Integracion numérica

TERCER PARCIAL, MÉTODOS NUMÉRICOS

PROFRA. SORAIDA ZUÑIGA

• En el proceso de integración el valor de

MÉTODOS DE NEWTON-COTES

1 1.- Método trapezoidal o del trapecio

n=1 , un intervalo

Simple

NOTA:

DONDE: h=𝑏−𝑎

𝑛

Trapecio simple n=1

Ejemplo 1. Método trapezoidal

Simple

1

h=𝑏−𝑎

𝑛

Trabajo en clase hacer

inciso c y d

numéricamente y hacer

inciso b c y d

analiticamente

Resultados Integral

analítica

b) 47.5

c) 90

d) 1

INCISO C

RESPUESTAS

Resultados

Integral

analítica

b) 47.5

c) 90

d) 1

PROBLEMA METODO DEL TRAPECIO SIMPLE . (TRABAJO EN CLASE)

Obtenga también el resultado

analítico de la integral

El gran error en el resultado

numérico es debido a que la

función es un polinomio de grado

5, el cual estamos aproximando

por un polinomio de grado 1

LA REGLA DEL TRAPECIO DE APLICACIÓN MULTIPLE

REGLA DEL TRAPECIO

MULTIPLE

Donde

Xi+1= Xi +h

h=𝑏−𝑎

𝑛

PARA “n” intervalos

tendremos “n+1” valores

limites de x .

Ejemplo para 3 intervalos

(n=3), tenemos x0, x1, x2,

x3, fig b

• 𝐴 = 𝜋𝑟2

PROBLEMA. REGLA DE TRAPECIO

MULTIPLE, trabajo en clase

Si se hace LA INTEGRAL ANALITICAMENTE se encuentra

. Con n igual a 2, (dos intervalos)

TRABAJO EN CLASE. EVALUE LA INTEGRAL ENTRE LOS

MISMO VALORES a y b, USANDO n=4, n=6 y n=8

Respuesta n=4 , I= 1.4848; n=6, I=1.5703 ; n=8, I=1.6008

I=ℎ

2𝑓 𝑋0 + 𝑓 𝑋1 +

ℎ

2𝑓 𝑋1 + 𝑓 𝑋2 =

0.4

2(0.2+2.456)+

0.4

2(2.456+0.232)

I=1.0688

X0=0 ; X1=0.4 ; X2=0.8

Donde : Xi+1= Xi +h

h=𝑏−𝑎

𝑛

TRABAJO EN CLASE/ TAREA 1. TRAPECIO MULTIPLE

respuesta

N=2 I=12.269

N=4 I=12.386

PROGRAMA

OCTAVE/MATLAB PARA

TRAPECIO MULTIPLE

2 MÉTODO DE SIMPSON 1/3

EL NUMERO DE

INTERVALOS “n” DEBE

SER PAR, ES DECIR 2,4,6,

etc

MÉTODO DE SIMPSON 1/3

Método de Simpson 1/3 SIMPLE (n=2)

h=𝑏−𝑎

2

N=2

EJEMPLO 2. METODO DE

SIMPSON SIMPLE (n=2)

2

-2

Método de Simpson 1/3 de aplicación múltiple

EL NUMERO DE

INTERVALOS “n” DEBE

SER PAR, ES DECIR 2,4,6,

etc

Respuesta

I=1.6234

TRABAJO EN CLASE

PARA 4 intervalos, n=4, tenemos de X0 a X4

PARA 2 intervalos, n=2, tenemos de X0 a X2

PROGRAMA OCTAVE/MATLAB DE

METODO DE SIMPSON 1/3, PARA

CALCULAR INTEGRALES NUMERICA,

EL NUMERO DE INTERVALOS DEBE SER

PAR.

EL PROGRAMA COMPLETO VIENE EN

LA PAGINA como simpson.m

TRABAJO EN CLASE 2/ TAREA. MÉTODO DE SIMPSON 1/3

• Evalue las siguientes integrales usando el método de Simpson 1/3,

multiple con n=2,4,6.

• Hacer también la integral analítica

N=2, I=12.432 ; n=4,

I=12.425; n=6, I=12.425

N=2, I=2056 ; n=4,

I=2056; n=6, I=2056

En éste método usamos 4 puntos, es

decir tres intervalos MÍNIMO

TRABAJO EN CLASE /TAREA 3 Trapecio

analítica = 1104

N=1, I=5280

n=2, I=2634

n=4, I=1516.9

Simpson

N=2, I=1752

N=4, I=1144.5

Trapecio

Analítica = 98.427

n=4, I=112.26

Simpson

N=4, I=99.45

3

TAMBIEN ES CONOCIDO COMO

GAUSS-LEGENDRE (libro CHAPRA)

CUADRATURA DE

GAUSS PARA 2

PUNTOS

2/3

ENTONCES SE ELIGE

Cuadratura de

Gauss 2 puntos

NOTA IMPORTANTE:

CAMBIO DE VARIABLE DE “X” A “Z”

z=2𝑥−(𝑎+𝑏)

𝑏−𝑎

CUADRATURA DE GAUS PARA MAS DE DOS

PUNTOS

Cuadratura de Gauss

para “n” puntos

EJEMPLO 3

despejando “x”

x=5

2(𝑧 + 1)

𝑰 = 𝟎

𝟓

𝒆−𝒙𝒅𝒙Usando:Calcular la integral I, usando el metodo

de cuadratura de Gauss para dos puntos.z=

2𝑥−(𝑎+𝑏)

𝑏−𝑎

𝑒−𝑥 = 𝑒−5/2(𝑧+1)

𝟎

𝟓

𝒆−𝒙𝒅𝒙 =𝟓

𝟐 −𝟏

𝟏

𝒆−𝟓𝟐(𝒛+𝟏)𝒅𝒛

𝟓

𝟐 −𝟏

𝟏

𝒆−𝟓𝟐(𝒛+𝟏)𝒅𝒛

𝑰 = 𝟎

𝟓

𝒆−𝒙𝒅𝒙 0.91752

0.99326

+

EJEMPLO 4. CUADRATURA DE GAUSS

x=2.3𝑧+0.7

2𝑑𝑥 =

2.3

2𝑑𝑧

2

2.3

𝑒− 2.3𝑧+0.72/8 dz

dz

Integracion analítica

0.7213337

-

𝑒− 2.3𝑧+0.72/8 dz

1

2π𝑒−𝑥

2/2

I=1

2π −0.81.5𝑒−𝑥

2/2 𝑑𝑥

+

−11

𝑒− 2.3𝑧+0.72/8 dz

𝑒− 2.3(+0.5773502692)+0.72/8 =0.5980684

𝑒− 2.3(−0.5773502692)+0.72/8 =0.9519115

−11

𝑒− 2.3𝑧+0.72/8 dz

EJEMPLO 5. CUADRATURA DE GAUSS (trabajo en clase)

ENCUENTRE TAMBIEN SU SOLUCIÓN ANALITICA

0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥a)

b)

( )*2

Solución analítica

I=0

= 0

RESULTADO

Trabajo en clase 1• 1.- Evalue la integral de la función siguiente, usando el método de cuadratura

de Gauss para dos puntos. En los límites de 0 a 0.8. El resultado analítico de

la integral es 1.640533

n Integral

2 1.5

3 3.1875

4 2.189781

5 2.671698

6 2.411356

TRABAJO/TAREA

TAREA