Post on 05-Mar-2018
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Introducción a las
Estructuras
Capítulo cuatro:
Estática de las fuerzas (2)
Parte DOS
1. Introducción.
General.
En capítulos anteriores analizamos los orígenes y valores de las car-
gas, así también como su ubicación y unidades, pero nada se dijo del com-
portamiento de las cargas en el conjunto estructural de un edificio. Tampo-
co se estudió la influencia de las formas de las piezas estructurales en su
resistencia ante las cargas.
Este capítulo “Estática de las fuerzas” analiza la relación entre las
fuerzas, sus direcciones, magnitudes y posiciones en el elemento estructu-
ral. Con maniobras de matemática elemental se logran establecer ecuacio-
nes y fórmulas que interpretan de manera adecuada el efecto de esas cargas
en la pieza.
En el capítulo siguiente “Estática de las formas” se analiza la super-
ficie y la forma de la sección transversal del elemento estructural y su in-
fluencia en la capacidad resistente de la estructura.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Veamos la ecuación presentada en el capítulo anterior sobre la rela-
ción entre la tensión “σ” (resistencia), la solicitación “M” (fuerzas) y el
módulo resistente “W” (forma de la sección):
En este capítulo “Estática de las fuerzas” se analiza el numerador de
de la expresión, por ejemplo en el caso de una fuerza aplicada en el medio
de una viga simple: M = Pl/4.
En el capítulo que sigue “Estática de las formas” se analiza el deno-
minador del cociente, el “W” que interpreta de manera matemática la jerar-
quía de la forma (sección transversal) de la viga ante el fenómeno de fle-
xión:
Cómo funciona la Estática.
El gráfico es la perspectiva de un entrepiso, que puede ser en su tota-
lidad de madera. Las vigas se componen de tramo (V1) y en voladizo (V2).
Todo el sistema se apoya en las columnas CA y CB.
Es una viga de tramo y voladizo en el extremo derecho. La carga es
transmitida por el entablonado en forma uniforme y distribuida en toda su
longitud. Se conocen las longitudes de cada tramo, así también como la
carga que actúa. Por intuición podemos afirmar que la reacción en el apoyo
B es mayor el A; es el efecto palanca universal. Pero desconocemos el va-
lor de cada reacción. Tenemos una noción cualitativa, pero no cuantitativo.
La estática interpreta a la viga con un esquema simplificado.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
La estática es la ciencia que brinda las herramientas para la determi-
nación cuantitativa de esas reacciones ignoradas. en forma práctica y senci-
lla enseña la manera de calcular con precisión las reacciones Ra y Rb que
se materializan en las columnas que sostiene la viga.
No le interesa el origen y generación de las fuerzas; esa tarea es rea-
liza desde el análisis de las cargas. La estática exige que le entreguemos las
cargas de manera precisa; magnitud, sentido, dirección. La mayoría son
gravitatorias de fácil determinación, otras, como vimos más complejas. La
estática es la herramienta que nos entrega las fuerzas que reaccionan para
esa viga se mantenga en equilibrio. Si la entrada de datos a la estática (dis-
tancias y cargas) no son correctas, los resultados serán incorrectos.
Todos poseemos intuición estática. Nuestro cuerpo es una estructura
que puede mantenerse en equilibrio en la medida que nuestros músculos
(tracción) y los huesos (compresión) lo dispongan. También podemos que-
brar el equilibrio de reposo y quietud con las acciones de nuestro sistema
“músculos y huesos”, puntal y tensor, compresión y tracción.
Observar de manera continua el equilibrio o dinámica de nuestro en-
torno, es “pensar en estática”, así se logra una adecuada intuición del pro-
ceder de las fuerzas que luego se las verifica o confirma con la estática.
A la estática se la define como: “el estudio de las condiciones que
deben cumplir las fuerzas que actúan sobre un sistema para que éste per-
manezca en estado de equilibrio”.
Si revisamos el ejemplo de la viga anterior, el “sistema” es la viga y
las “fuerzas” con las acciones y las reacciones que mantienen la viga en
equilibrio.
Formas de estudio de la Estática.
Puede ser estudiada en forma gráfica o analítica. El gráfico consiste
en resolver los problemas mediante la utilización de dibujos y diagramas
construidos de acuerdo a escalas. Mientras que la resolución analítica se
realiza con la aplicación de fórmulas matemáticas y trigonométricas.
La figura muestra una fuerza “F” inclinada un ángulo α de la hori-
zontal. Deseamos conocer las fuerzas que logren equilibrarla en la direc-
ción “x” e “y” (descomposición de fuerzas).
Resolución gráfica: Trazamos en escala el dibujo y medimos las
equilibrantes Fx y Fy.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Resolución analítica. Aplicamos los conocimientos de la trigo-
nometría: Fx = F.cosα Fy=F.senα
En la realidad el esquema anterior se lo puede interpretar como una
ménsula con tensor “F” y puntal “Fx” con la carga en el extremo “Fy”. Los
datos conocidos son:
a) La resistencia del tensor “F”.
b) El ángulo que forma el tensor con la horizontal (F con Fx).
c) La dirección Fy es horizontal y forma 90º con Fx.
Hace unas décadas atrás, se utilizaba casi en forma exclusiva el mé-
todo gráfico para la resolución de sistemas de fuerzas, dado que la resolu-
ción analítica necesita de cálculos matemáticos largos y complejos. Con la
llegada de las máquinas de calcular mecánicas a principio del siglo pasado,
más tarde con las electrónicas y luego con los ordenadores o computadoras,
las tareas analíticas se hicieron notablemente fáciles. Así desplazan las ma-
niobras gráficas.
A los fines didácticos, es necesario justificar y mostrar todos los
conceptos mediante dibujos. Por ello la parte gráfica de la estática la utili-
zaremos durante todo el estudio como apoyo de la analítica.
Cuerpo rígido y cuerpo elástico.
La estática solo estudia el equilibrio de las fuerzas exteriores (accio-
nes y reacciones), no le interesa lo que sucede dentro de la estructura. Es
una ciencia que hace abstracción de la materia que constituye el sólido cu-
yo equilibrio se estudia. Lo considera rígido e infinitamente resistente.
Esta simplificación, la de considerar los cuerpos rígidos, en algunos
casos es impracticable. Entonces la estática deja de ser útil y debemos bus-
car apoyo en otra ciencia; la “Resistencia de los Materiales” que a diferen-
cia de la estática, le interesa todo lo que sucede en el interior del cuerpo y
analiza sus deformaciones.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Los esquemas superiores ayudan a interpretar mejor la diferencia en-
tre las ciencias “Estática” y “Resistencia de Materiales”. La viga de simple
apoyo es accionada por varias cargas concentradas. La estática analiza solo
los acontecimientos externos: acciones y reacciones.
La figura de la derecha analiza el interior de un trozo de la viga. Nos
metemos dentro de la masa de la viga y la revisamos con la “Resistencia de
los Materiales”; es la ciencia que solo agregando una variable más comple-
ta a la estática. Esa variable es la deformación y su relación con el material
y las fuerzas.
Representación gráfica de las fuerzas.
Las fuerzas quedarán representadas gráficamente mediante cuatro
condiciones:
a) Magnitud: es la intensidad de la fuerza que se define mediante
la longitud de segmento en escala adecuada.
b) Dirección: es la recta indefinida, según la cual apoya la fuerza y
que llamaremos en este caso recta de acción de la fuerza.
c) Sentido: queda establecido por la flecha que indica la orienta-
ción de la fuerza.
d) Punto de aplicación: es el lugar donde se aplica la fuerza.
2. Ley de momentos.
General.
Los entrepisos, las vigas, las columnas, las paredes, las fundaciones,
son elementos, piezas, que componen un edificio. Las cargas los utilizan
para canalizarse y generar en su interior solicitaciones. La posición, forma
y tamaño de esas piezas son variables para la acción de las cargas.
Las cargas pueden ser las mismas, pero los efectos que causan en la
estructura dependen de esas variables. La figura muestra una viga de made-
ra en voladizo y de sección rectangular, una carga adopta diferentes posi-
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
ciones. Se desplaza hacia el extremo. Desde los esquemas mecánicos teóri-
cos se la representa como el dibujo
que sigue.
Imaginamos una carga F1 que
se desplace sobre la viga. El efecto
que causa es diferente según la posi-
ción. Muy próxima del apoyo, del
empotramiento, es muy pequeña la
flexión que produce. En la longitud
media la carga genera una elástica
pequeña. Luego en el extremo, en la
punta, es el mayor efecto en el des-
censo.
Cuando se acerca la carga al ex-
tremo, la elástica aumenta. Con esta simple observación puedo elaborar
uno de los razonamientos elementales: la importancia de la fuerza F1 se in-
crementa en la medida que su punto de aplicación se aleja. De allí surge la
Ley de Momentos: El momento de una fuerza respecto de un punto, es
el producto de la magnitud de la fuerza por la distancia que la separa
de ese punto.
Vale ahora una pausa para reflexionar sobre la palabra “momento”.
En el vocabulario vulgar, común, significa tiempo muy corto. Puede ser un
instante, un segundo, un minuto. Pero ahora ya estamos metidos en una
ciencia, ella modifica el significado de la palabra. Ahora “momento” signi-
fica la jerarquía, el grado de una fuerza respecto de un punto.
Así, la fuerza F1, según su ubicación, produce tres momentos dife-
rentes:
En la posición (1): M1 = F1 . d1
En la posición (2): M2 = F1 . d2
En la posición (1): M3 = F1 . d3
En el caso que actúen dos fuerzas F1 y F2 simultáneas sobre la viga,
la resultante en magnitud y posición es R. Con estos conceptos de momen-
to y resultante, puedo extender la Ley de Momentos, una definición más
general:
El momento que produce la resultante de un sistema de fuerzas
respecto de un punto, es igual a la suma de los momentos de las com-
ponentes respecto de ese mismo punto.
En la figura las fuerzas son: F1 y F2, en este caso iguales (F1=F2).
La resultante es R = F1 + F2
El punto de referencia será el del arranque del voladizo; el punto O.
Las distancias: d1 para F1, d2 para F2 y dr para R
Momento que produce la Resultante:
Mr = R.dr
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Momento que producen las componentes:
Mc = F1.d1 + F2.d2
La ley de momentos según lo establecido anteriormente resulta:
Mr = Mc
O también: R.dr = F1.d1 + F2.d2
Si damos valores a cada uno de éstos términos y expresiones resuel-
vo numéricamente la cuestión:
F1 = 4,50 kN (450 kg) F2 = 4,50 kN (450 kg)
R = 9,00 kN (900 kg).
d1 = 3,00 metros d2 = 1,00 metros dr = 2,00 metros
Mr = dr . R = 2,00m . 9,00 kN = 18 kNm (1.800 kgm)
Mc = F1.d1 + F2.d2 = 3,00m . 4,50 kN + 1,00m . 4,50 kN = 18 kNm (1.800
kgm)
La Ley de Momentos parece una obviedad. Fácil de interpretarla,
pero posee una amplio campo de aplicación tanto en la Estática como en el
estudio del Equilibrio. La bibliografía que analiza este tema, lo hace más
extenso y sobre bases matemáticas estrictas. No creemos necesario exten-
derlo si el concepto, la noción de la Ley de Momentos fue comprendido.
Galileo.
Este análisis tiene una antigüedad superior a los cuatrocientos años.
Las imágenes que siguen fueron realizadas por Galileo cuando estudiaba el
efecto de las cargas.
La primera es una carga que la representa por un
bloque de piedra que cuelga de un cilindro de már-
mol.
Es la forma que representa el efecto de la tracción, lo
hace con dibujos de la realidad. En esa época el len-
guaje de la matemática, los símbolos de la física y
los gráficos simplistas de la Estática no existían.
También estudia la palanca con una rama que mueve una piedra.
Realiza por primera vez una demostración matemática de la relación de
las tres fuerzas de la palanca (peso, apoyo y acción) con las distancias
que las separa.
Luego comienza con los estudios de las vigas. Lo hace con un voladizo
de madera empotrado en un muro, también le cuelga una piedra.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Aquí estudia una viga en voladizo con una carga concentrada en el ex-
tremo, imaginamos que el ensayo lo hace en los patios de su prisión en
Arcetri. Este sabio es considerado “el padre de la física y de la astro-
nomía moderna”.
La tercera es una viga sin carga puntual, no le cuelga nada; analiza solo
el efecto del peso propio.
En el estudio anterior analiza el efecto de la carga concentrada en el
extremo. Con este nuevo experimento estudia el peso propio de la viga
en la flexión.
Observamos sus dibujos y podemos imaginar la dificultad para ex-
presarse y explicar estos fenómenos físicos. Galileo fue un gran escritor y
mejor dibujante. Sus gráficos muestran siempre objetos reales en perspec-
tiva, este genio estudiaba y ensayaba desde la realidad. Ahora esas vigas se
muestran con una línea recta y la carga de piedra con un vector. Estos aná-
lisis tienen una antigüedad superior a los cuatrocientos años.
Galileo en la época que escribe su último
libro “Discurso sobre dos nuevas ciencias”.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
3. Fuerzas concurrentes en el plano.
Composición.
Las fuerzas concurrentes son las que se encuentran e interceptan en
un punto. La más elemental es el sistema de dos fuerzas concurrentes.
Las fuerzas F1 y F2 son conocidas y debemos hallar la fuerza única
(resultante) que pueda sustituirla en la acción.
Resolución gráfica.
Gráficamente podemos resolver la composición mediante el método
del paralelogramo, tal como muestro en la figura superior. Trazamos rectas
paralelas a las fuerzas por los extremos de las mismas. En la intersección
de esas paralelas se encontrará el final de la resultante y su magnitud la ob-
tenemos de medir la recta OR en escala.
Resolución analítica.
Necesitamos posicionar las fuerzas en el plano. Hacemos uso de un
sistema de ejes cartesianos. Una vez colocadas, las proyectamos como
sombras en las dos direcciones. La herramienta para hacerlo es la trigono-
metría.
Sobre el eje horizontal (abscisas) aparecen las F1x y F2x, sobre el eje
vertical (ordenadas) las F1y y F2y. Así logramos ordenar el sistema original
de fuerzas, ahora están proyectadas sobre ejes perpendiculares. Las fuerzas
son concurrentes, pero además forman un ángulo de 90° entre ellas.
F1 se compone de F1x y de F1y.
F2 se compone de F2x y de F2y.
Podemos obtener las resultantes en cada uno de los ejes:
Rx = F1x + F2x Ry = F1y + F2y
tenemos un rectángulo; Rx y Ry son los lados. Para obtener la diago-
nal, en definitiva la resultante final, aplico el teorema de Pitágoras.
√
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
La inclinación la obtenemos de:
Práctica de visualización:
Resolvemos gráfica y analíticamente una composición de dos fuerzas concurrentes.
Gráficamente:
Los datos:
F1 = 50 kN (5.000 kg) α1= 15°
F2 = 70 kN (7.000 kg) α2= 50°
Analíticamente:
F1x = 50kN.cos15° = 50.0,97 = 48,29 kN (4.829 kg)
F1y = 50kN.sen15° = 50.0,26 = 12,94 kN (1.294 kg)
F2x = 70kN.cos50° = 70.0,64 = 45,00 kN (4.500 kg)
F1y = 70kN.sen50° = 70.0,77 = - 53,62 kN (5362 kg)
Sumando las fuerzas sobre cada uno de los ejes
Rx = F1x + F2x = 48,29 + 45,00 = 93,29 kN (9.329 kg)
Ry = F1y + F2y = 12,94 – 53,62 = 40,68 kN (4.068 kg)
Magnitud de la resultante:
√
√
El ángulo de inclinación de la resultante respecto del eje x:
= 0,44 α = 23,74
La composición de más de dos fuerzas concurren-
tes, requiere una metodología basada en la compo-
sición reiterada de las dos fuerzas. En la figura las
fuerzas concurrentes a un punto son tres: F1, F2 y
F3. Realizamos la composición de F1 con F2 y ob-
tenemos R1. Luego componemos R1 con F3 para
conseguir la resultante final del sistema.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
4. Descomposición. En los sistemas reticulados, las fuerzas internas en esas vigas, se en-
cuentran materializadas por las barras (cordones, montantes y diagonales) y
para lograr calcular y dimensionarlas es necesario conocer la magnitud de
cada una de esas fuerzas. Esta solución la realizamos mediante la “des-
composición” de fuerzas. Es la herramienta más útil para resolver vigas re-
ticuladas o trianguladas.
Imaginamos el reticulado de la figura. Es una viga en voladizo ele-
mental. Se compone de dos barras articuladas en sus extremos. Se sostie-
nen desde la rígida pared. La fuerza “P” que cuelga del extremo acciona las
barras creando esfuerzos de tracción y compresión en ellas que debo de-
terminarlos
Resolución gráfica:
La fuerza “P” la descomponemos en las direcciones (1) y (2). Dibu-
jamos en escala la fuerza y trazamos por su extremo una paralela a (2). Por
su origen una paralela a (1).
En escala determinamos las incógnitas
Barra (1): (tracción) = 90 kN (9.000 kg)
Barra (2): (compresión) = 78 kN (7.800 kg)
Resolución analítica:
Al problema lo podemos resolver de manera analítica. Antes hace-
mos un repaso de trigonometría:
tg α = (cateto opuesto) / (cateto adyacente)
sen α = (cateto opuesto) / (hipotenusa)
tg α = P / (2) (2) = P / tg α
sen α = P / (1) (1) = P / sen α
tg α = tg 30º = 0,566 sen α = sen 30º = 0,500
(1): barra (1) = 45 kN / 0,500 = 90 kN = 9.000 kg
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
(2): barra (2) = 45 kN / 0,577 = 78 kN = 7.800 kg
Valores coincidentes con los determinados de manera gráfica.
5. Fuerzas no concurrentes en el plano.
Composición.
Debemos establecer los parámetros (magnitud, dirección, sentido y
ubicación) que definen la resultante del sistema de fuerzas F1, F2, F3 y F4
de la figura. Otra vez utilizaremos los métodos gráficos y analíticos.
Composición gráfica.
Usamos el método del Polígono de Fuerzas y del Polígono Funicu-
lar. Se dibujan las fuerzas de tal manera que el extremo de una resulte el
origen de la siguiente, en forma secuencial.
Magnitud, dirección y sentido:
Uno el origen de F1 con el extremo de F4. Obtengo la resultante R
en escala. Además la dirección y el sentido.
Ubicación:
Es algo más complejo encontrar donde se ubica la resultante dentro
de conjunto de fuerzas. Ahora usaremos el Polígono Funicular. Ubicamos
un punto cualquiera “O”, próximo al Polígono de Fuerzas y descompone-
mos cada una de las fuerzas en dos direcciones.
Hay una particularidad: las componentes internas del Funicular se
superponen, coinciden, pero de sentido contrario y se anulan. En definitiva
quedan solo el primer y último rayo.
Así procedo para la descomposición:
F1: en las direcciones (rayos) I y II.
F2: en las direcciones (rayos) II y III.
F3: en las direcciones (rayos) III y IV.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
F4: en las direcciones (rayos) IV y V.
Si observamos la figura, las nuevas fuerzas, II, III y IV, se anulan
entre si. Permanecen solo la I y la V. La primera y la última, que ahora son
las nuevas componentes de la resultante.
Posición de la Resultante.
Dibujado el Polígono Funicular con sus “rayos” y la Resultante, pro-
cedo a establecer su ubicación dentro del conjunto de las fuerzas menores.
Dibujamos una paralela al I y en el punto donde corta a la dirección de F1
trazo la paralela a II. Donde ésta corta a la F2, trazo la paralela a III y así
sigo. Hasta el último rayo que en mi caso es el V.
Como dije, los únicos “rayos” que permanecen sin anularse son el
primero (I) y el último (V). Entonces prolongo las direcciones de estas rec-
tas, donde se cortan, en ese punto pasa la Resultante del sistema de fuerzas
original.
La explicación y enseñanza del Polígono de Fuerzas y del Polígono
Funicular, es tediosa y larga. Además, en la vida real, en especial en los
edificios, son muy raras las ocasiones donde las fuerzas que actúan tienen
tan diferentes direcciones y sentidos. Porque las fuerzas primarias que do-
minan en la tierra son las de gravedad: verticales y paralelas. Pero hay ca-
sos muy especiales esta herramienta es la más eficiente para resolverlos.
El método es realmente admirable y simple. Desconocemos su ori-
gen, menos aún el hombre, el genio que lo descubre. Creemos que estas
maniobras geométricas fueron creciendo a lo largo de los siglos, de los mi-
lenios.
Composición analítica.
A todas las fuerzas que integran el conjunto las referimos a un solo
sistema de ejes cartesianos (x, y). Una vez proyectadas sobre los mismos
logramos tener ordenadas a todas las fuerzas solo en dos direcciones nor-
males. Hacemos la sumatoria en cada uno de los ejes; así conocemos las
Rx y Ry.
Aplicamos Pitágoras para establecer la magnitud y tangente para co-
nocer la inclinación y por fin usamos la ley de momentos para conocer su
ubicación. Cuestiones que ya las analizamos en puntos anteriores.
Visualización práctica.
En los soportes múltiples de tensores para antena pueden presentarse
varias fuerzas de acción, materializadas por los tensores que llegan y otras
fuerzas reactivas por la manera que el suelo reacciona. Las regiones en
sombra son los triángulos teóricos reactivos del suelo, las “R” son las re-
sultantes de cada uno de los diagramas. Todas las fuerzas de acción y reac-
ción actúan en un mismo plano.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Descomposición de una fuerza en dos direcciones.
Analizamos la descomposición de una fuerza F1, en dos direcciones
no concurrentes “a” y “b”. En este caso el punto de intersección de estas
direcciones se encuentra fuera de los límites del dibujo.
Descomposición gráfica.
Trasladamos las paralelas de las direcciones a los extremos de F1 y
obtenemos las magnitudes y sentidos de Fa y Fb.
Descomposición de una fuerza en tres direcciones.
Para esta situación utilizamos una recta auxiliar. La fuerza a des-
componer es F1 en las direcciones (a), (b) y (c). El procedimiento es el que
sigue:
Fuerza a descomponer: F1.
Direcciones dadas: “a”, “b” y “c”.
Recta auxiliar: “z”.
1. Descomponemos la fuerza F1, en una de las direcciones
dadas y en otra dirección auxiliar “z”, que está dada por
la recta que une los puntos A y B.
2. Luego descomponemos la fuerza “z”, en las direcciones
restantes, (b) y (c).
Si las tres direcciones fueran concurrentes en un punto, no sería po-
sible la descomposición por cuanto la dirección auxiliar coincidiría con una
de las direcciones dadas (en nuestro caso con la dirección “b”). Es por esto
que la descomposición de una fuerza en tres direcciones concurrentes re-
sulta indeterminada.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
6. Fuerzas paralelas. El tema que iniciamos ahora trata la composición y descomposición
de fuerzas paralelas que resulta el sistema más común en las estructuras de
los edificios.
Composición fuerzas paralelas.
La fuerza de gravitatoria es la más frecuente de las producidas en las
cargas de los edificios; tiene una dirección definida, es vertical. Las cargas
por peso propio, las sobrecargas y algunas acciones variables poseen todas
las mismas direcciones, la vertical y por tal razón son paralelas.
Las columnas de un edificio tienen direcciones paralelas y verticales;
fueron construidas para resistir las gravitatorias. Distinguimos los sistemas
según posean ejes de simetría, tanto de carga como de forma.
Sistema simétrico.
Con simetrías de fuerzas y de formas, obtenemos la resultante y las
reacciones de manera inmediata, es intuitivo. Todo debe seguir siendo pro-
porcionado a la simetría original.
Imaginamos la viga principal de un entrepiso que soporta las vigas
secundarias (clavadoras). En la parte superior dibujamos la realidad, con
los espesores de cada una de las piezas. En parte inferior el esquema utili-
zado por la Estática, la viga se la representa mediante una recta y las cargas
de las vigas secundarias mediante vectores. La resultante queda definida
por:
La ubicación: en el eje de simetría.
La dirección: paralela al resto de las fuerzas.
El sentido: igual a las otras fuerzas.
La magnitud la suma de todas las fuerzas.
Mientras que las reacciones se definen por:
La ubicación: en cada uno de los apoyos, columnas.
La dirección: paralela al resto de las fuerzas.
El sentido: contrario a todas las fuerzas.
La magnitud: la mitad de la resultante.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Sistema asimétrico.
En caso de asimetría, la resolución puede realizarse mediante méto-
dos gráficos o analíticos.
F1, F2, F3: Fuerzas actuantes.
R: Resultante.
d1, d2, d3: distancia de las fuerzas al eje.
dr: distancia de la resultante al eje.
Los parámetros a resolver son: dirección, sentido, magnitud y ubica-
ción de la resultante.
Método gráfico.
La resolución gráfica es similar a la estudiada anteriormente, con la
diferencia que el Polígono de Fuerzas aquí es rectilíneo y todas las fuerzas
se encuentran sobre la misma vertical.
Lo explicamos dando valores a las fuerzas:
F1 = + 8,0 kN F2 = + 2,0 kN F3 = - 3,5 kN
d1 = 4,40 metros d2 = 3,10 metros d3 = 2,10 metros.
El gráfico de la izquierda el Polígono de Fuerzas; obtenemos la
magnitud de la resultante. El de la izquierda es el Polígono Funicular y
ubicamos la posición de la Resultante en el sistema.
Método analítico.
El ejemplo siguiente es de una viga que apoya sobre paredes, nos in-
teresa conocer la resultante y las reacciones.
Determinamos el valor de la resultante:
R = - F1 - F2 + F3
R = 8,00 + 2,00 – 3,50 = 6,5 kN = 650 kg
Luego aplicamos la ley de momentos.
R.dr = F1.d1 + F2.d2 – F3.d3
Signos: la regla de los signos es arbitraria. En este escrito establecemos que las
fuerzas que se dirigen hacia arriba son positivas, mientras que las de sentido con-
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
trario son negativas. En cuanto al giro que producen: el momento de la fuerza; si
giran según las agujas del reloj: positivas. Caso contrario, negativo.
Posición y sentido.
dr = (8,00 . 4 + 2,00 . 3 – 3,50 . 2,1) / 6,5 = 5,24 metros.
En el dibujo representamos a la viga: está colgada por los tensores de apoyo F1 y F2
y las cargas actuantes hacia abajo son la R y la F3.
Descomposición fuerzas paralelas.
Necesitamos descomponer una fuerza “F” en dos o más direcciones.
En el caso de dos direcciones la situación está representada por una fuerza
que actúa sobre una viga de apoyo simple. El problema es determinar la
magnitud de las reacciones Ra y Rb en los apoyos.
Datos.
Los datos son:
F = 95 kN da = 3,50 metros db = 5,00 metros
Método gráfico.
Trazamos una recta horizontal de referencia que corte a F.
A derecha de la dirección “b” prolongamos en escala la distancia
“da” (3,50 metros) y a la izquierda de la “a”, la distancia “db” (5,00 me-
tros). Unimos estos puntos con los extremos de F.
Las nuevas rectas cortan a las direcciones en los puntos “c” y “d” y
en los “e” y “f”. Midiendo en escala dichos segmentos obtenemos las mag-
nitudes de Fa y Fb.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Método analítico.
En este caso una fuerza F debemos descomponerla en dos direccio-
nes. Otra vez aplicamos la ley de momentos.
Los datos son las distancias (ubicación) y la magnitud de F: aplica-
mos ley de momentos desde el punto 1 por donde pasaría Fb:
F.db = Fa (da + db) Fa = F.db / (da +db)
Conocida Fa, resuelvo Fb:
Fb = F – Fa
Fa = 95 . 5,00 / 8,5 = 55,88 kN = 5.588 kg
Fb = 95,00 – 55,88 = 39,12 kN = 3.912 kg
7. Cuplas o par de fuerzas. Dos fuerzas paralelas de igual intensidad y de sentido contrario,
constituyen un sistema especial de fuerzas denominado par de fuerzas o
cuplas. La resultante de éstas fuerzas es nula, pero producen un giro cuyo
efecto se lo denomina “momento de cupla”.
F1 = - F2
Momento de la cupla:
Mc = F1. z = F2. z
Es positivo por producir un giro según rotación horaria.
Cuplas de la naturaleza.
Este par de fuerzas tan simple, es universal. Está presente en todas
las vigas. En las hojas, en las ramas, en los troncos, todos en voladizos
construidos por la naturaleza. En flexión por la gravitatoria o por los vien-
tos. También se encuentra en cada elemento a flexión construido por el
hombre. Diríamos que la estructura soporte de un gran edificio, todas sus
partes, de alguna y otra manera contienen cuplas. También la esbelta co-
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
lumna frente a la inevitable excentricidad de la carga (posición descentra-
da).
El hueso con el músculo. La cupla de hueso
en compresión y músculos en traccón.
El tronco del árbol circular, para equilibrar
las fuerzas externas del viento: fibras en tracción a
barlovento y compresión a sotavento. Recordemos
que además el tronco sostiene el peso propio del
árbol.
La extensa hoja del banano en voladizo. Las
finas fibras superiores en tracción y la masa infe-
rior a compresión.
Siempre fuerzas paralelas tienen sentido contrario. De compresión y
tracción. Cuando estas fuerzas son casi constantes, la naturaleza modifica
las características de las fibras de tracción respecto a las de compresión.
Cuplas de las ciencias de la construcción.
En las piezas construidas por el hombre se forman las cuplas según
el diseño estructural. En las piezas de material macizo y homogéneo como
las vigas de madera o de perfiles de acero las cuplas se forman según los
esquemas de las figuras.
Las vigas ejecutadas con perfiles me-
tálicos tipo IPN (doble T) las fuerzas de la
cupla se ubican donde hay mayor masa: en
las secciones superiores e inferiores.
En las vigas reticuladas, el cordón su-
perior en compresión y el inferior a tracción,
los montantes y diagonales tendrá uno u otro
esfurzo, según la disposición geométrica.
En la viga maciza de madera, surgen
los volúmenes de tensiones que forman
imaginarios prismas en su interior, de esa
manera se genera la
cupla interna.
En las vigas de hormigón armado los volúme-
nes de tensiones se distribuyen de acuerdo a la forma
de la sección transversal y la ubicación de las barras.
Mostramos dos vigas de hormigón armado, una de
sección rectangular y la otra de tipo placa donde la lo-
sa, el entrepiso, también de hormigón colabora en la
cupla de compresión.
Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.
Momento externo y cupla interna.
La Estática posee capítulos enteros que tratan de la traslación, com-
posición y descomposición de cuplas. Tratamos de mostrar el funciona-
miento de las cuplas y su aplicación en los elementos estructurales a fin
despertar la intuición frente a los fenómenos que se crean en el interior de
las vigas.
Supongamos una viga que se apoya sobre dos columnas. Soporta
cargas concentradas.
Posee simetría de cargas y de formas. Los máximos esfuerzos suce-
den en longitud media (l/2). Suponemos la viga de madera y de sección
rectangular. En su interior se conforman estados tensionales creando en su
conjunto una cupla resistente.
C: Esfuerzo resultante de la sumatoria de todas las fuerzas de compresión
que actúan por unidad de área (tensiones).
T: Esfuerzo resultante de la sumatoria de las fuerzas de tracción.
Z: Distancia que separa las fuerzas. También denominado “brazo elástico”.
Acción externa:
Cortamos la viga en el centro de su longitud. La parte izquierda: las
fuerzas F (acciones) y la R (reacciones), son las externas que producen fle-
xión. En su interior la viga responde con la más simple y elemental con-
formación de fuerzas: la cupla C.z = T.z.
Momento externo: Me = R . (l/2) – F . l1
Cupla interna: Mi = C.z = T.z
Para el equilibrio: Me = Mi. Cuando analice el capítulo de equilibrio,
nos detendremos en el estudio detallado de este fenómeno: acciones exter-
nas y esfuerzos internos.