Interés Compuesto y Ecuaciones de Valor

Maratón de Matemáticas Financieras

UNAM - UAM-X

Alberto I. Pierdant R.

Andrés Morales A.

Septiembre 2005

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“El interés compuestointerés compuesto es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos.” [Vidaurri,1997].

En otras palabras, si a un capital le agregamos los intereses que ha obtenido en un determinado período, y a este nuevo capital e intereses le pagamos un nuevo interés en un período siguiente, entonces, el interés pagado ha sido compuesto.

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El interés compuesto se usa principalmentepara operar los depósitos en los bancosy en las asociaciones de préstamos yahorros.

Cuando se deposita el dinero en un banco,el depositante está prestando su dinero al banco por un tiempo definido con el fin deganar intereses, es decir, está invirtiendosu dinero.

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Es importante observar en esta acumulación(capital más los intereses del período), quelos intereses de cada período no son pagadossino al finalizar el plazo establecido para lainversión.

El interés compuesto será la diferencia entre el monto o importe compuesto y el principal original (o capital), si no se han realizado depósitos adicionales durante el período de inversión.

IC = Monto Compuesto - Capital

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El período convenido para convertir elinterés en capital se llama período deperíodo decapitalización o período de conversióncapitalización o período de conversión.

La expresión: “período de capitalizaciónsemestral”, significa que el interés gene-rado se capitaliza; es decir, se suma alcapital, al término de cada 6 meses.

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Al igual que en el interés simple, la tasade interés dada en un problema de interéscompuesto será una tasa anual, exceptoque se diga lo contrario.

Banco Azteca ofrece a un ahorrador un20% de interés capitalizable cada semestreen su cuenta básica. Si el ahorrador deposita$2,000.00 el 1 de enero de 2002, y no hacemovimientos en su cuenta durante 2 años.¿Cuánto tiene al 1 de enero de 2004?

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Tasa anual = 20%Período de capitalización: semestralTasa de interés por período = 20/2 =10%Número de períodos de capitalización: 4

Capital al final del primer semestreCapital (depósito inicial) + Interés = 2,000 + 200 = 2,200

Capital al final del segundo semestreCapital + Interés = 2,200 + 220 = 2,420

Capital al final del tercer semestreCapital + Interés = 2,420 + 242 = 2,662

Capital al final del cuarto semestre( 1/enero/2004)Capital + Interés = 2,662 + 266.20 =2,928.20

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Matemáticamente:

Primer semestre(C + Ci)

Segundo semestre(C+Ci) + (C+Ci) i factorizando

(C+Ci) (1+i) = C (1+i) (1+i)= C(1+i)2

Es decir, el monto compuesto para el período n será por lo tanto:

MC = C(1+i)n

interés delperíodo

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Utilizando esta última relación obtenemospara el problema propuesto:

MC = 2,000 (1+0.10)4

MC = 2,000 (1.4641)

MC = 2,928.20

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Tasa de interés nominal y efectiva

La tasa de interés anual aplicable a una inversión o a un préstamo a interés compuesto se llama tasa de interés nominaltasa de interés nominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en la operación financiera.

La tasa efectiva por períodotasa efectiva por período es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada período de capitalización. Esta tasa se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de períodos de capitalización que hay en un año.

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Problemas

•Determine el importe compuesto (monto) y el interés compuesto para $1,000 al 9% capitalizable en forma mensual durante 1 año.

•Determine el interés compuesto y el monto compuesto si se deposita en un banco $3,000 al 8% por 12 años con interés capitalizable en forma trimestral.

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Solución al primer problema

Capital:$1,000 Interés:9% Capitalización: mensual

Tasa efectiva: 9%/12 = 0.0075 % Períodos: 12

MC = C(1+i)n MC=1,000(1+0.0075)12

MC = 1,000(1.093806) = $1,093.81

Interés Compuesto = MC – Capital

Interés Compuesto = 1,093.81 – 1,000 = $93.81

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Solución al segundo problema

Capital:$3,000 Interés:8% Capitalización: trimestral

Tasa efectiva: 8%/4 = 2 % Períodos: 48

MC = C(1+i)n MC =3,000(1+0.02)48

MC = 3,000(2.587070) = $7,761.21

Interés Compuesto = MC – Capital

Interés Compuesto = 7,761.21 – 3,000 = $4,761.21

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Problema con cambio de tasa durante elperíodo de inversión

Se invirtieron $5,000 en un banco de ahorro por 6 años. Cuando se realizó el depósito, el banco estaba pagando 8% capitalizable en forma trimestral. Después de dos años y medio, la tasa cambió al 8% capitalizable en forma mensual. Determínese el interés y el monto compuesto al finalizar los 6 años.

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Solución utilizando una escala de tiempo1

1 Escala de tiempo: es un método gráfico que permite visualizar el flujo previsto de efectivo resultante de una inversión propuesta. [Taylor,1977]

C

10

MC1

42

MC2

1 ……..Trimestres Meses

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C

10

MC1

42

MC2

1 ……..Trimestres Meses

MC1 = C (1+ 0.02)10

MC1 = 5000 (1.218994)

MC1 = $6,094.97

MC2 = 6,094.97 (1 + 0.006666)42

MC2 = 6,094.97 (1.3219)

MC2 = $8,056.94

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El monto compuesto al final delsexto año es:

$8,056.94

El interés compuesto generadopor la inversión es de:

IC = MC2 – C

IC = 8,056.94 – 5,000 = $3,056.94

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En EXCEL

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Tasa de interés efectiva(ie)

También conocida como tasa efectiva, sedefine como la tasa de interés simple queproduciría el mismo interés en un año quela tasa nominal capitalizada “m” períodos alaño.

Matemáticamente:

ie = (1 + i/m)m -1

donde, ie= tasa efectiva i = tasa nominal m = número de períodos de capitalización en un año

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• Suponga que un inversionista deposita $1,000 en un banco que ofrece 10% capitalizado mensualmente. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva al final de un año?

Tasa nominal: 10% períodos: 12Tasa efectiva por período: 0.10/12 =0.008333

Valor nominal compuestoal final del año: (1+0.0083333)12 = 1.104712Valor tasa nominal compuesta: 10.47%

Tasa efectiva ie = (1 + i/m)m -1 ie = (1 + 0.10/12)12-1

ie =1.104712 – 1 = 0.104712 ie = 10.47%

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Ecuaciones de Valor

En el ámbito de las operaciones financierasun deudor puede desear remplazar unconjunto de deudas previamente contraídascon un determinado acreedor, por otroconjunto que le sean equivalentes, pero conotras cantidades y fechas de vencimiento.

Para lograr esto último es necesario plantearuna ecuación de valor.ecuación de valor.

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“Una ecuación de valorecuación de valor es una igualdad que

establece que la suma de los valores de un

conjunto de deudas es igual a la suma de los

valores de un conjunto de deudas propuesto

para remplazar al conjunto original, una vez que

sus valores de vencimiento han sido trasladados

a una fecha común, llamada fecha focal o fechafecha focal o fecha

de valuaciónde valuación” [Vidaurri,1997].

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Problemas de ecuaciones de valor paraInterés Simple

• Un inversionista tiene una deuda que debe ser saldada en la siguiente forma: $1,470.00 en este momento y $2,600.00 dentro de un mes. Si desea saldar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar, si la tasa de interés es del 35%?

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Solución

Dado que se desea pagar hoy, está será lafecha focal.

1,470 hoy

X – pago propuesto

2,6001 mes

VP = 2,600 / (1+(0.35/12)(1)) = 2,526.32

Valor de las deudas = Valor de las deudas originales propuesto

1,470 + 2.526.32 = X , por lo tanto

X = 3,996.32

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• Un inversionista debe $5,700 a pagar dentro de cuatro meses y $7,440 a pagar dentro de 8 meses. Una negociación con su acreedor le permitirá pagar mediante dos pagos de igual cuantía; el primero a efectuar dentro de 10 meses y el otro al cabo de un año. ¿Cuál será el pago, si ambos acuerdan una tasa de interés simple del 40%?

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Solución

La escala de tiempo muestra el acuerdo del inversionista.

1 meses

5,700

4 10

7, 440

xx8

M1 = 5,700[1+(0.40/12)(8)] = 7,220M2 =7,440[1+(0.40/12)(4)] = 8,432M3 = X [1+(0.40/12)(2)] = X (1.066666)M4 = X

Ecuación de valor M1 + M2 = M3 + M4

7,220 + 8,432 = (1.066666) X + X15,652 = 2.066666 X X = 7,553.75 (dos pagos)

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Si la fecha focal es el quinto mes, ¿cuántodebe pagar?

1 meses

5,700

4 10

7, 440

xx8

M1 = 5,700[1+(0.40/12)(1)] = 5,890VP2 =7,440 / [1+(0.40/12)(3)] = 6,763.64VP3 = X / [1+(0.40/12)(5)] = X (0.8571428571)VP4 = X / [1+(0.40/12)(7)] = X (0.81081081)

Ecuación de valor M1 + VP2 = VP3 + VP4

5,890 + 6,763.64 = X (0.8571428571) + X (0.81081081)12,653.64 = 1.6679536679 X X = 7,586.33 (dos pagos)

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Como puede observarse, la selección de

una fecha focal determinadafecha focal determinada, en el caso

de usar interés simpleinterés simple, afecta el resultado

de la valuación. Por ello, es muy importante

que tanto el inversionista como el acreedor

se pongan de acuerdo con respecto a ello.

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Solución si usamos interés compuesto

La escala de tiempo muestra el acuerdo del inversionista.

1 meses

5,700

4 10

7, 440

xx8

M1 = 5,700[1+(0.40/12)]8 = 7,409.66M2 =7,440[1+(0.40/12)]4 = 8,482.71M3 = X [1+(0.40/12)]2 = X (1.067777)M4 = X

Ecuación de valor M1 + M2 = M3 + M4

7,409.66 + 8,482.71 = (1.067777) X + X 15,892.37 = 2. 067777 X X = 7,685.73 (dos pagos)

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Si la fecha focal es el quinto mes, ¿cuántodebe pagar?

1 meses

5,700

4 10

7, 440

xx8

M1 = 5,700[1+(0.40/12)]1 = 5,890VP2 =7,440 / [1+(0.40/12)]3 = 6742.98VP3 = X / [1+(0.40/12)]5 = X (0.848785212)VP4 = X / [1+(0.40/12)]7 = X (0.794908107)

Ecuación de valor M1 + VP2 = VP3 + VP4

5,890 + 6,742.98 = X (0.848785212) + X (0.794908107)12, 632.98 = 1.643693319 X X = 7685.73 (dos pagos)

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Ecuaciones de Valor para análisis medianteInterés Compuesto

Una ecuación de valor a interés compuestoes una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, el original y el propuesto, que se pagan o reciben en distintos momentos.

La igualdad se plantea en una fecha determinada arbitrariamente llamada fecha focal o fecha de valuación.

En las ecuaciones de valor a interés compuestoEn las ecuaciones de valor a interés compuestoel resultado no se altera si se cambia la fechael resultado no se altera si se cambia la fechafocal.focal.

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BIBLIOGRAFIA

Díaz M. Alfredo y Aguilera G. Víctor(1998), Matemáticas Financieras, 2da. Edición, McGraw Hill, México.

Highland H. Esther y Rosenbaum S. Roberta(1987), Matemáticas Financieras, 3ra. Edición, Prentice Hall, México.

Rivera S. Jorge(2002), Matemáticas Financieras, Alfaomega, México.

Taylor A. George(1977), Ingeniería Económica, LIMUSA, México.

Vidaurri A. Héctor M.(1997), Matemáticas Financieras, ECAFSA, México.

Villalobos José L..(1993), Matemáticas Financieras, Editorial Iberoamérica, México.