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~ ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE !NGENIEHOS e:~

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DEPARTAMEUTO OE ANAliSIS DE lAS ESTRUCTURAS

CATEDRA DE CAlCUlO DE ESTRUCTURAS

PROBLEMAS DE ELEMEf"JTOS

Flf\HTOS

CURSO MONOGRAFICO

26-30 de Mayo de 1980

Avelino Samartín Quiroga Julián Díaz del Valle Luis Moreno García

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Ejercicio e .. t): Determinar las funciones de forma de los elementos

con continuidad C0, de tipo rectangular de la figura E9.1a.

1) 2) 3)

V V V

2 1 2 2

u -~

3 4 3 5

4 3 S

4

4) Sl 6)

y

2 17 t;

2 1 - 1 2

V

7 1

u G e 6 ... u

3 l -4 rs 3 4 3 4

S 5

F;g. E9.1a

2

3

T2 1

+ 1 J_3

1)

V

l- 1 + -1 Fig. ~9.1b

2)

V

1

u

5 4

Fig. E9.1d

1

4

u

- 2 o 1 -

1 l·l = "Zj(l+u) (l+v)

1 1

1-l = 4 (1-u)(l+v) 2

1 N = 4(1-u) (1-v)

3

N4= 1 1f(1+u)(1-v)

N2 = t ( i - u ) ( 1 + V )

Fig. E9.1 e

Para el nudo 5(0,-1), los valores de

las funciones de forma anteriores son:

2 La función de forma N5

es: N5= 1-u ,

por lo tanto las nuevas funciones de

forma son:

N = 1 1i'(1+u) (l+v) 1

N = 2 t(l-u) (t+v)

N3= *(1-u) (1-v)

1 N4= 1i'(1+u) (1-v)

N5= 1-u

2

3)

V

2 1

6

3 5 4

Fig.E9.1 i

N5 - 1

- N5 2

- N5 3

- N5 4

u

- 202 -

1 N = '4(1+u) (l+v) 5

1 N = 4(1-u) (1+v) 5

N = 1 1 2 1 -(1-u) (1-v)--(1-u )=-r¡(l-u) (1+2u+v) 5 4 2

1 1 2 1 N = r¡(l+u) (1-v)--(1-u )=--(1+u) (1-2u+v) 5 2 4

Para e1 nudc 6(1 ,O), los valores de ia

función de forma antericres son: 6_1 6_ 6_ ,6_1 6_

N l - 2 , N 2- O , U l-O , .~ l¡ - 2 , N 5-O

2 la función de forma nueva H6 , es: N6=1-v ,

por lo que se obtienen las nuevas funciones

de forma:

2

3

- 203 -

1( 6 1( ( 1( 2 l N1

=-¡¡ l+u) (1+v) - N1 N6=-¡¡ 1+u) 1+v)-2 1-v )=--¡¡(1+v) {1+u-2v)

N2= t(l-u) (1+v) - N~ r~ 6 =l (1-u) (1+v)

N 3 = - t ( 1 + u ) ( 1 + 2 u +V ) - N ; '~ 6 = -~ ( 1 - u ) { 1 + 2 u+ V )

N4=-t(1+u) (1-2u+v) - N~ N6=-.]¡(3-u+v-2u 2+uv-v 2)

N5= 1-u2

- N~ NG= 1-u2

N. ~--1 (l-uH1•2u+v) .) ¿

4) V

7

S

Fig.E9.1 h

' u

4

N : 1- v2

Fig. E9.1g

Para el nudo 7(0,1), los valores de las

funciones de forma anteriores son:

La nueva función de forma N7 es:

1 2 N7=z(1-u ) (l+v), por lo que se obtienen

las nuevas funciones de forma:

- 204 -

1 7 1 1 2 1 U1= 'ij"(l+u) (l+v) - N1 N]=1i(1+u) (l+v)-4(1-u ) (1+v)=4u(l+u) (l+v)

1 7 1 1 2 1 N2= 4(1-u) (l+v) - N2 N7=1i(1-u) (l+v)-4'{1-u ) (1+v)-1iu(1-u) (1+v)=

1 -'l¡'u ( 1 -u) ( 1 - v)

1 7 1 1 2 1 N

3=-4(1-u) (1+2u+v) - N

3 N7=-4(1-u) (1+2u+v)+1i(1-u ) (1+v)=-1iu(1-u) (1-v)

1 7 1 1 2 1 N4=-4(1+u) (1-2u+v) - N4 N7=-4(1+u) (1-2u+v)+1i(1-u ) (l+v)=;;u(l+u) (1-v)

N5

= 1-u2 -N~ N7= 1-u 2 -~(1-u 2 ) (1+v)=~(1-u 2 ) (1-v)

N= !(t-u2)(1+v) 7 2

2

-r 3 ff--. -~-~~--..,;;ur,

' 1 _j_l

SJ y

2 7

3

F1g. E9. 1 j

l

6 u

4

Fig E9.1i

Para el nudo 6(1,0), los valores de las

funciones de forma anteriores son:

La función de forma nueva N6 es:

por lo tanto las nuevas funciones de for­

ma son:

8

- 205 -

1( () 6 1 1 21 2 N1= lfu t+u) l+v - N1 N6=4u(l+u) (1+v)-2(t-v )=Jf(l+v) (u+u -2+2v)

N 2 =-~u(1-u) (l+v) - N~ N6=-tu(1-u) (l+v)

N3=-!u(1-u) (1-v) - N~ u6=-!u(1-u) (1-v)

1 6 1 1 21 2 N4= qu(t+u) (1-v) - N4 N6= ifu(1+u) (1-v)-2(1-v )=if(1-v) (u+u -2-2v)

N5= -}<t-u 2) (1-v) - N~ u6=!<t-u 2

) (1-v)

2 N6= 1-v

N = l(1-u 2 ) (l+v) 7 2

6)

V

2 7 1

G

3 4 S

Fig. E9.11

u

Fig.E9.1 k

Para el nudo 8(-1 ,o), los valores de

las anteriores funciones de forma son:

8 1 8 1 N =-- · N =-1 2 , 2 2. N8=l

3 2 8 N5=o;

la funci6n de forma nueva Hr es: 1 ?

N 8 =2 ( 1 - u ) ( 1 - \•- )

- 206 -

1 2 1 lj ( 1 +V) (U - 1 +V+ U V ) =4 ( 1 +V) ( 1 +U ) (U+ V- 1 )

1 8 1( ( 1 2 1 N2=-qu(1-u) (1+v)-N

2N8=-4u 1-u) 1+v)-4(1-u) (1-v )=-4 (1-u) (1+v) (u-v+l

1 8 1 1 2 1 N3=-qu(1-u) (1-v)-N

3N

8=-4u(1-u) (1-v)-4(1-u) (1-v )=-4 (1-u) (1+v) (u+v+l

1 2 8 1 2 1 2 N4

= q-(1-v) (u+u -2-2v)-N 1/~s=q-(1-v) (u+u -2-2v)+.4(1-u) (1-v )=

.]¡ ( 1 -V) (U 2 -1 -V- U V) =-1. ( 1 .. V) (U+ 1 ) (U- V- Í )

N = .!.(1-u 2 ) (1-v) 5 2

N6= 1-v 2 -~(1-u) (1-v 2 )=~{1+u) {1-v

2)

N= .!.(1-u 2 )(1+v) 7 2

Na= t\1-u) (1-v2

)

2 '1 /V 1

• 1 1 t.

N4 -:+(1-vHu+ 111 u- v-1)

Fig. E9.1m

- 207 -

E j e r e i e i o '3 • G· Determinar las funciones de forma de los elementos

con continuidad Co, de tipo triangular de la figura E9.2a.:

Utilizar coordenadas naturales o triangulares.

Fig. E9. 2a

- 208 ..

1) las funciones de forma son:

2)

Fig. E9. 2 b

2

T 3 ..-.~~-.,¡¡,.,._.,_.....,._-:::;;;a,.a 1

-L

2) 2

Fig. E9. 2 e

361 4

Fig. E9.2 d

N1=l

1

N2=l2

N3=l3

Para el nudo

4(1/2,0,1/2), los

valores de las

funciones de for

ma anteriores son:

la nueva función

de forma N4 , es:

N4= 4 ll .l3

- 209 -

Por lo tanto

N = 4 N4= L

1-2L

1 L

3=L

1 (1-2L

3)

1 L 1 -H 1

N = 4 tl4 = L2 2 L2 -u 2

N = 4 N4= L 3

-zL 1L3= L3

(1-2L1

) 3 L3-N3

N4= 4L 1L3

J

Fig. E9. 2e

1 1 Para el nddo 5(2 , 2 , O), los valores de las

anteriores funcione~ de forma, son:

La nueva funci6n de forma H5

, es:

NS= 4L1L2

For lo tanto:

N = 3

- 210 -

3)

N4= 4L 1L3 2

3~1 N = 4L 1L2 5 4

Fig.E9.2f

2

3 ~-...-..;.;.ur:¡t~t-o---.-.6,4. 1 -,-

4)

4) 2

3~1 Fig. E9. 2h

N = 1 L1 (1-2L 2-2t3

)

N = 6 2 t 2 (1-2L 1)-N 2

6 N = t3

(1-2L 1)-N 3 3

N4= 4L 1t3

N = 5

4L 1t 2

N6= 4L 2L3

N 1 : L1( 1- 2 L 1-2 L 3

)

Fig.E9. 2g

1 1 _J_

Para el nudo 6(0, 1/2, 1/2), l~s va­

lores de las anteriores funciones de

forma son: 6 61 61 6 6

N1=o ; N2=r : N3=r ; N4=o ; N5=o la

nueva funci6n de forma N6 , es: N6=4L 2L3

Por 1 o tanto:

N6=t2 (1-2L 1)-2L 2t 3=L 2 (1-2L 1-2t3)

N 6=t 3 (1-2L 1 )-2L 2 t 3 ~t 3 {1-2L 1 -2t 2 )

- 2 11 -

!)ercicio J.-¡. 1\) Deducir los polinomios de Lagrange de orden 1,

2 y 3. B) Aplicación a la obtención de las funciones de

forma de Jos elementos finitos triángulares e~

C) Comprobar en el elemento tríangular de elastici

dad plana los requerimientos de convergencia •

Fig.E9. 3a

- 212. -

A ) U n a f u n e i ó n p o 1 í n o r:1 i e a d e g r a d o n , f ( x ) q u e t o m a

Jos valores f. para x~x, con i:-.:1,2, •• n, es: 1 1

n f(x)= .E P~(x) f(x)

1=0 1

siendo: donde: p~(x)

n 1 p. {x) = -,----

1 P. (x.) 1 1

n ( X -X O ) ( X - X j ) ·, ·, ~ ·, ( X - X (1) P (x) = i x-x.

1 Si los puntos x 0 , x , x

2 ••• x están a

1 n l iguales, en un intervalo l se obtiene con x.=-.

1 n ) er

11-orden (l"" l) P1() 1 x 1 !nea -o x = -r =po

1-L--J 1 X 1 P Cx)=- =p -1 l 1 o

Fig.t::9.3b

2 ) 2 ~ orden (cuadrático)

intervalos

?.( ) X( X) 1 0 P X =4- 1-- =4p p 1 L l O O o 2

Fig. E9.3 e

3) 3~ orden (cúbico)

3 { ) 9 X ( X ) (X ) 9 1 ( 1) 1 p X =-- 3--2 --1 =-p 2-Jp p 1 2L L L 21 1 O

3() 9x(x )( x) 91( 1) 1 P X =- - 3--1 1 -- =-p 3 p -1 p 2 2L L l 21 1 O

- 213 -

B). Se deduce la aplicación pedida de la tabla si-

guiente:

Polinomio de Lagrange, Función de forma: 3

1) Lineal

Nl=L1

N2=L2

N3=L3

Vertices

N1

=(2L1-1)L

1

N2=(2L 2-1)L 2

N3

=(2L3

-1)L3

Puntos medios de lados

3) Cúbico

p~=~(3p~-1) ~3p~-2)p~ 3 9 1 1 1

p 1 =2p 1 ( 3 p o - 1 ) p o 3 9 1( 1 1

P 2 =2p 1 3 p 1 - 1 > p o 311( 1 2

p 3 =2p 1 3 p 1 -1) ( 3 p 1 - 2 )

N4=ltL1

L2

N5

=l1L 2L3

1~E = '• L 3l1

Puntos en lados 9 N4=rL 1L2 (3L 1-1)

N 5=~L 1 L 2 (3L 2 -1)

N 6=~L 2 L 3 (3L 2 -1) N 7 =~L 2 L 3 (3L 3 -1) Na=iL 3 L1 (3L

3-1)

N 9 =fl 3 L 1 ( 3 L l - 1 )

Nudo interior

Fig. ES.3 d

3

Fig. E9. 3 e

3

Fig. E9.3 f

Para este nudo interior no existe comparación

directa con Lagrange.

2

2

C). u={N1

,N2

,N3,----Il 6) u

1 u2

u3

u l¡

u5

u6

V= (N l , N l.! N J---- N G} V l

v2

v3 v4

vs lv6

los requereimientos en convergencia son:

1) Movimientos de sólido rígido a) u(x)=constante=u0

b) u(x)=-a0

y

e) v(x)=v0

d) v(x)=e0x.

Por lo tanto a) u 1 =u 2 =u 3 =u~=u 5 =u 6=u 0 lo que implica u(x)=(N

1,N?.,N

3----N 6)

Es decir 6 EN.=l 1 1

6

b) v1=v 2--------v¡=v0 Análogamente se deduce

6 l:N.=l 1 1

e) u1=-eoy1' u2=-aoy2-------- u6=-aoy6 Por lo tanto

y= ¿ N.y. • 1 1 1

d) v1=8ox;=6 v2=eox2--------- vo=eox6

es decir x= t N.x. r = 1 1 1

A continuación se comprueban las igualdades an­teriores (L 1+L 2+L

3=t):

6 Y=.r 1N.y. 1= 1 1

es decir: 3

- 215 -

con

y·i~l (2L¡-1)L¡Y¡+2L1L2(yl+y2)+2L2L3(y2+y3)+2L3L1 (yl+y3)

2 . 2 y=(2L

1-L

1+2L

1L

3+2L 1L

3)y 1+(2L 2-L 2+2L 2L

1+2L

3L

2)y

2+

2 +(2L3-L3+2L3L2+2L1L3)y3= Llyl+L2y2+L3y3~y

Análogamente se cumple: x=EN. x .•

1 1

2) Ho~imientos de deformación constante

a u E=- =a

X ()x av

E=- =b Y ay

=~ + av Y¡y ay ax =e (a,b,c, constantes)

u=ax+w1

(y) v=by+~ 2 (x)

w1 (y) + w2_ (x)=cl Juego w{ (y)=constante '~-'2 (x)= constante

La expresión de les desplazamientos es:

u=alx+f31y+yl

v=a2x+f32y+y2

Los valores noda1es son ~ 1 =a 1 x 1 +f3 1 y 1 +y 1 ,u 2=a 1 x 2 +B 1 Y 2+y 1 ,---

uo=alx6+Bly6+y1

Sustituido en Ja expresión de u=(N 1 ,N 2 ,N3

,N 4,N5

,N 6) u1

se obtie~e

u2

u3

u4

us u6

6 6 6 6 6 u= 1t 1N.u.=.r 1N. (a 1x2+a 1y 2+r1)=a 1.r1N.x.+a 1 .r 1N.y.+y 1 .r 1N.= = 1 1 •= 1 1= 1 1 •= 1 1 1= 1

=a 1x+S 1y+y 1 come se quería demostrar 6 Análogamente se cumple v=.E 1 N.v .•

1 = 1 1

- 216 -

2), La continuidad C0 se satísface obviamente en

los nudos. A lo largo de un lado, las funciones de forma

son cuadráticas y están definidos por tres valores. luego

el elemento es conforme.

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- 11 3 -

Ejercicio 3--9· Determinar las funciones de forma del elemento mo­

nodimensional c1 (viga recta a flexión) considerando:

a) dos nudos (figura E2.17a.)

b) tres nudos J(figura E2.17b.).

o

Fig. E 2. 17 a

o 2

L/2

Fig. E2.17 b

- 11 4 -

a) Los grados de 1 ibertad en cada nudo son en términos de des plazamientos:

función o giro

la flecha o función (w) y la derivada de dicha (dw) particularizadas en el nudo. dxJ

Se tiene: ' w(x)=(U 1 , N2 , N

3, N4)

siendo

con

w¡= w(x) lx=x. 1

X =O o

y e.= dw{x) 1 1 dx x=x ¡

(i=0,1)

y

Se comprende que N1

=N1

(x) tiene que cumplir las condiciones:

N (x } "'' 1 1 1

dN 1 -1 =O dx x=x 1

dN 2 -1 =O dx x=x 1

dN3 -1 =O dx x=x o

dN 4 -1 =O dx x=x o

dN3 -1 =O dx x=x 1

dU 4 -1 =1 dx x=x 1

que permiten determinar 1as funciones de forma N (x) supo­niendo que son funciones polinómicas cúbicas, es decir

N1.{x)= a.x3+b.x 2+c.x+d.

1 1 1 1 (i=1,2,3,4)

Resulta:

N = 1 1-3~ 2 +2~ 3 N = 2 L(l-2~+~ 2 )~ N = 3~2-2~3 N4= L(~-1)~ X

3 con~=r

Estas funciones de forma constituyen las funciones viga o polinomios hermít:cos.Estos polinomios se definen dal

- 115 ..

siguiente modo: (para m=1,2,3, ••• n):

es un polinomio de orden 2n-1, que toma el valor

para k=m y x=x. 1

para klm y cualqder x=x. (ji i) J

o para k=n y

Se puede comprobar que

N = 1 H(l) (x)

00 N =H(l) (x)

2 10

N3= H ( 1 ) (x) N,= H(l)(x) 01 .. 11

b) De un modo análogo se define:

w(x)=(N1

, N2

, N3

, N4

, N5

, N6 ) w0

e o

l X =-1 2 y

x:.-:x. 1

Se puede demostrar que las funciones de forma sa tisfacen a las condiciones siguientes:

N2

• (x.) =O 1 1

(con x=x. ó x.) 1 J

dN2i+1 dx lx=x.

1

•o o x. J

- 11 6 -

dN2i -1 =O dx x=x . J

dN2

. 1 1 -o ~ x=x~

1

(i,j=0,1 ,2 ; j# i)

Si se consideran polinomios quínticos, se obtiene:

N 1 =(1+6~) (4~4 -12~ 3 +13~ 2 -6~+1)=-24~ 5 -68~ 4+66~ 3 -23~ 2 +1

N = 16~ 4 -32~ 3 +16~ 2 3

N =-24~ 5+52~ 4 -34~ 3 +7~ 2 5

~ = L~(4~ 4 -12~ 3 +t3~ 2 -6~+1) 2

N4= L~(16~ 4 -4o~ 3 +32~ 2 -8~)

N6= L~ (4~ 4 -8~ 3 +5~ 2 -~) siendo

Se compruebQ que con la definir.íón de polinomios herm(ticos anteriore~ se pueG~ escribir:

L! -H (2) ( ) 11 3- 01 X '

N=H(~)(x} 4 02

N =H ( 2 ) (x) 2 10

N =H( 2 )(x) 4 1 1

N =H ( 2 ) (x) 5 12

Se puede demostrar la siguiente relación existen­te entre los polinomicos de interpolación de Lagrange y los ht:rmíticos:

H (n) = 1 i

{1-2 ~d {p~(x)} (x-x.)} x 1 x=x. 1

1

(x- X , ) { p ~ (X) } 2 1 1

Observación:

Es más conveniente utilizar en el aniilisis mediante el método de los elementos finitos sistemas de coordenadas con

- lli'-

origen en el punto medio del elemento y normalizado a longitud

2, es decir, en el caso de dos nudos ~ 1 =-1 y F; 2=1. En el caso

de tres nudos F; 1=-1, ~ 2 =0 y ~ 3 =1. De esta forma se puede pro­

ceder a la integraci6n numSrica de la matriz de rigidez) las

funciones de forma son m¡s simples. Se obtiene entonces:

Caso a}:

Caso b):

N1= (2F,:-1) 2 (F;+1}

N2

= (F,:-1} (~+1} L

N3

= (2F,:+1) ( 1-F,:)

N4= {~+1) (F,:-1) L

Nl= t<t-~)2~2(4+3~)

N2= t(1-~)2F,:2(1+F,:)

N =(1-~2)2 3

2 N =(1-~ }f;

4

1¡l-r~ _'l .... t§

(}.Jk,~ .. a..... 4 /t.,""~ 4 ?"""'"' t:4! lr.dt~¿;

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IJ,, • 11 h~ · L/Lz2

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- 306 -

En este ap~ndice se definen y describen las relaciones geom~tricas

de los elementos desarrollados en esta tesis, algunas de las cua­

les no se deducen por ser de corriente utilizaci6n en la formula-

ción de elementos triangulares.

A.l COORDENADAS TRIANGULARES

Un triángulo de vfirtices i (1=1,2,3), ruyas coordenadas refe-

ridas a un sistema cartesiano son respectivamente (xi,y;},

puede set~vir para definir mediante un sistema de coordenadas

naturales del triángulo, tambi€n llamadas triangulares o de

área (L 1 ,L2.,L 3 ), cualquier punto P(x,y) del plano.

3 b¡

1 b,

Az b2

,. 2 /

/ /

b3

YL 03 ~ -

X

Fig. A.l

- 307 -

La definición de Li es (fig. A.1) como sigue:

= Area (P23) = A1 L1 Area (123) l\ (A-1)

Los valores L2 y L3 se definen análogamente, permutando cícli-

camente los índices 1 + 2 + 3 ó en general i + j + k, puesto

que A =A 1 +A 2 +A 3 se deduce que L1 ,L 2 ,L 3 no son independientes,

ya que cumplen la condición:

(A-2)

Las fórmulas de paso de co~rdenadas triangulares (L1,L2,L3) a

cartesianas, son en f0rma matricial:

X

y = (A-3)

1 1 1 1 L.3

Las fórmulas inversas son:

X

1 = 2A (A-4) y

1

- 303 ..

con

(/\·-5)

1 X 1 Y 1

1 A = 2 1 x2 Y2 = área del tr·iángulo 123 (A-6)

Otras relaciones geométricas de las que se hace uso en esta te­

sis, se deducen de la figura A.2:

donde li es la longitud dei lado opuesto al vértice i (1=1,2,3)

a~ + b~ 1 1

(A-7)

h; es la altura del triángulo 1 normal al lado opuesto al vértice

i -s imo

h. = 21A 1 .

1 (A-8)

(A-9)

Los valores de r 1 indicados en la figura A.2, son:

- 309 -

r. = -(a .ak + b .bk)/1. 1 J J 1

(A-10)

se denomina

A1. = r./l.

1 1 , ll; = 1- Ai

Fig. A. 2

A.2 DERIVADAS E INTEGRALES

Las fórmulas de paso de derivadas, se obtienen teniendo en cuen

ta, que de la relaci6n (A-4·), se deduce que:

dlj = !u_ dx 2A

con lo que

' '

' ' -ª-f.= 1 ~a. aF ax 2A i= 1 1 aL 1

análogamente para las derivadas segundas, se obtiene:

o formalmente

con el convenio

- 310 -

(A-12)

(A-13)

(A-14)

- 311 -

La exp~esi6n de la derivada normal a un lado, por ejemplo el

2-3, en funci6n de las derivadas respecto a las coordenadas

triangulares, es observando la figura A.2:

CIF aF aF Cln¡ = ax cos 81 + ay sen 8¡

y mediante las relaciones (A-10) y (A-12) se 11ega a la rela

ci6n d~da por Fe1ippa (Ref. 78):

aF 1 aF aF aF a n 1 = 2A (aL 1 1 1 + aL 2 ( r 1 - 1 1 ) - aL 3 r 1 )

y utilizando las relaciones (A-8) y (A-11), se puede poner

así:

{A-15)

an&logamente se obtiene para los otros lados, quedando final

mente

h aF 1 -lll -:\¡ aF 1 anl aL¡

aF -).2 1 aF (A-16) h 2 an2. = -l12. aL2.

h aF -).3 1 aF 3an3 -l13 ()L3

- 312 -

En esta tesis, las funciones que se integran son de tipo poli­

nomio, por lo que se puede usar la siguiente fórmula para las

integrales extendidas al dominio de integración de área A

abe alblcl I = //A L1L2L3 dA = 2A (a+b+c+ 2) 1 con a,b,c ~o (A-17)

A.3 VALORES DE LAS FUNCIONES POLINOMICAS DE SUS DERIVADAS

La expresión general de una función de interpolación polinómi­

ca ~ de grado 7, es:

con (i+j+k=7} (A-18)

siendo cada coeficiente aijk el asociado a cada uno de los 36

términos potenciales L1L~L~

El valor que toma esta función en el vértice 1 del triángLlo

dado por las coordenadas triangulares (1,0,0), será debido a

los términos que no contengan L2 y L3 pués son los únicos que

no se anulan en dicho punto, teniendo:

~ (1,0,0) = Ct700

análogamente en los otros dos vértices 2 y 3, se tendrá

~ (0,1 ,0) = a01o ' cj> (0,0,1) = aoo1

E)Núf!/o 4./

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A-z rAt

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bJ & },.{~ ~

)(f P¡

- 64 -

E j e re i e i o 4. 4. Determinar la matriz de rígidez de una pieza recta

de sección constante, considerando la deformación por cortan

te, mediante:

a) Teorema de Ca s t i g 1 i ano. S o 1 u e i ó n ex aeta •

b) Método de los elementos finitos.

-(!-' _2!)-Fig. E2. 8 a

A, 1, A' son el área, inercia y {,rea reduc;da de cor-­

tante.

E y G son los múdulos de elasticidad y cortante.

- 65 -

a) Se adopta el sistema isostático básico que se indica

en la figura E2.8b.

Mz 2

'1--·: -----, ~'f"'2 ,

1' X 2 ) ~ L -----{PYz

Fig.E2.8 b

Sea S= matriz en esfuerzos que actGan en el nudo 2.

Los correspondientes movimientos en ese nudo (defo~

macion~s) son:

e=2J!. dS

en donde U= l_¡l H 2 e! x .!_¡L N 2 ~ + l_¡l 2 ~As 2 o TI + 2 o Efl 2 o Q o

con M= Mz + p y2 • (L-x)

N= p x2

Q= (~x2' T p

y2 y e= e y2' eez>

Entonces, llevando a cabo las integrales anteriores, se obtiene:

- 66 -

es decir

F F= L o o e= S con EA

o L3 L L2 m+ b"i\"1 rrr

o l2 l TIT IT

S= -1 K~,

l F e=

EA o o con 'L -1

-1 o l L2 2 l2 K= F = GA 1 + TITT G'A' + rrr

o -1 .u.+ l

l2 2 l 4 L2 'ifAi + biT w+ m Para calcular H se tiene en c•..;en ta ia figura E2.8b.

Px1l Px2 o o rP x2

* S = pylJ ::.:-H p'f2 =- o o p 1 y2

Mz1 Mz2 o l 1 l Mz2

o o 1 o o .!:!= o 1 o HT= o 1 L

o L 1 o o 1

EA o o --L

o -1 +1

-1 L l3 2 L2 -HF = GA 1 + T2IT w+m

-1 E 1 L -- + o 2 L2 L 4 L2 'ifAT + "bET GA 1 + m

- 67 -

o o

o -1 - 1 L L3" 2 L2

-F-lHT w+ 1TIT w+ m

= oJ

_Il_ + L o

2 L2 L 4 L2 GA 1 + biT G.~• + m

r EA o o L

o !!E-1 !fT= L L3 2 L2

GA 1 + mT GA 1 + biT

o 1 ~+ L

2 ,2 L 4 L2 l.

CfAT + biT GA 1 + m

Luego, la matriz de rfgidez es:

K = 11

EA 'L

o

o

EA --L

o

o

o

1 . L L3

'GA"T" + ITIT

1

2 L2 "G"AT +biT

o

-1

L L 3 GA 1 + ITIT

1 --- -- -z 2 L

GA 1 + biT

o

1

2 L2 "GX'1 + '6~ET

El + L r- 4 L2 "G"AA + JET

o

-1

2 L2

GA 1 + biT

• .§l + __ ---.L_--=-L 4 L2

GA 1 + 3IT

EA ·r-

o

o

EA -L

o

o

o

-1 -L L3

'G"AA + 12IT

-1

2 L2 G'A'" + biT

o

1

L L3 G'AT + ITET

-1

2 L2

G,ii.l + biT

o

1

2 L2 G'A'I + biT

E 1 L -- + -----L 4 L2

GA 1 + 3IT 11

O' (X)

o

-1

2 L2

GA' + biT

El L -+ -----L 4 L 2

'GA'i" + rrr

- 69 -

b) Método de los elementos finitos,

Conviene redefinir el vector deformacim y las varia

bles de campo, ya que ahora no es Gnicamente la flecha w, si­

no el ángulo de giro de la sección, 8

-txl

-t ~~) Rebanada elemental

.. . . -X

b l Movimiento sin deformación

el DeformaciÓn de f!ex1ún

d l Deformación. de co: tan te

e; Deformaci6n de · una rebanada

\~w de viga recta

' (( '(JV 1 ' ,., ~dw • . 1 .... -

' ~ 1 ';: .,. d V

Fig. E2.8 e

SegGn la figura

E2.8c, se tiene:

dw dx +et=B.

con w flecha

et giro debido al

cortante.

8 ángulo de giro

total de la sección.

Así, pue;s, en una sec

ción genéric~ de una

1iga no son iguales 8 d\oJ • • d

Y dX' SI Se COnSJ era

la deformación por -­

cortante. El vector -

de c:.ampo es pues

u=(w, 8)T. Las ecuaciones ~

constitutivas son

1 dB M,ii IT:; dX

1 e,w GR:a. La energía

de deformación de una

barra es entonces:

{E2.8a.}

Se adoptan como

funciones de forma p~

ra un elemento las 1 i

neales, xa que el pr~

- 70 -

Los grados de 1 ibertad del elemento de flexión se ven en la figura E2.8e,

w ' e,( }

w ~2

t )e. r--------~ ~

Siendo

X N = 1--

1 L

f--Fig. E2.8d.

y

El vector deformación es:

e:=

Elemento dr: flexión

X N2= t'

Y el correspondiente vector tensión~ es:

~= [:] La relación deformación-desplazamientos, se obtiene

a partir de la expresión:

e: () d L = dX w = u - -

d 1 e -dX

Por lo tanto

B d

- 71 -

con d.~{w., e.) vector de desplazamientos (inc6gnitas b¡sicas) -r r 1

en el nudo i,

B.= _, o dN.

1 -crx

dN. 1

dX

N . 1

La matriz elástica del material ~. es

D= diag.{El, GA 1 }

Por lo tanto la matriz de rígidez, es:

No obstónte, convit.ne, por razones de estabil idac

núrnerica,

cortante y

sustituyen {se supone

separar las contribuciones de las deformaciones por

flexi6n en la matriz de rigidez. Por lo que si se

las expre~iones {E2.8b.} en {E2,8a.}, se o~tfene

secci6n constante);

U= !J.. e T f ¡L 2 - 9

l r N2 N 1, X

1 1 X

GA 1{ T

-- w ' 2 - ~} {/~

-N N 1 1, X

-N Nz 1 1 X

con Ni = a N 1 9= rx• ,x

como ¡L N 2 dx::a 1 r o i,x

L 1 1o Nt,x Ni¿¡k dx=--2

¡L N2 1 dx:: -o 1 3

N 2,x

N 1 1 X

2. N2 X

' -tl N l 2,x

-N Nz 2,x

[::] V w= 1 -

¡L N o f t X

¡L N2 o ,x

¡L N. N • o 1 J

N J 'X

N2 2,x

[::]

N 2,x

N . 1 dx=--J t X L

1 Ni dx=+r

dx= 1. b

dx ] a +

-N 1 1 X N2 d~] -ti 2,x N2

N 1 N2

N2 2

i 1 J

w -e

- 72 -

Se deduce

I.!..aT[t -~) e + GA' T er} -1 t L/2 + L¡z [;] U= 2C {w ' 2 L - _1 -

-1 1 - L/2 ... L/2

f.h L L2 L2

2 -r 3 b

.. .h L L2 L2 -- b 3 2 2

La matriz de rígidez es; evidentemente:

r l L E 1 k2 -k +k2 ik2 k = k2= 2 2 2 con

1 L y

-k tf-k2 l

- k2 l

- k2 2 -2 l2

2 L2 k=

+k2 L

- k2 l

-k 1 + k2 2 2 kltk2 3 b2

lfk2 l L ,2

- k2 -k1+k2 *' kl+k2 l

2 2 :r

El problema fundamental con la consideración del

cortante en la matriz de rigidez, es la posible inestabili­

dad numérica que aparece. Si h es el canto d~ ~a viga 1 se

denomina factor de aspecto al valor f. las características 1 3 .

mecánicas de la viga ~on 1= IT bh y A'= k b h: (con k de-

pendiendo dei tipo de sección} 5iendo b el ancho de la sec

ción (se supone, la sección re~tangular, pero es aplicable

a cualquier sección ~eneral). 2 2 l _!..bh3+k L Para el valor k 1+k 2 3 = 12 b h 3 =

bh l2 { 1 h2} 3 k+ Ti' L1 ·r

h Se comprende que si el factor de aspecto L' es -

GA' ¡_--

pequeño, en el elemento (caso normal de vigas delgadas), la

contribución de la flexión es despreciable, es decir ~<1 1 ( h) 2 y con mayor motivo T2 T <<k, y no puede ser recogida en el

cálculo con un computador que trabaja con un número finito

de cifras significativas.

Existe la técnica de la integración reducida, con

objeto de obviar el problema anterior. Se utiliza, un solo

punto de Gauss, para evaluar las integrales de contribucién

- 73 -

del cortante, en los casos de. vigas delgadas (h<<l). En otras L

situaciones, se calcula exactamente.

- 11.> -

E j e r e i ci o E_t. J . 1. Determinar las funciones de forma o de interpolación

del elemento finito monodimensional (1-D) de la fig;!_

ra E2.2a. 11 barra recta de tres nudos 11 sometido a un

esfuerzo axil. Se supone un desarrollo polinómico p~

ra el desplazamiento longitudinal u(x).

2. Dibujar dichas funciones de forma.

3. Indicar sus propiedades más importantes.

u, u3 uz .....,.._ ' • """ -r--

l 3 2

CL/2 ~-L/2 J 1

Fig. E2. 2a

4. Conocidas las funciones de forma N. del elemento fi-t

nito 1-D 11 barra recta de tres nudos" anterior, det-er

minar la mat~iz de rígidez ~· Hdllar la matriz de rí

gidez para el caso e~. que ~e consideren sol:1mente

dos nudos y la matriz de rígide~ exacta.

5. Si actúa una carga longitudincl uniforme en toda la

longitud de la barra, se desea conocer la expresión

de las cargas concentradas equivalentes en los nudos

(solución inicial).

6. Mediante la técnica de condensación estática, obte­

ner los resultados de los dos apartados anteriores,

para la barra recta con dos nudos 1-2, tras la eli­

minación del grado de libertad del nudo intermedio 3.

7. Comparar estos resultados con los obtenidos en un

cálculo exacto sin la aproximación del método de los

elementos finitos.

Módulo de elasticidad: E.

Area de la sección Ax variab1e 1 inP-almente desde un

valor A1 en el nudo 1, al valor A2 en el nudo 2.

- 19 -

1) Considerando la figura E2.2b. y que: X ( ) A2-Al f;= T Ax= l+].lf; A1 con ].l= Al -

F1g. E2. 2 b

y sabiendo que las funcion~s de forma son nulas en todos los

nudos menos en uno de ellos se tiene que las funciones de in

terpolación son:

2) Los ~r~ficos d~ las funciones de forma son:

T~ 1 1 .

..L 1

i--......;:!113'-QM,-'011111:::7::---2 3

- .... ~

Fig. E2. 2 e

3) Las funciones de forma cumplen:

N l +N 2+N 3= 1

N •1 (x.) = ó ..

J 1 J

2

- 20 -

4) La relación deformación-desplazamientos es:

B B== él N 1 '1 e:= u con -- = -- élx r ~~~

4 t> 4 t> 4 B = -(~- B = -(~- 83= -(1-2~) 1 L 2 L L

La matriz de rígidez es:

E/L 1

k .. = B. A B. dx= LE! B. A B. d~ 1 J o 1 X J o 1 X J

k= L+ 1 1 + 1 8 2 EA - ll b ll - r - - ll 3 2 3 3 1 -

!+ ~ ll L

7 11 8 2l.l 3 3 + b'll - 3 -

8 2 8 2¡J 16 + t ll J - 3 - yll - 3- r

(1) -Matriz de rrgidez del elemento 1-D "barra recta con dos nudos" de sección variable. N= 1-~ 1

k= EA{ 1 L" -1

N = ~ 2

La matr!z de rígidez exacta es:

k = ~ ll { 1 -1} -ex a e t a t.: t'n (1 + ~ ) - 1 1 •

L 5) (P1

, P 2 ~ P3

)= /0

(N1

, N2

, N3

} q dx=

1

ql/0 {(2~-1)(~-1) ~{2~-1) 4~(1-~)} d~= ql(1/6, 1/6, 2/3)

~ 3 • 1

N2 )q dx= qL/ 0 {(1-~) ~} d~ =

p = ( -1 + 1 + 1 ) J-2 exacta Lñ\1+ltf ~ q

- 21 -

6) Condensación estática 4+3lJ

u = 4+lJ u1 + 4 \2+lJ) u2 3 m+ilT

k*= & { 1 -1} ~lJ+6) L -1. 1 3{2+Jl)

Condensación estática:

* -1 ~ 4+lJ !.9.1. qL Pl= p1-k13 k33 p = + =r 3 4(2+}1) 3

3+ll m

* -1 f- 4+ 3ll ~ =.9..!. 3 + 2 u_ P2= p2-k23 k33 p3= +4(2+Jlf 3

7) Valores ll k ae_rox.

o 1

1 1,444

10 4, 611

100 34,660

Valoree: ll P. 1aprox.

o o.soo 1 0,444

1(; 0,361

100 0,337

3

k exacto

1

1,4.43

4,170

21,668

P 1 exacta

o.soo 0,443

0,317

0,207

2+u

1,500

6.000

51 •· 000

o.s 0.5

o.s 0 .. 5

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- 217 -

E j e re i e i o E5", 4 El elemento finito no conforme de flexión (hipoele­

mento) de la figura E10.1a. tiene un campo de desplazamientos que puede suponerse aproximado por una ley parabólica de se-­gundo grado.

Se pide:

1w 1

Fig. E 10 la

1) Deterwina( ta matriz de rígidez. 2) Para una carga vertical uniforme en todo el ele

mento, hallar las cargas equivalentes en los nu

dos.

- 218 -

1) Se supone la expresión de la flecha w p¡:¡rabólica, es de­cir, en coordenadas triungulares se tiene:

2 2 2 w=a 1L1+a 2L2+a3

L3

+2B 1L2 L3

+2B 2L1L3

+2S3L

1L2 {EtO.la,}

Se formularán las ecuaciones que siguen en un nudo. En los restantes se obtendr&n mediante permutación circular 1-+2-+3-+1 •

los coeficientes a 1 se determinan al imponer la co~ dición de flecha para el nudo i. Resulta para el nudo 1 (1 ,O,O), a

1=w 1• Por lo tanto:

al=wl

Para calcular los coeficientes B, es preciso conocer antes la e~pres;ón de la derivada según ia normal a un lado.

Fig. E 10./b

las fórmulas de transformación de ~oordenadas son: (ver figura ElO.lb.)

con al=y2-y3

bl=x3-x2

e 1 = (x 2 Y 3 - x 3 Y 2 )

y análogas

- 219 -

xl yl

1 área del triángulo 123 A=- x2 Yz = 2

1 x3 y3

Entonces:

aw =(a aw + a2

aw + (h~ ) ....!. ax 1 Lt L2 a3 L

3 2A

aw =(b aw + b2 aw + b3

aw ) 1 ay 1 "Lt L2 "LIT 3

Sea a3

el ángulo que forma el vector lado T2 en el

eje positivo de ab~cisas x. Su valor es:

b cosa =~

3 m3

-a sena = _l

3 m, "'

con

los cosenos directores de la normal (dirigida hacia el interior

ciel triángulo) son:

~ • m

3

Por lo tanto 1 a derivada .## dicha normal segun e:s:

aw a3 aw + ~ aw 1 a 1 a3 + bl b3 aw -= ay = 2A ( ITl an3 m3 ax m3 m3

2 + b2 a3 3 a~ > + m3 éll3

es decir:

é)w +e3~wl + é)w ){ElO,lb. aL 1 o

2 aL

3

con + b3 bl b3 b2 a3 al a a2 +

d = e = 3 y h3vt.3 = 2A. 3 m2 3 m2

3 3 h

3 es 1 a altura de 1 triángulo que parte del nudo 3.

- 220 -

las derivadas de la flecha w respecto a las coorde

nadas triangulares son:

aw rrl= 2(all1 + (32l3 + (33l2)

AJ particularizar para el punto 6(1/2, 1/2, O) resulta:

Por Jo tanto, al considerar {E10,1b,} se 0btiene:

Coruo d3

+ e3

+ 1 = O se puede escribir

Resumiendo las ecuaciones análogas en los nudos 4 y 5 se tiene:

1 -1 -1 a, -h 1 en 1 o dl el w1

-1 1 -1 (32 = -h e n2 + e2 o d2 w2 2 -1 -1 1 (33 -h e nJ d3 e o w3 3 3

Sistema cuya solución es:

B¡1 o 1 r~ 1 e nl o 1 o dl el wl

a2 1 o 1 h 2 e n2

1 o o d2 =- -- e2 w2 2 2

a3J 1 o r3e n3 o d3 e3 o w3

- 221 -

o bien

~1 o h1 8n1 e2+d3 e3 d2 h'l

~2 1 1 o h2 8n2

1 d3 dl+e3 el h'2 =- --2 2

~3 o h3 8n3 e2 dl el+d2 w3

Multiplicando por el vector fila

(2L 2L3

, 2L3

L1

, 2L1

L2 )

se obtienen las funciones de forma, al sumarle al resultado ·~ L2 L2 + L2 E decir la expresaon w1 1 + w2 2 w

3 3• s

N4• (l3ll + lll2)hl

Reduciendo se obtiene: ( L1+Lt4 ll:J)

Nl= l~ - e 2 t 2 (1-L 2) - d3L3 (1-L 3)= Nwl

N 4 = ll ( 1 - ll ) h 1 = N a n ll las matrices que relacionan deformaciones

t=(hxx• hyy' hxy)T y los movimientos son:

con 2A 2

2A 2

2A2

T Bl=(Nl - ,xx

- ( 2 Nl - al + ,xx

N1 =(b~ + ,yy

Nl,xy=(albl

la matriz de rigidez

- T o

N 1 t yy

e2 2

a2 + d3

e2 b2 + 2 d3

+ e2 a2 b2

se ca!cula

13 • k • • -JJA B. -IJ -1 - -J dxdy

2 a3) = al

b2) 3 = b

1

b3) -+ d3 a3 = e 1

a partir de 1 a fórmula:

o 01 o X

con O= 01 o o y

o o o xy

ortótropo de la Josa.

Se obtiene por tanto:

BT4=(N4 ; N4 - t XX t y y

con N =-_!_ h 2 4, XX

2A 2 1 a 1

N =-_!_ h b 2 4,yy 2A2 1 1

Obteniéndose:

- 222 -

matriz de elasticidad del material

h2 - 2 - 2 2 - b2 k15=-4A3{a1 a2 ox + (al b2 + a2 bl)Ol + bl 2 oy + cl a2 b2 Dxy}

2

K hl ( 4 O (b2 2 2 b2)0 + b4 O 2 b2 O ) 44= 4

A3 al x + 1 al + al 1 1 ( y +al 1 xy

hl h2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) K4s= 4A3 (al a2 Ox +(bl a2 +al b2)01 + bl b2 OY+at bl a2 b2 Oxy

y los demás elementos se hallan por permutación circular que­dando la matriz de rígidez ~de la forma siguiente:

1 K=-- 4A 3 [

k-v1w kwe] kew kee

donde:

!"'"\ N ,"'J

k = ww

k = we 1

a~Dx+2a1 b 1 D 1 +b~Oy ;~ai0x+ea1 b2+a2b1 )o 1 a1a3Dx+ea1b3+a3'6"1)o 1

1..-2 -- --+e1v +b

1b2o +c

1c

2D +b b"Dy+~1 c3Dxy __ __ _ xy y xy 1 ) - -

-:2. -éi 2 Dx+2a 2b20 1+ a2a3Dx+(a2b3+a3b2)Dl

-2 -2 +b2

D +e2o Y xy +b'2 '6"3 oy+-:~C"3 oxy

~~, et,1~0

e- 2 e- 2 2- > -h 1 a 1a 1ox+ a 1b1+a 1b1 o 1+

- 2 -+b 1b1DY+c 1a 1b1Dxy}

e- 2 - 2 2- > -h 1 a 1a 10x+(a 2b1+a 1b2 0 1

- 2 -+b 2 b1Dy+c 2a 1b1oxy)

e- 2 ra 2 2- > -h 1 a 3a 1Dx+ a 3b 1+a 1b3 o1

- 2 - ) +b 3b 1Dy+c 3a 1b 1Dxy

-2 -a3

ox+2a3

b 3o 1+

-2 -2 +b3o +e

3o y xy

h e- 2 t- 2 2-- 2 a 1a 2Dx+ a 1b2+a 1b1)o 1

- 2 - ) +b 1b20y+c 1a 2b20xy

(- ~ ·- 2 2-2) -h 2 a 2 a2Dx+~a 2 b 2 +a 2 b 2 o1

- 2 -· +~2~2°y+c2a2b2°xy

e- 2 - 2 2- > -h 2 a 3 a 2 Dx+a 3 b 2 +a~b 3 o 1

- 2 - ) +b 3 b2 Dy+c 3a 2 b20xy

e- 2 - 2 2- ) -h 3 a 1a 3ok(a 1b3

+a 3 b1 o 1

- 2 -+b 1b3oy+c 1a 3b30xy}

(- 2 - 2 2- )O -h3

a 2a 3ox+a 2b3+a 3 b2 1

+b b2 -2 30y+c 2a 3b3oxy)

(- 2 - 2 2- ) -h 3 a 3a 3Dx+a 3b3+a 3b3 0 1

- 2 -+b 3 b3oy+c 3a 3b3 Dxy

ka e·

T kew • kwe

2 4 2 2 h1 (a 1Dx+2a 1b1o1+

4 2 2 +b 1DY+a 1b1Dxy)

~h r,l'(l•

1,.. "'e 9

( 2 2 2 2 h1h2 a,a 2Dx+b 1a 2o1+

2 2 2 2 +a 1b2D1+b 1b2Dy+

+albla2b2Dxy)

2 4 2 2 2 h2a 2Dx+2h 2a 2b2o1

2 4 2 2 2 +h 2b2DY+h 2a 2b2Dxy

1 2 2 2 2 hlh3,ala3Dx+b1a301+

2 2 2 2 +a 1b3

D1+b 1b3Dy+

+alb1a3b3Dxy)

2 2 h2~3(a2a3Dx+

2 2 2 2 +b2a301+a2b301+

2 2 ) +b 2b3Dy+a 2 b2a 3b3oxy

2 4 2 2 2 h

3a

3Dx+2h

3a

3b

3o1+

h2b4 h2 zbzP + 3 3°y+ 3a3 3 xy

N N .J:-

- 225 -

2) Las cargas equivalentes a una carga vertical uniforme en todo el elemento es:

Se comprueba que

2 (-J '"' 4)

3 (-J,-J)

.1(~j,.¡j)

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l.

3

'h,.c :> ' '..lla.·Ltr, + \VLa~:: .l S"

- 1 2 3 ..

Ejercicio E4.1.

Fig. E 4. 1 a

En la celosía plana de la figura E4.ta., todas las 2 barras son de sección constante A=20 cm y módulo de elasti-

6 -2 ciclad E= 2,1x10 .kg.cm

La barra 2-3 sufre un incremento de longitud de 3

cm producido por la temperatura.

Se pide:

1).- Matriz de rígidez de la estructura.

2).- Movimientos de todos los nudos.

3).- Esfuerzos en todas las barras.

4),- Reacciones en los apoyos.

- 124 -

El apoyo del n~do 4 no es corcondante con los ejes generales (x',y') de la figura E4.1b. Se podría utilizar la t¡cnica, de considerar ejes de nudo. No obstante aqui, se ha

procedido a introducir una barra ficticia de rigidez a esfuer zo axil K muy grande y nula a flexión.

~L Y'

Las barras b, 2 y t no trabajan

Fig. E 4. 1 b

Teniendo en cuenta la figura E4.1b. se tiene:

El cambio de ejes generales a particulares es {figura E4.1c.):

Px'= Px cosa.

Py'= Px sena.

1

Y'li x·

Fig. E4. 1 e

fPx ~ = Ícosa.]

ry~ ~ena. Px+ T= ~ osa.] sena.

- 125 -

Las matrices de rígidez de cada elemento son:

( ) EA (K') -[cosa]EA[ ]_EA [cos2

a cosasena] K22 a=r-; 22 a- sena[- cosa sena -r- 2

senacosa sen a

(K ) EA a=GOo. (K' ) =EA 22 a=¡:- ' 22 a L

a=0° (K I ) _EA 11 d-L

a= 1 2 O o ; (K l 1 ) e=~

( K ) -EA a=Oo 21 d~ L; (K I ) .. EA

21 d-L

a= 1 2 O o • (K' ) =EA ' 11 g L

K = K K' =

La matriz de rigidez total es:

3/2 o o 3/2

K'= EA L - 1 o

o o

[{ (:

1 4

-VI 1¡

[-:

r: [:

[

1/4

-1[3/4

1] ~]

-¡/3/41 3/4 J

~1

:J :J

-fi/4]

3/4

~[K.1/4 K. 1(3!4

l K.fi/4 J K.3/4

L -

- 126 -

Teniendo en cuenta que el apoyo 2 no puede tener

desplazamiento vertical (d 1 y2=0) se tiene:

- - ~

p1 x2 3/2 o -1 o d 1

x2 p 1

EA o 4K o o d~2 _y2 2

Y)(K-1)

'-

-p 1 L -1 o K+5 di

x4 -4-

vtK+l) x4 p 1 o o Yf< K-1) d'

yl• y4 - .... - -

La fila y columna recuadradas se pueden no tener

en cuenta en principio,

Siendo ~ 2 _ 3 = 3 cm. de alargamiento

EA EA F= r- . ~¡_ 3 = r- .)

--

Estado final

+

Estado anicial Estado modal

Ftg. E 4 Td

-

1

-

- 127 -

Para la resolución del problema el estado real o

final se descompone en los estados indicados en la figura

E4.1d.

En la solución modal se tiene:

p 1 =-J. EA x2 2 L

3YJ EA P' = y2 ~l

de donde se deduce:

EA l o

o

=

3/2

EA L

-1

o

invirtiendo queda:

jtd=~(4K+1)

di x2 t(2K+1)

d 1 8

t(K+l) = x4 3(4K+1) di ~K-1) y4

d 1 x2

-2.(2K+1) 8

d' 8 -~(K+l) - 3(4K+1) x4

di y4 3f<K-1)

2).- MOVIMIE~TOS DE LOS NUDOS:

d~ 2 =-1.5 cm.

d 1 = o y2

-1

K+S -¡;-

i<K-1)

t< K-1)

fr(K+1)

-J~K-1)

d' =-J2K+1 x2 1¡K+l

di --3 K+l xl¡- 4K+1

o

lf<K-1)

t( K+ 1)

-Y3-T(K-1)

-JP<K-1)

3 !<+ 7 ---r

cuando K+'.)()

YJ K-1 d ~ lf = '.liK+T

d~ 4 =-0.75 cm.

d~ 4= o.L133 cm.

d 1 x2

d 1 x4

d 1 y4

-3/2

o

o

J di =--x2 2

d 1 =-t-x4 d' _fi y4- 4

- 128 -

3),- ESFUERZOS EN LAS BARRAS: Soluci6n final= Solucicin inicial

+ Solución modal,

Hay que recordar que la soluci6n inicial solo va

a afectar a la barra 2-3.

d =d'cosa+d 'sena· X X Y 1

dy'

dx•

=]8,75 ton.

-VJJ [-3/2"j= -3EA =- 78 -, 5 2 O 4L ' ton·

1 1 • ... ' • • 1 3 EA 3 1 5 Por a so ucton tntcta : -e-~ ton.

-( ) ( ) =~{1 0}[-3/2] EA (-J/4] B a r r a d : p 1 d- K 1 1 ~~ • d 1 d + K 1 2 d , d 2 d L , O - L{ 1 O }\_V314 =

Fijándose en los ejes locales de barra y llamando:

Tracción (+) } ,a la tracción positiva y a compresión negati-Compresión (-) va se puede hacer la tabla E4.1a.

BARRA

1-2

1 - 3

2-3

2-4

3-4

3-5 .¡-5

,____ '

SOLUCION 1111 C 1 AL

o o

-315 o o o o

SOLUCION l-IODAL

-7'd,7S o

+73,7'3

+78,75 o o

+78,75

ESFUERZO

-78,75 o

-Z3b.l5 Tabla E4.1a.

+78,75 o o

+78,75

- 129 -

A) Cálculo de las reacciones (en toneladas).

En 1 os e] es generales (x' ,y'): R.= reacción en nudo -!

R ' T (K ) Tt d '=-g 1= pl = ' 12 a. ' -2 L - - a -a - -a

1 q

lf V3

4 3 íj'

i en ejes gener~

les.

-1,5.10 -2

= o

1 -2 -4. 1 J 5. 1 o =1 ,05.10 l(f -2

- 4' 1 J 5 • 1 o =

39,375

68,2

RS.Modal=p' +p' +p' =(K') _d2'+(Kt't)c ~2'+(K1't)d ~2'+(K1'2)d, ~4'= -2 -2a -le -td 22 a

EA ¡:-

1 + 1 + 1 q 7¡

o

2 rlot oo] -1,05.10

-1 os[~fi 1j 3/4

~1 d • - EA [ol "::;" -2 l ....

o] [1,5 ol r-1,5] o ~u.==t,os.to2 o t,j L o

(-0,75 1

0,433

+K2 1 >c·i2~315l1}-

~ 315 [~: ]-105 [ ~:::::J= [:::::25

- 130 -

~4 = ~z d +f.) g = ( K l 1 ) d ' _9_z + { ( K Z 2 ) d + ( K ll ) g } d 1 4 =

[-1

+105 o o] [-1 5] o ~ +105

[3 9, 3 7 5 ] 68,1975

[

1 ) 2 5

-V3 T¡

-lÍJ~ 4 ] [ o , 7 5 ] 4 0,433 [

0,375] =105 ::: 0,6495

La ventaja de opeiar con ejes de nudo estriba en que, en el apoyo l¡ (no concordante), la reacción ya se ob­

tiene en dichcs ejes y no en los generales tal como sucede

aquí.

Rr= p 2• =(K 2• 1) .d 4•=-105 -;.> - 9 g -

[

1 /4 -VJ/4] -V[ 3/4

[0,75 1 [-0,375 J l o,433j=-lo5 0,6495 =

[39.375 ] -68.1975

Como comprobación se puede real izar el cálculo de la figura E4.1e.

j?a.?s

i ha.75 ton.

k_ APOYO

78.?5 ~

o

APOYO 4

- 1 3 1 -

272.8 ton.

l L/~ 1< -78.75

1 \ ?8.75 236.25

APOYO 2

78.75 ton.

h_oo

\ '\

78.75

Fi9 E4.1 e

236.2 5

\ o

0*-0 ~236.25 ton.

APOYO 3

78.75

\ o-~

'X_S?Slon.

6~

APOYO 5

El resultado finésl se representa en la figura E4.1f.

+? 8.75

o

Fig. E 4.11

o

--- COMPRES!ON TRACC!ON