Motivación Autómatas Celulares y Biología Ejemplos y Aplicaciones Conclusiones

La Matemática en la Bioinformática y losAutómatas Celulares

Rosaura Palma-Orozco

Departmento de Posgrado, ESCOMDepartamento de Computación, CINVESTAV

rpalma@ipn.mx

CUDI, Agosto 2008

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Contenido

MotivaciónIntroducciónMatemática y Biología

Autómatas Celulares y BiologíaAutómatas celularesEstructura de un Autómata Celular

Ejemplos y AplicacionesAC implementados en Mathematica

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Ejemplos y AplicacionesAC implementados en Mathematica

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Introducción

Bioinformática es la aplicación del desarrollo de laComputación y las Matemáticas que permite la administración,análisis y comprensión de datos para resolver preguntasbiológicas.

Figure: La transcripción del genoma humano es uno de los mayoreslogros de la Bioinformática.

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Introducción

Su importancia puede ser en parte por las siguientes razones:

• El incremento explosivo de conjuntos de informacióndebido a la revolución genómica, las cuales son difícilesde entender sin el uso de herramientas analíticas.

• El reciente desarrollo de herramientas matemáticas (comopor ejemplo la Teoría del Caos) que ayuda alentendimiento de mecanismos complejos y no lineales enBiología.

• Un incremento en la capacidad computacional que permitehacer cálculos y simulaciones que no eran previamenteposibles.

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Introducción

Su importancia puede ser en parte por las siguientes razones:

• El incremento explosivo de conjuntos de informacióndebido a la revolución genómica, las cuales son difícilesde entender sin el uso de herramientas analíticas.

• El reciente desarrollo de herramientas matemáticas (comopor ejemplo la Teoría del Caos) que ayuda alentendimiento de mecanismos complejos y no lineales enBiología.

• Un incremento en la capacidad computacional que permitehacer cálculos y simulaciones que no eran previamenteposibles.

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Introducción

Su importancia puede ser en parte por las siguientes razones:

• El incremento explosivo de conjuntos de informacióndebido a la revolución genómica, las cuales son difícilesde entender sin el uso de herramientas analíticas.

• El reciente desarrollo de herramientas matemáticas (comopor ejemplo la Teoría del Caos) que ayuda alentendimiento de mecanismos complejos y no lineales enBiología.

• Un incremento en la capacidad computacional que permitehacer cálculos y simulaciones que no eran previamenteposibles.

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Introducción

Su importancia puede ser en parte por las siguientes razones:

• El incremento explosivo de conjuntos de informacióndebido a la revolución genómica, las cuales son difícilesde entender sin el uso de herramientas analíticas.

• El reciente desarrollo de herramientas matemáticas (comopor ejemplo la Teoría del Caos) que ayuda alentendimiento de mecanismos complejos y no lineales enBiología.

• Un incremento en la capacidad computacional que permitehacer cálculos y simulaciones que no eran previamenteposibles.

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Introducción

Un modelo de un sistema biológico es convertido a sistemasde ecuaciones.

La solución de las ecuaciones, ya sea por medios analíticos onuméricos, describe cómo el sistema biológico se comporta enel tiempo o en equilibrio.

El modelo a menudo hace suposiciones sobre el sistema. Lasecuaciones pueden también hacer suposiciones sobre lanaturaleza de lo que puede ocurrir.

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Un modelo de un sistema biológico es convertido a sistemasde ecuaciones.

La solución de las ecuaciones, ya sea por medios analíticos onuméricos, describe cómo el sistema biológico se comporta enel tiempo o en equilibrio.

El modelo a menudo hace suposiciones sobre el sistema. Lasecuaciones pueden también hacer suposiciones sobre lanaturaleza de lo que puede ocurrir.

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Introducción

Un modelo de un sistema biológico es convertido a sistemasde ecuaciones.

La solución de las ecuaciones, ya sea por medios analíticos onuméricos, describe cómo el sistema biológico se comporta enel tiempo o en equilibrio.

El modelo a menudo hace suposiciones sobre el sistema. Lasecuaciones pueden también hacer suposiciones sobre lanaturaleza de lo que puede ocurrir.

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Introducción

El Método de los Elementos Finitos (FEM) es de ampliautilización en análisis de sistemas y espacios físico-mecánicosdonde el objetivo sea comprender la resistencia de materiales,la dinámica de partículas y en general el comportamiento y lainteracción de los elementos base del sistema en el espacio.

Pero quedan aún muchos sistemas complejos y de diversanaturaleza en los cuales no es convencional aplicar estatécnica, por ejemplo, sistemas químicos, biológicos, evolutivos,genéticos, eléctricos, o computacionales.

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Introducción

El Método de los Elementos Finitos (FEM) es de ampliautilización en análisis de sistemas y espacios físico-mecánicosdonde el objetivo sea comprender la resistencia de materiales,la dinámica de partículas y en general el comportamiento y lainteracción de los elementos base del sistema en el espacio.

Pero quedan aún muchos sistemas complejos y de diversanaturaleza en los cuales no es convencional aplicar estatécnica, por ejemplo, sistemas químicos, biológicos, evolutivos,genéticos, eléctricos, o computacionales.

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Introducción

Para el modelamiento de este tipo de sistemas quedan aúntres opciones:

1. Lograr un modelo de naturaleza continua (en aquellossistemas analógicos), en el cual se requiere expresionesde funciones continuas.

2. Utilizar métodos aproximados de discretización (sinembargo, se tienen problemas de digitalización delmodelo).

3. Modelar con un Autómata Celular.

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Para el modelamiento de este tipo de sistemas quedan aúntres opciones:

1. Lograr un modelo de naturaleza continua (en aquellossistemas analógicos), en el cual se requiere expresionesde funciones continuas.

2. Utilizar métodos aproximados de discretización (sinembargo, se tienen problemas de digitalización delmodelo).

3. Modelar con un Autómata Celular.

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Introducción

Para el modelamiento de este tipo de sistemas quedan aúntres opciones:

1. Lograr un modelo de naturaleza continua (en aquellossistemas analógicos), en el cual se requiere expresionesde funciones continuas.

2. Utilizar métodos aproximados de discretización (sinembargo, se tienen problemas de digitalización delmodelo).

3. Modelar con un Autómata Celular.

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Introducción

Para el modelamiento de este tipo de sistemas quedan aúntres opciones:

1. Lograr un modelo de naturaleza continua (en aquellossistemas analógicos), en el cual se requiere expresionesde funciones continuas.

2. Utilizar métodos aproximados de discretización (sinembargo, se tienen problemas de digitalización delmodelo).

3. Modelar con un Autómata Celular.

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Introducción

Los AC son estructuras ideales para construir modelosdigitales aproximados de algunos sistemas complejos denaturaleza continua, sin pasar por modelos analógicos.

Debido a esto, desde su origen se les ha utilizado comoelementos de la Computación para la modelación defenómenos biológicos y físicos.

Además, son estudiados como objetos matemáticos debidoal interés intrínseco relativo a los aspectos formales de sucomportamiento.

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Introducción

Los AC son estructuras ideales para construir modelosdigitales aproximados de algunos sistemas complejos denaturaleza continua, sin pasar por modelos analógicos.

Debido a esto, desde su origen se les ha utilizado comoelementos de la Computación para la modelación defenómenos biológicos y físicos.

Además, son estudiados como objetos matemáticos debidoal interés intrínseco relativo a los aspectos formales de sucomportamiento.

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Introducción

Los AC son estructuras ideales para construir modelosdigitales aproximados de algunos sistemas complejos denaturaleza continua, sin pasar por modelos analógicos.

Debido a esto, desde su origen se les ha utilizado comoelementos de la Computación para la modelación defenómenos biológicos y físicos.

Además, son estudiados como objetos matemáticos debidoal interés intrínseco relativo a los aspectos formales de sucomportamiento.

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Introducción

Figure: AC generado mediante la "regla 30", de Stephen Wolfram.

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Complejidad biológica

La complejidad biológica hace referencia a la vida entendidacomo sistema complejo.

Un sistema complejo está compuesto por varias partesinterconectadas o entrelazadas cuyos vínculos contieneninformación adicional y oculta al observador.

Como resultado de las interacciones entre elementos, surgenpropiedades nuevas que no pueden explicarse a partir de laspropiedades de los elementos aislados. Dichas propiedades sedenominan propiedades emergentes.

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Complejidad biológica

La complejidad biológica hace referencia a la vida entendidacomo sistema complejo.

Un sistema complejo está compuesto por varias partesinterconectadas o entrelazadas cuyos vínculos contieneninformación adicional y oculta al observador.

Como resultado de las interacciones entre elementos, surgenpropiedades nuevas que no pueden explicarse a partir de laspropiedades de los elementos aislados. Dichas propiedades sedenominan propiedades emergentes.

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Complejidad biológica

La complejidad biológica hace referencia a la vida entendidacomo sistema complejo.

Un sistema complejo está compuesto por varias partesinterconectadas o entrelazadas cuyos vínculos contieneninformación adicional y oculta al observador.

Como resultado de las interacciones entre elementos, surgenpropiedades nuevas que no pueden explicarse a partir de laspropiedades de los elementos aislados. Dichas propiedades sedenominan propiedades emergentes.

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Complejidad biológica

Muchos de los rasgos y procesos estudiados por las CienciasBiológicas son considerados emergentes.

Figure: Los emergentistas buscan comprender la complejidad deluniverso como una jerarquía de niveles emergentes.

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Complejidad biológica

Todo sistema complejo emerge a partir de sus partes y fluctúahasta quedar fuertemente estabilizado en un atractor.

Esto lo logra con la aparición de toda una serie deretroalimentaciones positivas y negativas que atenúancualquier modificación provocada por un accidente externo.

Se puede afirmar que el sistema reacciona ante agresionesexternas que pretendan modificar su estructura.

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Todo sistema complejo emerge a partir de sus partes y fluctúahasta quedar fuertemente estabilizado en un atractor.

Esto lo logra con la aparición de toda una serie deretroalimentaciones positivas y negativas que atenúancualquier modificación provocada por un accidente externo.

Se puede afirmar que el sistema reacciona ante agresionesexternas que pretendan modificar su estructura.

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Complejidad biológica

Todo sistema complejo emerge a partir de sus partes y fluctúahasta quedar fuertemente estabilizado en un atractor.

Esto lo logra con la aparición de toda una serie deretroalimentaciones positivas y negativas que atenúancualquier modificación provocada por un accidente externo.

Se puede afirmar que el sistema reacciona ante agresionesexternas que pretendan modificar su estructura.

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Autoorganización

La autoorganización es objeto de estudio interdisciplinario,pues es una propiedad característica de los sistemascomplejos, ya sean éstos matemáticos, físicos, químicos,biológicos, sociales o económicos.

El concepto de autoorganización fue adoptado por todosaquellos asociados a la Teoría de Sistemas en la década de1960, pero no se convirtió en un lugar científico común hastasu adopción por parte de los físicos y, en general, de losinvestigadores de sistemas complejos en las décadas de1970-80.

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Autoorganización

La autoorganización es objeto de estudio interdisciplinario,pues es una propiedad característica de los sistemascomplejos, ya sean éstos matemáticos, físicos, químicos,biológicos, sociales o económicos.

El concepto de autoorganización fue adoptado por todosaquellos asociados a la Teoría de Sistemas en la década de1960, pero no se convirtió en un lugar científico común hastasu adopción por parte de los físicos y, en general, de losinvestigadores de sistemas complejos en las décadas de1970-80.

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Autoorganización

Desde el trabajo de Turing, la filotaxis se ha convertido en unejemplo clásico de patrón resultante de un procesoautoorganizativo.

Turing trabajó desde 1952 hasta que falleció en 1954 en laBiología Matemática (es una área interdisciplinaria de estudiosque se enfoca en modelamiento de los procesos biológicosutilizando técnicas matemáticas), concretamente en laMorfogénesis.

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Autoorganización

Desde el trabajo de Turing, la filotaxis se ha convertido en unejemplo clásico de patrón resultante de un procesoautoorganizativo.

Turing trabajó desde 1952 hasta que falleció en 1954 en laBiología Matemática (es una área interdisciplinaria de estudiosque se enfoca en modelamiento de los procesos biológicosutilizando técnicas matemáticas), concretamente en laMorfogénesis.

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AutoorganizaciónSu principal interés era comprender la filotaxis de Fibonacci.Utilizó ecuaciones de reacción-difusión que actualmente soncruciales en el campo de la formación de patrones.

Figure: Filotaxis de hojas opuestas.

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Autómata Celular

Un AC es una herramienta computacional que hace parte de laInteligencia Artificial basada en modelos biológicos, el cualestá básicamente compuesto por una estructura estática dedatos y un conjunto finito de reglas que son aplicadas a cadanodo o elemento de la estructura.

El interés que ha despertado esta técnica radica en la sencillezy en la simplicidad que caracteriza la construcción de losmodelos; además, en la particularidad de los patrones decomportamiento presentados por el autómata en tiempo deejecución.

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Autómata Celular

Un AC es una herramienta computacional que hace parte de laInteligencia Artificial basada en modelos biológicos, el cualestá básicamente compuesto por una estructura estática dedatos y un conjunto finito de reglas que son aplicadas a cadanodo o elemento de la estructura.

El interés que ha despertado esta técnica radica en la sencillezy en la simplicidad que caracteriza la construcción de losmodelos; además, en la particularidad de los patrones decomportamiento presentados por el autómata en tiempo deejecución.

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Autómata Celular

La construcción original de von Neumann de un arreglo celularauto-reproductivo requería que cada célula soportara unconjunto de 29 estados. El arreglo por sí mismo requeríaaproximadamente 200,000 células.

Además, el valor del estado en que se encuentra cada céluladel arreglo localizada en una posición (i , j) (donde i es lacolumna y j el renglón) en un tiempo t estará determinado porlos valores de los estados en que se encuentran las célulaslocalizadas en las posiciones (i − 1, j), (i + 1, j),(i , j + 1) e(i , j − 1) (izquierda, derecha, arriba y abajo, respectivamente).

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Autómata Celular

La construcción original de von Neumann de un arreglo celularauto-reproductivo requería que cada célula soportara unconjunto de 29 estados. El arreglo por sí mismo requeríaaproximadamente 200,000 células.

Además, el valor del estado en que se encuentra cada céluladel arreglo localizada en una posición (i , j) (donde i es lacolumna y j el renglón) en un tiempo t estará determinado porlos valores de los estados en que se encuentran las célulaslocalizadas en las posiciones (i − 1, j), (i + 1, j),(i , j + 1) e(i , j − 1) (izquierda, derecha, arriba y abajo, respectivamente).

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Autómata Celular

Cada célula del arreglo en algún momento será una célulacentral, la cual junto con las células ubicadas ortogonalmenteforman lo que se conoce como vecindad von Neumann.

Las interacciones locales de las vecindades en un tiempo tdeterminan el estado global del arreglo (el cual es actualizadosíncronamente) en el tiempo t + 1.

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Autómata Celular

Cada célula del arreglo en algún momento será una célulacentral, la cual junto con las células ubicadas ortogonalmenteforman lo que se conoce como vecindad von Neumann.

Las interacciones locales de las vecindades en un tiempo tdeterminan el estado global del arreglo (el cual es actualizadosíncronamente) en el tiempo t + 1.

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Estructura de un Autómata Celular

Basados en el planteamiento que presenta Muñoz[4] acerca dela estructura de un AC, se definen como sus componentesbásicos:

• Un plano 2-dimensional o un espacio n-dimensionaldividido en un número de subespacios homogéneos,conocidos como celdas. A todo esto se le denominaTeselación Homogénea.

• Cada celda puede estar en uno de un conjunto finito onumerable S de Estados.

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Estructura de un Autómata Celular

Basados en el planteamiento que presenta Muñoz[4] acerca dela estructura de un AC, se definen como sus componentesbásicos:

• Un plano 2-dimensional o un espacio n-dimensionaldividido en un número de subespacios homogéneos,conocidos como celdas. A todo esto se le denominaTeselación Homogénea.

• Cada celda puede estar en uno de un conjunto finito onumerable S de Estados.

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Estructura de un Autómata Celular

Basados en el planteamiento que presenta Muñoz[4] acerca dela estructura de un AC, se definen como sus componentesbásicos:

• Un plano 2-dimensional o un espacio n-dimensionaldividido en un número de subespacios homogéneos,conocidos como celdas. A todo esto se le denominaTeselación Homogénea.

• Cada celda puede estar en uno de un conjunto finito onumerable S de Estados.

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Estructura de un Autómata Celular

• Una Configuración C, la que consiste en asignarle unestado a cada celda del autómata.

• Una Vecindad definida para cada celda, la que consiste enun conjunto contiguo de celdas, indicando sus posicionesrelativas respecto a la celda misma.

• Una Regla de Evolución, la cual define cómo debe cadacelda cambiar de estado, dependiendo del estadoinmediatamente anterior de su vecindad.

• Un Reloj Virtual de Cómputo conectado a cada celda delautómata, el cual generará pulsos simultáneos a todas lasceldas indicando que debe aplicarse la regla de evolucióny de esta forma cada celda cambiará de estado.

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Estructura de un Autómata Celular

• Una Configuración C, la que consiste en asignarle unestado a cada celda del autómata.

• Una Vecindad definida para cada celda, la que consiste enun conjunto contiguo de celdas, indicando sus posicionesrelativas respecto a la celda misma.

• Una Regla de Evolución, la cual define cómo debe cadacelda cambiar de estado, dependiendo del estadoinmediatamente anterior de su vecindad.

• Un Reloj Virtual de Cómputo conectado a cada celda delautómata, el cual generará pulsos simultáneos a todas lasceldas indicando que debe aplicarse la regla de evolucióny de esta forma cada celda cambiará de estado.

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Estructura de un Autómata Celular

• Una Configuración C, la que consiste en asignarle unestado a cada celda del autómata.

• Una Vecindad definida para cada celda, la que consiste enun conjunto contiguo de celdas, indicando sus posicionesrelativas respecto a la celda misma.

• Una Regla de Evolución, la cual define cómo debe cadacelda cambiar de estado, dependiendo del estadoinmediatamente anterior de su vecindad.

• Un Reloj Virtual de Cómputo conectado a cada celda delautómata, el cual generará pulsos simultáneos a todas lasceldas indicando que debe aplicarse la regla de evolucióny de esta forma cada celda cambiará de estado.

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Estructura de un Autómata Celular

• Una Configuración C, la que consiste en asignarle unestado a cada celda del autómata.

• Una Vecindad definida para cada celda, la que consiste enun conjunto contiguo de celdas, indicando sus posicionesrelativas respecto a la celda misma.

• Una Regla de Evolución, la cual define cómo debe cadacelda cambiar de estado, dependiendo del estadoinmediatamente anterior de su vecindad.

• Un Reloj Virtual de Cómputo conectado a cada celda delautómata, el cual generará pulsos simultáneos a todas lasceldas indicando que debe aplicarse la regla de evolucióny de esta forma cada celda cambiará de estado.

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Estructura de un Autómata Celular

Según Toffoli y Margolus[5], se define un AC sólo si se tieneque todas las celdas:

• Tienen el mismo conjunto S de Estados posibles.

• Tienen la misma forma de Vecindad.

• Tienen la misma Regla de Evolución.

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Ejemplos y Aplicaciones

Tal vez, lo más llamativo e interesante de los AC es elcomportamiento presentado por el modelo en tiempo deejecución y la similitud de éste con la complejidad de lanaturaleza continua.

• "Life" o "El Juego de la Vida", por ejemplo, simula laexistencia de diferentes "formas de vida" sobre un espacio2-dimensional, las cuales presentan singularcomportamiento a través del tiempo.

• "Evolución" es un autómata que simula cómo un conjuntode microbios sobreviven comiendo bacterias.

• "Mayoría Alineada" muestra cómo es el comportamientode la tensión superficial entre líquidos no permeables.

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Ejemplos y Aplicaciones

Tal vez, lo más llamativo e interesante de los AC es elcomportamiento presentado por el modelo en tiempo deejecución y la similitud de éste con la complejidad de lanaturaleza continua.

• "Life" o "El Juego de la Vida", por ejemplo, simula laexistencia de diferentes "formas de vida" sobre un espacio2-dimensional, las cuales presentan singularcomportamiento a través del tiempo.

• "Evolución" es un autómata que simula cómo un conjuntode microbios sobreviven comiendo bacterias.

• "Mayoría Alineada" muestra cómo es el comportamientode la tensión superficial entre líquidos no permeables.

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Ejemplos y Aplicaciones

Tal vez, lo más llamativo e interesante de los AC es elcomportamiento presentado por el modelo en tiempo deejecución y la similitud de éste con la complejidad de lanaturaleza continua.

• "Life" o "El Juego de la Vida", por ejemplo, simula laexistencia de diferentes "formas de vida" sobre un espacio2-dimensional, las cuales presentan singularcomportamiento a través del tiempo.

• "Evolución" es un autómata que simula cómo un conjuntode microbios sobreviven comiendo bacterias.

• "Mayoría Alineada" muestra cómo es el comportamientode la tensión superficial entre líquidos no permeables.

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Ejemplos y Aplicaciones

El modelar un sistema del mundo real por medio de un AC,requiere que se conozca al menos su comportamiento global.

Si conocido este comportamiento se quiere deducir unconjunto de reglas de evolución local que lo genere, entoncesse desea desarrollar el autómata por el Problema Inverso.

De lo contrario, si se desea primero experimentar y ajustar unaRegla de Evulución pseudo-aleatoria hasta lograr uncomportamiento similar al del sistema real, entonces se deseadesarrollar el autómata por el Problema Directo.

No obstante, se puede lograr algo intermedio, a partir decomportamientos locales del sistema real construir una reglade evolución local y ponerla a prueba para determinar si selogra un autómata que modele el comportamiento del sistemaglobal, a esto se el denomina el Problema Intermedio.

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Ejemplos y Aplicaciones

El modelar un sistema del mundo real por medio de un AC,requiere que se conozca al menos su comportamiento global.

Si conocido este comportamiento se quiere deducir unconjunto de reglas de evolución local que lo genere, entoncesse desea desarrollar el autómata por el Problema Inverso.

De lo contrario, si se desea primero experimentar y ajustar unaRegla de Evulución pseudo-aleatoria hasta lograr uncomportamiento similar al del sistema real, entonces se deseadesarrollar el autómata por el Problema Directo.

No obstante, se puede lograr algo intermedio, a partir decomportamientos locales del sistema real construir una reglade evolución local y ponerla a prueba para determinar si selogra un autómata que modele el comportamiento del sistemaglobal, a esto se el denomina el Problema Intermedio.

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Ejemplos y Aplicaciones

El modelar un sistema del mundo real por medio de un AC,requiere que se conozca al menos su comportamiento global.

Si conocido este comportamiento se quiere deducir unconjunto de reglas de evolución local que lo genere, entoncesse desea desarrollar el autómata por el Problema Inverso.

De lo contrario, si se desea primero experimentar y ajustar unaRegla de Evulución pseudo-aleatoria hasta lograr uncomportamiento similar al del sistema real, entonces se deseadesarrollar el autómata por el Problema Directo.

No obstante, se puede lograr algo intermedio, a partir decomportamientos locales del sistema real construir una reglade evolución local y ponerla a prueba para determinar si selogra un autómata que modele el comportamiento del sistemaglobal, a esto se el denomina el Problema Intermedio.

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Ejemplos y Aplicaciones

El modelar un sistema del mundo real por medio de un AC,requiere que se conozca al menos su comportamiento global.

Si conocido este comportamiento se quiere deducir unconjunto de reglas de evolución local que lo genere, entoncesse desea desarrollar el autómata por el Problema Inverso.

De lo contrario, si se desea primero experimentar y ajustar unaRegla de Evulución pseudo-aleatoria hasta lograr uncomportamiento similar al del sistema real, entonces se deseadesarrollar el autómata por el Problema Directo.

No obstante, se puede lograr algo intermedio, a partir decomportamientos locales del sistema real construir una reglade evolución local y ponerla a prueba para determinar si selogra un autómata que modele el comportamiento del sistemaglobal, a esto se el denomina el Problema Intermedio.

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Ejemplos y Aplicaciones

Dependiendo de la naturaleza compleja de un sistema y de laposibilidad de identificar estados locales y reglas generales deevolución, se podrían simular comportamientos por medio deAutómatas Celulares.

Por ejemplo, los mundos y sistemas enunciados a continuaciónson susceptibles a un modelamiento por esta técnica:

Simulación de tráfico vehicular, virus, glóbulos, epidemias,bacterias, contaminación, ecosistemas, evolución galáctica,flujo de electrones, acción y reacción, medios granulares yevolución genética entre otros.

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Ejemplos y Aplicaciones

Dependiendo de la naturaleza compleja de un sistema y de laposibilidad de identificar estados locales y reglas generales deevolución, se podrían simular comportamientos por medio deAutómatas Celulares.

Por ejemplo, los mundos y sistemas enunciados a continuaciónson susceptibles a un modelamiento por esta técnica:

Simulación de tráfico vehicular, virus, glóbulos, epidemias,bacterias, contaminación, ecosistemas, evolución galáctica,flujo de electrones, acción y reacción, medios granulares yevolución genética entre otros.

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Snow

En este ejemplo se muestra el patrón conocido como copo denieve, y es generado por un AC.

Utiliza una función de transformación de una vecindadcuadrada a una hexagonal.

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Snow

Figure: Copo de nieve generado por un AC en una vecindadhexagonal.

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Patrones de Turing

En este ejemplo se muestra un fenómeno conocido comopatrones de Turing, que se presenta en la naturaleza enparticular en animales vertebrados como las jirafas, vacas yjaguares.

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Patrones de Turing

Figure: Patrones de Turing (Manchas en la piel).

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Conclusiones

• Es típico de un AC generar comportamientos complejos apartir de reglas muy sencillas.

• Son útiles en la construcción de modelos donde loselementos base o componentes son de similar naturalezay comportamiento.

• Los AC se rigen por reglas parecidas y donde, en elmismo sistema real, se identifican componentesdiferenciables, independientes, aislables y/o discretos.

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Conclusiones

• Es típico de un AC generar comportamientos complejos apartir de reglas muy sencillas.

• Son útiles en la construcción de modelos donde loselementos base o componentes son de similar naturalezay comportamiento.

• Los AC se rigen por reglas parecidas y donde, en elmismo sistema real, se identifican componentesdiferenciables, independientes, aislables y/o discretos.

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Conclusiones

• Es típico de un AC generar comportamientos complejos apartir de reglas muy sencillas.

• Son útiles en la construcción de modelos donde loselementos base o componentes son de similar naturalezay comportamiento.

• Los AC se rigen por reglas parecidas y donde, en elmismo sistema real, se identifican componentesdiferenciables, independientes, aislables y/o discretos.

Appendix

Referencias I

BERCHELAMP, Elwyn; CONWAY, John y GUY, Richard.Winning Ways. Academic Press, 1982.

GARDNER, Martin. Wheels: Life and other MathematicalAmazements. W. H. Freeman and Company, 1983.

HARDY, J.; DE PAZZIS, O. y POMEAU, Y. MolecularDynamics of a Classical Lattice Gas: Transport Propertiesand Time Correlation Functions. Physical Review, No. 5,1976.

MUÑOZ CASTAÑO, José Daniel. AUTÓMATASCELULARES Y FÍSICA DIGITAL Memorias del PrimerCongreso Colombiano de NeuroComputación 1996. 28 p.ISBN 958-9205-17-8.

Appendix

Referencias II

TOFFOLI, Tommaso y MARGOLUS, Norman. CellularAutomata Machines: A New Environment for Modeling. TheMIT Press, Cambridge MA, 1987.

Autómatas Celulareshttp://www.pannet.pa/ rperez/celular.html

Autómatas Celulares, Fractales y Vista Prohttp://www.pannet.pa/ rperez/vp_es.html

Autómatas Celulares Adaptativoshttp://strix.ciens.ucv.ve/physis/REVISTA/N003/autcel.html

GAIA: Autómatas Celulareshttp://www.geocities.com/SiliconValley/Vista/7491/auto_c.htm