LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Lic. Carla Rojas del CarpioANALISIS MATEMATICO I

NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

LÍMITE

ACERCAMIENTO

Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir:

Lf(x)limax

3

Llamamos LÍMITE de una función f en un punto x=a al valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor de a.

lím f(x) = L x a

• EJEMPLO:

lím

x2

• El valor de x se aproxima a 2: 1’9, 1’99, 1’999, …

• El valor de f(x) se aproxima a 4: 3’96, 3’98, 3’99, …

• El valor de x se aproxima a 2: 2’1, 2,01, 2,001, …

• El valor de f(x) se aproxima a 4: 4’41, 4’04, 4’004, …

2x

Ejemplo:Sea la función

Hallar

2

Por lo tanto

22

2)(

x

xxf

2

)(2

x

xfxlím

X 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2

y 3.9493 3.9748 3.9975 3.9997 4.0002 4.0025 4.0248 4.0493

422

2lím

2

x

x

x

LÍMITES

Lf(x)

Lf(x)

f(x)lim

limlim

ax

ax

ax

Si L es finito y ambos límites laterales coinciden, se dice que el límite existe y vale L

EJERCICIO 1

Lim f(x) no existe

x 1

y

x1 5

2

1

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

EJERCICIO 2

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

Lim f(x) = L =2

x 1

y

x1 5

3

2

EJERCICIO 3

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)

x 1

x1

y

5

2

1

EJERCICIO 4

Dado el gráfico de f(x) :

33

55

-3-3

33

-2-2xx

ff(x)(x)

3.53.5

f(x)d)f(x)c)

f(x)b)f(x)a)

limlim

limlim

2x0x

3x3x

Encuentre:

REGLAS PARA CALCULAR LÍMITES

n

ax

n

ax

axax

axaxax

axaxax

axaxax

f(x)limf(x)lim

g(x)limKK.g(x)lim

g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim

g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)lim

g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim

# 1: Evaluar para saber si se trata de un límite directo o

estamos en presencia de una forma indeterminada

# 2: INTENTAR desaparecer la indeterminación a través

de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...

Cálculo del límite en un punto Método Practico: para calcular el límite se evalúa

o sustituye en la función el valor al que tienden las x. Pero recordando que no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

Ejemplo

Formas Indeterminadas De la forma :

Operaciones con infinito

Sumas con infinito

Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito

Productos con infinito

Infinito por un número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero

Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un número elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

.

Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:

Límite de funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o

negativo.

 Límite de la función exponencialSi 0 < a < 1Si a > 0

Formas Indeterminadas De la forma :

Método Practico : Se elimina el factor que hace cero al denominador y numerador por RUFFINI tomando el valor del limite .

• EJEMPLITOS

Formas Indeterminadas De la forma :

Método Practico: Se divide al numerador y denominador por la variable con el mayor exponente• EJEMPLITOS

El numerador tiene mayor grado que

el denominador.

El denominador tiene mayor grado que

el numerador.

Al tener el mismo grado el límite es el

cociente entre los coeficientes de mayor

grado

Formas Indeterminadas De la forma :

Método Practico : Se transforma a

• EJEMPLITOS

Formas Indeterminadas De la forma :

Método Practico : Multiplicar y dividir por el conjugado f(x) + g(x)• EJEMPLITOS

Formas Indeterminadas De la forma : Método Practico : Aplicar la formula

• EJEMPLITOS

Formas Indeterminadas

De la forma :Se estudian los limites laterales ( defnicion de limite), asi el límite puede ser

+∞, −∞ ó no tener límite• EJEMPLITOS

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En pr imer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los

di ferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del l ímite.

Si no coinciden, el l ímite no existe.

.