Rango de una Matriz Ma130 - p. 1/24

Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130

Rango de una MatrizDepartamento de Matemáticas

ITESM

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 2/24

Los rangos de una matriz

El rango renglón de la matriz A es la dimensióndel espacio lineal R(A)

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

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Los rangos de una matriz

El rango renglón de la matriz A es la dimensióndel espacio lineal R(A) , mientras que el rangocolumna de A es la dimensión del espacio linealC(A).

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

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Requisitos

Dentro de los resultados ya vistos que serequieren para desarrollar la teoría del rango deuna matriz están los siguientes:

■ C(B) ⊆ C(A) si y sólo si existe una matriz X quecumpla B = AX.

■ R(C) ⊆ R(A) si y sólo si existe una matriz Y

q × m tal que C = YA.

■ Si U ⊆ V , entonces dim(U) ≤ dim(V ).

■ Si U es un espacio generado por k elementos,entonces dim(U) ≤ k.

■ Todo espacio generado tiene una base.

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Rango renglón y Rango columna iguales

Teorema

Sea A una matriz m × n con rango renglón r

y con rango columna c. Entonces■ existe una matriz B m × c y otra matriz L

c × n tal que A = BL, y■ existe una matriz K m × r y otra matriz T

r × n tal que A = KT.

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Rango renglón y Rango columna iguales

Uno de los resultados más importantes es el queindica que el rango renglón y el rango columna deuna matriz son iguales:

Teorema

Para cualquier matriz A, el rango renglón y elrango columna son iguales.

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 5/24

Rango renglón y Rango columna iguales

Uno de los resultados más importantes es el queindica que el rango renglón y el rango columna deuna matriz son iguales:

Teorema

Para cualquier matriz A, el rango renglón y elrango columna son iguales.

Notaci on

El rango de una matriz es la dimensión delespacio columna (o del espacio renglón) dela matriz y se representará

rank(A)

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Cotas para el rango

Ejercicio 1

Demuestre

Teorema

Para cualquier matriz A m × n,rank(A) ≤ m y rank(A) ≤ n.

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Ejercicio 2

Demuestre

Teorema

Sea A una matriz m × n, B una matrizm × q, y C una matriz q × n. SiC(B) ⊆ C(A) entoncesrank(B) ≤ rank(A). Similarmente, siR(C) ⊆ R(A) entoncesrank(C) ≤ rank(A).

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Ejercicio 3

Demuestre

Corolario

Sea A una matriz m × n y F una matrizp × m, entonces rank(FA) ≤ rank(A) yrank(FA) ≤ rank(F).

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Ejercicio 4

Demuestre

Corolario

Sea A una matriz m × n y B una matrizm × p. Si C(B) ⊆ C(A) yrank(B) = rank(A) entoncesC(B) = C(A).

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Matrices de rango completo

Una matriz A m × n se dice de rango renglóncompleto si rank(A) = m.

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 10/24

Matrices de rango completo

Una matriz A m × n se dice de rango renglóncompleto si rank(A) = m. Por otro lado, se dicede rango columna completo si rank(A) = n.

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 10/24

Matrices de rango completo

Una matriz A m × n se dice de rango renglóncompleto si rank(A) = m. Por otro lado, se dicede rango columna completo si rank(A) = n. Unamatriz se dice matriz no-singular, si es de rangorenglón y columna completos. Claramente estetipo de matrices es cuadrada.

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Ejercicio 5

Demuestre el siguiente resultado

Teorema

Sea A una matriz m × n de rango r.Entonces existen matrices B m × r y T

r × n tales que A = BT. Así, B es derango columna completo y T es derango renglón completo.

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Teorema

Sea A una matriz m × n de rango r.Entonces existen matrices B m × m y K

n × n nosingulares tales que :

A = B

[

Ir 0

0 0

]

K

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Teorema

Sea A una matriz m × n de rango r.Entonces A contiene r rengloneslinealmente independientes y r columnaslinealmente independientes. Además, paracualquier selección de r renglones y r

columnas linealmente independientes, lasubmatriz r × r obtenida de A removiendolos renglones y las columnas restantes a laselección es una matriz de rengo completo.Y cualquier otra selección de renglones ocolumnas de A que involucre más de r

elementos debe ser linealmentedependiente. No existe ninguna submatriz deA con un rango mayor que r.

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

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Corolario

Cualquier matriz simétrica de rango r

contiene una submatriz principal r × r derango r.

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Resultados elementales

Ejercicio 6

Demuestre el siguiente resultado

Teorema

Sea A una matriz cualquiera.

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

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Resultados elementales

Ejercicio 6

Demuestre el siguiente resultado

Teorema

Sea A una matriz cualquiera.■ rank(A) = rank(A′)

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 15/24

Resultados elementales

Ejercicio 6

Demuestre el siguiente resultado

Teorema

Sea A una matriz cualquiera.■ rank(A) = rank(A′)

■ si k 6= 0: rank(A) = rank(kA)

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 15/24

Resultados elementales

Ejercicio 6

Demuestre el siguiente resultado

Teorema

Sea A una matriz cualquiera.■ rank(A) = rank(A′)

■ si k 6= 0: rank(A) = rank(kA)

■ rank(A) = rank(−A)

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Rango de matrices particionadas

Notaci on

rank(A,B) = rank ([A,B])

rank

(

A

B

)

= rank

([

A

B

])

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Rango de una Matriz Ma130 - p. 17/24

Teorema

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces

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Teorema

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ C(A) ⊆ C(A,B) , C(B) ⊆ C(A,B)

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 17/24

Teorema

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ C(A) ⊆ C(A,B) , C(B) ⊆ C(A,B)

■ R(A) ⊆ R

(

A

C

)

, R(C) ⊆ R

(

A

C

)

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 17/24

Teorema

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ C(A) ⊆ C(A,B) , C(B) ⊆ C(A,B)

■ R(A) ⊆ R

(

A

C

)

, R(C) ⊆ R

(

A

C

)

■ Además, C(A) = C(A,B) ↔ C(B) ⊆ C(A)

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Corolario

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces

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Rango de una Matriz Ma130 - p. 18/24

Corolario

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ rank(A) ≤ rank(A,B)

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 18/24

Corolario

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ rank(A) ≤ rank(A,B)

■ rank(B) ≤ rank(A,B)

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 18/24

Corolario

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ rank(A) ≤ rank(A,B)

■ rank(B) ≤ rank(A,B)

■ rank(A) ≤ rank

(

A

C

)

RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas

Rango de una Matriz Ma130 - p. 18/24

Corolario

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ rank(A) ≤ rank(A,B)

■ rank(B) ≤ rank(A,B)

■ rank(A) ≤ rank

(

A

C

)

■ rank(C) ≤ rank

(

A

C

)

Rango de una Matriz Ma130 - p. 19/24

Lema

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q y q × n

respectivamente. Entonces

Rango de una Matriz Ma130 - p. 19/24

Lema

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q y q × n

respectivamente. Entonces■ C(A,B) = C(B,A) y rank(A,B) = rank(B,A)

Rango de una Matriz Ma130 - p. 19/24

Lema

Sean A, B, y C matrices m × n, m × q y q × n

respectivamente. Entonces■ C(A,B) = C(B,A) y rank(A,B) = rank(B,A)

■ R

(

A

C

)

= R

(

C

A

)

y rank

(

A

C

)

= rank

(

C

A

)

Rango de una Matriz Ma130 - p. 20/24

Lema

Sean A, B, y L matrices m × n, m × q y n × q

respectivamente. Entonces

C(A,B) = C(A,B−AL) y rank(A,B) = rank(A,B−AL)

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Rango de una Matriz Ma130 - p. 21/24

Lema

Sean A y E matrices m× n y m× q tales queC(E) ⊆ C(A), y además sean B y F

matrices m × p y m × r tales queC(F) ⊆ C(B). Entonces

C(E,F) ⊆ C(A,B)

y por consiguiente

rank(E,F) ≤ rank(A,B)

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Rango de una Matriz Ma130 - p. 22/24

Lema

Sean A, B, y C matrices m × n, m × p, yn × q respectivamente. Entonces

rank(A,B) ≤ rank(A) + rank(B)

rank

(

A

C

)

≤ rank(A) + rank(C)

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Rango de una Matriz Ma130 - p. 23/24

Lema

Sean A, B matrices m × n. Entonces

C(A+B) ⊆ C(A,B) y rank(A+B) ≤ rank(A,B)

R(A+B) ⊆ R

(

A

B

)

y rank(A+B) ≤ rank

(

A

B

)

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Rango de una Matriz Ma130 - p. 24/24

Lema

Sean A, B matrices cualquiera. Entonces

rank

(

A 0

0 B

)

= rank(A) + rank(B)