Limites

Contenidos

Definición Limites Laterales Algebra de Limite Ejercicios

fSea una función

0x

Se define al Limite

Lo que anotaremos por

Definición

IRIRf :

x tiende a como

Lxfxx 0000

LxfLimnxx

0

cuando

L

Limites Laterales

f

Lxfxxx 0000

Sea una función IRIRf :Limites por la Izquierda

Lo que anotaremos por LxfLimnxx

0

f

Lxfxxx 0000

Sea una función IRIRf :Limites por la Izquierda

Lo que anotaremos por LxfLimnxx

0

Existencia de un Limite

Un limite existe si sus limites laterales son iguales, es decir,

LxfLimnxfLimnxxxx

00

Ejemplo 1

Sea la función

a) ¿Es derivable en

3 1

2 1

1 1 2( )

1 2

3 2

x si x

si x

si xf x

si x

x si x

0 1x b) ¿Es derivable en

0 2x

c) ¿Es derivable en 0 6x

d) Grafique la función

?

?

?

Solución

Volver

Ejemplo 2

Sea la función

2 8 15 5 3

3 3 1( )

4 1 4

4 4 10

x x si x

si xf x

x si x

x si x

a) ¿Es derivable en 0 1x b) ¿Es derivable en

0 2x

c) ¿Es derivable en 0 6x

d) Grafique la función

?

?

?

Solución

Volver

Recta Tangente y Normal

0 0 0'y f x f x x x

La ecuación de la recta tangente en 0x es

La ecuación de la recta Normal en 0x

0 00

1

'y f x x x

f x

es

Interpretación Geométrica

P 0f x

f

Recta Tangente

Recta Normal

Curva

y mx b

1y x b

m

Interpretación Geométrica

f

Curva

Volver

Recta tangente y Normal en distintos Instantes

0x 1x 3x2x 4x 5x 6x

Ejemplo 3

Sea la función

a) Hallar la ecuación de la recta Tangente y Normal en el punto 0 4,5x

2 8 15 5 3

3 3 1( )

4 1 4

4 4 10

x x si x

si xf x

x si x

x si x

b) Hallar la ecuación de la recta Tangente y Normal en el punto 0 8x

c) Grafique la situación

d) ¿ Es derivable en -3? Justifique su respuesta

Solución

Volver

0

'h

f a h f af a Lim

h

Sea función se define la derivada funcional comof

a Dom f

Volver

La Derivada Funcional

Ejemplo 4

Sea la función2( )f x x Demuestre ' ( ) 2f x x

Solución

Ejemplo 5

Sea la función ( )f x x Demuestre 1

' ( )2

f xx

Solución

son dos funciones derivable en,

d df dgf x g x x x

dx dx dx

Si yf g0x entonces

d df dgf x g x x x

dx dx dx

d df dgf x g x x g x f x x

dx dx dx

2

df dgx g x f x xf xd dx dx

dx g x g x

Álgebra de Derivadas

Suma

Resta

Producto

División

son dos funciones derivable en,

d df dgf g x g x x

dx dx dx

Si yf g

Regla de la Cadena0x entonces

Volver

f x ' 0f x

f x x 'f x

nf x x 1nf x n x

Funciones Polinomiales

Formulario

Funciones Irracionales

f x x 1'

2f x

x

3f x x 3 2

1'

3f x

x

nf x x 1

1'

n nf x

n x

Función Derivada

Función Derivada

f x Ln x 1'f x

x

axf x e ' axf x ae

Funciones Exponencial y Logarítmica

bf x Log x

xf x a

1' bf x Log ex

' ln xf x a a

Formulario

Función Derivada

'f x Cos x f x Sen x

'f x Sen x f x Cos x

f x Tang x 2'f x Sec x

Funciones Trigonometrica

Funciones Hiperbólicas

f x Senh x

f x Cosh x

f x Tangh x

'f x Cosh x

'f x Senh x

2'f x Sec h x

Función Derivada

Función Derivada

f x ArcSen x

f x ArcCos x

f x ArcTang x

FunciónDerivada

Funciones Trigonometricas Inversas

2

1'

1f x

x

2

1'

1f x

x

2

1'

1f x

x

secf x ArcCo x

f x ArcSec x

tanf x ArcCo g x

2

1'

1f x

x x

2

1'

1f x

x x

2

1'

1f x

x

f x ArcoSenh x

f x ArcCosh x

f x Tangh x

2

1'

1f x

x

Función Derivada

Funciones Hiperbólicas Inversas

2

1'

1f x

x

22

1' 1

1f x x

x

Volver

Ejercicios

3

4

1

1

x xy

x

Determinar la primera derivada usando las operaciones básicas de derivación

5 34 2 3y x x x

32 2 4y x x x

35

3

1

5

1xxy

2

2 3

5 5

xy

x x

2 1

2 1y

x x

1

1

xy

x

( ) ( )

( ) ( )

Sen x Cos xy

Sen x Cos x

1

1

x

x

ey

e

3 lny x x

EjerciciosDeterminar la primera derivada usando la regla de la cadena

3 1ln

1

xy x

x

(2 ) 1

(2 )

Cos xy

Sen x

ln 1 ln 1y x x

8 53 33 31 1

1 18 5

y x x

44 1

3 2

xy

x

43 2 1y x x

2ln 1 xy x xe

2

54 1

7

xy

x

2ln 1y x