Ley de senos y cosenos

INTRODUCCIÓN

LEY DE SENOS Y COSENOS

LEY DE SENOS LEY DE COSENOS

PROBLEMA 1b

PROBLEMA 1a

PROBLEMA 2a

PROBLEMA 2b PROBLEMA 4b

PROBLEMA 4a

PROBLEMA 3b

PROBLEMA 3a

RESUME L. SENOS RESUMEN L. COSENOS

Estándar 19

TERMINAR

PANTALLA

COMPLETA

Estándar 19:

Los estudiantes usan funciones

trigonometricas para resolver un

triángulo rectángulo con un lado

desconocido dados un ángulo y la

longitud de un lado.

64° 61°110°

Triángulo

Rectángulo

Triángulo

Acutángulo

Triángulo

Obtusángulo

Clasificación de triángulos por sus ángulos:

Estándar 19

Tan C=i

Tan C=Lado adyacente

Lado opuesto

TANGENTE

Sen C=i

Sen C=Hipotenusa

Lado opuesto

Cos C=o

Cos C=Hipotenusa

COSENOLado adyacente

Para triángulos

rectangulos

tenemos…

Estándar 19

¿Cómo resolver este tipo?

… con la Ley De Senos Y Ley De Cosenos.

Sen A Sen B

LEY DE SENOSEstándar 19

Sen A Sen C

Sen C Sen B

Sen A Sen B

LEY DE SENOS

Estándar 19

m A = 67°, a=14, b=9

RESOLVER: Sen A

Sen 67°

= (9)(9)

Sen 67°

Sen B14

Sen B= .5917

m B = Sen( )-1

m B = 36.3°

36.3°

m C = 180°-67°-36.3°= 76.7°

76.7°

Estándar 19

36.3°

76.7°

Sen 67° Sen76.7°

Sen 67°c = Sen76.7°14

Sen 67° Sen76.7°14c=

Sen 67° Sen 67°

(.9731)

(.9205)

c = 14.79

14.79=

m A = 67°, a=14, b=9RESOLVER: Sen A

Sen 67°

= (9)(9)

Sen 67°

Sen B14

Sen B= .5918

m B = Sen( )-1

m B = 36.3°

m C = 180°-67°-36.3°= 76.7°

Estándar 19

m A = 58°, a=11, b=8

RESOLVER: Sen A

Sen 58°

= (8)(8)

Sen 58°

Sen B11

Sen B= .6167

m B = Sen( )-1

m B = 38°

m C = 180°-58°-38°= 84°

Estándar 19

Sen A Sen B

m A = 58°, a=11, b=8

RESOLVER:

Sen 58° Sen B

Sen 58°

Sen B11

(8)(8)

Sen B11

Sen B= .6167

m B = Sen( )-1

m B = 38°

m C = 180°-58°-38°= 84°

Sen 58° Sen 84°

Sen 58°c = Sen 84°11

Sen 58° Sen 84°11c=

Sen 58° Sen 58°

(.9945)

(.8480)

c= 12.9

Estándar 19

a=1563°

Sen 79°c = Sen 38°15

Sen 79° Sen 38°15c=

Sen 79° Sen 79°

(.6157)

(.9816)c

c = 9.40

9.40 =

a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER:

Sen 79°

Sen 38°

m A = 180°-63°-38°= 79°

Estándar 19

a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER:

=Sen 79°b Sen 63°15

Sen 79° Sen 63°15b=

Sen 79° Sen 79°

(.8910)

(.9816)

15b= b = 13.61

Sen 79°

Sen 63°

=13.61Sen 79°c = Sen 38°15

Sen 79° Sen 38°15c=

Sen 79° Sen 79°

(.6157)

(.9816)c

c = 9.4

Sen 79°

Sen 38°

m A = 180°-63°-38°= 79°

Estándar 19

a=1765°

Sen 75°c = Sen 40°17

Sen 75° Sen 40°17c=

Sen 75° Sen 75°

(.6428)

(.9659)c

c = 11.31

11.31 =

a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER:

Sen 75°

Sen 40°

m A = 180°-65°-40°= 75°

Estándar 19

40° Sen 75° Sen 40°

Sen 75°c = Sen 40°17

Sen 75° Sen 40°17c=

Sen 75° Sen 75°

(.6428)

(.9659)

c = 11.31

11.31 =

a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER:

Sen A Sen C

m A = 180°-65°-40°= 75°

=Sen 75°b Sen 65°17

Sen 75° Sen 65°17b=

Sen 75° Sen 75°

(.9063)

(.9659)

17b= b = 15.95

Sen 75°

Sen 65°

=15.95

Estándar 19

LEY DE SENOS

1. Dos lados conocidos y un ángulo

opuesto a alguno de ellos.

2. Dos ángulos conocidos y un lado

cualquiera

Estándar 19

CASO AMBIGUO:

LA LEY DE SENOS para resolución de triángulos, tiene un caso ambiguo;

donde dos triángulos distintos pueden ser construidos (Existen dos soluciones

posibles para el triángulo).

Dado un triángulo general ABC, las siguientes condiciones se necesitan

cumplir para tener el caso ambiguo:

a) La única información acerca de el triángulo es el ángulo A y dos de sus

lados a, y b; para los cuales el ángulo A no esta incluido, en otras palabras el

ángulo es opuesto a uno de los dos lados.

b) El ángulo A es agudo, es decir menos de 90° y más de 0°.

c) El lado a (opuesto a el ángulo A) es más corto que el lado b, o a < b.

d) El lado a (opuesto al ángulo A) es más largo que la altitud de un triángulo

rectángulo de altura a, e hipotenusa b, o a > b sin A.

Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas:

Solución 1 Solución 2

A B’

Aplicando Ley De Senos:

BCB’ es un triángulo isósceles con

bases congruentes

A B’

Después conA y cada B y B’ encontrar C y C’ con la Suma De Los

Ángulos Interiores De Un Triángulo. Finalizar aplicando Ley De Senos para

encontrar AB y AB’

Si m B + m CBB’ = 180°

entonces m B + m B’ = 180°

y por ello

SinB bSinA

SenB bSenA

amB 180

1 b SenA

mB Sen1 b SenA

mB 180o Sen

1 b SenA

mB Sen1 b SenA

El siguiente es un ejemplo de la Ley De Senos con dos soluciones.

Los elementos de la figura en rojo son los datos de inicio.

Si a = b Sen A, entonces existe una solución. Un triángulo rectángulo.

Si a < b Sen A, entonces no hay solución.

Con A agudo: 0° < mA < 90°

ba = b Sen A

a < b Sen A

Si a > b, entonces hay una solución.

Con A obtuso o recto:

Si a = b o a < b, entonces no hay solución.

Si a > b, entonces existe una solución.

LEY DE COSENOS

Cos Aa =2

+ - 2 bb2

Estándar 19

LEY DE COSENOS

CosBb =2

a+ - 2a2

Estándar 19

LEY DE COSENOS

Cos Cc =2

a+ - 2a2

Estándar 19

bc+ - 2 Cos Aa =2

a c+ - 2 CosBb =2

a b+ - 2 Cos Cc =2

LEY DE COSENOS Estándar 19

Cos Cc =2

a+ - 2a2

a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER:

(29) (42)+ - 2 Cos (65°)c =2

(841) + (1764) - (2436) (.423)

(2605) - (1030.43)

1574.57

c = 39.7

c = 39.7 c = -39.7

Estándar 19

Cos Cc =2

a+ - 2a2

Sen 65°

= (29)(29)

Sen 65°

Sen A39.7

Sen A= .662

m A = Sen( )-1

m A = 41.5°

m B = 180°-65°- 41.5°= 73.5°

73.5°

41.5°

(29) (42)+ - 2 Cos (65°)c =2

(841) + (1764) - (2436) (.423)

(2605) - (1030.43)

1574.57

c = 39.7 c = 39.7 c = -39.7

a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER: Estándar 19

Cos Cc =2

a+ - 2a2

(30) (40)+ - 2 Cos (70°)c =2

(900) + (1600) - (2400) (.342)

(2500) - (820.85)

1679.15

c = 41

c = 41 c = -41

Estándar 19

Cos Cc =2

a+ - 2a2

(30) (40)+ - 2 Cos (70°)c =2

(900) + (1600) - (2400) (.342)

(2500) - (820.85)

1679.15

c = 41

c = c =41 -41

Sen 70°

= (30)(30)

Sen 70°

Sen A41

Sen A= .688

m A = Sen( )-1

m A = 43.5°

m B = 180°-70°- 43.5°= 66.5°

66.5°

43.5°

Estándar 19

a=23, b=18, c = 35RESOLVER:

+ - 235 =2

(23)232

(18)182

a=23c35=

+ - 2c =2

1225 = 853 - Cos C(828)

-853 -853

372 = Cos C-828

-828 -828

Cos C= -.4493

m C = Cos( )-1

-.4493

m C = 116.7°

116.7°

C1225 = (529) + (324) - (828)Cos

Estándar 19

Siempre empezar

buscando el

ángulo opuesto al

lado más largo.

Cos Cc =2

a+ - 2a2

116.7°

= (18)(18)

Sen 116.7°

Sen B35

Sen B= .4595

m B = Sen( )-1

m B = 27.4°

m A = 180°-116.7°-27.4°= 35.9°

Sen 116.7°

27.4°

35.9°

(23)232

(18)182

Cos C+ - 2

1225 = 853 - Cos C(828)

-853 -853

372 = Cos C-828

-828 -828

Cos C= -.4493

m C = Cos( )-1

-.4493

m C = 116.7°

C1225 = (529) + (324) - (828)Cos

Estándar 19

+ - 230 =2

(21)212

(16)162

a=21c30=

+ - 2c =2

900 = 697 - Cos C(672)

-697 -697

203 = Cos C-672

-672 -672

Cos C= -.3020

m C = Cos( )-1

-.3020

m C = 107.6°

107.6°

C900 = (441) + (256) - (672)Cos

Estándar 19

Siempre empezar

buscando el

ángulo opuesto al

lado más largo.

Cos Cc =2

a+ - 2a2

(21) (16)+ - 2

900 = (441) + (256) - (672)

900 = 697 - Cos C(672)

-697 -697

203 = Cos C-672

-672 -672

Cos C= -.3020

m C = Cos( )-1

-.3020

m C = 107.6°

107.6°

= (16)(16)

Sen 107.6°

Sen B30

Sen B= .5084

m B = Sen( )-1

m B = 30.6°

m A = 180°-107.6°-30.6°= 41.8°

Sen 107.6°

30.6°

41.8°

Estándar 19

LEY DE COSENOS

1. DOS LADOS CONOCIDOS Y EL

ÁNGULO ENTRE ELLOS

2. TRES LADOS CONOCIDOS. Siempre

tomar el lado más largo con el primer

ángulo a encontrar para evitar el caso

ambiguo descrito en la Ley De Senos.

Estándar 19

Ley de senos y cosenos

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