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-diego hidalgo burneo- CURSO DE APTITUD NUMÉRICAdxhidalgoo@utpl.edu.ec | 0981158237 | agosto de 2015

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SALIR

LÓGICA MATEMÁTICA | 1UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

Figura 1:Discourse into te night de William Blades.

Nota. Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Discourse-into-the-night.jpg

Map

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volver

EXPLICACIÓNA

SITUACIÓN INICIALB

ACTIVIDADESC

ACTIVIDAD DE CIERRED

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

REFERENCIASE

a.

exp

licació

nvolver

Utiliza adecuadamente la nomenclatura matemática y los cuantificadores.1

Elabora tablas de verdad.2

Aplica las definiciones, características y propiedades de la lógica matemática a la resolución de problemas.3

1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

diego hidalgo burneo | agosto de 2015

Realiza demostraciones directas, por contrapositiva y por reducción al absurdo.4

b.

Sit

uació

n in

icia

lvolver

«La que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y haciendo abstracción de los contenidos».1

lógica matemática

1 http://buscon.rae.es/drae/srv/search?id=lh6ixBvbVDXX2Hbd69K02 Parte de una anécdota atribuida a Bertrand Russell.

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

«Si 2 + 2 = 5, entonces yo soy el papa de Roma».2

Figura 2:Bertrand Russel en 1938.

Nota. Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3a/Russell_in_1938.jpg

c.

acti

vid

ad

es

volver

Exposición de fundamentos teóricos.C.1. ANTICIPACIÓN

Resolución de ejercicios en clase.C.2. CONSTRUCCIÓN

Resolución de tarea.C.3. CONSOLIDACIÓN

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

C.1

. an

ticip

ació

nvolver

Nomenclatura matemática1.1.

Cuantificadores1.2.

Operadores (o conectivas)1.3.

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

Tablas de verdad1.4.

Demostración matemática1.5.

1.1

. n

om

en

cla

tura

mate

máti

ca

volver

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

http://bit.ly/1MsyHXY

1.2

. cu

an

tifi

cad

ore

svolver

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Para todo… ∀

Establecen cuántos elementos de un conjunto cumplen con cierta propiedad.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Existe al menos un… ƎCUANTIFICADOR

EXISTENCIAL ÚNICO

Existe un único… Ǝ!

∀x A : P(∈ x)Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x)

Ǝx A : P(x)∈Existe al menos un x en A que cumple P(x)

Ǝ!x A : P(x)∈Existe una única x en A que cumple P(x)

1.3

. op

era

dore

s (

o c

on

ecti

vas)

volver

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

Son palabras (o símbolos) que se utilizan para enlazar dos o más proposiciones atómicas.

CONJUNCIÓN ʌP ʌ Q

Está lloviendo o la calle está mojada.

P QDISYUNCIÓN INCLUYENTE v

P V Q

DISYUNCIÓN EXCLUYENTE v

P V Q O bien está lloviendo o bien la calle está mojada.

P Q

siguiente

Está lloviendo y la calle está mojada.1

P Q

1 Los seis ejemplos fueron tomados de https://es.wikipedia.org/wiki/Conectiva_l%C3%B3gica

1.3

. op

era

dore

s (

o c

on

ecti

vas)

volver

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

Si está lloviendo, entonces la calle está mojada.

P QCONDICIONAL →P → Q

Está lloviendo si y solo si la calle está mojada.

P QBICONDICIONAL ↔P ↔ Q

NEGACIÓN ¬¬P | ¬Q No está lloviendo. | La calle no está mojada.

P Q

anterior

1.4

. ta

bla

s d

e v

erd

ad

volver

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

NEGACIÓN

P ¬QV F

F V

CONJUNCIÓN

P ʌ QP QV VV FF VF F

VFFF

DISYUNCIÓN INCLUYENTE

P V QP QV VV FF VF F

VVVF

DISYUNCIÓN EXCLUYENTE

P V QP QV VV FF VF F

FVVF

CONDICIONAL

P → QP QV VV FF VF F

VFVV

BICONDICIONAL

P ↔ QP QV VV FF VF F

VFFV

1.5

. d

em

ostr

ació

n m

ate

máti

ca

volver

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

DIRECTA Se obtiene la conclusión luego de combinar lógicamente axiomas, definiciones y teoremas.

«… o prueba es un argumento deductivo para una afirmación matemática».1

1 https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

demostración matemática

Se obtiene la conclusión probando que las consecuencias de su contraria son falsas (para la premisa).

CONTRAPOSITIVA

INDIRECTA

REDUCCIÓN AL ABSURDO

Se obtiene la conclusión (absurda) luego de negar la premisa (considerada verdadera).

1.5

. d

em

ostr

ació

n m

ate

máti

ca

volver

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

La suma de dos enteros pares es siempre par.

Considere dos enteros pares x y y

x = 2a y y = 2b definición de número par

x + y = 2a + 2b utilizando las igualdadesx + y = 2(a + b) extrayendo el factor común

Como la suma “x + y” tienen como factor 2, entonces esa suma es par.

1.5

. d

em

ostr

ació

n m

ate

máti

ca

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

volver

Si x2 es par, entonces x es par; x ∈ ℤ.

Considere x impar

x = 2a + 1 definición de número imparx2 = (2a + 1)2 elevando al cuadrado

x2 = 4a2 + 4a + 1 realizando las operaciones

Como “4(a2 + a)” es par, la suma “4(a2 + a) + 1” es impar. Habiendo considerado x impar, su cuadrado también lo es. Es decir, si se considera x2 par, x lo debe ser.

x2 = 4(a2 + a) + 1 extrayendo el factor común

1.5

. d

em

ostr

ació

n m

ate

máti

ca

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

volver

Si x2 es par, entonces x es par; x ∈ ℤ.

Considere x impar

x2 + x es impar la suma de un par y un impar es impar

x2 + x = x(x + 1) extrayendo el factor comúnx (x + 1) es par porque “x + 1” es par

Como un número no puede ser al tiempo par e impar, se muestra el absurdo de haber considerado x impar. Es decir, si se considera x2 par, x lo debe ser.

x2 + x es par reemplazando según la igualdad

C.2

. con

str

ucció

n

volver

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

ENUNCIADODesarrolle los ejercicios contenidos en el documento “1. LÓGICA MATEMÁTICA (ejercicios propuestos)” enviado a su correo electrónico.

volver

RESOLUCIÓN DE TAREAC

.3.

con

solid

ació

n

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

ENUNCIADODesarrolle los ejercicios contenidos en el documento “1. LÓGICA MATEMÁTICA (ejercicios propuestos)” enviado a su correo electrónico.

D.

Acti

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de c

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Contenidos teóricos. Resolución de ejercicios y tarea.

EVALUACIÓN

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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica

E.

refe

ren

cia

svolver

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DE LOS CONTENIDOS Colaboradores de Wikipedia. (22 de mayo de 2015). Demostración matemática.

Wikipedia, la enciclopedia libre. Recuperado el 29 de julio de 2015 dehttps://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

Colaboradores de Wikipedia. (16 de junio de 2009). Símbolos matemáticos. Wikipedia, la enciclopedia libre. Recuperado el 27 de julio de 2015 de https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos

Grupo Salazar Montiel (2013). Tablas de verdad y su construcción [vídeo]. Disponible en https://www.youtube.com/watch?v=4K5rBPZ5A-g

Morales, C. (2008). Los métodos de demostración en matemáticas. Tesis previa al grado de máster en investigación. Universidad de San Carlos de

Guatemala. Recuperado el 29 de julio de 2015 de http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:MHYgNeRwK3YJ:biblioteca.usac.edu.gt/tesis/07/07_1914.pdf+&cd=3&hl=es&ct=clnk&gl=ec

Real Academia Español. (2001). Lógica matemática en Diccionario de la lengua española [versión electrónica]. Recuperado el 23 de julio de 2015 de http://buscon.rae.es/drae/srv/search?id=lh6ixBvbVDXX2Hbd69K0

Suppes, P. & Hill, S. (1988). Primer curso de lógica matemática. Bogotá: Editorial Reverté Colombiana.

¿CÓMO CITAR ESTA PRESENTACIÓN? Hidalgo Burneo, D. (2015). Lógica matemática [diapositivas]. En Curso de

fortalecimiento de aptitud numérica, desarrollado entre el 30 de julio y el 7 de agosto de 2015. Loja: Universidad Técnica Particular de Loja.

1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica