Tema 3G

eometr

í a Com

putacional

La envolvente convexa

Curso: 1º de Ingeniería Informática, Plan 2004Profesora: Lidia Ortega AlvaradoDepartamento: InformáticaCurso académico: 2009/10Ubicación: http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/gc/tema3.odpActualizado: 19/10/2009

La envolvente convexaÍndice

Definiciones de Envolvente Convexa Propiedades Algoritmos de cálculo

Algoritmo elemental El “scan” de Graham La marcha de Jarvis Quickhull Incremental Divide y Vencerás Diagrama Polar

Bibliografía

La envolvente convexaIntroducción

Es uno de los cálculos más importantes en Geometría Computacional con aplicaciones en distintas áreas, dentro yfuera de la Geometría Computacional

EnvolventeConvexade objetos

recubrimiento o cobertura que encierra a todos los elementos

sin vértices cóncavos

de puntos, polígonos, círculos, objetos 3D, etc.

Estudiaremos el caso más sencillo: la envolvente convexade un conjunto de puntos en el plano

La envolvente convexaDefiniciones

Definición intuitiva:Supongamos que cada punto del plano está representado comola cabeza de una puntilla hincada perpendicularmente sobreuna superficie plana. Si tomamos una goma elástica que envuelva a todas las puntillas, el resultado en la envolventeconvexa.

goma elásticatensa

goma al destensar

La envolvente convexaDefiniciones

Definición 1:La envolvente convexa de un conjunto de puntos S es el polígono convexo P que contiene a todos los elementos de Scon menor área (o perímetro) posible

S

menorpolígonoconvexoque envuelvea todos

no envuelvea todos

existe otropolígono conmenor área

La envolvente convexaDefiniciones

Definición 2:La envolvente convexa de un conjunto de puntos S es el polígono convexo P si para cada par de puntos x e y de S, elsegmento xy siempre está contenido en P

S

todos los posibles segmentos quedan dentro del polígono P

no se cumple la propiedad

La envolvente convexaPropiedades

Propiedad 1:El cálculo de la envolvente convexa consiste en encontrar todoslos puntos extremos del conjunto S.Un punto x∈S es no­extremo si existe un triángulo con vérticesen S (distintos de x) de forma que x esté dentro del triángulo.

S

punto interior

imposible encontrarun triángulo que lo envuelva

La envolvente convexaPropiedades

Propiedad 2:Un punto x∈S es extremo si existe una recta pasando por xque deje al resto de puntos de S hacia un lado de dicha recta

S

La envolvente convexaAlgoritmos elementales

Dado un conjunto S, encontrar todos sus puntos extremos ordenados en sentido antihorario

SSPropiedad 1:Cada punto p∈S puede estar en O(n3) triángulos distintosExisten O(n) puntos que cuestionar

O(n4)

Propiedad 2:Existen O(n2) pares de puntos distintosExisten O(n) puntos que cuestionar

O(n3)

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

ALGORITMO GRAHAM (VAR S:NubePuntos, n:entero, VAR Env:Poligono)ENTRADA: La nube de puntos S de tamaño nSALIDA: La envolvente convexa de S, CH(S)INICIO min <­ PuntoMenorOrdenada(S,n) OrdenarAngularmente(S,n,min) PilaCrea(Env) PilaPush(Env,S[0]) PilaPush(Env,S[1]) PilaPush(Env,S[2]) i <­ 1 MIENTRAS i < n­1 REPETIR t <­ PilaPop (Env) SI Izquierda (PilaTope(Env), t, S[i]) ENTONCES PilaPush (Env, t) PilaPush (Env, i) i <­ i+1 FIN_SI FIN_MIENTRASFIN

S

Basado en la Propiedad 1

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

ALGORITMO GRAHAM (VAR S:NubePuntos, n:entero, VAR Env:Poligono)ENTRADA: La nube de puntos S de tamaño nSALIDA: La envolvente convexa de S, CH(S)INICIO min <­ PuntoMenorOrdenada(S,n) OrdenarAngularmente(S,n,min) PilaCrea(Env) PilaPush(Env,S[0]) PilaPush(Env,S[1]) PilaPush(Env,S[2]) i <­ 1 MIENTRAS i < n­1 REPETIR t <­ PilaPop (Env) SI Izquierda (PilaTope(Env), t, S[i]) ENTONCES PilaPush (Env, t) PilaPush (Env, i) i <­ i+1 FIN_SI FIN_MIENTRASFIN

S

min

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

ALGORITMO GRAHAM (VAR S:NubePuntos, n:entero, VAR Env:Poligono)ENTRADA: La nube de puntos S de tamaño nSALIDA: La envolvente convexa de S, CH(S)INICIO min <­ PuntoMenorOrdenada(S,n) OrdenarAngularmente(S,n,min) PilaCrea(Env) PilaPush(Env,S[0]) PilaPush(Env,S[1]) PilaPush(Env,S[2]) i <­ 3 MIENTRAS i < n­1 REPETIR t <­ PilaPop (Env) SI Izquierda (PilaTope(Env), t, S[i]) ENTONCES PilaPush (Env, t) PilaPush (Env, i) i <­ i+1 FIN_SI FIN_MIENTRASFIN

S

min

1

23

4

5

6

7

8

9

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

ALGORITMO GRAHAM (VAR S:NubePuntos, n:entero, VAR Env:Poligono)ENTRADA: La nube de puntos S de tamaño nSALIDA: La envolvente convexa de S, CH(S)INICIO min <­ PuntoMenorOrdenada(S,n) OrdenarAngularmente(S,n,min) PilaCrea(Env) PilaPush(Env,S[0]) PilaPush(Env,S[1]) PilaPush(Env,S[2]) i <­ 3 MIENTRAS i < n­1 REPETIR t <­ PilaPop (Env) SI Izquierda (PilaTope(Env), t, S[i]) ENTONCES PilaPush (Env, t) PilaPush (Env, i) i <­ i+1 FIN_SI FIN_MIENTRASFIN

S

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0 1 2

Env

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

ALGORITMO GRAHAM (VAR S:NubePuntos, n:entero, VAR Env:Poligono)ENTRADA: La nube de puntos S de tamaño nSALIDA: La envolvente convexa de S, CH(S)INICIO min <­ PuntoMenorOrdenada(S,n) OrdenarAngularmente(S,n,min) PilaCrea(Env) PilaPush(Env,S[0]) PilaPush(Env,S[1]) PilaPush(Env,S[2]) i <­ 3 MIENTRAS i < n­1 REPETIR t <­ PilaPop (Env) SI Izquierda (PilaTope(Env), t, S[i]) ENTONCES PilaPush (Env, t) PilaPush (Env, i) i <­ i+1 FIN_SI FIN_MIENTRASFIN

S

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0 1

Envi=3 t=2Izquierda(1,2,3)=V

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

t <­ PilaPop (Env) SI Izquierda (PilaTope(Env), t, S[i]) ENTONCES PilaPush (Env, t) PilaPush (Env, i) i <­ i+1 FIN_SI

S

0

1

23

4

56

7

8

9

0 1 2

Envi=4 t=3Izquierda(2,3,4)=F

0 1

Envi=4 t=2Izquierda(1,2,4)=V

0 1 2

Envi=5 t=4Izquierda(2,4,5)=V

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

t <­ PilaPop (Env) SI Izquierda (PilaTope(Env), t, S[i]) ENTONCES PilaPush (Env, t) PilaPush (Env, i) i <­ i+1 FIN_SI

S

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0 1 2 4

Envi=6 t=5Izquierda(4,5,6)=V

0 1 2 4 5

Envi=7 t=6Izquierda(5,6,7)=V

0 1 2 4 5 6

Envi=8 t=7Izquierda(6,7,8)=F

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

t <­ PilaPop (Env) SI Izquierda (PilaTope(Env), t, S[i]) ENTONCES PilaPush (Env, t) PilaPush (Env, i) i <­ i+1 FIN_SI

S

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0 1 2 4 5

Envi=8 t=6Izquierda(5,6,8)=F

0 1 2 4

Envi=8 t=5Izquierda(4,5,8)=F

i=8 t=4Izquierda(2,4,8)=V

0 1 2

Env

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

MIENTRAS i < n­1 REPETIR t <­ PilaPop (Env) SI Izquierda (PilaTope(Env), t, S[i]) ENTONCES PilaPush (Env, t) PilaPush (Env, i) i <­ i+1 FIN_SI FIN_MIENTRAS

S

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0 1 2 4

Envi=9 t=8Izquierda(4,8,9)=V

0 1 2 4 8 9

Envi=10

La envolvente convexaAlgoritmo: Graham's scan

S

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0 1 2 4 8 9

EnvLa solución son los puntos de la envolvente ordenados

Tiempo de ejecución:mínimo O(n)ordenación O(n log n)bucle principal O(2n)

Teorema:El cálculo de la envolventeconvexa utilizando el métodode Graham se realiza en tiempoóptimo Ω (n log n)

La envolvente convexaAlgoritmo: La marcha de Jarvis (gift wrapping)

S

Basado en la Propiedad 2Un segmento definido por dos puntos x,y ∈S es una arista dela envolvente convexa sii el resto de puntos de S queda a un lado del segmento xy

La mejora de Jarvis: si el segmento xypertenece a la envolvente, el siguiente segmento será yz

xy

z

0

La envolvente convexaAlgoritmo: La marcha de Jarvis

S

1. Encontrar el punto de menor ordenada (pertenece a la envolvente) 2. Encontrar el punto s

1 tal que s

0s

1 sea

el segmento con menor ángulo partiedo de s

0

3. Encontrar el punto s2 tal que s

1s

2 sea

el segmento con menor ángulo partiedo del ángulo de s

0s

1

. . . . .

n­1. Encontrar el punto sn­1

tal que s

n­2s

n­1 sea el segmento con menor

ángulo partiendo del ángulo de sn­3

sn­2

0

La envolvente convexaAlgoritmo: La marcha de Jarvis

S

1. Encontrar el punto de menor ordenada (pertenece a la envolvente) 2. Encontrar el punto s

1 tal que s

0s

1 sea

el segmento con menor ángulo partiedo de s

0

3. Encontrar el punto s2 tal que s

1s

2 sea

el segmento con menor ángulo partiedo del ángulo de s

0s

1

. . . . .

n­1. Encontrar el punto sn­1

tal que s

n­2s

n­1 sea el segmento con menor

ángulo partiendo del ángulo de sn­3

sn­2

1

0

La envolvente convexa

S

1. Encontrar el punto de menor ordenada (pertenece a la envolvente) 2. Encontrar el punto s

1 tal que s

0s

1 sea

el segmento con menor ángulo partiedo de s

0

3. Encontrar el punto s2 tal que s

1s

2 sea

el segmento con menor ángulo partiedo del ángulo de s

0s

1

. . . . .

n­1. Encontrar el punto s0 tal que

sn­1

s0 sea el segmento con menor

ángulo partiendo del ángulo de sn­2

sn­1

1

2

Algoritmo: La marcha de Jarvis

La envolvente convexaLa solución son los puntos de la envolvente ordenados

0

La envolvente convexa

S

1

2

Tiempo de ejecución:mínimo O(n)Para k puntos O(n) O(k∙n)

Teorema:El cálculo de la envolventeconvexa utilizando el métodode Jarvis (gift wrapping) se realiza en tiempo O(n2)

Algoritmo: La marcha de Jarvis

0

La envolvente convexa

S

1

2

La envolvente convexaEl tiempo de ejecución depende del valor de k

Tiempo de ejecución: O(n2)

La envolvente convexaAlgoritmo: La marcha de Jarvis

La envolvente convexa

Tiempo de ejecución: O(3n)

La envolvente convexaLa envolvente convexa

Algoritmo: QuckhullLa envolvente convexa

Basado en el método de ordenación quicksort

min_y

min_x

max_y

max_y

puntos interiores(no se vuelven a procesar)

La envolvente convexaLa envolvente convexa

Algoritmo: QuckhullLa envolvente convexa

Localizar 2 puntos extremos a, b de S

FUNCION QuickHull(a,b,S) SI NOT Vacio(S) c ← punto más lejano de ab A ←puntos a la derecha de ac B ←puntos a la derecha de cb RETURN QuickHull(a,c,A)+c+ +QuickHull(c,b,B) FIN_SI FIN_FUNCION a

b

c

a

b

c

a

b

c

La envolvente convexaLa envolvente convexa

Algoritmo: QuckhullLa envolvente convexa

Localizar 2 puntos extremos a, b de S

FUNCION QuickHull(a,b,S) SI NOT Vacio(S) c ← punto más lejano de ab A ←puntos a la derecha de ac B ←puntos a la derecha de cb RETURN QuickHull(a,c,A)+c+ +QuickHull(c,b,B) FIN_SI FIN_FUNCION

a

b

c

Algoritmo: Quckhull

Tiempo de ejecución en el peor de los casos:ocurre cuando todos los puntos están en la envolventeT(n) = T(n­1)+O(n) O(n2)

Tiempo de ejecución en el mejor de los casos:ocurre cuando se realiza unasola división

La envolvente convexa

Algoritmo: IncrementalBasado en el siguiente paradigma: se resuelve el problema para un tamaño i­1, se añade un nuevo punto i, obteniéndose un nuevoresultado

s0,...,s

i­1

si⊄CH(s

0,...,s

i­1)

si⊂CH(s

0,...,s

i­1)

descartar estos puntos

La envolvente convexa

Algoritmo: Incremental

s0,...,s

i­1

Conocer puntos tangentes

FUNCIÓN PuntosTangentes (S,n, q):k,lENTRADA: S: polígono convexo de tamaño n q: nuevo puntoSALIDA: k y l, puntos tangentesINICIO k ← ­1 l ← ­1 PARA i ← 0 HASTA n­1 REPETIR SI XOR (Izquierda_sobre (S[i­1],S[i],q), Izquierda_sobre(S[i],S[i+1],q)) ENTONCES SI k=­1

ENTONCES k← i SINO l←i; SALIR_BUCLE;

FIN_SI FIN_PARAFIN

La envolvente convexa

i

i­1

i+1

q

ID

punto tangente

Algoritmo: Incremental

s0,...,s

i­1

Conocer puntos tangentes

FUNCIÓN PuntosTangentes (S,n, q):k,lENTRADA: S: polígono convexo de tamaño n q: nuevo puntoSALIDA: k y l, puntos tangentesINICIO k ← ­1 l ← ­1 PARA i ← 0 HASTA n­1 REPETIR SI XOR (Izquierda_sobre (S[i­1],S[i],q), Izquierda_sobre(S[i],S[i+1],q)) ENTONCES SI k=­1

ENTONCES k← i SINO l←i; SALIR_BUCLE;

FIN_SI FIN_PARAFIN

La envolvente convexa

i

i­1

i+1

q

DD

punto NOtangente

Algoritmo: Incremental

s0,...,s

i­1

Conocer puntos tangentes

FUNCIÓN PuntosTangentes (S,n, q):k,lENTRADA: S: polígono convexo de tamaño n q: nuevo puntoSALIDA: k y l, puntos tangentesINICIO k ← ­1 l ← ­1 PARA i ← 0 HASTA n­1 REPETIR SI XOR (Izquierda_sobre (S[i­1],S[i],q), Izquierda_sobre(S[i],S[i+1],q)) ENTONCES SI k=­1

ENTONCES k← i SINO l←i; SALIR_BUCLE;

FIN_SI FIN_PARAFIN

La envolvente convexa

i

i­1

i+1

q

DD

punto NOtangente

Algoritmo: Incremental

s0,...,s

i­1

Conocer puntos tangentes

FUNCIÓN PuntosTangentes (S,n, q):k,lENTRADA: S: polígono convexo de tamaño n q: nuevo puntoSALIDA: k y l, puntos tangentesINICIO k ← ­1 l ← ­1 PARA i ← 0 HASTA n­1 REPETIR SI XOR (Izquierda_sobre (S[i­1],S[i],q), Izquierda_sobre(S[i],S[i+1],q)) ENTONCES SI k=­1

ENTONCES k← i SINO l←i; SALIR_BUCLE;

FIN_SI FIN_PARAFIN

La envolvente convexa

i

i­1 i+1

q

D I

punto tangente

Algoritmo: Incremental

s0,...,s

i­1

La envolvente convexaAñadir el punto a la envolvente

CH(s0,...,s

i­1,q)= s

0,s

1,...,s

k­1,s

k,q,s

l,s

l+1,s

l+2

kk­1

k+1k

l­1

ll+1

Nota:k y l son los puntostangentes, pero sabemosel orden de aparición en la secuencia

Algoritmo: IncrementalLa envolvente convexa

Tiempo de ejecución:1.­ Comenzar con tres puntos (un triángulo siempre en convexo)

2.­ Para i=0 HASTA n­3 puntos O(n2) calcular si está contenido en el polígono O(i) calcular tangentes O(i)

Tiempo de ejecución para algoritmo mejorado:1.­ Ordenar los puntos de izquierda a derecha O(n logn)1.­ Comenzar con tres puntos (un triángulo siempre es convexo)

2.­ Para i=0 HASTA n­3 puntos O(n logn) calcular tangentes en tiempo O(log i)

Algoritmo: Divide y Vencerás

Basado en el paradigma: CH(S) = CH(s0,...,s

k­1)∪ CH(s

k,...,s

n­1)

La envolvente convexa

S

1. Ordenar S por la coordenada x2. Dividir S en dos subconjuntos, S

I el

de la izquierda y SDel de la derecha,

ambos de tamaño n/23. Construir CH(S

I) y CH(S

D)

recursivamente4. Mezclar CH(S

I) y CH(S

D) consiguiendo

CH(S)

SI

SD

Algoritmo: Divide y VencerásLa envolvente convexa

S

SI

SD

Mezclar las dos envolventes convexas

FUNCION MezclarEnvolventes (EI, ED: Poligono, n,m:Entero): E:PoligonoINICIO MenorTangente (EI, ED, n, m, a, b) MayorTangente (EI, ED, n, m, c, d) E <­­ a + b +b+1,...,d­1 + d + c + c+1,...,a­1FIN

a

b

c

d

Algoritmo: Divide y VencerásLa envolvente convexa

S

Mezclar las dos envolventes convexas

FUNCION MezclarEnvolventes (EI, ED: Poligono, n,m:Entero): E:PoligonoINICIO MenorTangente (EI, ED, n, m, a, b) MayorTangente (EI, ED, n, m, c, d) E <­­ a + b +b+1,...,d­1 + d + c + c+1,...,a­1FIN

a

c

b

d

Algoritmo: Divide y VencerásLa envolvente convexa

Cálculo de la menor tangente

FUNCION MenorTangente (EI, ED: Poligono, n, m: Entero):a,b:EnteroINICIO a <­ MasDecha (EI, n) b <­ MasIzda (ED, m) REPETIR aa <­ a bb <­ n MIENTRAS NO (TangenteMenor (EI,n,a,b)) a <­ (a­1+n) mod n FIN_MIENTRAS MIENTRAS NO (TangenteMenor (ED,m,a,b)) b <­ (b+1) mod n FIN_MIENTRAS HASTA (aa=a AND bb=b)FIN

0 12

3

45

0

1

2

3

4

Algoritmo: Divide y VencerásLa envolvente convexa

Cálculo de la menor tangente

FUNCION MenorTangente (EI, ED: Poligono, n, m: Entero):a,b:EnteroINICIO a <­ MasDecha (EI, n) b <­ MasIzda (ED, m) REPETIR aa <­ a bb <­ n MIENTRAS NO (TangenteMenor (EI,n,a,b)) a <­ (a­1+n) mod n FIN_MIENTRAS MIENTRAS NO (TangenteMenor (ED,m,a,b)) b <­ (b+1) mod n FIN_MIENTRAS HASTA (aa=a AND bb=b)FIN

0 12

3

45

0

1

2

3

4

Algoritmo: Divide y VencerásLa envolvente convexa

Cálculo de la menor tangente

FUNCION MenorTangente (EI, ED: Poligono, n, m: Entero):a,b:EnteroINICIO a <­ MasDecha (EI, n) b <­ MasIzda (ED, m) REPETIR aa <­ a bb <­ n MIENTRAS NO (TangenteMenor (EI,n,a,b)) a <­ (a­1+n) mod n FIN_MIENTRAS MIENTRAS NO (TangenteMenor (ED,m,a,b)) b <­ (b+1) mod n FIN_MIENTRAS HASTA (aa=a AND bb=b)FIN

0 12

3

45

0

1

2

3

4

Algoritmo: Divide y Vencerás

Tiempo de ejecución:1.­ Ordenar O(n logn)

2.­ Proceso recursivo Menor y mayor tangente O(n)

Ecuaciones de recurrencia:

Algoritmo: diagrama polar

Basado en la Propiedad 2, pero mejorando la marcha de Jarvis

El diagrama polar es una teselación del plano que asigna una región polar a cada punto s

i de S, de modo que dicha región

es el lugar de los puntos más cercanos angularmente a si que

a ningún otro sj de S.

La cercanía angular debe ser considerada tomando un ángulode partida y una dirección de partida.

De algún modo el diagrama polar es un diagrama de Voronoi queutiliza el criterio del menor ángulo polar en vez de la menordistancia euclídea

Cualquier punto x situado en esta regiónve primero al punto s

i antes que a

cualquier otro, al realizar un barridoangular en sentido antihorario y

partiendo del ángulo 0

Algoritmo: diagrama polar

S

si

x

Algoritmo: diagrama polar

S

Existe una propiedad del diagrama polarque permite el cálculo de la envolventeconvexa: aquellos ejes polares oblicuosque no intersectan con otros ejes partende puntos que están en la porciónderecha de la envolvente convexa

Algoritmo: diagrama polar

ALGORITMO DP (VAR S:NubePuntos, n:entero, VAR Env:Poligono)ENTRADA: La nube de puntos S de tamaño nSALIDA: La envolvente convexa de S, CH(S)INICIO OrdenarDescendiente(S,n) PilaCrea(Env) PilaPush(Env,S[0]) PilaPush(Env,S[1]) PARA i=2; i < n; i <­ i+1 REPETIR t <­ PilaPop(Env) MIENTRAS (NOT PilaVacia(Env) AND (la recta que pasa por los puntos TopePila(Env) y t intersecta con el semieje horizontal que parte de s[i] )) t<­PiPop (Env) FIN_MIENTRAS PilaPush(t) PilaPush(S[i]) FIN_MIENTRASFIN

Algoritmo: diagrama polar

S

En realidad la envolvente convexa es un subproducto del cálculo del diagramapolar: el conjunto de puntos que permanecen en la pila tras el proceso coincidecon la porción derecha de la envolvente convexa de S. El siguiente ejemplo muestra el estado de la pila al final de cada iteración

0

1

234

56

78

9

0 2

0 2 3

0 4

i=2

i=3

i=4

0 4 5

0 4 5 6

0 4 7

i=5

i=6

i=7

0 4 7 8 i=7

0 4 7 9 i=7

BibliografíaLa envolvente convexa

O´ROURKE Joseph. Computational Geometry in C. Cambridge University Press. 1998 (capítulo 3)

PREPARATA F.P., SHAMOS M.I. Computational Geometry. An Introduction. Springer­Verlag. 1985 (capítulo 3)