Post on 05-Apr-2018
Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Civil
INFORME DE TOPOGRAFíA (CI3502)
Informe Taller N° 1: “Método de Cross”
Sección 1
Grupo 8
Nombres Alexis Córdova Ch.
Nicolás Escobar R.
Profesor Iván Bejarano B.
Ayudante Cristóbal Pineda
Fecha Realización Martes 03 de mayo
Fecha Entrega Martes 24 de mayo
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Índice
1. Introducción .................................................................................................................................... 3
2. Cálculos ........................................................................................................................................... 7
3. Análisis de Errores y Conclusiones ................................................................................................ 18
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1. Introducción 1.1. Introducción General
En el presente informe se da a conocer el trabajo realizado durante el primer taller en
terreno del curso de Topografía: Método de Cross.
Esta experiencia permitirá el desarrollar un procedimiento numérico iterativo, el cual será
utilizado para compensar redes cerradas. El método empleado recorrerá los diversos bucles
establecidos durante la realización del ejercicio, realizando reparaciones en los errores que
presenten los desniveles al realizar una NGC, para así minimizar la propagación del error, de
manera que, independiente el camino que se recorra, se obtenga de la sumatoria de desniveles un
valor igual a cero. Para esto, como se mencionó anteriormente, se utilizará el método de
nivelación geométrica cerrada.
El ejercicio se llevó a cabo el día martes 03 de mayo, dando inicio a la experiencia
aproximadamente a las 14:00hrs. La ubicación en donde se realizó fue entre las calles Vergara y
Almirante Latorre, y entre Domeyko y Toesca, siendo en específico, la cuadra de Domeyko con
Vergara la que en este informe presentará la NGC (ver figura 1).Un clima soleado proporcionó
buenas condiciones de trabajo.
Figura 1: Croquis del Terreno
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1.2. Introducción Teórica
Se presentan las fórmulas de cálculo usadas en este informe.
I. Error de cierre circuito cerrado de nivelación:
�� = ∑ ����� − ∑ ����
Donde ii
LAT∑ [m]: Suma de lecturas atrás,
yii
LAD∑ [m]: Suma de lecturas adelante.
II. Error unitario para la compensación de las cotas:
� = ��
n : Número de posiciones instrumentales totales para nivelar el tramo,
ce [m]: Error de cierre,
ue [m]: Error unitario.
III. Error unitario para la compensación de los desniveles:
� = ��∑ �� �� �⁄ ��
||/ cs
iidn∑ [m]: Suma de desniveles sin compensar.
IV. Compensación de los desniveles parciales:
� �� = � �� �⁄ − � ∙ �� �� �⁄ �
csdn
/[m]: Desnivel sin compensar, c
dn [m]: Desnivel compensado.
V. Compensación de las cotas:
��� = ��� �⁄ − � ∙ �
cs
kC
/ [m]: Cota sin compensar,
k : Posición instrumental k-ésima, c
kC [m]: Cota compensada.
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VI. Ángulo de esviaje del Eje de Colimación y la Línea de fe:
���� ≈��
e [m]: Error de estaciones conjugadas,
Dh [m]: Distancia horizontal entre las miras, RADi [rad]: Ángulo de esviaje entre EC y línea de fe.
VII. Propagación de errores:
��(��) = !" # $%$&� ∙ ���'(
VIII. Error Método de las Estaciones Conjugadas:
� = �� + �*2 − ,� + ,*2
AL [m]: Lectura de mira lejana desde primera posición instrumental,
BL [m]: Lectura de mira lejana desde segunda posición instrumental,
Ah [m]: Lectura de mira cercana desde primera posición instrumental,
Bh [m]: Lectura de mira cercana desde segunda posición instrumental.
IX. Corrección Unitaria
∆K = eu· k
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1.3. Metodología empleada en terreno
1.3.1. Método de las Estaciones Conjugadas
Se ubica el nivel del ingeniero en las cercanías de una de las dos miras, las que están
separadas entre ellas a una distancia Dh determinada. Se toman lecturas sobre cada una de las
miras (La y hb), para luego realizar lecturas con el nivel trasladado a las cercanías de la otra mira
(las miras no se deben desplazar cuando se trabaja con este método). Estas nuevas lecturas las
llamaremos ha y Lb.
1.3.2. Método Aplicado para la Nivelación Geométrica Cerrada
Al inicio del taller se observan los puntos de referencia que se usarán durante la
experiencia, en base a estos y a la distancia que existe entre ellos, se determinan puntos de ayuda,
por consiguiente se definirán la cantidad de posiciones instrumentales a realizar. De esta manera
los puntos principales a medir serán PR8, PR7 y PR6. Entre PR8 y PR7 se adicionarán dos puntos
más de medición que se designarán como A y B, mientras que entre PR7 y PR6, sólo se ubicará un
punto adicional identificado como C. Finalmente se realizarán 10 posiciones instrumentales para el
cálculo de desniveles, dos por cada uno de los cinco bucles a desarrollar. En cada bucle se colocan
miras en los extremos y se procede a leer hilos medios en cada una de ellas (es importante hacer
esto respetando el orden), siguiendo lo aprendido en cátedras sobre la NGC.
Al procesar estos datos podemos obtener el desnivel entre dos puntos, utilizando las
fórmulas explicitadas en la introducción teórica.
1.3.2. Método de Cross
1) Se determina la cantidad de bucles a utilizar.
2) Luego de calcular los desniveles a partir de la NGC de cada bucle, se compensan,
respetando el orden impuesto.
3) Una vez compensado todos los bucles, se compensa el bucle completo.
4) El procedimiento se repite hasta que los errores de cierre de cada bucle pequeño
sea menor a 10-4 [m].
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2. Cálculos 2.1. Errores instrumentales (Estaciones Conjugadas)
Mediante el método de estaciones conjugadas se procedió a calcular el error de calaje.
Los datos medidos son:
Ha = 1.366 [m]
Hb = 1.382 [m]
La = 1.37 [m]
Lb = 1.377 [m]
Así, el error de calaje será
e = -0,05[m]
2.2. Registro de los tramos, cálculo del error de cierre
2.2.1. Bucles entre PR8 y PR7
Medidas tomadas en terreno para los tramos nivelados y su cálculo de errores, utilizando las
fórmulas II y III.
La tabla 1 da cuenta de los valores en el primer bucle:
Punto LAT [m] LAD [m] Dns/c (+)[m] Dns/c (-)[m]
PR8 1.94 - - -
A 0.98 0.969 0.971 -
PR8 - 1.949 - 0.969
SUMA 2.92 2.918 0.971 0.969 Tabla 1
./ = 0.002 [m]
.0= 0.001031 [m]
8
Los datos del segundo y tercer bucle son los siguientes:
Punto LAT [m] LAD [m] Dns/c (+)[m] Dns/c (-)[m]
A 1.729 - - -
B 1.584 1.993 - 0.264
PR7 1.195 1.192 0.392 -
B 2.004 1.589 0.394
A - 1.74 0.264
SUMA 6.512 6.514 0.656 0.658 Tabla 2
./= - 0.002 [m]
.0= -0.001522 [m]
2.2.1. Bucles entre PR7 y PR6
Al igual que para los dos bucles del primer tramo, se entregan los datos y se calculan los
errores asociados.
En la tabla 3 están los datos del primer bucle en el segundo tramo:
./ = - 0.001 [m].
.0= -0.002268 [m]
Punto LAT [m] LAD [m] Dns/c (+) [m] Dns/c (-) [m]
PR7 1.501 - - -
C 1.271 1.281 0.220 -
PR7 - 1.492 - 0.221
SUMA 2.772 2.773 0.220 0.221
Tabla 3
9
La tabla 4 entrega datos del segundo bucle:
./ = - 0.002 [m].
.0= -0.017241 [m]
2.3. Compensación error de cierre
2.3.1. Según número de posiciones instrumentales
Para las compensaciones realizadas según el número de posiciones instrumentales, se utilizó
un error unitario distinto al enunciado anteriormente, el cual corresponde al error unitario para la
compensación de cotas. Se presentan todos los bucles en las tablas 5, 6,7 y 8.
• Datos del primer bucle tramo PR8 – A:
./ = 0.002 [m].
1= 2
.0= 0.001 [m]
Punto LAT [m] LAD [m] CI CPs/c [m] k ∆K CPc [m]
PR8 1.94 - 101.94 100.000 0 0 100.000
A 0.98 0.969 101.951 100.971 1 0.001 100.970
PR8 - 1.949 - 100.002 2 0.002 100.000
SUMA 2.92 2.918 - - - - -
Tabla 5
Con esto, se calculó el desnivel como la diferencia de las cotas compensadas, lo que nos entrega un desnivel �2 = 0.970 [8].
Punto LAT [m] LAD [m] Dns/c (+) [m] Dns/c (-) [m]
C 1.520 - - -
PR6 1.535 1.579 - 0.059
C - 1.478 0.057 -
SUMA 3.085 3.057 0.057 0.059
Tabla 4
10
• Datos del segundo y tercer bucle tramo A – B – PR7:
./ = - 0.002 [m].
1= 4
.0= - 0.0005 [m]
Punto LAT [m] LAD [m] CI CPs/c [m] k ∆K CPc [m]
A 1.729 - 101.729 100.000 0 0 100.000
B 1.584 1.993 101.32 99.736 1 -0.0005 99.737
PR7 1.195 1.192 101.323 100.128 2 -0.001 100.129
B 2.004 1.589 101.738 99.734 3 -0.0015 101.736
A - 1.74 - 99.998 4 -0.002 100.000
SUMA 6.512 6.514 - - - - -
Tabla 6
Con esto, se calcula el desnivel como la diferencia de las cotas compensadas, lo que nos entrega un desnivel �2 = 0.129[8], en el tramo A – PR7. Luego se obtiene el desnivel entre PR8 Y PR7 como la suma de los desniveles en cada bucle. Con esto tenemos que: ;.<1=>?@=>A = B. CDD [m].
• Datos del primer bucle tramo PR7 – C:
./ = - 0.001 [m].
1= 2
.0= -0.0005 [m]
Punto LAT [m] LAD [m] CI CPs/c [m] k ∆K CPc [m]
PR7 1.501 - 101.501 100.000 0 0 100.000
C 1.271 1.281 101.491 100.22 1 -0.0005 100.221
PR7 - 1.492 - 99.999 2 -0.001 100.000
SUMA 2.772 2.773 - - - - -
Tabla 7
Con esto, se calcula el desnivel como la diferencia de las cotas compensadas, lo que nos entrega un desnivel �2 = 0.221 [8].
11
• Datos del segundo bucle tramo C – PR6:
./ = - 0.002 [m].
1= 2
.0= -0.001 [m]
Punto LAT [m] LAD [m] CI CPs/c [m] k ∆K CPc [m]
C 1.520 - 101.520 100.000 0 0 100.000
PR6 1.535 1.579 101.476 99.941 1 -0.001 99.942
C - 1.478 - 99.998 2 -0.002 100.000
SUMA 3.085 3.057 - - - - -
Tabla 8
Con esto, se calcula el desnivel como la diferencia de las cotas compensadas, lo que nos entrega un desnivel �2 = −0.058 [8]. Luego se obtiene el desnivel entre PR3 Y PR4 como la suma de los desniveles en cada bucle. Con esto tenemos que: ;.<1=>A@=>G = C. BGH [m].
2.3.2. Según desnivel
Para el cálculo del desnivel compensado se utilizó la fórmula IV y los valores calculados en 2.2.
• Datos del Bucle 1 tramo PR8 – A:
Punto LAT [m] LAD [m] Dn(+)s/c [m] Dn(-)s/c [m] Dnc [m]
PR8 1.94 - - - -
A 0.98 0.969 0.971 - 0.9699
PR8 - 1.949 - 0.969 -0.9699
SUMA 2.92 2.918 0.971 0.969 0.0000 Tabla 9
I.<1=>?@J = C. DGDD [K]
12
• Datos del Bucle 2 tramo A – B – PR7:
Punto LAT [m] LAD [m] Dn(+)s/c [m] Dn(-)s/c [m] Dnc [m]
A 1.729 - - - -
B 1.584 1.993 - 0.264 -0.2635
PR7 1.195 1.192 0.392 - 0.3925
B 2.004 1.589 0.394 -0.3934
A - 1.74 0.264 - 0.2644
SUMA 6.512 6.514 0.656 0.658 0.0000 Tabla 10
I.<1J@=>A = C. BLD [K]
Con testo tenemos que el desnivel entre PR8 y PR7 es
I.<1=>?@=>A = B. CD?D[K]
• Datos del Bucle 1 tramo PR7 – C:
Punto LAT [m] LAD [m] Dn(+)s/c [m] Dn(-)s/c [m] Dnc [m]
PR7 1.501 - - -
C 1.271 1.281 0.220 - 0.2205
PR7 - 1.492 - 0.221 -0.2205
SUMA 2.772 2.773 0.220 0.221 0.0000 Tabla 11
I.<1=>A@M = C. LLCN [K]
• Datos del Bucle 2 tramo C – PR6:
Punto LAT [m] LAD [m] Dn(+)s/c [m] Dn(-)s/c [m] Dnc [m]
C 1.520 - - -
PR6 1.535 1.579 - 0.059 -0.0579
C - 1.478 0.057 - 0.0579
SUMA 3.085 3.057 0.057 0.059 0.0000 Tabla 12
I.<1M@=>G = −C. CNAD [K]
13
Con testo tenemos que el desnivel entre PR7 y PR6 es
I.<1=>A@=>G = C. BGLG[K]
2.4. Compensación de la red según Método de Cross y cotas
Se presentan ahora las cuatro iteraciones resultantes, una en cada tabla
Primera Iteración:
PUNTO dns/c [m]
dnc [m]
PR1
PR2 0,56 0,56143929
PR9 1,361 1,364497988
PR8 -0,5359 -0,534522651
PR1 -1,395 -1,391414627
ec -0,0099 eu -0,00257016
PUNTO dns/c [m]
dnc [m]
PR2
PR3 0,543 0,541934311
PR4 1,372 1,369307321
PR9 -0,543 -0,544065689
PR2 -1,364497988 -1,367175944
ec 0,007502012 eu 0,001962594
PUNTO dns/c [m]
dnc [m]
PR9
PR4 0,544065689 0,541982724
PR5 1,3917 1,386371854
PR6 -0,396 -0,397516092
PR9 -1,525 -1,530838487
ec 0,014765689 eu 0,003828516
PUNTO dns/c [m]
dnc [m]
PR8
PR9 0,534522651 0,524790878
PR6 1,530838487 1,502967315
PR7 -0,4625 -0,470920494
PR8 -1,529 -1,556837699
ec 0,073861138 eu 0,018206474
PUNTO dns/c [m]
dnc [m]
PR1
PR2 0,56143929 0,558340601
PR3 0,541934311 0,538943274
PR4 1,369307321 1,361749856
PR5 1,386371854 1,378720207
PR6 -0,397516092 -0,399710058
PR7 -0,470920494 -0,473519593
PR8 -1,556837699 -1,56543018
PR1 -1,391414627 -1,399094106
ec 0,042363864 eu 0,005519188
Tabla 13: Primera Iteración
14
Segunda Iteración
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR1
PR2 0,558340601 0,558103949
PR9 1,367175944 1,366596469
PR8 -0,524790878 -0,52501331
PR1 -1,399094106 -1,399687109
ec 0,00163156 eu 0,000423848
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR2
PR3 0,538943274 0,54005901
PR4 1,361749856 1,364568989
PR9 -0,541982724 -0,540860696
PR2 -1,366596469 -1,363767302
ec -0,007886064 eu -0,002070228
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR9
PR4 0,540860696 0,538468798
PR5 1,378720207 1,372622964
PR6 -0,399710058 -0,401477734
PR9 -1,502967315 -1,509614028
ec 0,01690353 eu 0,004422393
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR8
PR9 0,52501331 0,525570396
PR6 1,509614028 1,511215866
PR7 -0,473519593 -0,473017146
PR8 -1,56543018 -1,563769116
ec -0,004322435 eu -0,001061091
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR1
PR2 0,558103949 0,558292778
PR3 0,54005901 0,540241734
PR4 1,364568989 1,365030679
PR5 1,372622964 1,373087378
PR6 -0,401477734 -0,401341897
PR7 -0,473017146 -0,472857105
PR8 -1,563769116 -1,563240029
PR1 -1,399687109 -1,399213538
ec -0,002596193 eu -0,000338341
Tabla 14: Segunda Iteración
15
Tercera Iteración
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR1
PR2 0,558292778 0,558688091
PR9 1,363767302 1,364732952
PR8 -0,525570396 -0,525198253
PR1 -1,399213538 -1,39822279
ec -0,002723853 eu -0,000708075
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR2
PR3 0,540241734 0,539948005
PR4 1,365030679 1,364288513
PR9 -0,538468798 -0,538761562
PR2 -1,364732952 -1,365474955
ec 0,002070663 eu 0,000543699
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR9
PR4 0,538761562 0,538861417
PR5 1,373087378 1,373341869
PR6 -0,401341897 -0,401267512
PR9 -1,511215866 -1,510935774
ec -0,000708822 eu -0,000185342
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR8
PR9 0,525198253 0,525193495
PR6 1,510935774 1,510922085
PR7 -0,472857105 -0,472861389
PR8 -1,563240029 -1,563254192
ec 3,68934E-05 eu 9,05976E-06
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR1
PR2 0,558688091 0,558639985
PR3 0,539948005 0,539901512
PR4 1,364288513 1,364171039
PR5 1,373341869 1,373223615
PR6 -0,401267512 -0,401302064
PR7 -0,472861389 -0,472902105
PR8 -1,563254192 -1,563388798
PR1 -1,39822279 -1,398343185
ec 0,00066060 eu 8,61062E-05
Tabla 15: Tercera Iteración
16
Cuarta Iteración
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR1
PR2 0,558639985 0,55855603
PR9 1,365474955 1,36526974
PR8 -0,525193495 -0,52527243
PR1 -1,398343185 -1,39855334
ec 0,00057826 eu 0,00015029
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR2
PR3 0,539901512 0,53990982
PR4 1,364171039 1,36419203
PR9 -0,538861417 -0,53885312
PR2 -1,365269739 -1,36524873
ec -5,86056E-05 eu -1,5389E-05
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR9
PR4 0,538853125 0,5388739
PR5 1,373223615 1,37327655
PR6 -0,401302064 -0,4012866
PR9 -1,510922085 -1,51086385
ec -0,000147409 eu -3,8545E-05
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR8
PR9 0,525272426 0,52529237
PR6 1,510863847 1,51092121
PR7 -0,472902105 -0,47288415
PR8 -1,563388798 -1,56332944
ec -0,00015463 eu -3,797E-05
PUNTO dn s/c [m] dn c [m]
PR1
PR2 0,558556028 0,5585647
PR3 0,539909821 0,5399182
PR4 1,364192033 1,36421321
PR5 1,373276547 1,37329786
PR6 -0,401286595 -0,40128037
PR7 -0,472884149 -0,47287681
PR8 -1,563329436 -1,56330517
PR1 -1,398553341 -1,39853163
ec -0,00011909 eu -1,5523E-05
Tabla 16: Cuarta Iteración
Luego de esta cuarta iteración el método finaliza, pues en el próximo cálculo de errores de
cierre, en todos los bucles, su diferencia será:
�� < 10@P
17
2.5. Determinación de Cotas
Considerando los valores compensados de la última iteración fue posible determinar la
cota a lo largo del circuito.
PUNTO Cota
[m.s.n.m.]
PR1 100
PR2 100,558565
PR3 101,098483
PR4 102,462696
PR5 103,835994
PR6 103,434714
PR7 102,961837
PR8 101,398532
PR1 100
Tabla 17: Cotas
2.6. Propagación de errores
Utilizando la fórmula VII, se procedió a calcular los errores asociados a las mediciones
realizadas en terreno
Qdn = 0.005 [m]
QDN = 0.0089 [m]
Qcota = 0.0181 [m]
Qcotafinale = 0.0217 [m]
18
3. Análisis de Errores y Conclusiones 3.1 Análisis de Errores
La mayoría de los errores calculados en este informe se deben, en gran medida, a la
aproximación visual que se debe hacer para obtener 3 cifras significativas al medir la mira.
Además. , en este terreno, también afecto la presencia de fuertes vientos por momentos, lo que
dificultaba mantener la mira en una posición correcta. Otro factor importante es la irregularidad
del terreno. Cabe señalar, que estos hechos además explican los errores observados al aplicar el
método Cross.
3.1 Resumen de Resultados
Se entrega una tabla con las cotas de cada PR ajustadas a cuatro cifras significativas
PUNTO Cota
[m.s.n.m.]
PR1 100
PR2 100,558565
PR3 101,098483
PR4 102,462696
PR5 103,835994
PR6 103,434714
PR7 102,961837
PR8 101,398532
PR1 100
Tabla 18: Cotas ajustadas a cifras significativas
19
A modo de resumen, una tabla con las cotas relativas
PR1 PR2 PR3 PR4 PR5 PR6 PR7 PR8 PR9
PR1 - 0,5586 - - - - - 1,3985 -
PR2 -0,5586 - 0,5399 - - - - - 1,3653
PR3 - -0,5399 - 1,3642 - - - - -
PR4 - - -1,3642 - 1,3733 - - - -0,5389
PR5 - - - -1,3733 - -0,4013 - - -
PR6 - - - - 0,4013 - -0,4729 - -1,5109
PR7 - - - - - 0,4729 - -1,5633 -
PR8 -1,3985 - - - - - 1,5633 - 0,5253
PR9 - -1,3653 - 0,5389 - 1,5109 - -0,5253 -
Tabla 19: Cotas Relativas
3.3 Conclusiones
Debido a las sucesivas iteraciones para reducir los errores de cierre, el método de Cross
mostro que logra éste objetivo. Es importante señalar, que para aplicar este método es necesario
errores de cierre, de las mediciones individuales, menor a 10@R. En el caso de éste terreno se
logro un error de cierre menor a 10@P (error admisible del método) en la cuarta iteración.
La importancia de éste método es que es muy útil y rápida para calcular desniveles en
terrenos muy ampliar y al existir libertad en las posiciones instrumentales se adapta a muchos
diversos terrenos y no tiene grandes limitantes en este sentido. Todo ello se logra mediante
particionar el problema grande en problemas más pequeños. Así mismo, ocupando bucles se logra
con éxito adaptarse a los accidentes del terreno.
Otro método utilizado en este terreno es la nivelación geométrica cerrada, esta nivelación
es conocida y además entrega buenas estimaciones de los errores de calaje presentes en las
mediciones realizadas.