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INDEPENDENCIA LINEAL Y BASES DE ESPECIOS VECTORALES
UNIVERSIDAD SAN CARLOS DE GUATEMALA
MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA
ING. FERNANDO AJIATAS PINTO
201590010 CAJAS CASTRO, HISMAR MANFREDO
215961145 GALICIA CASTILLO, CARLOS EDUARDO
201590009 QUEME MALDONADO, GUSTAVO ADOLFO
201590014 SILIEZAR LOPEZ, RODOLFO GUILLERMO
MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA
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Contenido INTRODUCCIN ................................................................................................................................... 2
INDEPENDENCIA LINEAL ...................................................................................................................... 3
Ejemplo 1:........................................................................................................................................ 3
Ejemplo 2:........................................................................................................................................ 5
Ejemplo 3:........................................................................................................................................ 5
Ejemplo 4:........................................................................................................................................ 6
BASES DE ESPACIO VECTORIALES ........................................................................................................ 9
Definicin ........................................................................................................................................ 9
Observacin..................................................................................................................................... 9
Ejemplo 1:........................................................................................................................................ 9
Ejemplo 2:........................................................................................................................................ 9
Ejemplo 3 ....................................................................................................................................... 10
Teorema 1 ..................................................................................................................................... 11
Teorema 2 ..................................................................................................................................... 11
Teorema 3 ..................................................................................................................................... 13
Teorema 4 ..................................................................................................................................... 15
Teorema 5 ..................................................................................................................................... 16
CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 17
MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA
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INTRODUCCIN Este documento propone actividades que conducen a los estudiantes a elaborar representaciones
de carcter geomtrico aplicando los conceptos de dependencia e independencia lineal. Estas
experiencias tienen un carcter exploratorio dentro del marco de una investigacin y se han
orientado a observar qu elementos distintos a los convencionales podemos detectar cuando se
hace un tratamiento convencional en el estudio de dichos conceptos.
La idea de vector est tomada de la Fsica, donde sirven para representar magnitudes vectoriales
como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en
el plano, de tres componentes en el espacio... Se supone conocida la representacin grfica y
manejo de los vectores de 2 y de 3 . En Matemticas, tratamos de abstraer las propiedades
que caracterizan a los vectores para extenderlas tambin a otro tipo de objetos diferentes de los
vectores de la Fsica.
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INDEPENDENCIA LINEAL
Se dice que los vectores V1, V2, . . . , Vk de un espacio vectorial V generan a V, si cada vector en V
es una combinacin lineal de V1, V2, . . . , Vk. Adems, si se denota por S el conjunto S = {V1, V2, .
. . , Vk}, se dice tambin que S genera a V, o que {V1, V2, . . . , Vk} genera a V, o que V es
generado por S
El procedimiento para establecer si los vectores V1, V2, . . . , Vk generan el espacio vectorial V es
como sigue.
Paso 1. Seleccione un vector arbitrario v en V.
Paso 2. Determine si v es una combinacin lineal de los vectores dados. Si lo es, los vectores
dados generan a V; si no, los vectores dados no generan a V.
Ejemplo 1: Sea V el espacio vectorial R3 y sean
V1= (1, 2, 1), V2=(1,0,2) y V3=(1,1,9)
Los vectores V1, V2 y V3 generan a V?
Solucin:
Paso 1: sea v = (a, b, c) un vector arbitrario en R3 (es decir, donde a, b y c son nmeros reales
arbitrarios).
Paso 2: debemos examinar si v esa combinacin lineal de los vectores dados, es decir, si existen
constantes c1, c2 y c3 tales que c1v1 + c2v2 + c3v3 = v
Dado que existe una solucin para cualquier eleccin de a, b y c, se concluye que c1, c2 y c3 generan
a R3 .
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1. Demostrando que:
{ [
] [
] [
] }
Genera el subespacio de M22 formado por las matrices simtricas. Solucin
Paso 1. Una matriz simtrica arbitraria de 2 x 2, tiene la forma
[
]
Donde a, b y c son son nmeros reales cualesquiera.
Paso 2. Se debe encontrar constantes d1, d2 y d3 tales que
[
] [
] [
] [
]
Lo cual conduce a un sistema lineal cuya solucin es (verifique)
d1 = a, d2 = b y d3 = c.
Como hemos encontrado una solucin para toda eleccin de a, b y c, concluimos que S genera al
sub espacio dado
Los vectores v1, v2, . . . , vk en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si existen
constantes c1, c2, . . . , ck no todas iguales a cero, tales que c1v1 + c2v2 + + ckvk = 0. (1)
En caso contrario, se dice que v1, v2, . . . , vk, son linealmente independientes; esto es, v1, v2, .
. . , vk son linealmente independientes si siempre que c1v1 + c2v2 + + ckvk = 0, debemos tener,
necesariamente, que c1 = c2 = = ck = 0.
En otras palabras, v1, v2, . . . , vk, son linealmente independientes si la nica combinacin
lineal de v1, v2, . . . , vk que da como resultado el vector cero es aquella en la que todos los
coeficientes son cero. Si S = {v1, v2, . . . , vk}, se dice que el conjunto S es linealmente
dependiente o linealmente independiente segn si los vectores de S tienen la correspondiente
propiedad.
Observe que, cualesquiera sean los vectores v1, v2, . . . , vk, la ecuacin (1) siempre se cumple si
hacemos igual a cero cada uno de los escalares c1, c2, . . . , ck. El punto importante de la definicin
es si es posible satisfacer la ecuacin (1) con, por lo menos uno de los escalares, diferente de cero.
El procedimiento para determinar si los vectores v1, v2, . . . , vk son linealmente dependientes
o linealmente independientes es como sigue.
Paso 1. Plantee la ecuacin (1), la cual conduce a un sistema homogneo.
Paso 2. Si el sistema homogneo que se obtuvo en el paso 1 tiene slo la solucin trivial, entonces
los vectores dados son linealmente independientes; si tiene una solucin no trivial, entonces los
vectores son linealmente dependientes.
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Ejemplo 2:
Solucin:
Ejemplo 3:
Solucin:
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Ejemplo 4:
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BASES DE ESPACIO VECTORIALES
En esta seccin proseguiremos con el estudio de la estructura de un espacio vectorial V, para lo
cual determinaremos un conjunto mnimo de vectores de V que describa Completamente a V.
Definicin
Los vectores v1, v2, . . . , vk en un espacio vectorial V forman una base para V si (a) v1,v2, . . . , vk
generan a V y (b) v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes.
Observacin Si los vectores v1, v2, . . . , vk forman una base para un espacio vectorial V, ellos son distintos y no
nulos (vea el ejemplo 12 en las seccin 6.3); por esto los escribiremos como un conjunto {v1, v2, . . .
, vk}.
Ejemplo 1:
Los vectores e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) forman una base para R2, los vectores e1, e2 y e3 forman una base
para R3 y, en general, los vectores e1, e2, . . . ,en forman una base para Rn. Cada uno de estos
conjuntos de vectores se llama base natural, base estndar o base cannica para R2, R3 y Rn,
respectivamente.
Ejemplo 2:
Muestre que el conjunto S = {v1, v2, v3, v4}, donde v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (0, 1, 1, 2), v3 = (0, 2, 2, 1) y
v4 = (1, 0, 0, 1), es una base para R4.
Solucin Para mostrar que S es linealmente independiente, formamos la ecuacin
c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 = 0
y resolvemos para c1, c2, c3 y c4. Al sustituir los valores de v1, v2, v3 y v4, obtenemos el sistema lineal
(verifique)
c1 + c4 = 0
c2 + 2c3 = 0
c1 c2 + 2c3 = 0
2c2 + c3 + c4 = 0,
Que tiene como nica solucin c1 = c2 = c3 = c4 = 0 (verifique), lo cual muestra que S es linealmente
independiente. Observe que el coeficiente de la matriz del sistema lineal precedente consiste en
los vectores v1, v2, v3 y v4 escritos en forma de columna.
Para mostrar que S genera a R4, sea v = (a, b, c, d) un vector cualquiera de R4. Debemos encontrar
constantes k1, k2, k3 y k4 tales que
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k1v1 + k2v2 + k3v3 + k4v4 = v.
Cuando se sustituyen v1, v2, v3 v4 y v, es siempre posible hallar una solucin (verifquelo) k1, k2, k3 y
k4 del sistema lineal resultante, para cualesquiera a, b, c, d; por lo tanto, S genera a R4. Se concluye
as que S es una base para R4.
Ejemplo 3
Demuestre que el conjunto S = {t2 + 1, t 1, 2t + 2} es una base para el espacio vectorial P2.
Solucin Debemos mostrar que S genera a V, y que es linealmente independiente. Para probar
que genera a V, sea el polinomio at2 + bt + c un vector arbitrario en V. Determinaremos
Constantes a1, a2 y a3, tales que
at2 + bt + c = a1(t2 + 1) + a2(t 1) + a3(2t + 2)
= a1t2 + (a2 + 2a3)t + (a1 a2 + 2a3).
Dado que los dos polinomios coinciden para todos los valores de t slo si los coeficientes de las
respectivas potencias respectivas de t son iguales, obtenemos el sistema lineal
a1 = a
a2 + 2a = b
a1 a2 + 2a3 = c.
Cuya solucin es
a1 = a, a2 = a + b c
2
, a3 = c + b a
4
Por lo tanto, S genera a V. Para ilustrar este resultado, considere el vector 2t2 + 6t + 13. Aqu, a =
2, b = 6 y c = 13. Al sustituir estos valores en las expresiones precedentes para a1, a2 y a3,
encontramos que
a1 = 2, a2 = 5/2, a3 = 17/4.
Por lo tanto,
2t2 + 6t + 13 = 2(t2 + 1) 5/2(t 1) + 17/4 (2t + 2).
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Para probar que S es linealmente independiente, formamos la combinacin lineal
a1(t2 + 1) + a2(t 1) + a3(2t + 2) = 0.
De ella se deduce que
a1t2 + (a2 + 2a3)t + (a1 a2 + 2a3) = 0.
Una vez ms, esta igualdad se satisface para todos los valores de t slo si
a1 = 0
a2 + 2a3 = 0
a1 a2 + 2a3 = 0.
La nica solucin para este sistema homogneo es a1 = a2 = a3 = 0, es decir, S es linealmente
independiente. En consecuencia, S es una base para P2.
El conjunto de vectores {t n, t n1, . . . , t, 1} forma una base para el espacio vectorial Pn,
denominada base cannica, base estndar o base natural para Pn. En el ejemplo 5 de la
seccin 6.3 se demostr que este conjunto es un generador de Pn. La demostracin de la
independencia lineal de tales vectores se deja como ejercicio (ejercicio T.15).
Teorema 1
Si S = {v1, v2, . . . , vn} es una base para un espacio vectorial V, entonces cada vector en V se
puede escribir de una y slo una forma como combinacin lineal de los vectores en S.
Teorema 2
Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores no nulos en un espacio vectorial V y sea W = gen
S. Entonces, algn subconjunto de S es una base para W.
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Teorema 3
Si S = {v1, v2, . . . , vn} es una base para un espacio vectorial V y T = {w1, w2, . . . , wr}
es un conjunto linealmente independiente de vectores en V, entonces r n.
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COROLARIO
Si S = {v1, v2, . . . , vn} y T = {w1, w2, . . . , wm} son bases para un espacio vectorial, entonces n =
m.
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Teorema 4
Si S es un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensin
finita V, existe una base T para V, que contiene a S. El teorema 6.8 establece que un conjunto
linealmente independiente de vectores en un espacio vectorial V puede extenderse a una
base para V.
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Teorema 5
Sea V un espacio vectorial de dimensin n y sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de n vectores en
V.
(a) Si S es linealmente independiente, entonces es una base para V.
(b) Si S genera a V, entonces es una base para V.
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CONCLUSIONES
Se concluye que el diseo de las actividades se basan en el contexto de las
representaciones geomtricas, que nos brindarn elementos para problematizar la
adquisicin del concepto de combinacin lineal en un primer momento y como una
consecuencia en la segunda etapa de las mismas, el de dependencia e independencia
lineal, reconociendo en ellos, una especial complejidad debido a su carcter abstracto y
as, al llevar a los estudiantes a escenarios geomtricos, podremos, a partir de las
exploraciones realizadas y la recopilacin de los indicios de comprensin o no de dichos
conceptos, para as estructurar preguntas ms precisas sobre la factibilidad de adquisicin
de los conceptos antes referidos mediante el uso de representaciones visuales como una
propuesta alternativa.
un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vaco,
una operacin interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una
operacin externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro.