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CONTROL DE PROCESOS 2016-II
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LABORATORIO N°2
TRANSFORMADA DE LAPLACE
27/04/2016
1. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ayuda a relacionar las ecuaciones diferenciales lineales de orden n con el dominio s mediante el operador de Laplace.
𝐹(𝑠) = 𝐿[𝑓(𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
A continuación se explican dos propiedades de las más importantes de la transformada de Laplace, las cuales son útiles porque permiten obtener la transformada de algunas funciones a partir de las más simples.
2.1. Linealidad Esta propiedad la más importante, establece que la transformada es lineal; es decir, si k es una contante:
𝐿[𝑘𝑓(𝑡)] = k L[f(t)] = k F(s)
𝐿[𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)] = L[f(t)] + L[g(t)] = F(s) + G(s)
2.2. Teorema de la Diferenciación Real Este teorema establece la relación de la transformada de una función con la de su derivada.
𝐿 [𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡] = s F(s) − f(0)
𝐿 [𝑑2𝑓(𝑡)
𝑑𝑡2] = s2 F(s) − s f(0) − f´(0)
3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Se llama f(t) a la transformada inversa de Laplace de F(s), y se denota por:
𝑓(𝑡) = 𝐿−1[𝐹(𝑠)]
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4. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
También llamado desarrollo de fracciones parciales, se conoce como polinomio característico a la transformación de una función f (t) a la forma F(s). Existen 4 casos bastante conocidos sobre este tema, que se exponen a continuación: Caso I. El polinomio característico presenta raíces reales distintas.
𝐺(𝑠) =𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)=
𝑃(𝑠)
(𝑠 + 𝑝1)(𝑠 + 𝑝2) … (𝑠 + 𝑝𝑛 )
𝐺(𝑠) =𝐴
(𝑠 + 𝑝1)+
𝐵
(𝑠 + 𝑝2)+ ⋯
𝑁
(𝑠 + 𝑝𝑛)
Caso II. El polinomio característico presenta n raíces reales repetidas.
𝐺(𝑠) =𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)=
𝑃(𝑠)
(𝑠 + 𝑝)𝑛
𝐺(𝑠) =𝐴
(𝑠 + 𝑝)+
𝐵
(𝑠 + 𝑝)2+ ⋯
𝑁
(𝑠 + 𝑝)𝑛
Caso III. El polinomio característico tiene raíces complejas distintas.
𝐺(𝑠) =𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)=
𝑃(𝑠)
(𝑠2 + 𝑏1𝑠 + 𝑐1)(𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑐2) … (𝑠2 + 𝑏𝑛𝑠 + 𝑐𝑛 )
𝐺(𝑠) =𝐴𝑠 + 𝐵
(𝑠2 + 𝑏1𝑠 + 𝑐1)+
𝐶𝑠 + 𝐷
(𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑐2)+ ⋯
𝑀𝑠 + 𝑁
(𝑠2 + 𝑏𝑛𝑠 + 𝑐𝑛)
Caso IV. El polinomio característico tiene n raíces complejas repetidas.
𝐺(𝑠) =𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)=
𝑃(𝑠)
(𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐)𝑛
𝐺(𝑠) =𝐴𝑠 + 𝐵
(𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐)+
𝐶𝑠 + 𝐷
(𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐)2+ ⋯
𝑀𝑠 + 𝑁
(𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐)𝑛
5. OTRAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace posee dos teoremas muy importantes usados en los
procesos dinámicos y el control de procesos.
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5.1. Teorema de Valor Inicial (TVI)
Si se tiene que y (t) es la respuesta de un sistema a una determinada entrada,
el teorema de valor inicial seria:
𝑦(0) = lim𝑡→0
𝑦(𝑡) = lim𝑠→∞
𝑠 𝑌(𝑠)
Este teorema es útil para calcular el valor inicial de una función a partir de su
transformada.
5.2. Teorema de Valor Final (TVF)
Igualmente para el teorema de valor final se establece que:
𝑦(∞) = lim𝑡→∞
𝑦(𝑡) = lim𝑠→0
𝑠 𝑌(𝑠)
Este teorema permite el cálculo del valor final o de estado estacionario de una
función a partir de su transformada.
6. EJERCICIOS DE APLICACIÓN CON MATLAB
6.1. Ejercicio N°1
De la ecuación diferencial de segundo orden:
𝑑2𝑐(𝑡)
𝑑𝑡2+ 3
𝑑𝑐(𝑡)
𝑑𝑡+ 2𝑐(𝑡) = 5𝑢(𝑡)
En la que u(t) es la función escalón unitario, encuéntrese la función c(t),
sabiendo que las condiciones iniciales son:
𝑐(0) = 0; 𝑑𝑐
𝑑𝑡(0) = 0
Aplicando Transformada de Laplace
𝐿 [𝑑2𝑐(𝑡)
𝑑𝑡2] + 𝐿 [3
𝑑𝑐(𝑡)
𝑑𝑡] + 𝐿[2𝑐(𝑡)] = 𝐿[5𝑢(𝑡)]
𝑠2𝐶(𝑠) + 3𝑠𝐶(𝑠) + 2𝐶(𝑠) = 5𝑈(𝑠)
𝐶(𝑠)(𝑠2 + 3𝑠 + 2) = 5𝑈(𝑠)
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𝐶(𝑠) =5
(𝑠2 + 3𝑠 + 2)𝑈(𝑠)
𝐶(𝑠) =5
(𝑠2 + 3𝑠 + 2)
1
𝑠
Resolviendo el polinomio del denominador para C(s)
𝐶(𝑠) =5
(𝑠2 + 3𝑠 + 2)𝑠
𝑄(𝑠) = (𝑠2 + 3𝑠 + 2)𝑠 = 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝐶(𝑠) =5
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
Aplicando fracciones parciales:
𝐶(𝑠) =5
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)=
𝐴
𝑠+
𝐵
𝑠 + 1+
𝐶
𝑠 + 2
𝐴 = lim𝑠→0
5
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)=
5
2
𝐵 = lim𝑠→−1
5
𝑠(𝑠 + 2)= −5
𝐶 = lim𝑠→−2
5
𝑠(𝑠 + 1)=
5
2
Reemplazando resultados
𝐶(𝑠) =
52𝑠
−5
𝑠 + 1+
52
𝑠 + 2
Invirtiendo la transformada de Laplace
𝑐(𝑡) =5
2𝑢(𝑡) − 5𝑒−𝑡 +
5
2𝑒−2𝑡
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6.2. Ejercicio N°2
Encuentre x(t) para la siguiente función usando la descomposición de
fracciones parciales a través de dos métodos diferentes en MATLAB
𝑋(𝑠) =𝑠 + 1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)(𝑠2 + 4)
Solución por Método 1
num=[1 1]
den=conv(conv([1 2],[1 3]),[1 0 4])
[r, p, k]=residue(num,den)
r =
0.1538 + 0.0000i
-0.1250 + 0.0000i
-0.0144 - 0.0529i
-0.0144 + 0.0529i
p =
-3.0000 + 0.0000i
-2.0000 + 0.0000i
-0.0000 + 2.0000i
-0.0000 - 2.0000i
k =
[ ]
Solución por Método 2
syms s
x=(s+1)/(s+2)/(s+3)/(s^2+4)
diff(int(x))
ans =
2/(13*(s + 3)) - 1/(8*(s + 2)) + (- 3/208 - (11*i)/208)/(s - 2*i) + (- 3/208 + (11*i)/208)/(s + 2*i)
pretty(ans)
6.3. Ejercicio N°3
Considerar la transformada de Laplace y determinar el valor inicial, mediante
el uso de MATLAB
𝐺(𝑠) =4𝑠3 + 5𝑠 + 18
3𝑠4 + 12𝑠3 + 15𝑠2 + 24𝑠 + 10
Solución:
% Se crea la variable del numerador y denominador
num = [4 0 5 18 0];
den = [3 12 15 24 10];
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% se da un valor grande a la variable
inf = 1000000;
valini = polyval(num,inf)/polyval(den,inf)
valini =
1.3333
6.4. Ejercicio N°4
Considere la transformada y determinar el valor final, a mano y mediante el
uso de MATLAB.
𝐹(𝑠) =6(𝑠 − 2)(𝑠 + 2)
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)(𝑠 + 4)
Solución:
% Se crea el numerador y denominador
num = conv(conv([0 6],[1 -2]),[1 2])
num =
0 6 0 -24
den = conv(conv([1 1],[1 3]),[1 4])
den =
1 8 19 12
% se aplica el comando polyval y se determina que sea evaluado en s = 0
valfin=polyval(num,0)/polyval(den,0)
valfin =
-2