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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º BachilleratoUnidad 5: Vectores en el plano
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7Vectores en el plano
INTERNET
LECTURA INICIAL
ESQUEMA
Los vectores nos dan información en situaciones como el sentido de avance de una barca o la dirección de un trayecto en bicicleta.
ACTIVIDAD
5
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René Descartes
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Enlace a la biografía de René Descartes
El joven René Descartes y su ingenio se hicieron inmortales. Su idea fue transformar el lenguaje
geométrico a algebraico.
GPS
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Esquema de contenidos
Vectores
Vectores
Coordenadas de un vector
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
Vectores paralelos
Vectores perpendiculares
Distancia entre puntos
Punto medio
Bases
Vectores l.i.
Bases
Sistema de referencia
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Magnitudes escalares y vectoriales
Las magnitudes que quedan definidas mediante un único número se llaman escalares. En las magnitudes vectoriales no basta con dar un valor numérico para determinarlas, sino que necesitamos conocer su dirección y sentido.
SIGUIENTE
Son magnitudes vectoriales: la velocidad, la fuerza, la aceleración, el desplazamiento, el peso, intensidad del campo magnético, …Son magnitudes escalares: la masa, la distancia, el tiempo, la temperatura, la energía, la densidad, el calor, el volumen, la potencia, ...
Una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un valor numérico (módulo), una dirección y un sentido es un VECTOR
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Vectores: definición
Mismo módulo
Misma dirección
Mismo sentido
Geométricamente un vector es un segmento orientado y queda determinado por dos puntos del plano, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo es el extremo, y se escribe:
SIGUIENTE
A
BAB
dirección
AB
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Vectores: definición
Elementos:
Módulo: es la longitud del segmento AB. Se denota
A
BAB
dirección
Mismo módulo
Misma dirección
Mismo sentido
SIGUIENTE
Geométricamente un vector es un segmento orientado y queda determinado por dos puntos del plano, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo es el extremo, y se escribe:
AB
∣⃗AB∣ = d (A ,B )
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Vectores: definición
Elementos:
Módulo: es la longitud del segmento AB. Se denota
Dirección: es la recta sobre la que está situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.
∣⃗AB∣ = d (A ,B )
A
BAB
dirección
Mismo módulo
Misma dirección
Mismo sentido
SIGUIENTE
Geométricamente un vector es un segmento orientado y queda determinado por dos puntos del plano, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo es el extremo, y se escribe:
AB
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Vectores: definición
Elementos:
Módulo: es la longitud del segmento AB. Se denota
Dirección: es la recta sobre la que esta situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.
Sentido: es la forma de recorrer el vector, es decir, fijando cuál de los puntos es el origen y cuál es el extremo.
A
BAB
dirección
Mismo módulo
Misma dirección
Mismo sentido
SIGUIENTE
Dos vectores son equivalentes (equipolentes) cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido
Geométricamente un vector es un segmento orientado y queda determinado por dos puntos del plano, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo es el extremo, y se escribe:
AB
∣⃗AB∣ = d (A ,B )
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Para sumar dos vectores, se toma el primero de ellos y con origen en su extremo ponemos un vector equivalente al segundo.
La suma es otro vector que tiene como origen el origen de y el extremo de .
Operaciones con vectores gráficamente: suma (método de la poligonal)
),( 21 uuu =
),( 21 vvv =
u
v
u
v
SIGUIENTE
uv
u
v
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El método del paralelogramo permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los dos vectores en el origen, de manera que los dos vectores inicien en el mismo punto. Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados se construyen trazando lineas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud.
El vector suma resultante se representa mediante un segmento de recta dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas.
Operaciones con vectores gráficamente : suma. (Método del paralelogramo)
SIGUIENTE
uv
u
v
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Operaciones con vectores gráficamente : Multiplicación de un vector por un número
),( 21 uuu =
u
Para multiplicar un vector por un número real k se multiplica el módulo del vector por el número real, y se mantienen el origen y la dirección del vector. El sentido será igual si k es positivo, y de sentido contrario, si k es negativo.
u
k⋅u , k0
k⋅u , k0
u 2⋅u
u
u
u
−2⋅u⃗
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Operaciones con vectores gráficamente: vector opuesto y vector nulo
El vector nulo , es un vector de módulo cero, sin dirección ni sentido.
Se cumple que : u−u=0
u−1⋅u , k=−1
−u
El opuesto de un vector otro vector la misma dirección y módulo, pero con sentido contrario.
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Operaciones con vectores gráficamente: resta
),( 21 uuu =
),( 21 vvv =
Para restar dos vectores, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de y el extremo en el extremo de .u
v
SIGUIENTE
v
uu
v
−v
u−v=u−v
u−v
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Operaciones con vectores gráficamente: resta
),( 21 uuu =
),( 21 vvv =
Para restar dos vectores, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de y el extremo en el extremo de .u
v
SIGUIENTE
v
uv
u
u−v
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Combinación lineal de vectores (gráficamente)
➔Dos vectores con la misma dirección son l.d.
➔Si tienen distinta dirección, son l.i.
➔Cualquier vector del plano se puede poner como c.l. de dos vectores l.i.:
Dados dos vectores , llamamos combinación lineal de al vectoru y v u y v uv ,∈ℝ
Un vector es c.l. de otros dos vectores , si existen dos números reales, , tales que .u y vw y
w=uvUn conjunto de vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como c.l. de los demás. En caso contrario, decimos que son linealmente independientes.
u
v
u
v
O
w
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Combinación lineal de dos vectores (Gráficamente)
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Bases. Sistema de referencia. Coordenadas de un vector.
u y v
B={u ,v }
Dos vectores forman una base en el plano si son linealmente independientes, y cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base. Se representa por:
w⃗=O⃗P=a u⃗+b v⃗ a ,b∈ℝ
Un sistema de referencia en el plano , está formado por un punto fijo O
y una base B. Se representa: . R={O ,[u ,v ]}
u
v
a u
bv
O
w
i
j
Sistema de referencia cartesiano: a cada punto P se le asocia un vector OP.
P
OP
O
w= OP=5i3j a=5,b=3∈ℝ
R={O ,[i ,j ]}Es una base ortonormal porque sus vectores son perpendiculares, tienen módulo uno y cualquier vector se puede poner como combinación lineal de ellos
Los números a y b, → (a,b) son la coordenadas de respecto a la base B.w⃗
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Coordenadas de un vector en un sistema de referencia cartesiano. Vectores paralelos.
∣AB∣=52−3 2=34=5, 83
En el sistema de referencia cartesiano, un vector, definido por dos puntos A y B, se puede identificar mediante un par de coordenadas y se calculan a partir de las coordenadas de los puntos A y B.
Las coordenadas del vector son las coordenadas del punto extremo menos las del punto origen.
A−1 ,1 B 4 ,−2 }AB=4−−1 ,−2−1 =5,−3
Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección. En coordenadas: u=u1,u2 y v=v1, v2 son paralelos si
u1
v1
=u2
v2
A⃗BA a1,a2 y B b1,b2 v=v1, v2=b1−a1,b2−a2
∣⃗AB∣=√(v1)2+(v2)
2
u 2⋅u
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Para sumar dos vectores, se toma el primero de ellos y con origen en su extremo ponemos un vector equivalente al segundo.
La suma es el vector que tiene como origen el origen de y el extremo de .
Operaciones con coordenadas de vectores: suma (método de la poligonal)
En coordenadas el vector suma se calcula sumando coordenada a coordenada.
),( 21 uuu =
),( 21 vvv =
),(),(),( 22112121 vuvuvvuuvu ++=+=+
u
v
u
v
SIGUIENTE
uv
u
v
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Operaciones con coordenadas de vectores: resta
),( 21 uuu =
),( 21 vvv =
),(),(),( 22112121 vuvuvvuuvu −−=−=−
Para restar dos vectores, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de y el extremo en el extremo de .u
v
SIGUIENTE
v
uu
v
−v
u−v=u−v
En coordenadas el vector resta se calcula restando coordenada a coordenada.
u−v
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Operaciones con coordenadas de vectores: resta
),( 21 uuu =
),( 21 vvv =
),(),(),( 22112121 vuvuvvuuvu −−=−=−
Para restar dos vectores, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de y el extremo en el extremo de .u
v
SIGUIENTE
v
u
En coordenadas el vector resta se calcula restando coordenada a coordenada.
v
u
u−v
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Operaciones con coordenadas de vectores: Multiplicación de un vector por un número
En coordenadas el producto de un número por un vector se calcula multiplicando cada coordenada por el número k.
),( 21 uuu =
k⋅u=k⋅u1 , u2 =k⋅u1 , k⋅u2
u
Para multiplicar un vector por un número real k se multiplica el módulo del vector por el número real, y se mantienen el origen y la dirección del vector. El sentido será igual si k es positivo, y de sentido contrario, si k es negativo.
u
k⋅u , k0
k⋅u , k0
u 2⋅u
u
u
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Operaciones con coordenadas de vectores: vector opuesto y vector nulo
),( 21 uuu = −u=−1⋅u1 , u2 =−u1 ,−u2
El vector nulo , es un vector de módulo cero, sin dirección ni sentido.
Se cumple que : u−u=0
u−1⋅u , k=−1
−u
El opuesto de un vector es otro vector la misma dirección y módulo, pero con sentido contrario.
En coordenadas:
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Operaciones con coordenadas
u⃗=(5,1) v⃗=(−1,4)
Dados los vectores:
w⃗=3 u⃗+2 v⃗=3⋅(5,1)+2⋅(−1,4)
Realiza la siguiente operación:
Aplicando las operaciones con coordenadas, multiplicación de un vector por un número y, suma de vectores:
w=3u2v
w=3u2v
w⃗=3⋅(5,1)+2⋅(−1,4)=(15,3)+(−2,8)
w⃗=(15,3)+(−2,8)=(13,11)
Gráficamente -------------->
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Combinación lineal de vectores
u=5,1 v=−1,4 w=13,11
Calcula para que se verifique que: y
w=uv13,11=⋅5,1⋅−1,4
1º Expresamos la combinación lineal:
2º Igualamos las coordenadas y se obtiene un sistema de ecuaciones:
13=5−11=4 } 52=20−4
11= 4 }63=21=
6321=3
11=34=84=2
w=3u2v
w=uv , ,∈ℝ
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Producto escalar
Se llama producto escalar de dos vectores , y se escribe , al número que resulta de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman
u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos
u y v u⋅v
u⋅v=u1⋅v1u2⋅v2
u⋅v=v⋅u
uv ⋅w=u⋅wv⋅w
Si u⋅v=0 cos=0=90ºu⊥v
1. El producto escalar de dos vectores no nulos es cero solo si los vectores son perpendiculares:
2.El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo:
3.El producto escalar es conmutativo:
4.El producto escalar es distributivo:
5.Expresión en coordenadas del producto escalar:
6.El producto escalar de dos vectores es negativo cuando el ángulo que forman es obtuso.
u⋅v=∣u∣⋅∣v '∣= ∣u∣⋅ proyección de v sobre u
cos=∣v '∣∣v∣∣v '∣=∣v∣cos
u⃗⋅⃗u=∣⃗u∣⋅∣⃗u∣⋅cos0º=∣⃗u∣2
u⃗⋅⃗v=∣⃗u∣⋅∣⃗v∣⋅cos (̂⃗u , v⃗)<0
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cos =u1
∣u∣sen =
u2
∣u∣
u⋅v=u1⋅v1u2⋅v2=∣u∣⋅cos ⋅v1∣u∣⋅sen⋅v2==∣u∣v1⋅cosv2⋅sen=
cos =v1
∣v∣ sen =v2
∣v∣
u⋅v=∣u∣∣v∣⋅cos⋅cos ∣v∣⋅sen ⋅sen =
u⋅v=∣u∣⋅∣v∣cos⋅cos sen ⋅sen =
u⋅v=∣u∣⋅∣v∣coscoscos −sen sen sen sen cos cos sen =
u⋅v=∣u∣⋅∣v∣ cos cos cos−cos sen sensen sen cossen cos sen =
u⋅v=∣u∣⋅∣v∣ cos2 cos−cos sen sensen sencos sen2
cos =
u⋅v=∣u∣⋅∣v∣ cos2 cossen2 cos =
u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos cos2sen2
= u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos
Demostración fórmulas producto escalar
1
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Demostración fórmulas producto escalar
Expresamos los vectores en la base canónica B={i ,j }
u=u1,u2=u1⋅iu2⋅j
v=v1, v2=v1⋅iv2⋅j
u⋅v=u1⋅iu2⋅j ⋅v1⋅iv2⋅j
u⋅v=u1⋅v1⋅i⋅i1
u1⋅v2⋅ i⋅j0 pues i ⊥j
u2⋅v1⋅ j⋅i0 pues i ⊥j
u2⋅v2⋅j⋅j1
u⋅v=u1⋅v1u2⋅v2
i=1,0 j=0,1
i
j
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Aplicaciones: Ángulo entre dos vectores. Vectores perpendiculares.
u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos cos=u⋅v∣u∣⋅∣v∣
cos=u1⋅v1u2⋅v2
u12u2
2⋅v1
2v2
2
u
v
Considerando la expresión del producto escalar:
u
v
Un vector perpendicular a
u⋅v=a⋅−bb⋅a=−abba=0cos=0=90ºu⊥v
u=a ,b es v=−b ,a
Permutamos las Coordenadas y le
Cambiamos el signo a una
2. CÓMO SE CALCULA UN VECTOR PERPENDICULAR A UNO DADO
1. CÓMO SE CALCULA EL ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES, EXPRESADOS EN COORDENADAS:
Puede ocurrir que :{cosα>0→ángulo agudocosα<0→ángulo obtusocosα=0→ángulo recto
Ya podemos calcular el valor del ángulo con la calculadora ...
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Vectores perpendiculares
Dos vectores son perpendiculares cuando sus direcciones forman un ángulo recto (90º).
La condición para que dos vectores cualesquiera sean perpendiculares es que la suma de los cuadrados de sus módulos sea igual al cuadrado del módulo de sus diferencias.
222vuvu
−=+
Dado un vector , un vector perpendicular a él es:),( bau = ),( abv −=SIGUIENTE
v
u
u−v
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Paralelos
Vectores perpendiculares
Comprobamos si entre los vectores dados hay paralelos y perpendiculares.
)2,1(=u )4,2(=v )4,2(−=w
)3,4( −=t )2,4(−=q2
2
1
1
v
u
v
u =
222vuvu
−=+
Perpendiculares
SIGUIENTE
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Ejemplo: Vectores perpendiculares
)2,1(=u )4,2(=v )4,2(−=w
)3,4( −=t )2,4(−=q
=→→
4
2
2
1paralelos y vu
Paralelos
Comprobamos si entre los vectores dados hay paralelos y perpendiculares.
2
2
1
1
v
u
v
u =
222vuvu
−=+
Perpendiculares
SIGUIENTE
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Ejemplo: Vectores perpendiculares
)2,1(=u )4,2(=v )4,2(−=w
)3,4( −=t )2,4(−=q
=+=−
=+→=+−=→
=+=
→
25)0(5
52205 202)4( laresperpendicu
521
y
22
22
22
qu
q
u
qu
=→→
4
2
2
1paralelos y vu
Paralelos
Comprobamos si entre los vectores dados hay paralelos y perpendiculares.
2
2
1
1
v
u
v
u =
222vuvu
−=+
Perpendiculares
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Vectores paralelos: condición
Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección.
2
2
1
12121
v
u
v
u )v ,(vv y )u ,(uu =→==
Si
SIGUIENTE
Por ejemplo (-2,8) es paralelo a (1,-4)
En coordenadas, dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas son proporcionales.
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Vectores paralelos: condición
Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección.
En coordenadas, dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas son proporcionales.
Tres puntos están alineados cuando los
vectores que los determinan son paralelos:
A (a1, a2) , B (b1, b2) y
C (c1, c2) están alineados si
22
22
11
11
c
b
c
b
a
a
a
a
−−=
−−
2
2
1
12121
v
u
v
u )v ,(vv y )u ,(uu =→==
Si
SIGUIENTE
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Aplicaciones: Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos del plano es la longitud del segmento que los une.
La distancia entre dos puntos del plano, A y B, es el módulo del vector que determinan.
ABBAd =),(
Es decir, si A( a1, a2) y B( b1, b2) son las coordenadas de los dos puntos, el vector es:
Y, por tanto, la distancia entre los puntos A y B se calcula:
AB= x2−x1 , y2− y1
d A ,B =∣AB∣= x2−x1 2 y2− y1
2
SIGUIENTE
A
BAB
x1, y1
x2, y2
3. CÓMO SE CALCULA LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
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Aplicaciones: Punto medio de un segmento
Vamos a calcular las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos A y B.
Si A( a1, a2) y B( b1, b2) son las coordenadas de los dos puntos, el vector que determinan es:
Si M es el punto medio del vector anterior:
AB= x 2−x1 , y 2− y1
SIGUIENTE
A
BAB
x1, y1
x2, y2
M
AM=x−x1, y−y1 =12ABx−x1, y−y1 =
12x 2−x1, y2− y1
{ x−x1=12x2−x1
y− y1=12 y2−y 1
{2x−2x 1=x2−x1
2y−2y1=y 2− y1
{ x=x1x2
2
y=y 1y 2
2
x , y
4. CÓMO SE CALCULA EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
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Aplicaciones: Punto simétrico a un punto
Vamos a calcular las coordenadas del punto simétrico de A respecto a P:
Sean A( x1,y1) y P(x2,y2)
El punto P es el punto medio de AA':
SIGUIENTE
A
A'A⃗A'
x1, y1
(x , y)
P
( x2, y2)=( x1+ x
2,y1+ y
2 )→{ x2=x1+x
2
y2=y1+ y
2
→ {x=2x2−x1
y=2y2− y1
(x 2, y2)
El punto simétrico del punto A respecto a un punto P es el punto A', que está alineado con AP y que dista de P lo mismo que P de A. El vector es el opuesto del vector .P⃗A' P⃗A
4. CÓMO SE CALCULA EL PUNTO SIMÉTRICO A UN PUNTO
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Punto medio de un segmento (otro modo)
El punto medio del segmento AB, que llamamos M, es el punto del segmento que dista lo mismo de A que de B.
),(2
1),(),( BAdBMdMAd ==
AM=MB=12AB
M=A12AB
Las coordenadas de punto medio de un segmento se obtienen calculando la semisuma de las coordenadas de los extremos del segmento. Si A (x1, y1) y B (x2,y2), las coordenadas del punto medio M son:
A B
M
M x1x2
2,y1 y2
2 SIGUIENTE
por una traslación12AB el
punto A se transforma en M
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Ejemplo: Ángulos y Perímetro de un triángulo dados los vértices A, B y C.
A⃗B=(−3,2)−(0,0)=(−3,2)→∣⃗AB∣=√13
A⃗C=(−2,−1)→∣⃗AC∣=√5
B⃗A=(3,−2)→∣⃗BA∣=√13
B⃗C=(1,−3)→∣⃗BC∣=√10
cosα=A⃗B⋅⃗AC∣⃗AB∣⋅∣⃗AC∣
=−3 ·(−2)+2 ·(−1)
√(−3)2+22⋅√(−2)2+(−1)2=
6−2
√13√5→α=60,26 º
cos =BA⋅BC∣BA∣⋅∣BC∣
=3 ·1−2 ·−3
32−22⋅12−3 2
=36
1310=37,87 º
=180º−−=81,87 º
PerímetroP=13510=9,00u
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Ejemplo: Distancia entre dos puntos
Calcular el perímetro del pentágono de la figura.
)2,2( −A)2,3(B
)3,0(C
)2,3(−D
)2,2( −−E
SIGUIENTE
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Ejemplo: Distancia entre dos puntos
12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd
)2,2( −A
)3,0(C
)2,3(−D
)2,2( −−E
Calcular el perímetro del pentágono de la figura.
)2,3(B
SIGUIENTE
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Ejemplo: Distancia entre dos puntos
12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd
)2,2( −A
)3,0(C
)2,3(−D
)2,2( −−E
16,310)23()30(),( 22 ==−+−== BCCBd
Calcular el perímetro del pentágono de la figura.
)2,3(B
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Ejemplo: Distancia entre dos puntos
12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd
)2,2( −A
)3,0(C
)2,3(−D
)2,2( −−E
16,310)23()30(),( 22 ==−+−== BCCBd
16,310)32()03(),( 22 ==−+−−== CDDCd
Calcular el perímetro del pentágono de la figura.
)2,3(B
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Ejemplo: Distancia entre dos puntos
12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd
)2,2( −A
)3,0(C
)2,3(−D
)2,2( −−E
16,310)23()30(),( 22 ==−+−== BCCBd
16,310)32()03(),( 22 ==−+−−== CDDCd
12,417)22())3(2(),( 22 ==−−+−−−== DEEDd
Calcular el perímetro del pentágono de la figura.
)2,3(B
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Ejemplo: Distancia entre dos puntos
12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd
)2,2( −A
)3,0(C
)2,3(−D
)2,2( −−E
16,310)23()30(),( 22 ==−+−== BCCBd
16,310)32()03(),( 22 ==−+−−== CDDCd
12,417)22())3(2(),( 22 ==−−+−−−== DEEDd
416))2(2()22(),( 22 ==−−−+−−== EAAEd
56,18=Perímetro
Calcular el perímetro del pentágono de la figura.
)2,3(B
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Actividad: Los números triangulares
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad3e.htm
En la sección chilena de la editorial Santillana, se puede visualizar una traslación en un sistema de ejes coordenados indicando el vector de traslación.
Para desarrollarla, sigue este enlace.
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