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Uso del Geogebra como herramienta para
la mediación pedagógica de la matemática
Elaborado por Juan Pablo Serrano
Echeverría.
Asesor de Matemática
Departamento Diseño, Producción y Gestión
de Recursos Tecnológicos.
Dirección de Recursos Tecnológicos en
Educación.
MEP 2010
Uso del Geogebra como herramienta para la mediación pedagógica de la matemática
Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría Pág 2
Asesor de Matemática, DIPRPGES, DRTE, MEP, 2010
Prohibida su reproducción con fines comerciales
Uso de herramientas iconográficas y
entorno general.
Edición de las propiedades de los
objetos.
Construcciones Geométricas.
Uso del Geogebra como herramienta para la mediación pedagógica de la matemática
Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría Pág 3
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Primeros pasos en Geogebra…
Primero nos acostumbraremos al ambiente Geogebra, realizando construcciones simples.
1. Puede “desaparecer” los ejes de coordenadas cartesianas, posicionándose sobre
algún sitio de la pantalla del geogebra, y con botón derecho se elimina el “check” en
“ejes”.
2. Seleccione:
a. La herramienta “Nuevo Punto” y trace los puntos A, B, C, D, E, F en el
plano.
b. “Recta a través de dos puntos”, y trace AB .
c. “Segmento entre dos puntos” y trace , DE y CECD .
d. “Recta Perpendicular”, marcar AB y el punto D, para trazar la recta
perpendicular a AB que pase por el punto D. e. “Desplaza” y manipule los puntos trazados.
f. “Recta Paralela”, marcar AB y el punto F, para trazar la recta paralela a AB que pase por el punto F.
g. “Mediatriz” y marcar CD .
h. “Intersección de dos objetos” y marcar CD y la mediatriz anterior.
i. “Ángulo” y marque los puntos C, D, E para trazar CDE .
3. Al posicionarse sobre un objeto específico, hacer “clic” con el botón derecho del
Mouse, aparecerá el siguiente cuadro:
Experimente con las opciones anteriormente explicadas.
Muestra o esconde gráficamente el objeto seleccionado
Muestra o esconde el rótulo o valor del objeto seleccionado
Permite reescribir las coordenadas de un punto seleccionado
Permite redefinir el objeto vía teclado
Permite cambiar el nombre del punto
Abre la ventana de Propiedades
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4. Al abrir la ventana de “propiedades” se mostrará el siguiente cuadro:
5. Utilizando el paso anterior:
a. Cambie el grosor de los segmentos , DE y CECD a 4. Modifique el color
de cada uno.
b. Cambie el estilo AB a “línea discontinua”.
6. Marque un punto sobre AB , y verifique utilizando “Desplaza” que se desplace sobre la recta.
Realice a continuación, la prácticas denominadas Construcciones Simples.
Selecciona el
objeto a
modificar
Selecciona el tipo de
rótulo (nombre y/o
valor) que debe
mostrarse
Escoge el color del
objeto
Evita que se pueda
manipular el objeto
seleccionando “Desplaza”
Cambia el grosor del
objeto
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Construcciones Simples Hallando el punto de intersección entre dos rectas
Trace ABcualquiera.
Notar la nomenclatura utilizada por
Geogebra para nombrar la recta.
Trace CD no paralela a AB .
Posicione el puntero sobre CD y
marque “clic” derecho. Seleccione
propiedades y cambie el color al
objeto.
Para hallar el punto de intersección de
las rectas anteriores, se pueden utilizar
dos caminos:
Usar el comando “intersección de dos
puntos”
Luego hacer un “clic” sobre cualquier
punto de ABy luego otro “clic” sobre
cualquier punto de CD .
La otra forma de hallar la intersección
entre las dos rectas, es seleccionando
la herramienta y se posiciona el
puntero sobre la intersección, hasta
que aparezca en la etiqueta los dos
objetos “recta”. Luego hacer clic
izquierdo.
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Construcción de los elementos básicos en una circunferencia
1. Escribir en la línea de comandos:
radio = 5
2. Luego seleccionar “Circunferencia dados su
centro y su radio” Hacer clic en el plano y cuando solicite la
longitud del radio escribir “radio”
3. Seleccionar la herramienta y posicionarse sobre la circunferencia hasta
que esta se active. Hacer clic sobre ella para
graficar un punto sobre la circunferencia.
Luego utilizando “Circunferencia dados su
centro y su radio” sobre el punto trazado, trace una circunferencia de radio 4
unidades.
4. Marque un punto de intersección de las dos
circunferencias.
Luego trace la cuerda resultante por el punto
de intersección y el centro de la
circunferencia menor.
5. Posicionarse sobre la circunferencia menor y
con clic derecho quitar “check” sobre
“Expone Objeto” para borrar los trazos
auxiliares.
Repita los pasos 2, 3, 4 y 5 para trazar otra
cuerda.
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Realice los procedimientos necesarios para trazar:
Diámetro.
Radio.
Recta Tangente.
Recta secante.
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Práctica #2.
I Parte. Construcción de un cuadrado.
1. Trace un segmento AB. Notar que el programa nombra a dicho segmento como “a”
2. Sobre A, trace una circunferencia de radio “a”.
3. Trace una recta perpendicular a AB , que pase por A.
4. Marcar un punto de intersección entre la recta y la circunferencia.
5. Trace AC y oculte los elementos utilizados en la construcción (recta,
circunferencia).
6. Sobre B, repetir paso 2, 3 (usar B) y 4.
7. Trace y oculte los elementos utilizados en la construcción.
8. Trace . 9. Marcar <) ABD y <) ACD. Mostrar solamente el valor.
10. Ocultar rótulo de todos los segmentos.
11. Nótese cuales puntos son los que puede mover con “Desplaza” y cuales son
dependientes de otros.
12. Active las propiedades de B y déjelo como un objeto fijo.
13. Nótese cuales puntos son los que puede mover con “Desplaza” y cuales son
dependientes de otros.
14. Seleccione Archivo-Exporta-Planilla Dinámica como página Web, guárdela como
“cuadrado” en una nueva carpeta en Mis Documentos llamada “Páginas Web
Geogebra”. Escriba antes de la aplicación una breve explicación de la
construcción.
15. Cierre Geogebra y abra Mis Documentos-Paginas Web Geogebra-cuadrado y
explore su primer página Web. (Después se discutirá esto)
II Parte
Dado AB , construya su mediatriz (Construcción detallada), observe la hoja
“Construcción de Mediatriz con Geogebra”.
Realice la construcción ubicada en la hoja “Rectas Paralelas y una Transversal”
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Realizar la siguiente construcción, observe la hoja “Construcción con geogebra (2)”
Tomar en consideración lo siguiente:
C es punto medio de AB
CJ AB
CJ =
4
5
AC
K es punto medio de AJ KN AJ
AN = AJ
NP biseca a <) KNJ
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Construcción de Mediatriz en Geogebra
Juan Pablo Serrano - 15/7/2006
No. Nombre Definición Algebra
1 Punto A A = (14.53, 5.9)
2 Punto B B = (6.9, 4.87)
3 Segmento a Segmento[A, B] a = 7.7
4 Número b 3 a / 5 b = 4.62
5 Círculo c Círculo con punto medio A y Radio b c: (x - 14.53)² + (y - 5.9)² = 21.36
6 Número d 3 a / 5 d = 4.62
7 Círculo e Círculo con punto medio B y Radio d e: (x - 6.9)² + (y - 4.87)² = 21.36
8 Punto C punto de interseción c, e C = (11.06, 2.85)
8 Punto D punto de interseción c, e D = (10.37, 7.92)
9 Recta f recta a través de C, D f: 5.06x + 0.69y = 57.95
10 Punto E punto de interseción f, a E = (10.72, 5.38)
11 Angulo α Angulo entre B, E, C α = 90°
12 Punto F F = (-4.5, -1.9)
Creado con GeoGebra
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Construcción con geogebra (2)
No. Nombre Definición Algebra
1 Punto A A = (-2.27, -2)
2 Punto B B = (7.3, 2.27)
3 Segmento a Segmento[A, B] a = 10.47
4 Punto C punto medio de A, B C = (2.52, 0.13)
5 Recta b recta a través de C perpendicular a a b: 9.57x + 4.27y = 24.64
6 Número CJ 2 a / 5 CJ = 4.19
7 Círculo c Círculo con punto medio C y Radio CJ c: (x - 2.52)² + (y - 0.13)² = 17.56
8 Punto D punto de interseción c, b D = (4.22, -3.69)
8 Punto J punto de interseción c, b J = (0.81, 3.96)
9 Segmento d Segmento[C, J] d = 4.19
10 Segmento e Segmento[A, J] e = 6.71
11 Punto K punto medio de J, A K = (-0.73, 0.98)
12 Recta f recta a través de K perpendicular a e f: 3.08x + 5.96y = 3.6
13 Círculo g Círculo con punto medio A y Radio e g: (x + 2.27)² + (y + 2)² = 44.99
14 Punto E punto de interseción g, f E = (4.43, -1.68)
14 Punto N punto de interseción g, f N = (-5.89, 3.64)
15 Segmento h Segmento[A, N] h = 6.71
16 Segmento i Segmento[N, J] i = 6.71
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17 Recta j Bisectriz de J, N, K j: 0.21x + 0.98y = 2.31
18 Punto P punto de interseción j, e P = (-0.01, 2.36)
19 Segmento k Segmento[P, N] k = 6.01
20 Segmento l Segmento[K, N] l = 5.81
Creado con GeoGebra
Rectas Paralelas y una transversal
Juan Pablo Serrano Echeverría - 15/7/06
No. Nombre Definición Algebra
1 Punto A A = (-3.03, 2.73)
2 Punto B B = (9.93, 2.87)
3 Punto C C = (2.5, -2.63)
4 Recta a recta a través de A, B a: 0.13x - 12.97y = -35.85
5 Recta b recta a través de C paralela a a b: 0.13x - 12.97y = 34.48
6 Punto D Punto en b D = (-2.4, -2.68)
7 Punto E Punto en a E = (1.53, 2.78)
8 Recta c recta a través de E, D c: 5.46x - 3.93y = -2.56
9 Angulo α Angulo entre B, E, D α = 126.34°
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10 Angulo β Angulo entre A, E, D β = 53.66°
11 Angulo γ Angulo entre C, D, E γ = 53.66°
12 Punto F Punto en b F = (-5.83, -2.72)
13 Punto G Punto en c G = (-4.29, -5.32)
14 Punto H Punto en c H = (6.07, 9.08)
15 Angulo δ Angulo entre H, E, A δ = 126.34°
16 Angulo ε Angulo entre B, E, H ε = 53.66°
17 Angulo δ Angulo entre E, D, F δ = 126.34°
18 Angulo ε Angulo entre G, D, F ε = 53.66°
19 Angulo ζ Angulo entre C, D, G ζ = 126.34°
20 Texto T1 T1 = "Angulos Altenos Internos"
21 Texto T2 "α = " + α + " , δ = " + δ T2 = "α = 126.34° , δ = 126.34°"
22 Texto T3 "β = " + β + " , γ = " + γ T3 = "β = 53.66° , γ = 53.66°"
23 Texto T4 T4 = "Angulos Alternos Externos"
24 Texto T5 "δ = " + δ + " , ζ = " + ζ T5 = "δ = 126.34° , ζ = 126.34°"
25 Texto T6 "ε = " + ε + " , ε = " + ε T6 = "ε = 53.66° , ε = 53.66°"
Creado con GeoGebra
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Concepto de deslizador.
Aplicaciones interactivas.
IV año. Geometría Objetivo: Caracterizar los triángulos, considerando la medida de sus lados y ángulos internos. Contenidos: Características de los triángulos (base, altura, lado, ángulos internos y vértices) y clasificación, de acuerdo con la medida de sus ángulos internos (acutángulo, rectángulo y obtusángulo) y según la medida de sus lados (equilátero, isósceles y escaleno). Parte 1 Repaso de Construcción de Triángulos dados 3 segmentos. Construcción de un triángulo cuyas medidas sean 5 u, 6 u, 2 u.
Concepto nuevo: Deslizadores
1. Dibujar el punto A en el plano.
2. Con centro en A, trazar una circunferencia de radio 5 u.
3. Marcar un punto en la circunferencia
4. Ocultar circunferencia
.
Material Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría, Costa Rica. Uso de Deslizadores
Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
5. Con centro en B, trazar una circunferencia de radio 6 u.
6. Con centro en A, trazar una circunferencia de radio 2 u.
7. Marcar uno de los dos puntos de intersección de las dos circunferencias
8. Ocultar las circunferencias. (botón derecho sobre cada circunferencia y deshabilitar “Exponer Objeto”.
9. Trazar el triángulo
Material Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría, Costa Rica. Uso de Deslizadores
Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
Parte 2 Se procederá a realizar la parte anterior pero se agregarán los deslizadores.
1. Insertar un deslizador. Utilice el comando cualquier punto sin objetos en el plano. Aparecerá la siguiente pantalla:
2. Repetir el punto 1 hasta tener 3 deslizadores. Utilice los mismos valores para mínimos,
máximos e incremento Dibujar el punto A en el plano.
3. Con centro en A, trazar una circunferencia de radio
4. Marcar un punto en la circunferencia
Se escoge número si se piensa utilizar el deslizador para controlar la longitud de un segmento o darle valor a un número. Ángulo se usa si se quiere controlar un ángulo.
Este cuadro se activa si se desea mantener el deslizador en un lugar específico.
Horizontal o vertical son las opciones
Se procederá a realizar la parte anterior pero se agregarán los deslizadores.
. Utilice el comando . Hacer clic luego sobre cualquier punto sin objetos en el plano. Aparecerá la siguiente pantalla:
epetir el punto 1 hasta tener 3 deslizadores. Utilice los mismos valores para mínimos,
Dibujar el punto A en el plano.
Con centro en A, trazar una circunferencia de radio a (nombre del primer deslizador)
Marcar un punto en la circunferencia
Mmás bajo que tomará el deslizador. En este es 0.Max es el valor más alto del deslizador. En este caso es 10.
Horizontal o vertical son las opciones.
. Hacer clic luego sobre cualquier punto sin objetos en el plano. Aparecerá la siguiente pantalla:
epetir el punto 1 hasta tener 3 deslizadores. Utilice los mismos valores para mínimos,
a (nombre del primer deslizador).
Mín corresponde al valor más bajo que tomará el deslizador. En este caso es 0. Max es el valor más alto del deslizador. En este caso es 10.
Significa que el deslizador cambiará de 1 en 1.
Material Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría, Costa Rica. Uso de Deslizadores
Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
5. Ocultar circunferencia
.
6. Con centro en B, trazar una circunferencia de radio b (nombre del segundo deslizador).
7. Con centro en A, trazar una circunferencia de radio c (nombre del tercer deslizador)..
8. Marcar uno de los dos puntos de intersección de las dos circunferencias
Material Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría, Costa Rica. Uso de Deslizadores
Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
9. Ocultar las circunferencias. (botón derecho sobre cada circunferencia y deshabilitar “Exponer Objeto”.
10. Trazar el triángulo.
11. Insertar texto y ubicar los objetos tal y como aparece en la siguiente figura.
Material Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría, Costa Rica. Uso de Deslizadores
Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
III Parte. Construiremos ahora un triángulo cuyos ángulos internos midan 80°, 35° y 65°
1. Dibujar el punto A en el plano.
2. Trazar un punto B en el plano y trazar ��������. Utilice y la opción”semirrecta”.
Recordar que el elemento trazado es un rayo y no una semirrecta.
3. Trazar un ángulo cuya amplitud sea 80° y con vértice A. Utilizar (Ángulo dada su amplitud).
Material Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría, Costa Rica. Uso de Deslizadores
Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
El ángulo quedará de la siguiente manera:
4. Traza el segmento AB’ .
5. Trazar un ángulo cuya amplitud sea 35° y con vértice A. Utilizar (Ángulo dada su amplitud).
El ángulo quedará de la siguiente manera:
Material Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría, Costa Rica. Uso de Deslizadores
Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
6. Trazar �′�′���������. Utilice
7. Marcar el punto de intersección de los dos rayos. Utilice
8. Marque el ángulo interno con vértice C. Utilice
9. Oculte y agregue los elementos necesarios para que la figura quede de la siguiente manera:
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Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
IV Parte. Construiremos ahora un triángulo cuyos ángulos internos con dos ángulos internos dinámicos, es decir, controlados por deslizadores.
1. Insertar un deslizador. Utilice el comando . Hacer clic luego sobre cualquier punto sin objetos en el plano. Aparecerá la siguiente pantalla:
2. Repetir el punto 1 hasta tener 2 deslizadores. Utilice los mismos valores para mínimos, máximos e incremento. Utilizando desplaza, ubique el primer deslizar en 80° y el segundo en 35°
3. Dibujar el punto A en el plano.
Se escoge número si se piensa utilizar el deslizador para controlar la longitud de un segmento o darle valor a un número. Ángulo se usa si se quiere controlar un ángulo.
Mín corresponde al valor más bajo que tomará el deslizador. En este caso es 0°. Max es el valor más alto del deslizador. En este caso es 179°.
Significa que el deslizador cambiará de 1° en 1°.
Este cuadro se activa si se desea mantener el deslizador en un lugar específico.
Horizontal o vertical son las opciones.
Material Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría, Costa Rica. Uso de Deslizadores
Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
4. Trazar un punto B en el plano y trazar ��������. Utilice y la opción”semirrecta”.
Recordar que el elemento trazado es un rayo y no una semirrecta.
5. Trazar un ángulo cuya amplitud sea α y con vértice A. Utilizar (Ángulo dada su amplitud).
El ángulo quedará de la siguiente manera:
6. Traza el segmento AB’ .
α
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Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
7. Trazar un ángulo cuya amplitud sea β y con vértice A. Utilizar (Ángulo dada su amplitud).
El ángulo quedará de la siguiente manera:
8. Trazar �′�′���������. Utilice
β
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Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
9. Marcar el punto de intersección de los dos rayos. Utilice
10. Marque el ángulo interno con vértice C. Utilice
11. Oculte y agregue los elementos necesarios para que la figura quede de la siguiente manera:
Material Elaborado por Juan Pablo Serrano Echeverría, Costa Rica. Uso de Deslizadores
Este material se autoriza para ser utilizado, copiado y mejorado. Favor respetar los créditos
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Práctica #3
Construcción de un triángulo rectángulo dinámico.
A continuación se construirá un triángulo rectángulo, que tiene un ángulo agudo
dinámico, que controla las medidas de la hipotenusa y del cateto adyacente. El cateto
opuesto no variará.
1. Abra Geogebra e inserte en la pantalla un “deslizador”. Dicho elemento se
encuentra en el menú del ícono “ángulo”.
2. Utilizando “Desplaza” marcar el deslizador en 35°
3. Marcar un punto A en el plano. Observar sus coordenadas (Para efectos de este
ejercicio, a dichas coordenadas numéricas yo las llamaré (x1,y1)).
4. En el cuadro de ingreso de valores algebraicos, Escriba B= (x1,y1+5). Es decir,
si A = (2,3) usted deberá digitar B= (2,8).
5. El punto C tendrá el mismo valor en y que A, pero la coordenada x variará
según el valor del ángulo y el segmento AB. En el cuadro de ingreso de
valores algebraicos, Escriba C= (x1+ 5/tan(),y1). ¿Por qué? 6. Utilizando las propiedades, fije los puntos A y B.
7. Trace el polígono ABC. (Recordar que se marca ABCA). Mostrar el valor de
cada segmento (Propiedades).
8. Marcar el ángulo ACB. Mostrar su valor en un texto fuera del triángulo, pero
fijado en el vértice C. (Se crea el texto escribiendo “ =”+, y se fija en las
propiedades de este objeto).
9. Inserte los siguientes textos: “sen() = ” + c/a.
“cos() = “ + b/a
“tan() = “ + c/b 10. Cierre la ventana de Algebra, y grabe el archivo como triangulo.
11. Seleccione Archivo-Exporta-Planilla Dinámica como página Web, guárdela
como “triangulo” en la carpeta en Mis Documentos llamada “Páginas Web
Geogebra”. Escriba antes de la aplicación una breve explicación de la
construcción.
12. Cierre Geogebra y abra Mis Documentos-Paginas Web Geogebra-triangulo y
explore esta página Web.
Marcar ángulo
Mínimo 1 y máximo 89
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III Parte. Utilizando los ejemplos anteriores, construya:
a) Un rectángulo cuyo largo sea el doble del ancho (dinámico). Puede ser con un
deslizador o con un punto que al moverse, cambie automáticamente los otros
puntos. Sugerencia: Puede nombrar como “ancho” a una variable que sea la
encargada de determinar las coordenadas de los otros tres vértices del rectángulo.
Haga su respectiva página web.
b) Una circunferencia dividida en cuadrantes y cuyo ángulo central (en posición
estándar) cambie al mover un deslizador de 0° a 360°. Haga su respectiva página
web.
IV Parte. Polígono Regular
Elabore una aplicación Geogebra tal que grafique dinámicamente un polígono regular
convexo de n lados (n IN / 3 n 10), según lo escoja el usuario.
V Parte.
Realice una aplicación interactiva que pueda representar fracciones propias. El numerador
y el denominador podrán variar de 1 a 10.
Uso del Geogebra como herramienta para la mediación pedagógica de la matemática
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Práctica #4
Realice en el programa GEOGEBRA lo siguiente:
1. Construya un círculo trigonométrico. Utilice un deslizador ( para que este
determine el valor del ángulo en posición estándar “”. Elabore una fórmula para
obtener el ángulo de referencia de .
2. Construya un triángulo equilátero inscrito a una circunferencia de radio variable.
3. Construya tres rectas paralelas entre sí. Trace dos rectas transversales y realice una
aplicación para comprobar el teorema de tales.
4. Elabore la siguiente figura para comprobar el teorema de Pitágoras.
Area Cuadrado Grande (A1) =
Area del triángulo rectángulo (A2) =
Area de los 4 triángulos (A3) =
Area de cuadrado pequeño (A4) =
A3 + A4 =
Uso del Geogebra como herramienta para la mediación pedagógica de la matemática
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5. Construya un triángulo rectángulo, que se pueda manipular en sus vértices agudos.
Posteriormente realice la siguiente comprobación del teorema de Pitágoras.
Incluya los rótulos y valores tal y como aparecen en la
figura.
Luego agregar en pantalla:
Area de Cuadrado en Hipotenusa = (valor).
Area de Cuadrado en un cateto A2= (valor)
Area de Cuadrado en el otro cateto A3 = (valor)
A2 + A3 = (valor).
Grabar archivo.
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Gráfica de funciones
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Funciones
Puede “aparecer” los ejes de coordenadas cartesianas, posicionándose sobre algún
sitio de la pantalla del geogebra, y con botón derecho se agrega el “check” en
“ejes”.
Para introducir cualquier función, esta se debe escribir en el cuadro de entrada de valores algebraicos.
Se deben escribir las funciones de la forma f(x) = ... y tomar en cuenta la sintaxis
de las operaciones fundamentales en Geogebra:
Operación Ingresar
Suma +
Resta -
multiplicación, producto escalar * o espacio
División /
Potenciación ^ o 2, 3
Factorial !
Función Gamma gamma( )
Cuadro de entrada de valores algebraicos
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Paréntesis ( )
coordenada-x x( )
coordenada-y y( )
valor absoluto abs( )
Signo sgn( )
Raíz cuadrada sqrt( )
función exponencial exp( )
Logaritmo (natural) log( )
Coseno cos( )
Seno sin( )
Tangente tan( )
arco coseno acos( )
arco seno asin( )
arco tangente atan( )
coseno hiperbólico cosh( )
seno hiperbólico sinh( )
Tangente hiperbólica tanh( )
arcocoseno hiperbólico acosh( )
Arcoseno hiperbólico asinh( )
arcotangente hiperbólico atanh( )
mayor número entero menor o igual que floor( )
menor número entero mayor menor o igual que ceil( )
Redondeo round( )
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Graficar la función f(x) = 3 x + 2 (notar que el espacio significa multiplicación)
Utilizando el comando de introducción de texto y seleccionando un punto en
el plano cartesiano escriba en el cuadro: f(x) = 3 x + 2
Si se desea cambiar algún parámetro de la función lineal (m ó b), se hace “doble clic” en el criterio de la función de la ventana algebraica , cambiar el criterio a:
f(x) = -4x + 1
f(x) = 7x - 8
f(x) = 3x + 6
f(x) = x
f(x) = -6
Hacer clic derecho (propiedades) sobre el gráfico de la función y cambiar color y
grosor de la misma.
Cambie el texto impreso en pantalla para
cada caso.
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Funciones Dinámicas
Es posible realizar una aplicación con Geogebra de tal forma que se puedan cambiar los
parámetros de una manera más dinámica y eso se logra a través de los deslizadores.
¿Cuál es el “botón” para los deslizadores?
Abra Geogebra e inserte en la pantalla un “deslizador”. Dicho elemento se encuentra en el menú del icono “ángulo”.
Repita el paso anterior para crear otro deslizador.
Como se pretende graficar la función lineal f(x) = m x + b y los deslizadores se llaman “a” y “b”, se debe cambiar el nombre de “a” por “m” a través del botón derecho y
“Renombra” (observar página D-2).
Marcar número
Mínimo -10 y máximo 10
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Escribir en el cuadro de entrada de valores algebraicos f(x) = m x + b, y activando el
ícono “desplaza” manipule los deslizadores. Cambiar su color y grosor.
Ahora, se introducirá el concepto de “texto dinámico”. “Texto dinámico es aquel que adapta su valor en tiempo real conforme se efectúa el
cambio en el objeto del que hace referencia.”
Escriba cada expresión en un cuadro de texto distinto y observe la diferencia:
“f(x) = m x + b”
“f(x) = “ + m + “ x + “ + b
“f(x) = “ + m + “ x + b”
"f(x) = " + " m x + " + b
¿Qué puede deducir al respecto?
Seleccione Archivo-Exporta-Planilla Dinámica como página Web, guárdela como
“triangulo” en la carpeta en Mis Documentos llamada “Páginas Web Geogebra”.
Escriba antes de la aplicación una breve explicación de la construcción.
Cierre Geogebra y abra Mis Documentos-Paginas Web Geogebra-triangulo y explore
esta página Web.
Nota: El texto “estático” se escribe entre comillas (“”) y se separa del dinámico a través de
el signo +.
Función Cuadrática
1. Seleccione “ejes” y “cuadrícula” con el botón derecho del Mouse, situado en un
lugar cualquiera del plano (pantalla).
2. Insertar deslizador, marcando “número” en la ventana del mismo, y con valores de
-10 a 10.
3. Repetir el paso 2. dos veces.
4. Escriba en el cuadro de ingreso de valores algebraicos, digitar f(x)=ax^2+bx+c.
5. Manipule los valores de a, b y c en los deslizadores.
6. Realice un cuadro de texto que muestre el criterio de la función en forma dinámica.
7. Haga su respectiva página Web.
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Actividades
Grafique dinámicamente las siguientes funciones. Agregar en pantalla el criterio
dinámico de cada una. Marque un punto controlado por otro deslizador, de tal manera que
recorra la gráfica. Haga su respectiva página Web. (cada uno en una pantalla aparte)
a) f(x) = b*ax+c
.
c) f(x) = a sin(bx + c).
d) f(x) = a*x3 + b*x
2 + c*x + d.
e) f(x) = asin(bx+c).
f) 3( ) xf x ax bc
g) Realice una aplicación con la cual se pueda realizar el estudio completo de la
función cuadrática.
Función por trozos
Se utiliza función[f(x),a,b].
Ejemplo: Graficar función[x+2,-6,-3]
Graficar función[-1,-3,1]
Graficar función[x^2,1,3]
Nótese que en Geogebra no se puede indicar si un punto frontera es abierto o cerrado.
Actividad
Realice una gráfíca por trozos cuyos valores frontera sean controlados por un deslizador.
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Prácticas Finales del Bloque Básico
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Práctica #5 Construya un rectángulo cuya longitud del largo sea el triple de la medida del
ancho. Constrúyalo de tal manera que al manipular algún vértice, la figura
mantenga proporcionalidad.
Los “anchos” deberán ser de color verde.
Los “largos” deberán ser de color azul.
Posteriormente realice la siguiente construcción:
1. Sobre los segmentos que formen los “anchos” del rectángulo, construir un triángulo cuyos
lados (además del ancho) midan tres cuartas partes de la longitud del ancho Trazar con
líneas discontinuas azules todas las construcciones auxiliares requeridas para hacer lo
solicitado.
2. Sobre los segmentos que formen los “largos” del rectángulo, construir un triángulo cuyos
lados (además del ancho) midan nueve quintas partes de la longitud del ancho y ocho
quintas partes de la longitud del ancho. Trazar con líneas discontinuas amarillas todas las
construcciones auxiliares requeridas para hacer lo solicitado.
Deberán aparecer las medidas de los lados. (Las medidas que aparecen en la figura son
de carácter ilustrativo).
Incluya los rótulos y valores tal y como
aparecen en la figura. (Las medidas que
aparecen en la figura son de carácter
ilustrativo).
Luego agregar en pantalla:
Longitud del ancho = (valor).
Longitud del largo = (valor)
Área del rectángulo= (valor)
Mediatriz sobre AB
Circunferencia con centro
en B y radio 9a/5
Circunferencia con centro en E y radio 12a/5
Circunferencia con centro en A y radio 4a/3
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Trace la gráfica DINAMICA de 3( ) xf x ax bc . Dibuje sus respectivos
deslizadores
Marque un punto controlado por otro deslizador, de tal manera que recorra la gráfica
anterior.
Agregar en pantalla el criterio dinámico de la función f.
Construcción de un triángulo utilizando el criterio de congruencia a.l.a.
Trace un segmento AB . Construya dos deslizadores angulares cuyos valores oscilen de 0° a 89°
Dibujar dos ángulos (uno con vértice en A y otro con vértice en B) cuyas medidas
sean controlados por los deslizadores anteriores.
Trazar los segmentos AF y BF , donde F es la intersección de los lados no comunes de los ángulos anteriores.
Dibujar el polígono AFB.
Deberán aparecer las medidas de los lados. (Las medidas que aparecen en la figura
son de carácter ilustrativo).
Incluya los rótulos tal y como aparecen en la figura.
(Las medidas que aparecen en la figura son de
carácter ilustrativo).
Luego agregar en pantalla:
Area de triángulo = (valor).
Grabar archivo.
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Práctica #6
Fórmulas Notables.
1. Construir un cuadrado ABCD de la 10 unidades.
2. Crear un deslizador que se desplace de 1 a 9, con incrementos unitarios.
3. Dividir cada lado del cuadrado ABCD de tal manera que un segmento tenga el
valor del deslizador, y el otro tenga el valor de (10 – valor del deslizador).
4. Trazar los cuadrados y los rectángulos internos de acuerdo con la figura anterior.
5. Trazar el texto dinámico como aparece en la figura anterior.
6. Guardar el archivo.
Cuerdas Congruentes y distancia del centro al radio. 1. Construya una circunferencia de radio 5 unidades.
2. Marcar dos puntos en la circunferencia (B y C) y trazar BC . (Segmento a)
3. Marcar otro punto en la circunferencia (D).
4. Trazar una circunferencia con centro en D y radio a.
5. Trazar los puntos de intersección entre las dos circunferencias (E y F).
6. Ocultar F y trazar ED .
7. Trazar los puntos medios de BC yED (G y H respectivamente).
8. Trazar GA y HA . Mostrar solo valor.
9. Mostrar sólo valores de ED y BC .
10. Guardar archivo.
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Construya un triángulo de base “a” y cuyos lados midan 3a/2 y 3a/4. Constrúyalo
de tal manera que al manipular algún vértice de la base, la figura mantenga
proporcionalidad.
1. La base deberán ser de color verde.
2. Los demás lados deberán ser de color azul.
3. Posteriormente realice la siguiente construcción:
3. Sobre el segmento AC trace una semicircunferencia.
4. Sobre AB , construya un triángulo isósceles, donde AB sea el lado desigual.
5. Trazar con líneas discontinuas amarillas todas las construcciones auxiliares requeridas para
hacer lo solicitado.
6. Sobre CB trace un rectángulo. Trazar con líneas discontinuas azules todas las
construcciones auxiliares requeridas para hacer lo solicitado.
Gráfico dinámico de una función
Deberán aparecer las medidas de los lados. (Las medidas que aparecen en
la figura son de carácter ilustrativo).
Incluya los rótulos y valores tal y como
aparecen en la figura. (Las medidas que
aparecen en la figura son de carácter
ilustrativo).
Luego agregar en pantalla:
Longitud del ancho = (valor).
Longitud del largo = (valor)
Área del rectángulo= (valor)
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1. Trace la gráfica DINAMICA de dcx
baxxf
)( . Dibuje sus respectivos
deslizadores.
2. Marque un punto controlado por otro deslizador, de tal manera que recorra la
gráfica anterior.
3. Agregar en pantalla el criterio dinámico de la función f.
Comprobación de criterio l.a.l de semejanza
1. Trace un segmento AB . 2. Construya un deslizador angular cuyo valor oscile entre de 0° y 160°.
3. Construya el ángulo ABC y trace AC de medida cualquiera (2 pts). Trazar ABC
4. Repetir procedimientos 1 y 2 para ABDE 2 y ACDF 2 . Use el mismo
deslizador anteriormente construido.
Incluya los rótulos tal y como aparecen en la figura.
(Las medidas que aparecen en la figura son de
carácter ilustrativo).
Luego agregar en pantalla:
)(
)(
valorDF
AC
valorDE
AB
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Texto Dinámico con Geogebra
Esta guía tiene como objetivo reforzar el conocimiento ya adquirido sobre la manipulación
de textos dinámicos.
Realice 6 deslizadores numéricos que cumplan con lo siguiente:
Parámetro Valores Extremos Incremento
A -5 y 5 0.1
B -5 y 5 0.1
C 1 y 100 1
D 0 y 25 1
E 0 y 50 1
F -10 y 10 0.1
Digite los siguientes textos siguiente
" \frac{ a }{b }= \frac{ " + a + " }{" + b + " } = " + (a / b)
" \frac{ a }{b }= \frac{ a }{ b } = (a / b)”
Observe la diferencia entre ambas.
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