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Lista de
CÁLCULO 1(P2)
“ LISTA DO MÁGICO”
Esta lista contém 57 Exercícios resolvidos
provenientes de P2, P3, listas e livros
Página 2
Índice:
g Derivada ..........................................................páginas (3 à 14)
g Limite ..............................................................páginas (15 à 20)
g Máximos e Mínimos ........................................páginas (21 à 29)
g Reta Tangente e Normal ..................................páginas ( 30 à 37)
g Otimização .......................................................páginas (38 à 53 )
g Taxa de Variação .............................................páginas (54 à 63)
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1h) (P2) Derivar implicitamente a função
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1i) (P2) Derivar e simplificar
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1j) Derive e simplifique
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1L) Derive e simplifique:
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1m) (P2-2011) Derive e simplifique:
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3b)
b)
portanto tem concavidade para baix o : ] -oo; 0
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3f) Dado o gráfico da primeira derivada, encontre os valores de x onde a função f(x) é máximo, mínimo,
crescente, decrescente. Também escreva a concavidade e a inflexão (se existir).
Traçando os “varais” da primeira e segunda derivadas, obtemos o seguinte desenho:
Respostas:
Crescente: ]-3; +4[
Decrescente: ]- 4; -3[
Mínimo local: (-3,f(-3))
Máximo local: Não existe
Concavidade p/ cima:
]-4;-2[ U ]0; +4[
Concavidade p/ baixo:
]-2; 0[
Inflexões:
(-2,f(-2)) e (0,f(0))
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3g) Dado o gráfico da primeira derivada, encontre os valores de x onde a função f(x) é
máximo, mínimo, crescente, decrescente. Também escreva a concavidade e a inflexão (se
existir).
Respostas:
Crescente: ]-3; -1[ U]1; + 4[
Decrescente: ]- 4; -3[ U [-1; 1[
Mínimo local: (-3, f(-3)) e (1, f(1))
Máximo local: (-1,f(-1))
Concavidade p/ cima:
]-4;-2[ U ]0; +4[
Concavidade p/ baixo:
]-2; 0[
Inflexões: (-2,f(-2)) e (0,f(0))
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4g) Determine a equação da reta tangente ao gráfico que passa pelo ponto
A(19,0).
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5a) Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito abaixo da parábola
de equação y = 3 - x .2
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5j) Um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados está inscrito na elipse .
Determinar a área máxima posível de um retângulo nestas condições.
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5L) Determinar o perímetro máximo possível de um triângulo retângulo de hipotenusa 5cm.
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5m) Determinar o volume máximo de uma pirâmide regular reta de base quadrada que pode ser
obtida através de recorte e dobradura a partir de umafolha quadrada de cartolina de 50cm de lado, conforme
a figura.
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5n) Determinar o perímetro máximo possível de um triângulo retângulo de hipotenusa 5cm.
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5o) A reta y = k, (0< k < 24) intercepta a parábola nos pontos A e B. Determinar
a área máxima possível do triângulo OAB, onde O é a origem.
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6a) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5m de raio da base e 10m de altura. Em
t=0 a água começa a fluir no tanque à razão de 25m /h.3
a) Com que velocidade o nível da água sobe?
b) Quanto tempo levará para encher o tanque?
a) b)
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6b) (P2) Um incêndio em campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo cresce
a uma taxa constante de 2,5 m/min. Com que rapidez está crescendo a área incendiada no instante em que
ela é igual a .
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6d) Injeta-se ar em um balão esférico a uma taxa de 36cm /s. Determinar a variação do raio quando3
o diâmetro for 60cm.
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6e) Uma bola de neve esférica está derretendo uniformemente de modo que sua superfície
diminui a uma taxa de 10cm /min. Determinar a razão segundo a qual o raio está diminuindo quando o2
mesmo medir 16cm.
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6f) Um reservatório tema forma de um cone reto invertido com raio da base 4m e altura 12m. Injeta-se
água no tanque a razão de 0,2 m /min. Determinar a razão segundo a qual o nível da água está se elevando quando3
a altura da água for de 8m.
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6g)(P3-2007) (2,5 ) Um tanque tem o formato de um cone reto invertido com altura 12m e raio 4m e está
cheio de água. Sabe-se que o nível da água desce a uma velocidade constante de , em relação
à borda, em virtude de um vazamento. Dado . Pede-se:
a) o volume de água perdido em termos de x (ver figura)b) a taxa com a qual o volume de água eliminado cresce ou decresce no instante em que x = 3m.
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6h) (P3-2011) Em um triângulo retângulo ABC o cateto AB aumenta uniformemente à razão de
0,2 cm/min e o cateto AC é constante e igual a 7cm. Se o cateto AB estiver medindo 24cm, determinar
naquele instante:
a) variação da hipotenusa b) variação da área c) variação do ângulo interno formado pelo
cateto AC e a hiotenusa
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6i)(P2-2011) Sabendo que o perímetro de uma circunferência varia a umataxa constante de 6cm/s.
Determine:
a) a variação do raio da circunferência b) a variação da área da circunferência no instante em
que o perímetro é igual a cm.
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6j)(P3-2011) Determine a variação do lado AB do triângulo abaixo no instante em que o lado BC
mede 10cm, dendo constantes , AC=10cm e a variação do lado BC = 36 cm/s.