1

Jocs d’atzar

Mireia Besalú i David MárquezDpt. Probabilitat, Lògica i Estadística

Agraïment a la Laura i l’Ariadna pel powerpoint

2

On apareix la probabilitat?

3

Aplicacions

• Computació i informàtica

• Física i mecànica estadística

• Ecologia i demografia (biologia en general)

• Economia i finances

• Internet, telefonia i servidors

• Teoria de cues (caixers, autopistes,...)

• Meteorologia

4

Jocs de les tres portes

Tries porta

Te la quedes

Tries porta amb cabra darrera

Tries porta amb cabra darrera

Tries porta amb cotxe darrera

La canvies Te la quedes La canvies Te la quedes La canvies

Guanyes cabra Guanyes cotxe Guanyes cabra Guanyes cotxe Guanyes cotxe Guanyes cabra

5

Una baralla espanyola amb 48 cartes, 4 colls amb 1,2,...8,9, sota, cavall i rei.

Si agafem a l’atzar una carta de la baralla.

Quina probabilitat té una espasa?

I un cavall?

12

1

48

4 ==P

I una figura?

4

1

48

12 ==P

4

1

48

12 ==P

6

Que hem utilitzat realment?

Per exemple, tenim 12 espases de 48 cartes

Les coses es poden anar complicant!!!!

Imaginem que agafem dues cartes i volem calcular la

probabilitat de treure una espasa i una copa.

Com ho calculem? • Les agafem de cop o una després de l’altra? • Tornem la primera carta a la baralla abans d’agafar la

segona?

4

1

48

12 ==Ppossibles Casos

favorables Casos=P

7

Preguntem-nos en primer lloc de quantes maneres diferents podem escollir dues cartes de la baralla?

• Ordre i reposició: 48×48

Variacions amb repetició

• Ordre però sense reposició: 48×47

Variacions

Cas particular: Permutacions

kkm mVR =

)!(

!)1()1(

km

mkmmmV k

m −=+−−×=

123)1(! ××××−×=== mmmVP mmm

8

Preguntem-nos en primer lloc de quantes maneres diferents podem escollir dues cartes de la baralla?

• Sense ordre i sense reposició: (48×47)/2

Combinacions

!)!(

!

!

)1()1(

kkm

m

k

kmmm

P

VC

k

kmk

m −=+−××−==

9

Resolem de moment un exemple més senzill:

una baralla amb 4 cartes (1 i 2 d’espases, 1 i 2 de copes).

Calculem la probabilitat d’agafar una espasa i una copa

amb ordre i reposició (variacions amb repetició)

Ω={(1e,1e),(1e,2e),(1e,1c),(1e,2c),

(2e,1e),(2e,2e),(2e,1c),(2e,2c),

(1c,1e),(1c,2e),(1c,1c),(1c,2c).

(2c,1e),(2c,2e),(2c,1c),(2c,2c)}

2

1

16

8 ==P2

1

44

222 =

××=P

10

Una baralla amb 4 cartes (1 i 2 d’espases, 1 i 2 de copes).

Calculem la probabilitat d’agafar una espasa i una copa

amb ordre i sense reposició (variacions)

Ω={(1e,2e),(1e,1c),(1e,2c),

(2e,1e),(2e,1c),(2e,2c),

(1c,1e),(1c,2e),(1c,2c),

(2c,1e),(2c,2e),(2c,1c)}

3

2

12

8 ==P3

2

34

222 =

××=P

11

Una baralla amb 4 cartes (1 i 2 d’espases, 1 i 2 de copes).

Calculem la probabilitat d’agafar una espasa i una copa

sense ordre i sense reposició (combinacions)

Ω={{1e,2e},{1e,1c},{1e,2c},{2e,1c},{2e,2c},{1c,2c}}

3

2

6

4 ==P3

22224

=×=C

P

12

Una baralla amb 4 cartes (1 i 2 d’espases, 1 i 2 de copes).

La probabilitat d’agafar una espasa i una copa sense ordre iamb reposició

Ω={{1e,1e},{1e,2e},{1e,1c},{1e,2c}, {2e,2e},{2e,1c},{2e,2c}, {1c,1c},{1c,2c},{2c,2c}}

Però en canvi aquí no podem utilitzar la fórmula de Laplace

L’espai no és equiprobable

10

4=P

13

Tornem a la baralla de 48 cartes amb 4 colls

Ens demanàvem per la probabilitat

de treure una espasa i una copa

• Ordre amb reposició (variacions amb repetició)

• Ordre sense reposició (variacions)

• Sense ordre i sense reposició (combinacions)

8

1

4848

12122 =

××=P

47

6

4748

12122 =

××=P

47

62

4748

1212 =×××=P

14

Problema històric de Fermat i Pascal

Carta de Pascal a Fermat datada un dimecres 20 de juliol

de 1654, planteja una qüestió feta pel cavaller De Méré.• Que és més favorable? Treure almenys un 6 en tirar 4

vegades un dau perfecte o treure almenys un doble 6 en tirar dos daus perfectes 24 vegades.

518,06

51

6

56)6un almenys(

4

4

4

44

=−=−=P

491,036

351

36

3536)6 dobleun almenys(

24

24

24

2424

=−=−=P

15

La grossa del sorteig de NadalLa grossa del sorteig de Nadal

Tenim un llibre d’un amic que viu a Menorca, en Pau.

Tenim una amiga que ha de visitar Menorca, la Mònica. No es

coneixen de res. Li donem el llibre a la Mònica i li diem que el

torni al Pau però sense cap més informació sobre qui és en

Pau. Ella arriba a Menorca amb vaixell i dóna el llibre al

primer home que es troba quan surt del vaixell.

Que és més probable, que aquest home sigui en Pau o que

ens toqui la grossa de Nadal?

000012,085000

1grossa)( ==P 000022,0

45000

1llibre)( ==P

16

Ruleta

• La ruleta té 37 números: del 0 al 36 (18 números vermells, 18 de negres i el 0).

• El 0 és el marge del casino.

• Si, per exemple, apostem a un número i l’encertem guanyem 35 cops l’aposta.

17

ApostesPremi

1 1 número 35

2 2 números 17

3 3 números 11

4 4 números 8

5 6 números 5

6 12 números 2

7 12 números 2

8 24 números 0.5

9 24 números 0.5

10 18 números 1

La ruleta sense el blanc seria un joc just

36

1)13 surti( =P

37

1)13 surti( =P

37

36)13 surti no( =P

036

351

36

135mitjàGuany =×−×=

La ruleta amb el blanc ja no és un joc just

36

35)13 surti no( =P

37

1

37

361

37

135mitjàGuany −=×−×=

19

Sorteig dels excedents del servei militar de 1998

• En el sorteig hi entraven 165342 joves, enumerats del 0 al 165341; i 16441 es lliuraven de fer la mili.

• Van posar 6 bombos amb 10 boles cadascun. En el primer bombo es van posar 5 zeros i 5 uns. En els altres cinc, deu boles amb els números del 0 al 9.

• Traient una bola de cada bombo es forma un nombre amb 6 dígits. Aquest nombre i els 16440 següents quedaven exclosos de fer el servei militar (quan s’arribava al final es tornava a començar pel 0).

• Si sortia el 0 al primer bombo no hi havia cap problema perquè acabava sortint un nombre entre 0 i el 99999.

• El problema apareixia quan en el primer bombo sortia un 1, aleshores del segon es treien números fins que sortia un número menor o igual a 7. I així successivament.

20

Sorteig dels excedents del servei militar de 1998

Simplifiquem el cas. Tenim 12 joves enumerats del 0 a l’11

i un d’ells queda exempt de fer la mili. Tenim dues urnes:

Per exemple, quines són les probabilitat dels jove 0 i 10?

25,02

1

2

1)10 jove( ==onP

Primera Urna0-1

Segona Urna0-1

Desenes Unitats

05,010

1

2

1)0 jove( ==onP

Segona Urna0-1-2-3-45-6-7-8-9

21

N piranyes i M truites de riu dins un aquari

Si es troben una piranya i una truita, la truita mor; si es troben

2 truites no succeeix res; i si es troben 2 piranyes es maten

entre elles. Les trobades són sempre entre 2 peixos i a l’atzar.

Si afegim un peix, quina probabilitat té de sobreviure?

Si afegim una piranya, tindrem N+1 piranyes.• Si N senar, N+1 parell. Es mataran totes. P=0.• Si N parell, N+1 senar. Una sobreviurà. P=1/(N+1).

Si afegim una truita.

• Si N senar. Quedarà una piranya viva. P=0.• Si N parell. No quedarà cap piranya. P=1/(N+1).

22

Travessa

Tenim 15 partits amb tres possibles resultats: • 1 guanya l’equip de casa• X empaten

• 2 guanya l’equip de fora

Aquesta probabilitat és discutible

90000000696,010969.63

1 815

=×== −P

23

Primitiva

Una aposta consisteix en seleccionar 6 números diferents

entre l’1 i el 49; i el sorteig en elegir a l'atzar 6 números

entre l’1 i el 49 (combinació guanyadora) i un setè número

(el complementari).

El primer premi és encertar la combinació guanyadora

sense importar-ne l'ordre.

0000000715,010 15 7.11 8-

!6!43!496

49

=×===C

P

24

Juguem a pòquer amb daus

Tirem 5 daus de cop, cada dau amb sis possibles resultats:

As, K, Q, J, vermells i negres

• Repòquer:

• Pòquer:

• Full:

000772,06

6)AAAAA(

5==P

019,06

5)56()AAAAB(

5=××=P

039,06

10)56()AAABB(

5=××=P

GRÀCIES

25

26

Primitiva

El segon premi és encertar-ne 5 números de la combinació

guanyadora i el complementari.

El tercer premi es encertar-ne 5 de la combinació

guanyadora.

000018,010 80 1. 5-

!6!43!49

!1!41!42

!1!5!6

649

142

56 =×=

×=×=

C

CCP

000000429,010 29 4. 7-

!6!43!49

!1!5!6

649

11

56 =×==×=C

CCP

27

Primitiva

El quart premi és encertar-ne 4 de la combinació

guanyadora.

El cinquè encertar-ne 3 de la combinació guanyadora.

0.018!6!43

!49

!3!40!43

!3!3!6

649

343

36 =

×=×=

C

CCP

000968,010 9.68 4-

!6!43!49

!2!41!43

!2!4!6

649

243

46 =×=

×=×=

C

CCP

28

Permutacions amb repetició

Amb la paraula FILL, quantes claus diferents podem

escriure amb aquestes 4 lletres?

Com que ens importa l’ordre i no es poden repetir, podríem

pensar que 4!=24.

Si les escrivim veiem què no. No podem distingir les 2 L!!!IFLL-ILFL-ILLF-FILL-FLIL-FLLI-LIFL-LILF-LLIF-LFIL-LFLI-LLFI

En general,

!!!

!

21,,, 21

k

mmmm mmm

mPR

l =

12!1!1!2

!4

!2

!441,1,2 ===PR

29

Juguem a pòquer amb daus

• Trio:

• Doble parella:

• Parella:

• Res:

154,06

6)AAABC(

5

51,1,3

25 =

××=

PRCP

463,06

6)AABCD(

5

51,1,1,2

35 =

××=

PRCP

231,06

4)AABBC(

5

51,2,2

26 =

××=

PRCP

093,06

23456

6)ABCDE(

55

51,1,1,1,1

56 =××××=

×=

PRCP