
1
10
1
1
1
11xf
x
x
x
xx
xx
===−
→
−
→−→→
+
−
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
(06,100
9991
999702
9)100(
2)100(3)1002
3
f⇒−≅−=
−−−−−
está )(06,100
9991
999698
9)100
2)100(32 xf⇒
≅=−
−−
}1{1
1 −ℜ=
−=
x
por )( de A.V. es 1
22
022
0
1
1
0
1
1
xfx =⇒
+∞===
===
∞+
∞−
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
27
A.O. la de debajopor está )(x
A.O. la de encimapor
derecha lapor
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
en punto" 1)1(
0)(lim1 =⇒
∃/
=∃−→ x
f
xfx
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
222lim)(lim 01
1lim
1
1
=== −−−∞→−∞→
−∞→ xx
xx
xxf
Por la derecha:
222lim)(lim 01
1lim
1
1
=== −−+∞→+∞→
+∞→ xx
xx
xxf
)( de A.H. es 1 xfy =
POSICIÓN
Izquierda 100Asíntota
Funciónx
→→⇒−=
Derecha 100yAsíntota
yFunciónx
→→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
blanco"en
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
1=
1=
debajopor está )(1
99,022 101
1
1100
1
xfy
y ⇒=→
≅==→ −−−
encimapor está )(1
007,122 99
1
1100
1
xfy
y ⇒=
≅== −
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
28
A.H. la de debajo
A.H. la de encima
encima.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
24) /{)(1)( 2 =→−= xxfDomxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
=−=−∞→−∞→−∞→
(lim1lim)(lim 22 xxxfxxx
Por la derecha:
=−=+∞→+∞→+∞→
(lim1lim)(lim 22 xxxfxxx
A.H. tieneNO )( xf � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
Por la izquierda: nmxy +=
1)(lim
)(lim
2
=−
−−==•
+∞→−∞→ x
x
x
xfm
xx
[[ ]
1
1lim
1
1lim
lim)(1lim
1lim])([lim
22
22
2
2
−−=
+−−−=
=Ι∞−∞=−−
−=−=•
+∞→+∞→
+∞→+∞→
−∞→−∞→
xxx
xx
xx
xmxxfn
xx
xx
xx
izquierda lapor A.O. es Por tanto, xy −=
POSICIÓN
100(
100(100
yAsíntota
yFunciónx
−−=→−=→
⇒−=
Por la derecha: nmxy +=
1lim
)(lim
2
++=−==•
+∞→+∞→ x
x
x
xfm
xx
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
),1[]1,(}012 +∞∪−−∞=≥−x
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞=∞+=− )12
+∞=∞+=− )12
Como )(xf no tiene A.H. puede que tenga A.O.
limlim)(1
lim22
−=
−=Ι
∞−∞+=
−−=
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
xxxx
] [ ] [
001
1
1
)1(lim
1
)1)(1(
1)(lim1lim)1(1
2
22
2
22
22
=⇒=∞+
−=
+
+−−=
+−+−−−
−−=+−=−−
+∞→
+∞→−∞→
nx
x
x
xx
xxxx
xxxx
x
xx
)( de izquierda xf
A.O. la de debajopor está )(100)100
9,991)100 2
xf⇒=
≅−
11limlimlim)(2
=⇒===Ι∞∞
+∞→+∞→+∞→m
x
x
x
xxxx
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
29
11lim −=⇒−=− +∞→
mx
xx
])
)(1
2
=
+−
=−+
x
x
x
A.O.
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
[
1
1lim
1
1lim
1
)1)(1(lim
1lim])([lim
22
22
2
22
2
−−=
+−−−=
=
+−+−−−=
−=−=•
+∞→+∞→
+∞→
+∞→+∞→
xxx
xx
xx
xxxx
xmxxfn
xx
x
xx
derecha lapor A.O. es Por tanto, xy =
POSICIÓN
100
)100(100
yAsíntota
yFunciónx
=→=→
⇒=
25) /)(1
)(=→
−=
xxfDom
x
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
1lim
1lim)(lim
111 x
x
x
xxf
xxx −=
−=
→→→ +++
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
] [ ] [ ]
001
1
1
1
))1(lim
1lim1lim11
2
222
22
=⇒=∞+
−=
+
=
+−−−=
=−−=−−=−
+∞→
+∞→+∞→
nx
xx
xx
xxxxx
x
xx
)( de derecha xf
A.O. la de debajopor está )(9,991)2
xf⇒≅−
),1(]0,(01
+∞∪−∞=≥
−x
x
( de A.V. es 10
1
1xfx =⇒+∞=∞+== +
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
30
)( =Ι∞−∞=
A.O.
derecha lapor )x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
lim1
lim)(lim−
−=−
=+∞→−∞→−∞→ xx
xxf
xxx
lim)(1
lim)( =−−=Ι
∞−∞−=
−−−∗
∞→+∞→ xx x
x
x
x
Por la derecha:
lim1
lim)(lim−
=−
=+∞→+∞→+∞→ x
x
x
xxf
xxx
limlim)(1
lim)( ==Ι∞+∞+=
−∗
+∞→∞→+∞→ xxx x
x
x
x
)( de A.H. es 1y xf= POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
111
lim1 )(
==−−
−=−
−∗+∞→ x
x
x
xx
11lim ==+∞→x
111 )(
==− ∗
x
11lim =+∞
debajopor está )(
1
995,01100
100xf
y
y⇒
=→
≅−−
−=→
encimapor está )(
1
005,11100
100xf
y
y⇒
=→
≅−
=
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como )(xf tiene A.H. no tiene A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
31
A.H. la de debajo
A.H. la de encima
encima.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
26) )0,1[)(1
)( −=→+= fDomx
xxf
1/{Dominio1 +=→+=• xxxy
ℜ=→=• Dominioxy denominado al anula 0 que ya 0≠x
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
11lim)(lim
0
0
00 x
xxf
x
x
xx
==+=
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha:
→+∞→+∞→=
∞+∞+=+= lim
1lim)(lim
x
xxf
xxx
derecha lapor )( de A.H. es 0y xf=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
),0() +∞∪
),1[}01 +∞−=≥
rdenominado
)( de A.V. es 0
0
11
0
11
xfx
x
x
x
x
=⇒
+∞==+
−∞==+
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES ),0()0,1[)( +∞∪−=fDom
+∞→+∞→
−
+∞→+∞→+∞→==== lim
1limlimlimlim
2
12
12
1
x
xx
x
x
xxxxx
asíntota la de encimapor estáfunción lay derecha
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
32
+=∞+
= 011
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha: Como )(xf tiene A.H. no tiene A.O.
27) −ℜ=→+
−= {)(1
)1()(
2
2
fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
lim1
)1(lim)(lim
2
2
2 −=+
−=−∞→−∞→−∞→ xxx x
x
x
xxf
Por la derecha:
lim1
)1(lim)(lim
2
2
2 −=+
−=+∞→+∞→+∞→ xxx x
x
x
xxf
)( de A.H. es 1 xfy =
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
),0()0,1[)( +∞∪−=fDom
tiene A.H. no tiene A.O.
ℜ==+ }01/{ 2xx
: No tiene A.H.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
11limlim)(1
122
2
2===Ι
∞+∞+=
++−
−∞→−∞→ xx x
x
x
x
11limlim)(1
122
2
2===Ι
∞+∞+=
++−
+∞→+∞→ xx x
x
x
x
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
33
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
28) }0{)(3
1)(
2
−ℜ=→
= fDomxfx
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
3
1
3
1lim)(lim
0
00
22
00xf
x
xx
xx
=
=
=
→
→
→→
+
−
en punto" 0)0(
0)(lim0 =⇒
∃/
=∃+→ x
f
xfx
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
3
1
3
1lim)(lim
2lim
2
=
=
=−∞→
−∞→−∞→
xx
xx
x
xf
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
por está )(
1
02,110001
10201
1)100(
)1100(2
2
xf
y
y⇒
=→
≅=+−
−−=→
debajopor está )(
1
98,010001
9801
1)100(
)1100(2
2
xf
y
y⇒
=
≅=+
−=
derecha lapor y A.H. la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
}
es 0
03
1
3
1
3
1
33
1
3
1
3
1
0
22
0
22
xx
x
=⇒
=
=
=
+∞==
=
=
∞+
∞+∞−
+
−
blanco"en
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
13
10
=
=
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
34
A.H. la de encimapor
A.H. la de debajopor
debajo.por está derecha
izquierda lapor )( de A.V. es xf
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
3
1
3
1lim)(lim
2lim
2
=
=
=+∞→
+∞→+∞→
xx
xx
x
xf
)( de A.H. es 1 xfy =
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
13
10
=
de encimapor está )(
1
02,13
1 100
2
xf
y
y ⇒
=→
≅
=→−
la de debajopor está )(
1
98,03
1 100
2
xf
y
y ⇒
=
≅
=
derecha lapor y A.H. la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
35
A.H. la de
A.H.
debajo.por está derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
29) ℜ=→= − )(2)(21 fDomxf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
+−∞−
−∞→−∞→=== 022lim)(lim
21 x
xxxf
Por la derecha: +−∞−
+∞→+∞→=== 022lim)(lim
21 x
xxxf
lapor y tanto )( de A.H. es 0 xfy =
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
30) ),0()(ln
)( +∞=→= fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
lnlim)(lim
00 x
xxf
xx⇒−∞=∞−== +→→ ++
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda: No hay pues Dom
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
estáfunción la derecha lapor como izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
derecha lapor )( de A.V. es 0 xfx =⇒
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
),0()( +∞=fDom
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
36
A.H. la de encimapor está
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
0)(ln
lim)(lim)(x
xxf
xx=Ι
∞+∞+== +
∗+∞→+∞→
(*) Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha: Como )(xf tiene A.H. no tiene A.O.
31) 1()1,0()(ln
)( ∪=→= fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lnlim
lnlim
0
1
lnlim)(lim
1
1
11
x
xx
x
x
xxf
x
x
xx
===
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha:
)(ln
lim)(limx
xxf
xx+∞=Ι
∞+∞+==
+∞→+∞→
Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
asíntota
función lay derecha lapor )( de A.H. es 0 xfy =⇒
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
),0()( +∞=fDom
tiene A.H. no tiene A.O.
),1+∞
)( de A.V. es 1
0
10
1
xfx =⇒
+∞==
−∞==
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES ),1()1,0()( +∞∪=fDom
derecha lapor de A.H. tieneNO )(xf⇒+∞
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
37
la de encimapor estáfunción
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
limlnlim)(
lim ===•+∞→+∞→+∞→ xx
x
x
x
xfm
xxx
lapor tiene)(0
)(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
=
+∞=
+∞→
+∞→
32) ( ) /{)(4ln)( 2 =→−= xfDomxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0ln()4ln(lim)(lim 2
22xxf
xx=−=•
−→−→ −−
)0ln()4ln(lim)(lim 2
22xxf
xx=−=• +
→→ ++
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
)4ln()4)ln(()( 22 =−=−−=− xxxf
)4ln(lim)(lim 2xxfxx
⇒+∞=−=±∞→±∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
),1()1,0()( +∞∪=fDom
no hay A.H. puede que haya A.O.
por A.O.hay NO01
ln
1lim
ln⇒=
∞+==
⋅ +∞→ xxx
xx
dirección laen parabólica rama una derecha la
),2()2,(}04/ 2 +∞∪−−∞=>−x
izquierda lapor )( de A.V. es 2)0 xfx −=⇒−∞=+
derecha lapor )( de A.V. es 2) xfx =⇒−∞=
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
en que mismo el es
comportamisu por tanto, y, PAR es )()(
∞+⇒= xfxf
A.H. tieneNO )(xf
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
38
derecha lapor
OX) (eje abscisas de eje deldirección
izquierda
derecha
en entocomportami ∞−
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
)4ln()4)ln(()( 22 =−=−−=− xxxf
)4ln(lim
)(lim
2
x
x
x
xfm
xx=−==•
+∞→+∞→
Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
ambospor tiene)(0
)(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
=
+∞=
±∞→
±∞→
33) ℜ=→= − )()(2
fDomexf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
()()(22)( ⇒===− −−− xfxfeexf xx
0lnlim)(lim2
eexf x
xx⇒=== +−∞−
±∞→±∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
en que mismo el es
comportamisu por tanto, y, PAR es )()(
∞+⇒= xfxf
.A.O tieneNO )(0)( xf⇒=Ι∞+∞+
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
dirección laen parabólica rama una lados ambos
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
en entocomportamisu por tanto, y, PAR es )x
lados ambospor
por estáfunción lay ;)( de H. A. es 0 xfy =⇒
: Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
39
en entocomportami ∞−
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
OX) (eje abscisas de eje deldirección
en que mismo el es en ∞+∞−
por asíntota la de encimapor
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
34) →=⇒⋅= − )()(2
2 Dome
xxfexxf
xx
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
0lim)(lim
2
ee
xxf
xxx=∞+=∞+== +∞−−∞→−∞→
Por la derecha:
+
∗+∞→+∞→=
∞+∞+== 0lim)(lim
)(
2
xxx e
xxf
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
de x. derecha lapor )( de A.H. es 0 xfy =
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
nmxy +=
limlim)(
lim
2
x
x
xe
x
x
xfm
x
x
xx===•
+∞→+∞→+∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
de x.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ℜ=)( fDom
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
izquierda lapor A.H. tieneNO )(xf⇒+∞
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
A.H. la de encimapor estáfunción lay derecha
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
A.O tieneNO )(0)(lim)(
2
xfe
x
e
xxxx
⇒=Ι∞+∞+==
⋅ ∗+∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
40
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
.A.O
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
lapor tiene)(0
)(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
=
+∞=
+∞→
+∞→
Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
35) ℜ=→⋅= )()( fDomexxf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:
izquierda lapor )( de A.H. es 0
lim)(0lim)(lim
xfy
exxfx
x
xx
=⇒
=Ι∞⋅=⋅=→−∞→−∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
dirección laen parabólica rama una derecha la
hay A.H. no hay A.O.
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
asíntota la de debajopor estáfunción lay izquierda
1limlim
0lim
)(lim
´
)(
ee
xe
x
e
x
xxHôpitalLxx
xx
x
−=
==Ι
∞+∞−=
−−∞→−−∞→
−
∗−−∞→
−−∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
41
OX) (eje abscisas de eje deldirección
asíntota
01
)(1 =
∞−=
+∞−=
−
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
)()(lim)(lim exxf x
xx+∞⋅+∞=⋅=
+∞→+∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
nmxy +=
limlim)(
limx
ex
x
xfm
x
x
xx=⋅==•
+∞→+∞→+∞→
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
+∞→
+∞→
36) )(1
)( →=⇒⋅= Domx
exfe
xxf
xx
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
01
lim)(lim
0
0
00
x
e
x
e
x
exf
x
x
x
xx
xx
=
====
→
→
→→
+
−
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor A.H. tieneNO )() xf⇒+∞=
hay A.H. no hay A.O.
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
derecha lapor A.O. tieneNO )(xfeex ⇒+∞== ∞+
dirección laen parabólica rama una derecha lapor
}0{)( −ℜ=fDom
)( de A.V. es 0
01
01
xfx =⇒
+∞=
−∞=
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
42
derecha
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
00
lim)(lime
x
exf
x
xx=
∞−=
∞−==
+−∞
−∞→−∞→
Por la derecha:
)(lim)(lime
x
exf
x
xxΙ
∞+∞+=
∞+==
+∞
−∞→+∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
de x.
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
nmxy +=
limlim)(
lim2x
e
xx
e
x
xfm
x
x
x
xx===•
+∞→+∞→+∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
de x.
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
+∞→
+∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
asíntota la de debajopor está
y izquierda lapor )( de H. A. es 00 xfy =⇒−
derecha lapor A.H. tieneNO )())(
xf⇒∞+=∗
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
hay A.H. no hay A.O. Como no hay A.H. puede que haya A.O.
lapor A.O. tieneNO )()()(2
xfx
⇒∞+=Ι∞+∞+=
∗
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
dirección laen parabólica rama una derecha lapor
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
43
función lay
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
derecha la
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
37) →=⇒⋅= − )()( Dome
xxfexxf
xx
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
0lim)(lim
ee
xxf
xxx−∞=∞−=∞−== +∞−−∞→−∞→
Por la derecha:
+
+∞→+∞→=
∞+∞+== 0lim)(lim
xxx e
xxf
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.
derecha lapor )( de A.H. es 0 xfy =
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
nmxy +=
limlim)(
limx
x
xe
x
x
xfm
x
x
xx ⋅===•
−∞→−∞→−∞→
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
−∞→
−∞→
Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ℜ=)( fDom
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
izquierda lapor A.H. tieneNO )(xf⇒−∞
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
A.H. la de encimapor estáfunción lay derecha
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
tieneNO )(0
111lim xf
eee
xxxx
⇒+∞====⋅ +∞−−∞→
dirección laen parabólica rama una izquierda lapor
hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
44
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
.izquierda lapor A.O. tiene
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
38) }0{)()(1
−ℜ=→⋅= fDomexxf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES
derecha lapor )( de A.V. es 0
lim
lim
lim
0lim)(lim 0
0
0
11
00
xfx
eexxf
x
x
x
x
xx
=⇒
=
•
•
=⋅=⋅=
→
→
→
→→+
−
en punto" 0)0(
0)(lim0 =⇒
∃/
=∃+→ x
f
xfx
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
)(lim)(lim1 1
eexxf x
xx=⋅−∞=⋅= ∞−
−∞→−∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}
derecha
lim1
1
lim
lim))((000lim
00000lim
1
0
2
1
2
0
0
0
11
0
11
ee
x
ex
eeex
eeex
x
xrSimplifica
x
x
x
x
+∞====−
⋅−
=Ι+∞⋅=⋅=⋅=⋅
=⋅=⋅=⋅=⋅
∞+
→→
→
+∞+++
−+−∞−−−
++
+
+
+
−
−
blanco"en
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
A.H. tieneNO )(1)()( 0 xfe ⇒−∞=⋅−∞=⋅−∞=
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
45
1lim
´
1
x
eHôpitalL
x
=∞+∞+=
+
izquierda lapor A.H.
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
)(lim)(lim1 1
eexxf x
xx=⋅+∞=⋅= ∞+
+∞→+∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya
nmxy +=
limlim)(
lim
1
=⋅==•−∞→−∞→−∞→ x
ex
x
xfm
x
x
xx
1lim1
1
lim
lim])([lim
01
2
1
2
1
⇒===−
⋅−=
−⋅=−=•
−∞→−∞→
−∞→−∞→
ee
x
ex
exmxxfn
x
x
x
x
x
xx
izquierda lapor A.O. es 1 Por tanto, xy +=
POSICIÓN
100
100100yAsíntota
yFunciónx
−=→−=→⇒−=
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya
nmxy +=
limlim)(
lim
1
=⋅==•+∞→+∞→+∞→ x
ex
x
xfm
x
x
xx
1lim1
1
lim
lim])([lim
01
2
1
2
1
⇒===−
⋅−=
−⋅=−=•
+∞→+∞→
+∞→+∞→
ee
x
ex
exmxxfn
x
x
x
x
x
xx
derecha lapor A.O. es 1 Por tanto, xy +=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
A.H. tieneNO )(1)()( 0 xfe ⇒+∞=⋅+∞=⋅+∞=
no hay A.H. puede que haya A.O.
1101
=⇒==−∞
meex
1
11
lim)(0)()1(lim
11
=⇒
−=Ι⋅−∞=−⋅=
−
−∞→−∞→
n
x
eexx
x
x
x
x
)( de izquierda xf
la de debajopor está )(991
005,99100
1
xfe ⇒−=+
−≅⋅ −
no hay A.H. puede que haya A.O.
1101
=⇒==+∞
meex
1
11
lim)(0)()1(lim
11
=⇒
−=Ι⋅+∞=−⋅=
−
+∞→+∞→
n
x
eexx
x
x
x
x
)( de derecha xf
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
46
derecha lapor A.H.
)(0
01´
=Ι=HôpitalL
A.O. la
)(0
01´
=Ι=HôpitalL
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN
1100
100100100
1
yAsíntota
eyFunciónx
+=→⋅=→⇒=
39) ),0()(ln)( +∞=→⋅= fDomxxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
)( de A.V. es NO 0
)((0lnlim)(lim00
xfx
xxxfxx
=⇒
Ι−∞⋅=⋅= +
→→ ++
en punto" 0)0(
0)(lim0 =⇒
∃/
=∃+→ x
f
xfx
A.V. tieneNO )(xf
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda: No hay ya que Dom
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
A.O. la de encimapor está )(101
005,101100
1
xf⇒=
≅
)
lim1
1
lim)(1
lnlim)
0
2
0´´0
x
x
x
xxxHôpitalLx
=−
=Ι∞+∞−==Ι
→→→ +++
blanco"en
ASÍNTOTAS HORIZONTALES ),0()( +∞=fDom
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
47
A.O.
0)(lim0
2
xx
xx
=−=− −
→ +
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
()(lnlim)(lim xxxfxx
+∞⋅+∞=⋅=+∞→+∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
Por la izquierda: No hay ya que Dom
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya
nmxy +=
limln
lim)(
limx
xx
x
xfm
xxx=⋅==•
+∞→+∞→+∞→
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
+∞→
+∞→
40) ,0()(ln)( 2 +∞=→⋅= fDomxxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
)( de A.V. es NO 0
)((0lnlim)(lim 2
00
xfx
xxxfxx
=⇒
−∞⋅=⋅= +
→→ ++
A.V. tieneNO )(xf
en punto" 0)0(
0)(lim0 =⇒
∃/
=∃+→ x
f
xfx
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda: No hay ya que Dom
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor A.H. tieneNO )() xf⇒+∞=+∞
),0()( +∞=fDom
no hay A.H. puede que haya A.O.
derecha lapor A.O. tieneNO )(lnlim xfx ⇒+∞=+∞
dirección laen parabólica rama una derecha lapor
)+∞
lim2
1
lim)(1
lnlim))(
0
3
0´´
2
0
x
x
x
xxxHôpitalLx
=−
=Ι∞+∞−==Ι
→→→ +++
blanco"en
HORIZONTALES ),0()( +∞=fDom
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
48
derecha
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
02
lim2
lim2
0
3 x
x
xx
=
−=− −
→ ++
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
()(lnlim)(lim 2 xxxfxx
+∞⋅+∞=⋅=+∞→+∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
Por la izquierda: No hay ya que Dom
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya
nmxy +=
limln
lim)(
lim2
x
xx
x
xfm
xxx=⋅==•
→+∞→+∞→
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
+∞→
+∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor A.H. tieneNO )() xf⇒+∞=+∞
),0()( +∞=fDom
no hay A.H. puede que haya A.O.
tieneNO )()()(lnlim xfxx ⇒+∞=+∞⋅+∞=⋅+∞→
dirección laen parabólica rama una derecha lapor
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
49
derecha
derecha lapor A.O. tiene
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Determina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
1)
>
≤=
0 1
0 )(
xsix
xsixxf Dom
ASÍNTOTAS VERTICALES
A.V. es 01lim
0lim
)(lim
0
0
0x
x
x
xf
x
x
x=⇒
+∞=
==
+
−
→
→
→
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
tienenolim)(lim ⇒−∞==−∞→−∞→
xxfxx
• Por la derecha:
y 011
lim)(limx
xfxx
⇒=∞+
==+
+∞→+∞→
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: función una es )(xf
• Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
etermina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
ℜ=)( fDom
)( de derecha lapor A.V. xf
izquierda lapor A.H. tiene
encimapor está )(y derecha lapor A.H. es 0 xf=
izquierda lapor A.O.hay noconstantefunción ⇒
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
50
etermina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
A.H. la de encima
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2)
≥
<+=
− 0 2
0 1
)(
xsi
xsix
x
xfx
Dom
ASÍNTOTAS VERTICALES
122lim
0
11lim
)(lim0
0
0
0=⇒
==
−∞==+=
−
→
−→→
+
−xx
x
xfx
x
x
x
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(1
lim)(lim =Ι∞−∞−=+=
→−∞→−∞→ x
xxf
xxx
Posición: 100Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
• Por la derecha:
222lim)(lim )(xf x
xx==== −∞+∞−−
+∞→+∞→
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
• Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ℜ=)( fDom
izquierda lapor A.V. es 0=
A.H. es 1111
1
11
lim
1
lim =⇒==+
=+
−∞→−∞→yx
x
xxx
x
x
debajopor está )(1
99,0100
1100xf
y
y⇒
=→
=−
+−=→
está )(y derecha lapor A.H. es 00 xfy =⇒= +
Como hay A.H. no hay A.O.
: Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
51
izquierda lapor A.H.
A.H. la de
A.H. la de encimapor está
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
3)
≥−
<+=
1 1
1 3
1
)(2
xsix
x
xsix
xf Dom
ASÍNTOTAS VERTICALES
3
1lim
3
1lim
0
1
3
1lim)(lim
3
3
33
+
+==+
=
−→
−→
−→−→
+
−
x
xx
xf
x
x
xx
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
01
31
lim)(limx
xfxx
⇒=∞−
=+
= −
−∞→−∞→
• Por la derecha:
)(1
lim)(lim2
=Ι∞+∞+=−=
+∞→+∞→ x
xxf
xxx
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
• Por la derecha: Como no hay A.H. puede que hayanmxy +=
lim
1
lim)(
lim
2
=
−
==+∞→+∞→+∞→ x
x
x
x
xfm
xxx
1lim])([lim
2
−=−=+∞→+∞→ x
xmxxfn
xx
derecha lapor A.O. es Por tanto, xy =
Posición: 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}3{)( −−ℜ=fDom
A.V. es 3
0
1
3
0
1
3 −=⇒
+∞==
−∞==
+
−
x
por está )(y izquierda lapor A.H. es 0 xfy =⇒
derecha lapor A.H.hay no limlim2
⇒+∞==+∞→+∞→
xx
xxx
Como hay A.H. no hay A.O.
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
11limlim)(1
lim 2
2
2
2
=⇒===Ι∞+∞+=−
+∞→+∞→+∞m
x
x
x
xxx
1lim
1lim1
222
=
−−=
−−=
−
+∞→+∞→ x
xxx
x
xx
xx
)( de derecha xf
de debajopor está )(
100
99,99100
11002
xf
y
y⇒
=
=−=
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
52
A.H. la de debajopor
derecha
1
001
lim =⇒=−=+∞→
nxx
A.O. la de
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
4)
≥−
<<−
−<+
−
=
1 2
12 2
2 3
)(2
xsix
x
xsi
xsix
x
xf
ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
3
3lim)(lim
3
3
33
+−+
−
==+
−=•
−→
−→
−→−→
+
−
x
xx
x
x
xxf
x
x
xx
2lim
2lim
04
2lim)(lim
2
2
2
22
22
−
−==−
=•
→
→
→→
+
−
x
x
x
x
x
xxf
x
x
xx
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(3
lim)(lim =Ι∞−∞+=
+−=
→−∞→−∞→ x
xxf
xxx
Posición: 100Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}2,2,3{)( −−−ℜ=⇒ fDom
A.V. es 3
0
3
3
0
3
3 −=⇒
+∞==
−∞==
+
−
xx
x
A.V. es 2
04
2
0
4
2 =⇒
+∞==
−∞==
+
−
x
lapor A.H. es 111limlim −=⇒−=−=−−∞→−∞→
yx
xx
por está )(1
03,197
1003100)100(
xfy
y⇒
−=→
−≅−
=+−
−−=→
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
53
izquierda la
A.H. la de debajopor
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Por la derecha:
lim)(2
lim)(lim2
=Ι∞+∞+=
−=
→+∞→+∞→ x
xxf
xxx
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
• Por la derecha: Como no hay A.H. puede que hayanmxy +=
lim2lim)(
lim
2
=−==+∞→+∞→+∞→ x
x
x
x
xfm
xxx
222lim2
lim
2lim])([lim
2
=⇒===
−
−=−=
+∞→+∞→
+∞→+∞→
nx
x
x
xmxxfn
xx
xx
lapor A.O. es 2 Por tanto, xy +=
Posición: 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor A.H.hay nolimlim2
⇒+∞==+∞→+∞→
xx
xx
Como hay A.H. no hay A.O.
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
11limlim)(2 2
2
2
2
⇒===Ι∞+∞+=
− +∞→+∞→+∞m
x
x
xx
xxx
2
2lim
2lim1
222
=
−+−=
−
−=
−
+∞→+∞→ x
xxxx
x
xx
xx
)( de derecha la xf
por está )(
1022100
04,10298
100002100
1002
xf
y
y⇒
=+=
≅=−
=
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
54
derecha
1=
)(2
2lim =Ι
∞+∞+=
−=
+∞→ x
xx
A.O. la de encimapor
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5) 0
43
0 993
)(
2
2
⇒
>−
≤−+
= Dom
xsix
xsix
x
xf
ASÍNTOTAS VERTICALES
(lim)(
0
0
9
93lim)(lim
3233=Ι=
−+=•
−→−→−→ xx
xxf
xxx
Observación
discontinu 3)3(
21
)(lim3 −=⇒
−∃/
−=∃−→ x
f
xfx
3lim
3lim
03
43
lim)(lim
22
22
222
−
−==−
=•
→
→
→→
+
−
x
xx
xf
x
x
xx
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(9
93lim)(lim
2x
xxf
xxxΙ
∞+∞−=
−+=
→−∞→−∞→
• Por la derecha:
03
43
lim)(lim 2xxf
xx=
∞+=
−= +
+∞→+∞→
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
• Por la derecha: Como hay A.H. no hay
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}2,3{)( −−ℜ=fDom
)(lim2
1
3
3lim
)3)(3
)3(333
−=⇒−=−
=+−
+−→−→
xfxxx
xxx
)blanco"en punto(" evitable idaddiscontinu
.A.V es 2
03
43
0
3
4
3
=⇒
+∞==−
−∞==−
+
−
x
debajopor está
por A.H. es 0033
lim3
lim2
yxx
xx
=⇒=∞−
== −
−∞→−∞→
por está )(y derecha lapor A.H. es 0 xfy =⇒
Como hay A.H. no hay A.O.
: Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
55
A.V. es NO 32
1 −=⇒− x
A.H. la de
)(y izquierda lapor xf
A.H. la de encimapor
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
6) 0
1
0 1
)(2
2
⇒
≥−
<−
= Dom
xsix
x
xsix
x
xf
ASÍNTOTAS VERTICALES
01
01
lim
011
lim)(lim
2
0
20
0⇒
=−
=−
+∞==−
=•
+
−
→
+→
→x
x
x
x
x
xf
x
x
x
1lim
1lim
0
1
1lim)(lim
2
1
2
12
11
=−
=−==
−=•
→
→
→→
+
−
x
x
x
x
x
xxf
x
x
xx
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(1
lim)(lim2x
xxf
xxx=Ι
∞+∞+=−=
→−∞→−∞→
• Por la derecha:
lim)(1
lim)(lim2
=Ι∞+∞+=
−=
→+∞→+∞→ x
xxf
xxx
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1{)( −ℜ=fDom
izquierda lapor A.V. es 0=x
A.V. es 1
0
1
0
1
=⇒
+∞==
−∞==
+
−
x
encimapor
A.H. es 0011
limlim2
yxx
xx
=⇒=∞−
−=−=− +
−∞→−∞→
derecha lapor A.H.hay no limlim2
⇒+∞==+∞→+∞→
xx
xx
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
56
A.H. la de
está )(y izquierda lapor A.H. xf
derecha
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Por la derecha: Como no hay A.H. puede que hayanmxy +=
lim1lim)(
lim
2
=−==+∞→+∞→+∞→ x
x
x
x
xfm
xxx
111limlim
1lim])([lim
2
=⇒===
−
−=−=
+∞→+∞→
+∞→+∞→
nx
x
x
xmxxfn
xx
xx
lapor A.O. es 1 Por tanto, xy +=
Posición: 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
7) 0
1
0 3
1
)(
2
⇒
>+
≤+−
= Dom
xsix
x
xsix
x
xh
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
11limlim)( 2
2
2
2
=⇒===Ι∞+∞+=
− +∞→+∞→m
x
x
xx
xxx
lim1
lim1
lim1222
=
−+−=
−
−=
−
→+∞→+∞→ x
xxxx
x
xx
xxx
)( de derecha la xf
por está )(
1011100
01,10199
100001100
1002
xf
y
y⇒
=+=
≅=−
=
}3{)( −−ℜ=fDom
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
57
1
)(1
lim =Ι∞+∞+=
−+∞→ x
x
A.O. la de encimapor
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS VERTICALES
31
lim
31
lim
04
31
lim)(lim
3
3
33
+−+−
==+−=
−→
−→
−→−→
+
−
x
xx
x
x
xxf
x
x
xx
011
lim
31
31
lim)(lim
20
0
0=⇒
+∞==+
=+−
=
+→
→
→
+
−
x
x
xx
x
xf
x
x
x
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(3
1lim)(lim
x
xxf
xxx=Ι
∞+∞+=
+−=
→−∞→−∞→
Posición: 100Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
• Por la derecha:
A.H. la de encimapor
lim)(1
lim)(lim2x
xxf
xxx=Ι
∞+∞+=+=
→+∞→+∞→
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay
• Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
A.V. es 3
04
3
04
3 −=⇒
+∞==
−∞==
+
−
xx
x
derecha lapor A.V. es 0=
izquierda lapor A.H. es 1 )1(limlim yx
xx
−=⇒−=−−∞→−∞→
por está )(1
04,197
101
3100
)100(1xf
y
y⇒
−=→
−≅−
=+−
−−=→
por A.H. es 0011
limlim2
yxx
xx
=⇒=∞+
== +
+∞→+∞→
Como hay A.H. no hay A.O.
: Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
58
)(y izquierda xf
A.H. la de debajopor
está )(y derecha lapor xf