INTEGRALES

Introducción

El cálculo diferencial es, básicamente, un método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado.

Este problema se resuelve por "derivación" y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.

Introducción

La velocidad en el instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t.

Introducción

Introducción

El cálculo integral es en esencia un método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acción de una magnitud variable.

Evidentemente, este problema es recíproco del problema de cálculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por "integración".

Introducción

Resulta que el problema de la integración es en todo equivalente al de encontrar el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo.

La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t1 a t2 es igual al área bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gráfica a los valores t1 a t2.

Introducción

Introducción

Fundamental para el cálculo como para todo el desarrollo posterior del análisis, es el concepto de límite, que fue formulado algo más tarde que los otros conceptos fundamentales de variable y función.

En los primeros días del análisis el papel que más tarde desempeñaría el límite, corrió a cargo de ese concepto algo nebuloso que es el infinitésimo.

Introducción

Los métodos para el cálculo real de la velocidad, conocida la distancia recorrida (a saber, la derivación), y de la distancia, conocida la velocidad (integración), se basaban en la unión del álgebra con el concepto de límite.

El análisis se originó por la aplicación de estos conceptos y métodos a los referidos problemas de la mecánica y la geometría (y también a otros problemas: por ejemplo, los de máximos y mínimos).

Integrales Indefinidas

Estamos familiarizados con algunas operaciones inversas.

La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces.

Integrales Indefinidas

Ahora, conoceremos la operación inversa la de derivación o diferenciación denominada antiderivación o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada, concepto que conoceremos a continuación.

Antiderivada

La antiderivada de una función f en un intervalo I, es otra función F tal que

para todo x I , F’(x)= f (x).

Antiderivada

Ejemplo.Si F es la función definida por F(x)= 4x3

+ x2 +5, entonces F’(x) =12x2 + 2x. De modo que si f(x) = 12x2 + 2x,

entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f.

Antiderivada

Si G es la función definida por G(x)= 4x3 + x2 -17, entonces G

también es una antiderivada de f, porque G’(x) = 12x2 + 2x.

Antiderivada

En realidad, cualquier función H definida por

H(x) = 4x3 + x2 + C, donde C es una constante, es una antiderivada de f.

Antiderivada

Teorema 1.Si f y g son dos funciones definidas

en el intervalo I, tales que f ‘(x) = g’(x) para todo x I , entonces existe una constante K tal

que f (x) = g(x) + K para todo x I.

Antiderivada

“La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada.

Antiderivada

El símbolo ∫ denota la operación de antiderivación, y se escribe

∫ f (x) dx = F(x) + C, dondeF’(x) = f (x) y d (F(x))= f (x) dx ”.

Antiderivada

En la igualdad ∫ f (x) dx = F(x) + C, x es la variable de integración, f (x) es el

integrando y la expresión F(x) +C recibe el nombre de antiderivada general o “integral indefinida” de f.

Antiderivada

Si {F(x) +C} es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean f (x) dx, también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es f (x).

Antiderivada

Teorema 2.

∫dx = x + C.Teorema 3.

∫af (x) dx = a∫ f (x) dx, donde a es una constante.

Antiderivada

Teorema 4.Si las funciones f y g están definidas en

el mismo intervalo, entonces

∫[ f (x) + g(x)]dx =∫ f (x) dx +∫g(x) dx.

Antiderivada

Teorema 5.Si las funciones f1, f2, f3, …… fn,

están definidas en el mismo intervalo y c1, c2, c3, …… cn son constantes, entonces

Antiderivada

∫[c1 f1(x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x) + ….. + cn

fn (x) ]dx =

c1∫ f1(x) dx + c2∫ f2(x) dx + c3∫ f3(x) dx +

…….. + cn∫ fn(x) dx

Antiderivada

Ejemplos

Evaluar

∫(5x4 -8x3 + 9x2 -2x + 7)dx

Ejemplos

Solución

∫(5x4 -8x3 + 9x2 -2x + 7)dx =

5∫x4dx - 8∫x3dx + 9∫x2dx - 2∫xdx +

7∫dx

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos