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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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M A R C O S A P B
2009
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LIBRO GUÍA DE GEOMETRÍA PLANA Y ANALÍTICA
LAS INCÓGNITAS DESPEJADAS
EXPRESIONES DE LOS PROBLEMAS
SISTEMAS DE MEDIDAS
MARCOS ANDRÉS PALACIOS BONILLA
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA CATEDRÁTICO DE LA U.T.CH.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ
“DIEGO LUIS CÓRDOBA”
JOSÉ TENÓGENO PALACIOS MENA LICENCIADO EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ
“DIEGO LUIS CÓRDOBA”
CELESTINA PALACIOS BONILLA
LICENCIADA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ
“DIEGO LUIS CÓRDOBA”
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AGRADECIMIENTO MUY ESPECIAL A: AYLES DEL CARMEN PALACIOS BONILLA, hermana que sacrificó su felicadad para que
cada uno de sus hermanos alcanzara el más alto grado de conocimiento, este trabajo es un
reflejo de la meta trazada por ella y la correspondencia al deseo…
Muchas gracias hermana querida
MANUEL OSIAS HURTADO HINESTROZA, decano de la facultad de educación de la
Universidad Tecnológica del Chocó “Diego Luís Córdoba”, quien en todo momento coordinó
el equipo revisor de esta obra. Además, en éste amigo incondicional, reposan los más altos
valores de un ser humano…
Gracias amigo
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PRESENTACIÓN
Estimado estudiante, si usted está leyendo este libro guía es porque hace parte del selecto
grupo de personas que escogieron este trabajo para alcanzar el más alto grado de desarrollo
educativo. Bienvenido al fascinante mundo de las matemáticas. Analizaremos los
componentes claves de la geometría plana y analítica, las principales expresiones que
facilitan la solución de un problema, la proporcionalidad (reglas de tres simple directa,
inversa y compuesta) y los casos que permiten aislar(despejar) una incógnita en una fórmula
matemática.
Dentro de la geometría plana, haremos un análisis bien detallado de las principales figuras
geométricas: El punto, tipos de líneas, ángulos, triángulos, cuadriláteros, círculos, sólidos y
las relaciones que existen entre ellas. Además, desarrollaremos los teoremas más importantes
de la misma…En la geometría analítica: El plano cartesiano, distancia entre dos puntos, punto
medio, división proporcional de un segmento, la línea recta y sus atributos y las secciones
cónicas: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Además, presenta la
aplicación de los componentes de esta asignatura del saber, en la solución de los problemas
de la sociedad y de las ciencias a las que sirve de apoyo.
LAS FÓRMULAS o expresiones algebraicas que caracterizan un fenómeno, principio o ley
natural, es una herramienta muy importante en el análisis, comprensión y predicciones de los
mismos.
LAS FÓRMULAS MATEMÁTICAS como un elemento resumidor y representativo de las
diferentes observaciones realizadas y comprobadas por el hombre, es una herramienta muy
útil para comprender los principios básicos de la naturaleza que se relacionan estrechamente
con el ser humano y la sociedad. Analizar, comprender y manipular las fórmulas, es un
ejercicio vital para entender y predecir los fenómenos naturales.
LAS INCÓGNITAS DESPEJADAS, presentan un estudio detallado y general de los pasos que se
deben seguir para aislar o despejar los elementos o magnitudes que intervienen en una
fórmula. A través del análisis y de la aplicación adecuada de los procedimientos indicados, el
estudiante adquiere destreza y habilidad en el manejo de las diferentes fórmulas que se
utilizan en las diferentes ramas del saber. Además, instruye al educando en el manejo de las
fórmulas que utilizamos para representar los fenómenos naturales, y le brinda al educando
una herramienta muy importante para resolver los problemas de la vida cotidiana, y además,
le facilita conocer las principales fórmulas usadas por las ciencias.
LAS PRINCIPALES EXPRESIONES QUE FACILITAN LA COMPRENSIÓN Y SOLUCIÓN DE UN
PROBLEMA, son un componente que le permite al estudiante comprender mejor los
conceptos matemáticos que intervienen en cada una de las situaciones problemáticas de la
sociedad.
LOS SISTEMAS DE MEDIDAS, son un componente que le permite al educando interiorizar las
unidades de medidas que el hombre ha diseñado para medir la longitud, la masa, el
volumen, el área y el tiempo. Además, los diferentes métodos para realizar conversiones
entre las mismas unidades de medidas, y entre unidades de medidas.
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La proporcionalidad y las reglas de tres, son un componente que perfecciona al estudiante en
la solución de los problemas básicos de su contexto.
Hoy, la aplicación de las matemáticas es la base del desarrollo de la sociedad. Es el motor
con energía infinita que propulsa la ampliación de la base de datos del cerebro humano, y su
contribución al desarrollo de las demás áreas, la hace imprescindible en la búsqueda de la
solución de las situaciones problemáticas que el ser humano encuentra a diario. De ahí, que
el análisis, comprensión y aplicación de los algoritmos de esta área, le permite al estudiante
alcanzar el más alto grado en el conocimiento del mundo que lo rodea, es por eso, que la
geometría, las incógnitas despejadas, las expresiones de los problemas y los sistemas de
medidas, le proporcionan al educando las herramientas necesarias para que sea lógico y
crítico en el análisis de la vida real.
A manera de reflexión:
Este libro guía, es un texto preparado cuidadosamente, para que tanto el educando como el
educador, puedan visualizar más fácilmente la comprensión y aplicación de los conceptos más
importantes de la geometría plana y analítica, las incógnitas despejadas, las expresiones de los
problemas y los sistemas de medidas. De ahí, que la correcta interpretación de esta obra le
facilitará al educando la comprensión y predicción de los eventos naturales.
La utilización y recomendación de este libro por parte de la relación DOCENTE-DISCENTE trae
grandes beneficios en el proceso ENSEÑANZA--APRENDIZAJE.
IMPORTANTE:
Este libro guía, carece de respuesta a los ejercicios propuestos. La idea es potencializar la
capacidad de aplicar los conceptos y de seguir los procedimientos, para llegar a las
soluciones.
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CONTENIDO
Cód.
GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO
Páginas
01 Definición y Métodos 8 a 9
02 Punto Geométrico, Línea y Clases de líneas 9 a 13
03 Plano 13 a 14
04
SEGMENTO
Medida
15 a 18 Operaciones
05 Envolvente y envuelta 19 a 20
06
ÁNGULOS
Clases según su giro y amplitud
21 a 39 Operaciones
07 Perpendicularidad y paralelismo 40 a 51
08
TRIÁNGULOS
Clases según la medidad de sus lados y ángulos
52 a 63 Rectas y puntos notables
Congruencia o igualdad de triángulos y casos
09
POLÍGONO
Clases de polígonos regulares
64 a 71
Cuadriláteros
Paralelogramo, Rectángulo y
Cuadrado
Rombo , Trapecios y clases
10
PROPORCIONALIDAD
DE SEGMENTOS
Razón de segmentos, segmentos proporcionales
y propiedades
72 a 82
11 Semejanza de triángulos y casos 83 a 102
12
CIRCUNFERENCIA Y
CÍRCULO
Cálculos importantes en una circunferencia
103 a 130
Posisciones relativas de dos circunferencias
Ángulos en una circunferencia
Relaciones métricas en una circunferencia
Segmento áureo
13
SUPERFICIE, PERÍMETRO Y
ÁREA
Superficie y perímetro
131 a 145
Área
De un rectángulo y un Paralelogramo
De un triángulo y un cuadrado
De un rombo y un trapecio
De un Polígono regular
De un írculo, una corona circular, un
sector circular, un trapecio circular, una
embecadura y una elipse
14 Área limitada por dos o más figuras 146
15 Algebra y geometría 147 a 152
16 Área de una figura irregular 153
17 Comprobación teorema Pitágoras desde el concepto de área 154
18
VOLUMEN Y ÁREAS DE
POLIEDROS
De un ortoedro y un cubo
155 a 169 De un prisma y una pirámide
De un cilindro, un cono y una esfera
De un tronco de pirámide y un tronco de cono
19 Tablas de resúmenes de polígonos y poliedros 170 a 171
20 Volumen total y volumen limitado por dos o más sólidos 172 a 173
21 Algebra y geometría 174 a 181
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Cód.
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Páginas
22 Plano cartesiano, gráfica de un número decimal y de un racional 182 a 185
23
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Puntos sobre rectas paralelas a un eje
185 a 188 Puntos sobre rectas oblicuas
24 Plano tridimensional 189
25 División proporcional de un segmento y punto medio 190 a 193
26
GRÁFICA DE
FUNCIONES
REALES
Función constante y función líneal
194 a 205
Funciones de
segundo grado
De la función cuadrática
De una circunferencia
De una elipse
Función racional
Funciones
trascendentales
Logaritmo natural
Logaritmo decimal
Función valor absoluto
Función raíz cuadrada
Función cúbica
27 Análisis de la gráfica de una función real 206 a 211
28 Solución gráfica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 212 a 214
29
LA LÍNEA RECTA
Ecuación general
214 – 224
Ecuación de la recta punto pendiente
Ecuación de la recta punto intercepto
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Rectas paralelas y perpendiculares
Ángulo entre rectas y distancia de una recta a un punto
30 Construcción de la función de un fenómeno 225 a 235
31
SECCIONES CÓNICAS
La cicunferencia y ecuaciones 236 a 249
La párabola y ecuaciones 250 a 276
La elipse y ecuaciones 277 a 302
La hipérbola y ecuaciones 303 a 324
OTROS COMPONENTES
32 PRINCIPALES EXPRESIONES QUE FACILITAN LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA 324 a 330
33 FÓRMULAS MÁS USADAS POR LAS CIENCIAS Y COMO DESPEJAR O AISLAR UNA INCÓGNITA 331 a 345
34
PROPORCIONALIDAD
Razón matemática
345 a 350
Magnitudes directamente proporcionales y la regla de
tres simple directa
Magnitudes inversamente proporcionales y la regla de
tres simple inversa
Regla de tres compuesta y escalas
35
SISTEMAS DE
MEDIDAS
De longitud
351 a 366
De superficie o área
De volumen
De capacidad
De tiempo
36 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 367
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GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO
GEO Tierra
METRÍA Medida
Hoy, la geometría es la ciencia de las infraestructuras de la sociedad. La geometría se
encarga de la forma, tamaño y posición de los cuerpos; además, de las relaciones que
existen entre ellos…
TIPOS DE GEOMETRÍAS
PLANA: Analiza las figuras en dos dimensiones(largo y ancho)
DEL ESPACIO: Analiza los cuerpos de tres dimensiones(largo, ancho y alto)
ANALÍTICA: Combina la plana, la del espacio y el algebra
DESCRIPTIVA Y PROYECTIVA: Aplicadas al dibujo técnico
Entre otras…
MÉTODOS DE LA GEOMETRÍA
1. MÉTODO DEDUCTIVO: Es el más usado por esta área, a partir de conocimientos previos
conocidos, se obtienen nuevos conocimientos.
2. AXIOMA: Es una proposición tan sencilla y evidente que no necesita demostración, y siempre
se toma como verdadera.
EJEMPLO 1: El padre tiene más edad que el hijo.
EJEMPLO 2: El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
3. POSTULADO: Es una proposición no tan evidente como un axioma, pero que también se
admite sin demostración.
EJEMPLO 1: Hay infinitos puntos.
EJEMPLO 2: Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a dicha recta.
4. TEOREMA: Es una proposición que puede ser demostrada. La demostración consta de un
conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.
EJEMPLO 1: La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos ángulos rectos (180°).
EJEMPLO 2: En dos poligonales convexas de extremos comunes, la envolvente es mayor que
la envuelta.
Todo teorema tiene dos partes: La Hipótesis: Lo que se supone (de quien se habla).
La Tesis: Lo que se quiere demostrar (lo que se dice).
En nuestro primer ejemplo:
Hipótesis: Supongamos que A, B y C son los ángulos interiores de un triángulo...
Tesis: La suma de A, B y C vale dos ángulos rectos (180°).
5. COROLARIO: Es una proposición que se deduce de un teorema como
consecuencia del mismo.
De nuestro primer ejemplo de teorema, se deduce el siguiente corolario: La suma de los
ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un ángulo recto (90°).
Medida de la tierra
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6. TEOREMA RECIPROCO: Todo teorema tiene su reciproco. El reciproco de
nuestro primer ejemplo de teorema dice: Si la suma de los ángulos interiores de un polígono
vale dos rectos, el polígono es un triángulo.
Hipótesis: Tenemos un polígono cuyos ángulos interiores suman dos rectos…
Tesis: El polígono es un triángulo.
7. LEMA: Es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema. Es como un
teorema preliminar a otro que se considera más importante.
EJEMPLO: Para demostrar el área total de un cubo, se tiene que demostrar el lema que dice:
Un cubo se puede descomponer en seis cuadrados…
8. ESCOLIO: Es una observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado.
9. PROBLEMA: es una proposición en la que se pide:
Construir una figura que reúna ciertas condiciones(los problemas gráficos)
Calcular el valor de alguna magnitud geométrica(los problemas numéricos)
Gráfico: Construir dos recta paralelas.
Numérico: Calcular el área de un triángulo.
10. MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO: Se niega la tesis, se busca una contradicción,
y luego, se concluye la misma tesis.
PUNTO GEOMÉTRICO
Las siguientes figuras son puntos geométricos:
Los puntos se denotan o nombran con las letras mayúsculas ABCD…Z
Léase: punto A y punto Q.
El punto geométrico es tan, pero tan pequeño, que carece de dimensión.
El punto geométrico no se puede definir, sólo se puede imaginar…
POSTULADO: Hay infinitos puntos.
LÍNEA
Es un conjunto especial de puntos.
Todas estas figuras son líneas
La combinación de líneas, permite construir cualquier cuerpo geométrico.
A Q
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LÍNEA RECTA
Las siguientes figuras son líneas rectas:
Una línea recta se extiende sin limite en ambos sentidos. Es infinita.
Línea recta no se puede definir, suele considerársele como la distancia más corta entre dos
puntos o como una serie de puntos que van en una misma dirección.
Para denotar(nombrar) una recta, se denotan dos de sus puntos o se le asigna una letra.
Veamos:
POSTULADO 1: Por dos puntos pasa una y solamente una recta.
Por los punto Q y K, es imposible trazar otra línea recta diferente…y si se traza es la
misma…
POSTULADO 2: Dos rectas no pueden tener más que sólo punto en común.
Las rectas S y D se cortan en el punto P.
Siempre que dos rectas se corten, lo hacen
en un mismo punto…
POSTULADO 3: A cada punto de la recta le corresponde un número real, y viceversa.
S D
P
Q
10
P
14
K
12
A los puntos Q, K y P se le han asignado
los números 10, 12 y 14, respectivamente.
S
Simbólicamente:
, léase: Línea recta S
S
Simbólicamente: , léase: Línea recta QK QK
Q
K
Q
K
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CLASES DE LÍNEAS RECTAS
Para simplificar un poco y generalizar, vamos a hablar en algunos casos de rectas y a
considerarlas sin las flechas.
LÍNEA RECTA HORIZONTAL: Va en dirección occidente – oriente y viceversa.
LÍNEA RECTA VERTICAL
Va en dirección norte sur y viceversa.
LÍNEA RECTA OBLICUA O TRANSVERSAL
No es horizontal ni vertical.
LÍNEAS RECTAS INTERSECANTES
Se cortan en un punto determinado.
LÍNEAS RECTAS PARALELAS
Nunca se cortan. En toda su extensión están separadas por la misma distancia.
, léase: Línea recta K paralela a la recta M
….? ….? ….?
¿Serán paralelas el par de rectas no denotadas? ¿Porqué?
MK //
BD//
KP //
RSMN//
S F Q
C K
P
Las rectas C y K, se cortan o
intersectan en el punto P
es horizontal AB
A
B Occidente Oriente
es vertical
MN
Norte
Sur
M
N
M
K
K
P D B
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LÍNEAS RECTAS PERPENDICULARES
Al cortarse forman ángulos de rectos (90°).
, léase: Recta PM perpendicular a la recta KQ. ….?
¿Serán perpendiculares el par de rectas no denotadas? ¿Porqué?
OTROS TIPOS DE LÍNEAS
LÍNEA CURVA
No tiene porción recta.
POSTULADO: Al unir un punto interior A con uno exterior B de una curva simple cerrada se
corta dicha curva.
LÍNEA MIXTA
Está formada por segmentos de rectas y curvas.
KQPM
MK
Línea curva cerrada
A
B
A punto interior y B punto exterior de la
curva cerrada, unidos por un segmento de
recta. Es imposible que al ir del punto A al
punto B o viceversa, no se atraviese la curva
A
B
K
Q
P
M
90°
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LÍNEA QUEBRADA, ANGULAR O POLIGINALES CÓNCAVAS Y CONVEXAS
Está formada por segmentos de rectas.
Una línea tiene una sola dimensión: La longitud de la recta
SEMIRRECTA
Cada una de las dos partes en que se divide una línea recta.
La recta QK se ha dividido por el punto O, formándose las semirrectas OQ y OK.
, léase: Semirrecta OQ y semirrecta OK.
PLANO
Superficies como: una pared, el piso, una hoja de papel, una baldosa, etc, dan una idea de lo
que es un plano.
Veamos:
yOQ
OK
Vértice: Punto donde se unen dos lados
Lado: Cada segmento de recta
Convexa: Si al prolongar uno
de sus lados en los dos
sentidos, toda la poligonal
queda en un mismo semiplano
Cóncava: Si al prolongar
uno de sus lados en los
dos sentidos, la poligonal
queda en dos semiplano
y , letras griegas. Léase: plano y plano , respectivamente.
Plano PQR para el primero, en este caso, se escogen tres puntos no alineados.
Denote y lea el segundo…
Los planos son de extensión infinita (ilimitada) en todos lo sentidos.
R
Q
K
P
O Q
K
K
O Q
O
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POSTULADO 1: Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno.
POSTULADO 2: Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta está
contenida en el plano.
SEMIPLANO
Cada una de las dos partes en que se divide un plano.
El plano ha sido dividido por la recta MN, formándose los semiplanos y .
POSTULADO DE SEPARACIÓN DEL PLANO: Dos puntos de un semiplano determinan un
segmento que no corta a la recta que da origen a los dos semiplanos; y dos puntos de distintos
semiplanos determinan un segmento que corta a la recta.
Si en el semiplano ubicamos dos puntos, estos no cortan la recta MN que crearon el semiplano;
pero, si en el semiplano ubicamos un punto y en el semiplano ubicamos otro punto, al unirse, se
corta la recta MN que formó los dos semiplanos.
INTERSECCIÓN DE PLANOS
R
Q
K
P
M
N
R
Q
M
N
K
P
M
N
M
N
La recta MN se forma por la intersección
de los planos y .
POSTULADO 1: Si dos planos tienen un
punto común tienen una recta común.
Es obvio, que se trata de la recta que pasa por
dicho punto.
POSTULADO 2: Si dos planos se intersecan, su
intersección es una recta. En este caso: La recta
MN.
A D
B
Los puntos A, B y D son no alineados, al
unirse sólo puede pasar un plano por ellos.
Q
P
Los puntos P y Q son comunes para el
plano , al trazar una recta por ellos, la
misma queda dentro del plano.
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SEGMENTO
Es la distancia más corta entre dos puntos. A menudo hacen uso de esta definición para la
línea recta….Error.
POSTULADO DE LA DISTANCIA: A cada par de puntos, le corresponde un número real
positivo único(distancia entre ellos).
MEDIDA DE LA LONGITUD DE UN SEGMENTO
Para medir la longitud de un segmento se puede utilizar una regla, un metro, una cinta, un
compás o cualquier otro elemento que sirva para tal fin.
, léase: La medida del segmento QR es de 5 unidades. También: uQR 5
Construye: Un segmento de 4cm, uno de 1m, uno de 7Km, uno de 10m y otro de 8cm
OPERACIONES CON SEGMENTOS
ADICIÓN DE SEGMENTOS
Clave: Se coloca uno a continuación de otro. El segmento suma va del origen del primero a
la cabeza del último. Sumemos los siguientes segmentos:
umQR 5
A
B
P
K
?......: PKsegmentoABléaseAB
Q P
A B
M N
Q P A B
M N
PQMNABAQ
viceversaoQpuntoalApuntodelvasumasegmentosEl
:
= distancia del segmento PQ
…coordenadas de P y Q,
respectivamente.
d
21 xyx
. La distancia se halla
estableciendo la diferencia entre sus
coordenadas.
12 xxd
dP
Q
1x 2x
EJEMPLO
1046)4(612 xxd
P
4
Q
6
?d
R Q
u
u = unidad
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EJEMPLO
Hallemos la suma de los siguientes segmentos:
SUSTRACCIÓN DE SEGMENTOS
Clave: Se superponen los segmentos de tal forma que los orígenes coincidan, el segmento
diferencia va de la cabeza del segmento menor a la cabeza del mayor.
EJEMPLO
Hallemos la diferencia de los siguientes segmentos:
LONGITUD HORIZONTAL O VERTICAL DE UN SEGMENTO
Clave: Se establece la diferencia entre sus extremos.
A B
4m
M N
5m
A B
4m M N 5m
mmmMNABAN
Suma
954
:
cmcmcmcmcmNRMNQMPQPR
Suma
204,41433,0905,1866,0
:
1cm 0,433cm
M Q P
0,866cm 1,905cm
N R
Q R
P M Superponiendo:
M
Q R
P
Diferencia
MPQRPR
dos
:tanRe
A 4m MN = ? M N
9,25m
mmmAMANMN 25,5425,9
Q R longitudLQRL .
P M
4 7
MPsegmentodellongitudMPL ....1347)4(7
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MULTIPLICACIÓN DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO O ESCALAR
Clave: Se repite el segmento tantas veces como lo indique el número.
EJEMPLO 1.
Dado el segmento , hallemos ,
Solución:
EJEMPLO 2.
Dado el segmento , hallemos:
Solución:
Sea el segmento producto, entonces:
En este caso, el segmento producto es menor que el segmento factor; esto, se presenta,
siempre y cuando el número o escalar sea una fracción propia(denominador mayor que el
numerador).
PUNTO ENTRE DOS PUNTOS
Un punto K está entre los puntos P y Q, si solo si:
QK QK5
MN
M N
P Q Hallemos : PQ5
P Q P Q P Q
El segmento producto va de M a N: PQMN 5
Q K 4,5cm
cmcmQKPR 5,22)5,4(55
Q K Q K Q K
P R
4,5cm 4,5cm 4,5cm 4,5cm 4,5cm
M N 9m
PQ = PK + KQ…suma de segmentos.
P
Q
K
P D
= 5,4m
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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
El punto M es el punto medio de los puntos P y Q, si esta entre ellos y se verifica que:
PM = MQ
EJERCICIOS
1. Construye: Segmentos de 4cm; 6,5cm; 1cm; 9,34cm y 7,2cm. Además, halle la suma…
2. Para cada figura, realice la operación indicada:
Q K 6,24Km
?3 QK
?MK
3m 2,25m 3/4m M K R Q
P 15,85cm K Q
23m ?QK
?MK
9/2 8/3 3/4m M K R Q
20cm F D
Halle: DFDE52
M R
Halle: MRME35
12,2Km
M N
1 21
21
23 1 0
K Q P R
Los puntos M y N son los puntos medios de los segmentos PQ y KR.
Halle la longitud del segmento MN.
D R
2 11 L(DR) = ?
M S
12 4 L(MS) = ?
B
D
5
5
L(BD) = ?
5,52
11
2
92
2
QPM
Hallemos el punto medio del siguiente segmento:
M Q P
2 9
M
5,52
11
PM = K y MQ = K, entonces: PM = MQ
Sea M el punto medio del segmento PQ,
entonces: ..expresión para hallar la
coordenada del punto medio: Se suman los
extremos y se divide por dos.
2
QPM
M
Q P K K
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ENVOLVENTE Y ENVUELTA
ENVOLVENTE: Línea que rodea a otra. ENVUELTA: Línea que es rodea.
TEOREMA 1.
En dos poligonales convexas, de extremos comunes, la envolvente es mayor que la envuelta.
Demostración:
Construcción auxiliar: Prolonguemos AF hasta que corte a BC en G y prolonguemos a FE
hasta que corte a CD en H.
En ABGF:
AB + BG AF + FG….(1)…….Distancia más corta entre dos puntos.
En FGCH:
FG + GC + CH FE + EH….(2)…….Distancia más corta entre dos puntos.
En HDE:
EH + HD ED….(3)…….Distancia más corta entre dos puntos.
Sumando miembro a miembro (1),(2) y (3):
AB + BG + FG + GC + CH + EH + HD AF + FG + FE + EH + ED
AB + BG + GC + CH + HD AF + FE + ED……(4)………………….….simplificando.
Pero:
BG + GC = BC….(5)…..suma de segmentos.
CH + HD = CD….(6)…..Suma de segmentos.
Sustituyendo (5) y (6) en (4): AB + BC + CD AF + FE + ED …….…demostrado
A B
D
AD y DB son envolventes para AB
Para cada figura, identifique todas las envolventes que pueda. Primero, bautice cada…
Los tramos de rectas de la figura anterior, son segmentos, para abreviar el trabajo
se ha obviado y se obviará la gorrita() que lleva el símbolo en la parte
superior….pero son segmentos y hay que imaginarlos con su gorrita…
B G C
H
D A
E F
Hipótesis:
ABCD envolvente
AFED envuelta
A y D son los puntos extremos
Tesis:
AB + BC + CD AF + FE + ED
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EJEMPLO 1.
Si E es la intersección de CD con AB y CG = GD, CF = FD, CE = ED.
Demostremos que: CG CF CE
EJEMPLO 2.
EJERCICIO
Para cada figura, realice la demostración indicada:
Solución:
CFD es envolvente para CED, entonces:
CF + FD CE+ ED. Pero: FD = CF y ED = CE
Luego: CF + CF CE+ CE 2CF 2CE
Por lo tanto: CF CE ….(1)
CGD es envolvente para CFD, entonces:
CG + GD CF+ FD. Pero: GD = CG y FD = CF
Luego: CG + CG CF+ CF 2CG 2 CF
Por lo tanto: CG CF ….(2)
Comparando 1 y 2:
CG CF y CF CE. Entonces:
CG CF CE…Por transitividad…Demostrado
A B
C
F E
D
G
Demostremos que:
GR + GM + RM PF + PQ + QF
G
M
Q
R
P
F
Sumando miembro a miembro:
RF + RP + PG + GQ + QM + FM PF + PQ + QF…(4)
Pero: RP + PG = GR.
GQ + QM = GM.
RF + FM = RM…..Sustituyendo estas expresiones
en (4):
GR + GM + RM PF + PQ + QF
Solución:
RGM es la envolvente y PFQ, la envuelta.
En FRP: En PGQ:
RF + RP PF…(1) PG + GQ PQ…(2) En FQM: QM + FM QF…(3)
Demuestre que:
PK + KM + MH + PH FQ + QR + RD + FD
P H
D
M R K
Q
F
D
R
K Q Si QD = DK y QR = RK
Demuestre que : QR QD
Demuestre que el perímetro del
FQM es mayor que el perímetro
del PNR
M
P
F
Q
N
R
Demostrar que el perímetro del rectángulo
QRKM es mayor que el perímetro del
triángulo DQR
K
Q R
M D
Demuestre que:
QR + FP FM + MR + QD + DP
Ayuda: Ubique un punto donde se cortan las envolventes
M
Q
R
P
F
D
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22
ÁNGULOS
Geométricamente, un ángulo es la unión de dos semirrectas con un extremo común.
Veamos:
REGIÓN CONVEXA: Cuando el segmento que une dos puntos que están dentro de ella, queda
contenido en su totalidad dentro de la misma. Todos los anteriores ángulos son convexos.
El ángulo (1) del ejemplo anterior se denota: FIN, NIF o simplemente I.
Léase: ángulo FIN, ángulo NIF o simplemente ángulo I.
Cuando se denota un ángulo utilizando tres letras, ¿qué posición ocupa la letra que se
encuentra en el extremo común?
Cuando se denota utilizando una sola letra, ¿cuál se toma?
EJERCICIO
Construye 4 ángulos y denótelos.
ELEMENTOS DE UN ÁNGULO
Consideremos el siguiente ángulo.
FORMACIÓN DE UN ÁNGULO
Un ángulo se forma por la rotación de una semirrecta sobre su origen.
, son semirrectas.
INIF e
1
Extremo común
Ángulo
Semirrecta
Semirrecta I
F
N
M
2
Interior del ángulo
Exterior
R
A Exterior
3
Región
convexa
Región no
convexa
O
D
N
¿Cuáles son los elementos de un ángulo?
¿Cómo se llama el extremo común?
F
E
O
Lado
Lado
Vértice
C
T A
Lado final
Lado inicial
Sentido de rotación
N
A D Lado
final
Lado
inicial
Sentido de rotación
Lado inicial: Es la posición inicial de la semirrecta Lado final: .
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23
CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN SU GIRO
ÁNGULO POSITIVO: Si su rotación se hace en sentido contrario al movimiento de las
manecillas del reloj. Como los siguientes:
ÁNGULOS NEGATIVOS: Si su rotación se hace en el mismo sentido del movimiento de las
manecillas del reloj. Como los siguientes:
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Decimos que un ángulo está en posición normal, cuando cumple las siguientes condiciones:
Está ubicado en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares.
El lado inicial coincide con el eje positivo de las equis (x).
El origen coincide con el origen del sistema de coordenadas…
Veamos:
, , , , , , , , son letras griegas
EJERCICIO
Construye: Dos ángulos positivos, dos negativos y tres en posición normal.
Reloj
0
y
x 0
y
x
0
y
x
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MEDIDA DE LA AMPLITUD DE UN ÁNGULO
Recordemos que el elemento más usado para determinar la amplitud de un ángulo es el
“Transportador”.
Hay dos sistemas para expresar la medida de la amplitud de un ángulo: El sistema
sexagesimal y el sistema cíclico.
SISTEMA SEXAGESIMAL
En este sistema, los ángulos se expresan en grados (unidad más común). Un ángulo puede
medir: 1°, 15°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°, 620°, etc.
1° Léase: un grado. El grado es la unidad patrón de este sistema.
Un grado es la de una rotación total.
EJEMPLO
Hallemos y grafiquemos el ángulo que es de una rotación total.
Solución:
Gráfica:
EJERCICIO
Halle y grafique el ángulo que representa: de
rotación total.
El signo (+) indica que la rotación se hace en sentido contrario a las manecillas del reloj y el
signo (), en el mismo sentido.
SUBMÚLTIPLOS DEL GRADO
El grado tiene dos submúltiplos: El Minuto y el Segundo
360
1
4
1
ánguloelesestemidetotalrotaciónunaComo ,904
360)360(
4
1360
5
4,
2
1,
6
1,
2
3,
4
1,
3
2,
2
1 y
.:1.60160
11
.min:1.60160
11
||||||
||
|||
segundounLésae
utounLésae
90°
Un Minuto es la sesentava parte de
un grado y un Segundo, la
sesentava parte de un Minuto.
Con estas reglas de tres simple directa,
podemos convertir grados a minutos y
segundo, minutos a segundos y viceversa. ||| 601 |601
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25
COMO EXPRESAR UN ÁNGULO EN GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS
El siguiente esquema es de gran ayuda
Grado
60
Minuto
60
Segundo
EJEMPLO 1.
Expresemos en grados, minutos y segundos el siguiente ángulo: 90°.
Solución:
Quitandóle un grado a 90°, esto, porque el ángulo está representado por un
número entero
Convirtiendo el grado en minutos.
Quitándole un minuto a .
Convirtiendo el minuto en segundo.
NOTA: La conclusión se puede expresar por simple inspección (Sin seguir los pasos
propuestos).
EJEMPLO 2
Expresemos en grados minutos y segundos: 49,7°
Solución:
Separando la parte entera de la decimal. Entonces:
Convirtiendo la parte decimal en minutos.
Quitandóle un segundo a .
Convirtiendo el minuto en segundo.
EJEMPLO 3.
Expresemos en grados, minutos y segundos: .
Solución:
El siguiente esquema muestra lo que se va a realizar.
Grado
60
Minuto
60
Segundo
18990
|608990 || 1598990 |60
|||60598990
7,0497,49|
|
421
607,0
|42497,49 || 141497,49 |42
|||60414949,7
43268
ANÁLISIS:
De mayor a menor, se multiplica
De grado a minuto: se multiplica por 60.
De minuto a segundo: se multiplica por 60.
De grado a segundo: se multiplica dos veces por 60.
De menor a mayor, se divide
Se aplica el procedimiento anterior, pero dividiendo
||||
||
|
607721432688
87214326868
21126
6043268
43268
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26
EJEMPLO 4
Expresemos en grados, minutos y segundos:
Solución:
El siguiente esquema muestra lo que se va a relizar.
EJERCICIO
Exprese los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos:
SISTEMA CÍCLICO
En este sistema los ángulos se expresan en radián(rad).
ARCO: Porción de circunferencia comprendido entre dos puntos.
Si la longitud de una circunferencia se divide por su diámetro, el cociente es igual al número
irracional: 3,14159… que se representa con la letra griega .
= 3,14159…
Léase: Pí. Por eso, en este sistema un ángulo puede medir:
53216
314169000,23465,4326;48,5;5,9;60,180,90 y
.,3
2,
4
3,
6,
4
3,
3,
2,
2
3,,2 etc
Grado
60
Minuto
60
Segundo 53216
|||||
|
||
564614532164656
14286416
60886521
6053216
Segundos Minutos Grados
Un radián es la amplitud que tiene un ángulo,
que subtiende un arco igual a la longitud del
radio de la circunferencia.
.11 radr
r
r
S
rS
22
2
.D
rrD
r
Diámetro
ciacircunfereladeLongitudL
D
I
á
m
e
t
r
o
r
r
S = r
Arco
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EQUIVALENCIA ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CÍCLICO
EJEMPLO 1.
Expresemos en radianes el siguiente ángulo 80°.
EJEMPLO 2.
Expresemos en grados el siguiente ángulo:
EJERCICIOS
CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE LA AMPLITUD
Son: Nulo, recto, llano, agudo, obtuso y de un giro.
ÁNGULO NULO
Mide cero grado 0°.
9
480:.
9
4
180
80
80
180
dondeDex
x
5
2
725
2:
.725
3605
360180
5
2
1805
2
dondeDe
x
x
240150,120,90,60,45,30:
5.2:3
2,
2
3,
2,
4,
3,
6,
12
yángulossiguienteslosradianesenExpreseb
radyángulossiguienteslosgradosenExpresea
Un giro completo en el sistema sexagesimal
mide 360°. El mismo giro en el sistema
cíclico vale 2. Entonces: 2 = 360°.
De igual forma: = 180°.
Con estas reglas de tres , podemos llevar un
ángulo de un sistema a otro…
2360
Se multiplica en cruz, y al despejar
la incógnita , el término que la
multiplica pasa a dividir
A
B
C
mA = 0°. = ángulo
Léase: La medida del ángulo A es igual a cero
grado.
0°
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ÁNGULO RECTO
Mide noventa grados 90°.
ÁNGULO LLANO
Mide ciento ochenta grados 180°.
ÁNGULO AGUDO
Mide menos de 90°.
ÁNGULO OBTUSO
Mide más de 90°.
ÁNGULO DE UN GIRO
Mide 360°.
mRAP = 90°
R
A P
90°
mRQK = 180°
R
Q
K
180°
45°
Si 90°, entonces,
es agudo
78°
Si 90° 180°,
entonces, es obtuso
135°
98°
mBAC = 360°
360°
A
B
C
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29
CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN SU SUMA Son: complementarios y suplementarios.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 90°, o sea, un
ángulo recto.
EJERCICIO
Para cada ángulo, halle su complemento: 30°, 45°, 60°, 75°, 80° y 68,50°
Solución:
Sea x el complemento de 30°, entonces: x 30° = 90° x = 90° 30° = 60°.
El complemento de 30° es 60°.
Halle el complemento de los demás ángulos.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son suplementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 180°, o sea, un ángulo
llano.
EJERCICIO
Para cada ángulo, halle el suplemento: 10°, 30°, 45°, 60°, 90°, 130° y 80,75°
Solución:
Sea x el suplemento de 45°, entonces: x 45° = 180° x = 180° 45° = 135°.
El suplemento de 45° es 135°. Halle el suplemento de los demás
ángulos.
= 90°
= 180°
180°
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30
CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN
Son: adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice.
ÁNGULOS ADYACENTES
Tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.
ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Tienen un lado común.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Dos ángulos son opuestos por el vértice, si uno se forma por la prolongación de los lados del
otro a partir del vértice.
ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos o más ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida.
Q
110°
D
110°
mQ = 110°
mD = 110° mQ = mD
Entonces: Q D
Léase: ángulo Q congruente con
el ángulo D
y 2 son adyacentes
2
Lado común
1, 2, 3, 4, y 5 son consecutivos.
3 5
4
2 1
Los ángulos 2 y 4 son opuestos por el vértice.
De igual forma, los ángulos 1 y 3 también son…
3
4
2
1
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31
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que tiene por origen el vértice del ángulo y lo
divide en dos ángulos congruentes(igual medida).
EJERCICIOS
1. Dada la figura:
Indique la relación que existe entre:
a). 4 y 2 .
b). 2 y 3 .
c). 4 y 5 .
d). 3 y 4 .
d). 3 y MKQ .
f). 1, 2, 3, 4y 5 .
2. Dada la figura sobre la medida de la amplitud de un ángulo, identifique los
siguientes ángulos y sus medidas.
P
Q
M
R
K D
70°
20°
m KDR = 60°
m KDS = 60°
Entonces: KDR KDS
Como KD es la bisectriz del ángulo RDS,
entonces: mRDS = m KDR + m KDS.
O sea: 120° = 60° + 60°
R
D
K
S
60°
60°
120°
P Q
N
R
K
M
1
2 3
4 5
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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32
a). Los ángulos agudos.
b). Los ángulos suplementarios.
c). Los ángulos complementarios.
d). Los ángulos rectos.
e). Los ángulos llanos.
OPERACIONES CON ÁNGULOS ADICIÓN O SUMA DE ÁNGULOS
PROCEDIMIENTO:
Los ángulos se escriben en forma vertical, de tal forma que las unidades se correspondan:
grados debajo de grados, minutos debajo minutos y segundos debajo de segundos. Luego,
se suma común y corriente.
Los minutos y segundos, no deben pasar de 60. Si esto ocurre, se hace la correspondiente
conversión, dividiendo por 60 y el cociente se le suma a la unidad inmediatamente
superior.
EJERCICIO
Dados:
Solución:
Realice las demás operaciones.
SUSTRACCIÓN O RESTA DE ÁNGULOS
Básicamente, se aplica el mismo procedimiento adoptado para la suma, sólo que en vez de
sumar, debemos restar.
EJERCICIO
Dados: Halle:
Solución:
. Como 90° no tiene minutos ní segundos, se descompone:
||||||||| 2590.45100.485929.334985.90 QEDBA
EDBEAQBQEEDDBBAHalle ......:
|||
|
|
|||
||
|||
|||
||||||
81108114
149
60109
121
6081
485929
334985
485929334985
|||2149115DB
||||||||| 2945.3910.605939.474950.180.90 RQEDBA
RAQBQREDEBDA .....
|||47495090 DA
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33
Realice las demás operaciones.
MULTIPLICACIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO O ESCALAR
CLAVE: Se multiplica cada unidad por el escalar o número.
EJERCICIO
Dados:
Solución:
Realice las demás operaciones. TEOREMA 2 Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
Demostración:
ABD + DBK = ABK……(1)….suma de ángulos
Pero: ABK = 180°……...(2)…..ángulo llano.
Sustituyendo 2 en 1:
ABD + DBK = 180°…..demostrado.
TEOREMA 3
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
|||60598990
|||
|||
|||
|||
131039
131039
474950
605989
DA
.2745.422519.4530.90 |||||| QyEBA
QEBQEAQEBAHalle 5.22.42.2.3.4.2:
|||0617583E
|||||||||
|||
|||
|||
06175806775712675571267557
3
422519
)422519(33E
Los minutos y segundos no deben pasar de 60.
Hipótesis:
ABD y DBK son adyacentes
Tesis:
ABD + DBK = 180°
B
D
A K
Hipótesis:
y son opuestos por el vértice
Tesis:
=
NOTA: Si alguna unidad del sustraendo es
mayor que el minuendo, la inmediatamente
superior le presta una unidad y la misma se
convierte en la unidad deseada, sumando la
conversión con la unidad existente. Luego,
se resta común y corriente.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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34
Demostración:
+ = 180°…..(1)….por ser adyacentes.
+ = 180°…..(2)… por ser adyacentes.
Comparando 1 y 2:
+ = + …..por transitividad.
= …….simplificando……...demostrado. Demuestre usted que: = .
TEOREMA 4 Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta suman 180°.
Demostración:
PQR + RQD = 180°….(1)….por ser adyacentes.
PQR = PQK + KQR….(2)….suma de ángulos.
Reemplazando 2 en 1: PQK + KQR + RQD = 180°…..demostrado.
TEOREMA 5
La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, vale cuatro ángulos rectos(360°).
Demostración:
Prolonguemos uno de los lados de los ángulos, en este caso PK hasta D, quedando dividido el
QKM en dos ángulos: QKD y DKM
PKQ + QKD = 2R…(1)….Por ser consecutivos formados al mismo lado de PD
PKM + DKM = 2R…(2)….Por ser consecutivos formados al mismo lado de PD
Sumando miembro a miembro (1) y (2):
PKQ + QKD + PKM + DKM = 4R …(3)
Pero:
QKD + DKM = QKM…(4)…..?
OJO: Dos cosas iguales a
una tercera, son iguales
entre sí.
Hipótesis:
PQK, KQR y RQD son consecutivos
formados a un mismo de la recta PD
Tesis:
PQK + KQR + RQD = 180° Q
R K
P D
Hipótesis:
Los PKQ, QKM y PKM son
consecutivos alrededor del punto K
Tesis: PKQ + QKM + PKM = 4R(360°)
K
Q
M
P
D
R = 90°
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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35
Sustituyendo (4) en (3):
PKQ + QKM + PKM = 4R(360°)…..demostrado.
Demuestre el mismo teorema para 4 ángulos alrededor de un mismo punto.
EJEMPLO 1.
Dos ángulos están en relación de 4 : 5 y su suma es 160°. Hallemos los ángulos.
Solución:
Sea la constante de proporcionalidad
Cada elemento de la relación se multiplica por esta constante, esto es:
Como la suma es 160°, entonces: . De donde:
Multiplicando a por la constante de proporcionalidad:
OTRA FORMA(Planteando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas)
Como la relación es de 4 : 5, entonces:
Como la suma es 160°, entonces:
EJEMPLO 2.
Hallemos el ángulo que es igual a la tercera parte de su suplemento.
Sea = un ángulo. Como el otro ángulo que es el suplemento de x equivale a la tercera parte,
entonces: es el suplemento de .
Como son suplementarios, entonces: Resolviendo esta ecuación lineal:
xxx 5,4
16054 xx
|||40461777777,179
1601609
xx
xx 5,4
||||||205388400671
y
x
x
sonángulosLos :
20538820023085)404617(55
40067116018468)404617(44
|||||||||
|||||||||
mayorángulomenorángulo yx .
)1......(5
4
y
x
)2......(160 yx
||||||205388400671
y
yx
yxeny
yyyyyy
yx
sonángulosLos
devaloreldoSustituyen
envalorestedosustituyenydexdespejando
:
)2()1(
|||||
|||
400671111111,715
555555,355
5
)888888,88(4
5
4
:5
4
205388888888,889
800800980054160
5
4
......5
4
x
3
xx
.1803
x
x
Por ambos métodos se llega
a la misma conclusión.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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36
36
Debido a que 135° y 45° son suplementarios y además, 45° es la tercera parte de 135°, entonces, 45°
es el ángulo.
EJEMPLO 3.
EJERCICIOS
1.
2. Halle el ángulo que es igual a la mitad de su complemento.
3. Un ángulo y su suplemento están en relación de 5:4. Halle los ángulos.
4. Dos ángulos están en relación de 3 a 6 y su suma vale 240°. Halle los ángulos.
5. Halle el ángulo que es igual a su complemento.
6. Halle el ángulo que es igual a las 3/5 de su suplemento.
7. Para cada figura, halle la amplitud de los ángulos:
453
135
3:.135
4
54054045403
xxxxx Luego
.15108.41,95.43763.4345123
:sup,.)
1588.41,85.4363.434523
:,.)
|||||||
||||||
lementoelhalleángulocadaParab
ocomplementelhalleángulocadaParaa
2x
x3
Hallemos el valor de los ángulos.
Solución:
Los ángulos son suplementarios, entonces:
El valor del del ángulo es:
El valor del ángulo es:
xyx
32
|||422551
7
3603607:
.1802
7180
2
61803
2
xxLuego
xxxx
x
2
x ||||||
5142252
422551
2
x
x3||||||
0617154)422551(33 x
2x + 20°
2x
2x +5° 2
3x4x
2x
25x
3
2x3x
6x
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AUTOEVALUACIÓN NRO 1.
1. Dados los siguientes enunciados, escribe V(verdadero) y F(falso):
a) La hipótesis y la tessis son elementos de un teorema .
b) La bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos desiguales .
c) Un grado equivale a 70| .
d) Los axiomas son enunciados que se deben demostrar .
e) Las líneas rectas tienen punto final e inicial .
f) Un ángulo que en el sistema sexagesimal vale 180°, en el sistema cíclico vale
2 .
g) Los postulados son enunciados que no necesitan demostración .
h) Un ángulo en posición normal tiene su lado inicial en el eje negativo de las
equis (x) .
i) Las rectas paralelas se cortan en el infinito .
j) Los ángulos llanos miden 90° .
k) Para expresar segundos en grados se divide un sóla vez por 60 .
2. Escribe la lectura de los siguientes símbolos:
.
.
.
.
.
3. Relacione cada figura con su nombre:
a) Punto geométrico. g) Ángulo llano.
b) Línea recta horizontal. h) Rectas paralelas.
c) Ángulo nulo. i) Línea cerrada mixta.
d) Ángulo agudo. j) Ángulo recto.
e) Línea curva. k) Rectas perpendiculares.
f) Segmento. l) Semirrecta.
AB
NM
BA KS //
PQ
DSK //
AB PQRABC
Qm BA
Q
K
P
M
B
R
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38
4.
a) Exprese en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos:
b) Halle y gráfique el ángulo que representa las partes de una rotación total en
ambos sentidos.
c) Exprese los siguientes ángulos en grados:
d) Exprese los siguientes ángulos en radianes: 80° y 105°.
e) Halle el valor de dos ángulos complemetarios que están en relación de 5 a 10.
f) Halle el ángulo que es igual a las 2/3 partes de su suplemento.
g) Dados:
5. Demuestre los siguientes teoremas:
T1: La suma de cinco ángulos consecutivos alrededor de un punto, vale 360°.
T2: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
6. Dada la siguiente figura:
a) Identifique la relación entre: MKQ y PKR .
RKM y NKQ .
MKQ y PKR .
NKQ y QKM .
PKR, RKN y NKQ .
b) Identifique los siguientes ángulos según su medida:
Ángulos agudos.
Ángulos llanos.
Ángulos complementarios.
Ángulos suplementarios.
Ángulos rectos.
.180.4016794.5634000.90.09,35 |||
103
.9,25
2 rady
)54(.)(.43..
:
3260.234746.90 ||||
DADADBDBBDBA
Halle
DBA
P Q
R
K
N
M
70°
20°
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39
7. Para cada figura, realice el cálculo exigido:
P M R T S Q
0 32
32
31
31
35
Si K y N son los puntos medios de MR y de PQ
respectivamente, halle la longitud de AB.
433 8,2
?QR
Q R K P
12
Demuestre que: PQ + KR MP + MR + QD + DK M
D
Q
P
R
K
MKR = ?
NKR = ?
5x + 10°
3
2 x
R K
M N
Q
P
R
K
M
4x + 10°
x2
PKQ = ?
PKM = ?
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TEOREMA 6
Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.
Demostración:
Tracemos DK que pase por M y N e intercepte a QP y QR en los puntos D y K. De tal forma que
QD = QK
Supongamos que el PQR tiene dos bisectrices QM y QN, entonces:
QD = QK …..(1)….por construcción
PQM = MQR…..(2)….por ser QM bisectriz de PQR
PQN = NQR…..3)….por ser QN bisectriz de PQR
Ahora:
PQR = PQM + MQR…(4)….suma de ángulos.
PQR = PQN + NQR…(5)….suma de ángulos.
Comparando (4) y (5):
PQM + MQR = PQN + NQR….(6)
Pero:
PQN = PQM + MQN….(7)
PQM = MQR…..(2)
Sustituyendo (7) y (2) en (6):
PQM + PQM = PQM + MQN + NQR
PQM = MQN + NQR……simplificando…demostrado.
Esto muestra que las bisectrices QM y QN son las mismas, por ende, QM es única.
P
D
Q
M
N
K
R
Hipótesis:
Sea el PQR y QM su bisectriz
Tesis:
QM es única
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PERPENDICULARIDAD
Recordemos que dos rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse forman ángulos
rectos(90°).
POSTULADO: Por un punto fuera de una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha
recta y sólo una.
TEOREMA 7
Si por un punto exterior a una recta trazamos una perpendicular y varias oblicuas, se verifica
que:
1. El segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta, es menor que cualquier
segmento de oblicua.
2. Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular, son iguales
3. De dos segmentos de oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular, es
mayor el que dista más…
90°
Las rectas M y N no son perpendiculares
y también pasan por el punto P.
En cambio, la recta PR pasa por el punto P y
es perpendicular a Q. Esto es: PR Q
R
P
Q
N M
1 = 2 =3 = 4 = 90°
P Q
Las rectas de la figura no tiene las flechitas, para abreviar
el trabajo se ha obviado y se obviará la flechita() en la
gráfica como en la notación simbólica, por eso las letras P
y Q carecen de ellas…
1 2
4 3
P
Q
M
P
A S F
B
R Q
Hipótesis:
PQ AB
PF, PR y PS son oblicuas FQ = QR y QS QR
Tesis:
1. PQ PR
2. PF = PR
3. PS PR
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42
Demostración:
Doblemos la figura por AB, esto nos muestra la imagen discontinua, a demás: PQ = QM
PR = RM
PS = SM
PF = FM
Demostración 1:
PQM es envuelta para PRM, entonces:
PQ + QM PR + RM…..por el T1. Pero: PQ = QM y PR = RM. Luego:
PQ + PQ PR + PR……………………sustituyendo QM y RM
2 PQ 2PR….sumando…. PQ PR….simplificando……...demostrado.
Demostración 2:
Doblemos la figura por PM, esto muestra que el punto F coincide con el punto R, por ser
FQ = QR. Luego: PR = PF.
Demostración 3:
PSM es envolvente para PRM, entonces:
PS + SM PR + RM…..por el T1. Pero: PS = SM y PR = RM. Luego:
PS + PS PR + PR …………………….Sustituyendo SM y RM
2 PS 2PR ….sumando……. PS PR…..simplificando………..demostrado.
Comparando las demostraciones 1 y 3: PQ PR PS
OBSERVACIÓN: La distancia más corta de un punto a una recta es la perpendicular que se
traza del punto a la recta.
PARALELISMO
Recordemos que las rectas paralelas nunca se cortan.
D
K
D // K
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43
TEOREMA 8
Dos rectas de un plano, perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí.
Demostración:
Supongamos que A y B no son paralelas, entonces se cortarían en un punto determinado,
digamos P. Si esto es a si, por P pasarían dos rectas perpendiculares a R; esto contradice el
postulado anterior (Por un punto fuera de una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha
recta y sólo una). Luego, A y B son paralelas. A//B….demostrado.
COROLARIO 1: Por un punto exterior a una recta pasa una paralela a dicha recta
POSTULADO DE EUCLIDES
Por un punto exterior a una recta, pasa una y sola paralela a dicha recta.
COROLARIO 2
Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.
Consideremos la recta A y el punto P
exterior a A.
Por P tracemos R perpendicular a A.
Ahora, por P tracemos B perpendicular a
R. Entonces:
AR y BR, por el teorema anterior(7):
A//B…..demostrado. R
B
A
P
M//N…..demostrado por el corolario 1.
N
M
P
Hipótesis: Tesis:
M//Q M//N
N//Q
N
M
Q
P
Demostración: Supongamos que M y N no son paralelas,
entonces, se cortarían en un punto P.
Entonces por P pasarían dos rectas paralelas
a Q. Esto contradice el postulado de
EUCLIDES, por ende: M//N…demostrado
B A
R
P
Hipótesis:
B R
A R
Tesis:
A // B
Todos los teoremas sobre paralelismo
y perpendicularidad, se demuestran
por el MÉTODO DE REDUCCIÓN AL
ABSURDO: Se niega la tesis, se
busca una contradicción, y luego, se
concluye la misma tesis.
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COROLARIO 3
Si una recta corta a otra, corta también a las paralelas a ésta.
COROLARIO 4
Si una recta es perpendicular a otra, es también perpendicular a toda paralela a esta otra.
CARACTERÍSTICAS DEL PARALELISMO
IDENTICO: Toda recta es paralela a si misma Q//Q.
RECÍPROCO: A//B B//A. Si una recta es paralela con otra, ésta es paralela con la
primera.
TRANSITIVO: A//B y B//Q A//Q. Si una recta es paralela con una segunda recta y la
segunda es paralela con una tercera recta, entonces, la primera recta y la tercera son
paralelas.
Hipótesis: Tesis:
K//D R corta a D
R corta a K en P
D
K
R
P
Demostración: Si R no corta a D, entonces, R y D serían
paralelas(R//D). Esto muestra que por el
punto P pasarían dos paralelas a D, las rectas
K y R, esto contradice el postulado de
EUCLIDES, por ende R corta a
D…demostrado.
Hipótesis: Tesis:
M//N KM
KN
Demostración:
Si K corta a N, también corta a M…corolario 3.
Supongamos que K no es perpendicular a M
y que se cortan en el punto P. Entonces, es
posible trazar por P la recta Q perpendicular
a K, luego, por P pasarían dos paralelas a N;
las rectas Q y M, esto es imposible.
Entonces: KM
M
K
N
P
Q
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TEOREMA 9
Si dos rectas distintas se intersecan, entonces, su intersección es un único punto.
Demostración:
Supongamos que Q y K se intersecan en dos puntos distintos, digamos X, Y. Si esto es a si,
entonces: (X, Y) Q y (X, Y) K, esto no es posible. Por ende: X = Y. Luego: X es único ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO DOS RECTAS SON CORTADAS POR UNA SECANTE
ANGULOS COLATERALES ANGULOS COLATERALES
INTERNOS O CONJUGADOS. EXTERNOS O CONJUGADOS.
4 y 6 1 y 7
3 y 5 2 y 8
PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
POSTULADO: Toda secante forma con dos paralelas ángulos correspondientes iguales
S
M
K
1 2
3 4
7
5 6
8
S y K rectas, M recta secante
ÁNGULOS OPUESTOS
POR EL VÉRTICE.
Son:
1 y 3.
2 y 4.
5 y 7.
6 y 8.
ÁNGULOS ALTERNOS
INTERNO.
Son:
3 y 6 , 4 y 5.
ÁNGULOS ALTERNOS
EXTERNOS.
Son: 2 y 7 , 1 y 8.
ÁNGULOS
CORRESPONDIENTES.
Son:
2 y 5.
3 y 8.
1 y 6.
4 y 7.
4
S//K y M recta secante
Entonces:
2 = 5. 3 = 8.
1 = 6. 4 = 7.
S
M
K
1 2
3
7
5 6
8
X
Q
K
Hipótesis:
Q y K son rectas distintas y se intersecan en el
punto X
Tesis:
X es único
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TEOREMA 10
Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.
Demostración:
1 = 3….(1)….opuestos por el vértice.
1 = 6….(2)….correspondientes.
Comparando (1) y (2): 3 = 6…..por transitividad..…demostrado.
De igual forma: 4 = 5…demuéstrelo…
TEOREMA 11
Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales
Demostración:
1 = 3….(1)….opuestos por el vértice.
3 = 8….(2)….correspondientes.
Comparando (1) y (2): 1 = 8…por transitividad…demostrado.
De igual forma: 2 = 7….demuéstrelo…
Hipótesis:
S//K y M recta secante
3 y 6 ….alternos internos
4 y 5…..alternos internos
Tesis:
3 = 6
4 = 5
1 2
3 4
7
5 6
8
S
M
K
Hipótesis:
S//K y M recta secante
1 y 8 ….alternos externos
2 y 7…..alternos externos
Tesis:
1 = 8
2 = 7
3
7
5 6 8
1 2
4 S
M
K
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TEOREMA 12
Dos ángulos conjugados o colaterales internos, entre paralelas, son suplementarios.
Demostración:
3 + 4 = 180°….(1)….por ser adyacentes .
4 = 5….(2)….alternos internos.
Sustituyendo (2) en (1): 3 + 5 = 180°…demostrado.
De igual forma: 4 + 6 = 180°….demuéstrelo…
TEOREMA 13.
Los ángulos conjugados o colaterales externos, entre paralelas, son suplementarios.
Demuéstrelo….
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, realicemos los cálculos exigidos:
Solución:
a) Como R // K // M // N son rectas paralelas, entonces, P y Q son secantes.
Luego: 1 = 4 = 5 = 14 = 17 = 18 = x2 …En su orden: opuestos por el vértice,
alternos internos, correspondientes, alternos internos y opuestos por el vértice.
De igual forma: 2 = 3 = 6 = 15 = 16 = 19 = x …Por: opuestos por el vértice, alternos
internos, correspondientes, alternos internos y opuestos por el vértice.
Pero: 18021 ….Por suplementarios. Entonces: 1802 xx .
S
M
K
1 2
3 4
7
5 6
8
Hipótesis:
S//K y M recta secante
3 y 5 …conjugados o colaterales internos
4 y 6…conjugados o colaterales internos
Tesis:
3 + 5 = 180° = 2R R = 90°
4 + 6 = 180° = 2R
P
Q
R
K
M
N
1 2
3
5
4
6
17
8 7
9
16
10
18
15
13
11
14
12
19
P // Q, R // K // M // N.
1 = x2 y 19 = x .
a). Hallemos la amplitud de los
ángulos comprendidos entre
las rectas M y R.
b). Demostremos que:
180131211
T
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48
Resolviendo la ecuación:
603
1801803 xx . De donde: 120)60(22x .
Luego: 1 = 4 = 5 = 14 = 17 = 18 = 120° y 2 = 3 = 6 = 15 = 16 = 19 = 60°.
b) )1....(18011109 …Ángulos consecutivos formados a un mismo lado de una recta.
Pero: P // Q , M, T y N son secantes.
).....2....(129 Por correspondientes.
).....3....(1310 por alternos internos.
Reemplazando (2) y (3) en (1): 180131211 ……demostrado
EJERCICIO
Para cada figura, halle el valor de los ángulos indicados:
Q //R. Demuestre que:
1 + 2 + 3 = 180°
1
2 3 4
5
R
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
M
Q
H
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
P
Q R
K S
2x 6x
PK //RQ y PR//QK
RPK = 2x y PKQ = 6x
Halle:
PKQ, KQR, QRP, QKS y RPK
Q K
M
N
E
La recta EM es la bisectriz
del QEN y K = Q
Demuestre que: EM //KQ
AB//MN. MRK = 120°
Halle: BAK y KRN
A B
M N
K
120°
R
R
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
M
Q 1
2
3 4
7 5
6
8 Q //M y R secante.
3 = 30° , halle los demás
K // R, M // N // Q // P.
15 = 2x y 19 = x4 .
a). Halle la amplitud de los
ángulos comprendidos entre
las rectas P y N.
b). Demuestre que:
180321
6
7
1 2
3 5
4 17
8 9
16
10
18
15 13
11 14
12
19 P
Q
R
K
M
N
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ÁNGULOS CON LADOS PARALELOS O PERPENDICULARES
TEOREMA 14
Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido
son iguales.
Demostración:
Prolonguemos PQ hasta que corte a AC, formándose el K.
Como AB//PQ, entonces: BAC = K…(1)….por ser correspondientes
Como AC//QR, entonces: K = PQR…(2)….por ser correspondientes
Comparando (1) y (2):
BAC = PQR….por transitividad…..demostrado.
TEOREMA 15
Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario
son iguales.
Hipótesis:
AC//QR y AB//PQ
BAC y PQR tienen sus lados
paralelos y dirigidos en el mismo
sentido
Tesis:
BAC = PQR
K
A C
B
Q
P
R
P
Q
K
P // Q y K secante.
Identifique las clases de ángulos que se
forman según los colores.
Ejemplo:
El color rojo al interior de las paralelas,
muestra que los ángulos son alternos internos
Hipótesis:
M//Q y N//P
y tienen sus lados paralelos y
dirigidos en sentido contrario
Tesis:
=
N
M
Q
P
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50
Demostración:
Prolonguemos los lados P y Q hasta formar el ángulo .
= …(1)…opuestos por el vértice.
= …(2)….por el teorema 14 (tener sus lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido)
Comparando (1) y (2):
= ….por transitividad…..demostrado.
TEOREMA 16
Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos ellos dirigidos en el mismo
sentido y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.
Demostración:
Prolonguemos QR hasta formar el
= …(1)… por el teorema 14 (tener sus lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido)
+ = 180°……(2)….por ser adyacentes.
Reemplazando (2) y (1):
+ = 180°….…..demostrado. Por ende, y son suplementarios…
TEOREMA 17
Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares son iguales.
Demostración:
Traslademos los lados del hasta el vértice del . Al trasladar la figura, se evidencia que:
SQQR y DQQP.
Entonces:
Hipótesis:
QPKM 90°
QRMN 90
Tesis:
=
M
N
K
P
R Q
S
D
Hipótesis:
PM//RS, y dirigidos en el mismo
sentido
PN//QR, y dirigidos en sentido
contrario
Tesis:
+ = 180°
P N
M
Q
S
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+ = 90°…..(1)….por se complementarios
+ = 90°……(2)…por ser complementarios
Comparando (1) y (2):
+ = + ……dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí
= …..simplificando……demostrado.
TEOREMA 18
Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son
suplementarios.
Demostración:
Prolonguemos TK hasta formar el
+ = 180°…..(1)….por ser adyacentes.
= ……(2)…teorema 17 (por tener sus lados perpendiculares)
Sustituyendo (2) y (1):
+ = 180°……demostrado…por ende, y son suplementarios.
TEOREMA 19
Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales.
Demostración:
Prolonguemos MN hasta formar el
K = …(1)……..teorema 17(por ser agudos y tener sus lados perpendiculares) + K = 2R…..(2)…. Por ser adyacentes
+ = 2R ……(3)… Por ser adyacentes
Hipótesis:
QPTS 90°
QRTK > 90
Tesis:
+ = 180°
P
R Q
T
K
S
Hipótesis:
QPTN > 90°
QRMN > 90
Tesis:
=
Q
P
R
T
M
N
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52
Comparando (2) y (3):
+ K = + ….(4)
Sustituyendo (1) en (4):
+ K = + K. Entonces: = …simplificando….demostrado.
EJEMPLO
EJERCICIO
Para cada figura, halle los ángulos indicados:
GD//K y GR//QM//DN
.?3.?2
.?1.?4
45°
3 2 1
G Q
K
R M
N
D
4
Solución:
4 = Q = 45°. Por tener sus lados paralelos y dirigidos
en el mismo sentido o correspondientes.
Q = 2 = 45°. Por ser correspondientes. GD//K
1 + 2 = 180°. Por ser suplementarios
1 = 180° 2 = 180° 45° = 135°. 1 = 135°.
2 + 3 = 180°. Por ser colaterales externos 3 = 180° 2 = 180° 45° = 135°. 3 = 135°.
De donde:
2 =4 = 45° y 1 = 3 = 135°.
Léase: De donde
45° Q
K
M
N
N//K y M//Q
= ?. = ?
=? M
Q
N D
K
P
32° =?
M//K y P//Q
DM y QN
= ?. = ?
PQ//PR, PK//QR, N//QR y M//PQ
= ?. = ?. =?
P Q
K R
M
N
50°
P//R//N. MD, KP, QN y FE
= ?. =?
3x
P
Q
K
R
M
N
F
D
x
E
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53
53
K
125°
Q
M
N
NK y MQ
= ? P//N y K//M. RN y QM
= ?. =?
55°
P
Q
K
R
M
N
R // N y M // K. = ?. = ?
K
50°
R M N
60° 70°
M // N y K // R. = ?. = ?
K R
M N
x
252 x 5x
Q
P
R = ?
x
x3
= ?
P // Q, M // N, G M, F P, K Q y T N.
= ?. = ?
K
P
M N
140° T
G
F
Q
P // Q // K // G, M Q y N R.
R es la bisectriz D. = ?. = ?
K
P
M N
403
20x
102x
G
R
Q
D
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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54
AUTOEVALUACIÓN NRO 2.
1. Dados los siguientes enunciados, escribe V(verdadero) y F(falso):
a) Por un punto exterior a una recta se pueden trazar dos paralelas a dicha recta .
b) Los ángulos cuyos lados son paralelos y dirigidos en cualquier sentido son
iguales .
c) La distancia más corta de un punto a una recta, es la oblicua trazada desde el
punto a la recta .
d) Los ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares no son iguales .
e) Por un punto exterior a una recta se pueden trazar varias perpendiculares a
dicha recta .
f) Los ángulos correspondientes entre paralelas no son iguales .
g) Los ángulos alternos internos entre paralelas no son congruentes .
2. Para cada figura, halle los ángulos indicados:
P//R//N. MD, KP, QN y FE
= ?. =?
3
2 x
P
Q
K
R
M
N
F
D
x2
E
P//Q y K//M, DM y QN
= ?. = ?
= ?
M
Q
N
D
K
P
= ?
110°
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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55
TRIÁNGULO
Polígono que tiene tres ángulos, tres lados y tres vértices.
PQR, léase: triángulo PQR
CLASES DE TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS
TRIÁNGULO ISÓSCELES
Tiene dos lados iguales.
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
Tiene sus tres lados iguales.
TRIÁNGULO ESCALENO
Tiene sus tres lados desiguales.
P Q
R Ángulo
Vértice
Lado
R Q
K
KR = KQ = RQ.
También: RQK = KRQ = RKQ
RQK
PR = QR. También: QPR = PQR
PQR es isósceles. Los QPR y PQR, reciben el nombre de ángulos de la base.
, indica igualdad
P Q
R
PR QR PQ. También: P Q R
PQR es escaleno
R
Q P
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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56
CLASES DE TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
Tiene sus ángulos agudos, o sea, que miden menos de 90°.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Tiene un ángulo recto, o sea, que mide 90°.
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
Tiene un ángulo obtuso, o sea, que mide más de 90°.
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Son aquellos que no tienen ningún ángulo recto.
P Q
R
P 90°. Q 90°. R 90°
PRQ es acutángulo
P Q
R
Q > 90°. PRQ es obtusángulo
P K
M
R = 90°. PRQ es rectángulo
, muestra la ubicación del ángulo recto.
Hipotenusa
Cateto
Cateto
P
Q R
90°
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RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
MEDIANA: Segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.
ALTURA: Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
BISECTRIZ: Segmento que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
MEDIATRIZ: Es la perpendicular en el punto medio de cada lado.
INCENTRO: Punto donde se cortan o
intersectan las bisectrices
B Q
R
M
K N
1 2
3 4
5 6 1 = 2
3 = 4
5 = 6
QK
BN
MR Son bisectrices
CIRCUNCENTRO: Punto donde se cortan las
mediatrices
P Q
D
H
R K PR = RD
DK = KQ
PH = HQ
R
K
H Son mediatrices
BK = KR QK
BM = MQ BN
RN = NQ RM
Son medianas
BARICENTRO: Punto donde se cortan o
intersectan las medianas
B Q
R
M
K N
h1
h2
h3
h1 h2
h3
h1, h2 y h3…son las alturas
ORTOCENTRO: Punto donde
se cortan las alturas
P Q
R
h1
h2
h3
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58
EJERCICIO
Dada la figura:
TEOREMA 20
La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180° (dos ángulos rectos)
Demostración:
Por M tracemos K //PQ, formándose los ángulos 1 y 2.
1 + 2 + M = 180°…(1)…ángulos consecutivos a un mismo lado de una recta.
Pero:
K//PQ , PM y QM son secantes, entonces:
1 = P…(2)….ángulos alternos internos
2 = Q…(3)….ángulos alternos internos
Sustituyendo (2) y (3) en (1):
P + Q + M = 180° = 2R…..demostrado.
Hipótesis: P, Q y M son interiores del PQM
Tesis:
P + Q + M = 180° = 2R
2
P Q
M
1
K
ES = Mediatriz
N = Mediana de TD
KR = Bisectriz del PKD
TQ = Altura sobre PD
KD = PK
ND = MN = DM
Identifique:
a). Los ángulos y las líneas congruentes.
b). Los triángulos según la medida de sus lados y
sus ángulos.
P Q
R
K
N
D
T
S
M
E
Identifique: El número de triángulos
formados.
P
Q
R K
D
N M
S T E
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59
COROLARIO 4: La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un
Recto (90°).
Demostración:
P + Q + K = 180° …(1)…..teorema 20.
Pero: K = 90°…(2) por se PQK rectángulo en K.
Reemplazando (2) en (1):
P + Q + 90° = 180°
P + Q = 90° = R……demostrado…...transponiendo y simplificando.
ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO
TEOREMA 21.
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo vale cuatro rectos(360°).
Demostración:
1 + K = 2R…..adyacentes
2 + P = 2R……?
3 + Q = 2R…..?
Sumando miembro a miembro:
1 + 2 + 3 + K + P + Q = 6R…(1)
1, 2 y 3 son exteriores
al PQK
P
Q K
1
2
3
Hipótesis:
Los 1, 2 y 3 son
exteriores al PQK
Tesis:
1 + 2 + 3 = 4R(360°)
P
Q K
1
2
3
Hipótesis:
PQK es rectángulo
P y Q son agudos
Tesis:
P + Q = R = 90° 90°
P
Q K
R = Ángulo recto
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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60
60
Pero:
K + P + Q = 2R….(2)…..?
Reemplazando (2) en (1):
1 + 2 + 3 + 2R = 6R
1 + 2 + 3 = 6R 2R…..?
1 + 2 + 3 = 4R……?.........demostrado.
TEOREMA 22
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.
Demostración:
K + P + Q = 2R….(1)…..?
+ Q = 2R….(2)…..?
Comparando (1) y (2):
+ Q = K + P + Q
= K + P ……?.......demostrado.
TRIÁNGULOS CONGRUENTES O IGUALES
Dos triángulos son congruentes o iguales si al superponerlos, todos sus puntos coinciden.
Hipótesis:
En el PQK , el es exterior,
P y K son no adyacentes al
Tesis:
= P + K
P
Q K
P
Q K
P|
Q|
K|
P
Q K
P|
Q|
K|
Superponiendo el PQK sobre el p|Q
|K
|:
K = K|, P = P
| y Q = Q
|.
KP = K|P
|, KQ = K
|Q
| y PQ = P
|Q
|
PQK = P|Q
|K
|, léase: triángulo PQK es igual al triángulo P
|Q
|K
|
PQK P|Q
|K
|, léase: triángulo PQK es congruente con el triángulo P
|Q
|K
|
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61
CASOS DE IGUALDAD O CONGURENCIA DE TRIÁNGULOS
CASO 1. ALA(Ángulo, Lado, Ángulo): Dos ángulos iguales y el lado adyacente a estos
iguales.
CASO 2. LAL (Lado, Ángulo, Lado): Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales.
CASO 3. LLL(Lado, Lado, Lado): Los tres lado iguales.
K = K| y Q = Q
|
KQ = K|Q
| PQK = P
|Q
|K
| . PQK P
|Q
|K
|
P|
Q|
K|
P
Q K
K = K|
KQ = K|Q
| y KP = K
|P
| PQK = P
|Q
|K
| . PQK P
|Q
|K
|
P
Q K
P|
Q|
K|
P
Q K
QP = Q|P
| , KQ = K
|Q
| y KP = K
|P
|
PQK = P|Q
|K
| . PQK P
|Q
|K
|
P|
Q|
K|
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PROPIEDADES DE LA IGUALDAD O CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. En dos triángulos iguales, a ángulos iguales se oponen lados iguales.
Q = Q| PK = P
|K
|
2. En todo triángulo, un lado es menor que las suma de los otros dos.
En el PQK:
PQ PK + KQ…..T1(envolvente y envuelta). Si al escoger una terna de números que represente
los lados de un triángulo, no se cumple está propiedad, este triángulo sería imposible de construir;
debido, a que nunca se cerraría. Es el caso del triángulo cuyos lados miden: 1, 2 y 3. Encuentre 4
ternas de números asociados a los lados de un triángulo, que imposibiliten la construcción.
Realice las gráficas.
4. En un triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa
En el PQK:
PK KQ Q P
5. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también mediana y
bisectriz.
6. En todo triángulo equilátero, la altura correspondiente a cada lado, es mediana,
bisectriz y mediatriz.
DB = BK. D = K
DBE KBE. h = altura
BE = mediana y bisectriz
B
D K
h
E
En el PQK, rectángulo:
PQ = PK = QK.
h es la altura correspondiente al lado PQ, además
divide a PQ en dos partes iguales PD = QD
h divide el PKQ en dos ángulos congruentes:
PKD QKD
D P Q
K
h
Q = Q| , K = K
| y P = P
|
QK = Q|K
|, QP = Q
|P
| y PK = P
|K
|,
PQK = P|Q
|K
| . PQK P
|Q
|K
|
P Q
K
P|
Q|
K|
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63
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CASO 1: La hipotenusa y un ángulo agudo igual.
CASO 2: Un cateto y el ángulo adyacente iguales.
CASO 3: Un cateto y el ángulo opuesto.
CASO 4: Los dos catetos iguales.
CASO 5: La hipotenusa y un cateto.
B| K
|
E|
BK = B|K
|. K = K
| . B = B
|
BEK = B|E
|K
| . BEK B
|E
|K
|
B K
E
B K
E
B| K
|
E|
EK = E
|K
|. K = K
| B = B
|
BEK = B|E
|K
| . BEK B
|E
|K
|
BE = B|E
|. K = K
| . B = B
|
BEK = B|E
|K
| . BEK B
|E
|K
|
B K
E
B| K
|
E|
BE = B|E
|. BK = BK
| . B = B
|
BEK = B|E
|K
| . BEK B
|E
|K
|
B K
E
B| K
|
E|
BE = B|E
|. EK = E
|K
| . B = B
|
BEK = B|E
|K
| . BEK B
|E
|K
|
B K
E
B| K
|
E|
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64
TEOREMA 23
En todo triángulo rectángulo 30°, 60° y 90°, la medida del lado opuesto al ángulo de 30° es la
mitad de la hipotenusa.
Demostración:
Por P tracemos la mediana PK correspondiente a la hipotenusa y completemos el rectángulo.
En el rectángulo PQDR:
PD = QR: En todo rectángulo, las diagonales son iguales
K es el punto medio donde las diagonales PD y QR se bisecan (se dividen en dos partes iguales)
Entonces:
KR = QK = PK = KD…..(1)
El PKR es isósceles, por ser: PK = KR.
Luego:
RPK = PRK = 60°….(2)
Pero:
RPK + PRK + PKR = 180°….(3)….Suma ángulos interiores triángulo.
Sustituyendo (2) en (3):
60°+ 60° + PKR = 180° PKR = 60°
PKR es equilátero
Luego:
PR = PK = KQ…(4) ….Por se lados de triángulos equiláteros.
Pero:
RK + KQ = QR….(5)….Suma de segmentos.
demostradoQR
PRQRPRQRPRPR
endoSustituyen
....2
2
:)5()4(
Hipótesis:
El PQR rectángulo es 30°, 60 y 90°:
QR es la hipotenusa
Q = 30°, es agudo y PR es su lado
opuesto
Tesis:
2
QRPR
P Q
R D
K
30°
60°
60°
60°
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65
EJEMPLO 1.
Dada la figura, realicemos el cálculo indicado.
Debido a que el triángulo XYR es 30°, 60° y 90°, por el teorema 23( el lado opuesto al ángulo de
30° es la mitad de la hipotenusa), entonces:
EJEMPLO 2.
EJEMPLO 3.
Como el PKD DQR y el PKN QRM. O sea: PKD = DQR y el PKN = QRM
Pero:
PND = PNK + PKD PND = PNK + DQR…..(1)
QDM = DQR + QMR QDM = PKN + DQR ….(2)
Comparando (1) y (2) se tiene que:
PND = QDM.
Esto implica que: ND = DM, por ende PQ biseca a MN, porque la divide en dos partes iguales
exigidocálculoelesestery
aopuestocatetoyhipotenusar
16,9232,18
2
30.32,18
30°
r = 18,32
y = ?
X
Y R
Solución
En el triángulo XYR:
Y = 30° y R = 90° .
Como X + Y = 90°…complementarios
Entonces: X = 90° Y = 90° 30° = 60°
Luego: XYR es 30°, 60° y 90°
Solución
En el triángulo:
115° es exterior y los 80° y son no adyacentes,
entonces:
115° = 80° + = 115° 80° = 35° = 35°
Pero:
115° + = 180° = 180° 115° = 65° = 65°
= ?. = ?
80°
115°
Solución:
En los PKD y DQR:
PD = DQ y KD = DR….dados.
1= 2 …opuestos por el vértice
PKD DQR…..caso LAL.
Luego:
PK = QR y 3 = 4. Además los PKN y QRM
son rectángulo, entonces: PKN QRM
PNMN, QMMN , KD = DR,
PD = DQ y MN PQ
Demostremos que:
PKD DQR
PQ biseca MN
P
Q
R D K N
M 1
2 3
4
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66
EJEMPLO 4.
Solución:
PQR es equilátero, entonces, todos sus ángulos interiores miden 60° cada uno, la gráfica
muestra que
2 = 4. Si esto es a si, PK es la bisectriz del ángulo P. O sea: 2 = 4 = 30°. Como el
Q = 60°, luego, = 90°, porque la suma de los ángulos internos del triángulo PQD
suman 180°. Esto nos muestra que el triángulo PQD es rectángulo y además, es 30°, 60° y
90°.
Pero en un triángulo equilátero, la bisectriz también es mediana, esto muestra que el lado
2
PQDRQD .
En el punto R:
602
120120218060 .
Pero = = 90°….opuestos por el vértice, de donde el triángulo DKR es 30°,60° y 90°,
siendo el valor de y (hipotenusa) igual al doble del cateto que se opone al ángulo de 30°,
entonces: PQPQ
DRy 2
22
El lado y es igual a uno de los lados del triángulo.
EJERCICIOS
1. Construye:
a Un triángulo equilátero de 7cm de lado y determine la amplitud de sus
ángulos.
b Un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 10m y determine la
amplitud de los ángulos de la base.
c Un triángulo obtusángulo de 13cm, 7,5cm y 8cm de lado y determine la
amplitud de sus ángulos.
d Un triángulo cuyos catetos midan 7m y 4m y determine la amplitud de sus
ángulos e hipotenusa.
P
Q
R
K
D
60°
30°
30° 2 4 60°
30°
y30°
El PQR es equilátero.
Hallemos los valores de y de y
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67
2. Para cada figura, halle la información solicitada:
NDPQ, KRPQ , MK = MD
NQ = PR y RN PQ
Demuestre que:
PQ biseca NR
DNM MKR y QNM MPR
P
Q
R
D
K
N
M
329
y = ?
60°
65° 30°
= ?. = ?
P Q
R
D
1
2
3
4
QR = QD y PR = PD.
Demuestre que: QRP QPD
4x
23x
3x
P Q
R
R =?. Q =?. P =?
8,32cm r = ?
30°
DRPD, DRRQ ,
1 = 2 = x/2 y P = x
Demuestre que: DRP QRD
3 =? y 4 =?
3 4
P Q
R D 1 2
K
DQ//RK, DK//RQ, QD = RK
Demuestre que: QDK QRK
Q
R
D
K
1 2
3 4
El PQD es isósceles R y K son
los puntos medios de PQ y QD:
Demuestre que: PE = ED, RE =
EK y 3 = 4
P
Q
R
D
E
K
3 4
Identifique: Los triángulos
semejantes.
P
Q
R K
D
N M
S T E
El MQR es equilátero.
Hallemos los valores de y de k
M Q
R
60°
k30°
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mapb
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68
POLÍGONO
Figura geométrica que tiene varios lados.
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO
Un polígono es regular, si y sólo si todos sus lados son iguales (tienen la misma longitud)
K
K
K
K
K
K
En este polígono todos
los lados valen K
Ángulo exterior: 2, 4, 6 y 8
Ángulo interior: 1, 3, 5 y 7
Vértices, los puntos: P, K, M y Q
Lados, los segmentos: PK, KM, MQ y QP
Ángulo interior
Vértice Lado
Ángulo exterior
P
Q
3 K
1 2
4
M 6
7
8
5
El polígono PQRKMNDE es convexo, porque
está formado por líneas poligonales convexas.
Al unir cualesquiera de sus puntos, el
segmento de recta queda totalmente contenido
en la figura Como se puede observar, los segmentos de rectas
discontinuos, están totalmente en el interior del
polígono
P Q
R
K
E
D
N M
P
Q
R
K
D
N
M
El polígono PKRQMDN es cóncavo, porque está formado por líneas poligonales
cóncavas. Al unir cualesquiera de sus
puntos, el segmento de recta no queda
totalmente contenido en la figura Como se puede observar, los segmentos de
rectas discontinuos, no están totalmente en el
interior del polígono
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
69
69
PRINCIPALES CLASES DE POLÍGONOS REGULARES
Figura
Lados
Nombre
Diagonales
desde un
vértice
Total de
diagonales
Suma
ángulos
interiores
Valor de
un ángulo
interior
Valor de
un ángulo
exterior
3
Triángulo
equilátero
0
0
180°
60°
120°
4
Cuadrado
1
2
360°
90°
90°
5
Petntágono
2
5
540°
108°
72°
6
Hexágono
3
9
720°
120°
60°
7
Heptágono
4
14
900°
128,57°
51,42°
8
Octágono
5
20
1080°
135°
45°
9
Eneágono
6
27
1260°
140°
40°
10
Decágono
7
35
1440°
144°
36°
11
Undecágono
8
44
1620°
147,270°
32,72°
12
Dodecágono
9
54
1800°
150°
30°
15
Pentedecágono
12
90
2340°
156°
24°
20
Icoságono
17
170
3240°
162°
18°
Los demás polígonos reciben el nombre según el número de lados que poseen.
Ejemplo: Polígono de 23 lados, polígono de 50 lados, polígono de 100 lados, etc.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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70
70
DIAGONAL DE UN POLÍGONO
Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
Este polígono tiene 6 lados y como se puede observar desde el vértice P solo se puede trazar
3 diagonales. Si hace lo mismo desde cada vértice, se puede comprobar que solo es posible
trazar 3 diagonales.
Permite determinar el número de diagonales que se pueden trazar
desde un vértice.
. Total de diagonales que se pueden trazar en un polígono.
. Suma de los ángulos interiores de un polígono.
. Valor de un ángulo interior.
. Suma de los ángulos exteriores de un polígono.
. Valor de un ángulo exterior.
Estas expresiones son válidas únicamente para los polígonos regulares EJEMPLO
Hallemos el polígono cuya suma de los ángulos interiores vale 3240°. Además,
determinemos: Las diagonales que se pueden trazar desde un vértice, el valor de un ángulo
exterior, el valor de un ángulo interior y el número total de diagonales.
Solución:
El icoságono es el polígono de 20 lados
Diagonales desde un vértice:
Total de diagonales:
3.nd :exp resiónLa
polígonodelladosdeNúmerovérticeundesdeDiagonales nd .
2
3)n(nD
2)(n1802)2R(nSi
n
2)(n180
n
2)2R(ni
90. R4RSe
n
4Re
lados20180
3603240n360n18032402)(n1803240
:entonces2),(n1802)2R(n:Pero.3240 SS ii
173203 nd
1702
340
2
)17(20
2
)320(20
2
)3(
nnD
P Q
K
R N
M
En el polígono PQRKMN:
P, Q, R, K, M y N son vértices
P y R , P y K, P y M son vértices no
consecutivos
PR, PK y PM son diagonales, Para trazarlas
se puede tomar cualquier vértice como punto
de partida.
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71
71
Valor de un ángulo interior:
Valor de un ángulo exterior:
EJERCICIO
Complete el siguiente cuadro, haciendo uso de la información suministrada.
Polígono
Diagonales
desde un
vértice
Total de
diagonales
Suma
ángulos
interiores
Valor de
un ángulo
exterior
Valor de
un
ángulo
interior
1800°
50°
30
9
44
100°
CUADRILÁTEROS
Los siguientes polígonos son cuadriláteros:
¿Cuántos lados tiene cada polígono?. La respuesta define cuadriláteros…
16220
3240
20
)18(180
20
)220(180)2(180
n
ni
1820
360360
ne
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72
CLASES DE CUADRILÁTEROS
FIGURA
NOMBRE
CARACTERÍSTICAS
Paralelogramo
Sus lados opuestos son paralelos
K//R y P//Q
Rectángulo
Paralelogramo que tiene sus lados
opuestos paralelos e iguales dos a dos.
Además, sus ángulos interiores son
iguales y cada una vale 90°
P = Q =K = R = 90°
Cuadrado
Paralelogramo que tiene sus cuatro
lados y sus cuatro ángulos iguales.
Además, cada una vale 90°
Rombo
Tiene sus cuatro lados iguales y los
ángulos contiguos desiguales
PK = KR = RQ = QP
P K. Además, son consecutivos
Romboide
Tiene los lados y los ángulos
contiguos desiguales
PQ QR y P Q
Trapecio
Solo tiene un par de lados paralelos
P//Q y R no es paralelo K
Trapecio Rectángulo
Tiene dos ángulos rectos
PR//QK
P = Q = 90°
Trapecio Isósceles
Tiene los lados no paralelos iguales
K = R
Trapecio Escaleno
No es rectángulo ni isósceles
Trapezoide
No hay paralelismo de ninguna forma
P
Q
R K
P
Q
R K
P Q
R K
P
Q
R
K
P
Q
R
K
P
Q
R
K
P
Q
R K
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73
ELEMENTOS DE UN TRAPECIO
PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
1. Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos paralelos
PQ//MR PQ = MR
PM//QR PM = QR.
2. Todo paralelogramo tiene sus ángulos opuestos iguales
MPQ es opuesto al QRM MPQ = QRM
PMR es opuesto al PQR PMR = PQR
Además, la suma de ellos es 360°
MPQ + QRM + PMR + PQR = 360°.
3. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios
MPQ y PQR son consecutivos: MPQ + PQR = 180°.
4. Las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales(bisecan)
PR y QM son las diagonales:
MK = KQ MK + KQ = QM
PK = KR PK + KR = QR.
5. Los triángulos que forman las diagonales son congruentes dos a dos
PKM QKR y PKQ MKR.
En el trapecio PQRK:
PQ = base mayor. KR = base menor
KD = altura
PK = diagonal
P Q
R K
D
Altura
Base mayor
Base menor
P Q
R
K
M
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74
AUTOEVALUACIÓN NRO 3.
1. Dados los siguientes enunciados, escribe V(verdadero) y F(falso):
a) Los triángulos que tienen dos lados iguales son equiláteros .
b) Los triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual son conggruentes
.
c) El punto donde se cortan las alturas de un triángulo se llama ortocentro .
d) Los triángulos que tienen sus tres lados iguales no son congruentes .
e) Los triángulos rectángulos tienen un ángulo obtuso .
f) Las diagonales de todo paralelogramo se bisecan(se dividen mutuamente en
partes iguales) .
g) El triángulo equilátero es aquel que tiene sus lados desiguales .
h) El lado más largo de un triángulo rectángulo se llama cateto .
i) En triángulo se pueden trazar cuatro bisectrices .
j) En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores vale 170° .
k) Los polígonos regulares tienen sus lados iguales .
l) En todo triángulo equilátero, la altura correpondiente a cada lado es mediana,
bisectriz y mediatriz .
m) El polígono que desde un vértice se pueden trazar 7 diagonales sellama
dodecágono .
2. Escribe la lectura de los siguientes símbolos:
.
.
.
.
.
.
3. Dada la siguiente figura.
MN
HTDE
KS //
PQ
DSK //
AB FEORQK
Qm BA
PIOPQR CATONU
NE = Mediatriz
R = Mediana de MS
QT = Bisectriz del MQP
DS = Altura sobre MP
MQ = PQ
KR = MR = KM
P
Q
R
K
N
D
T
S
M
E
Identifique:
a) Los ángulos y las líneas congruentes.
b) Los triángulos según las medidas de su ángulos y sus lados.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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75
4.
a) Halle el polígono cuya suma de diagonales es 90.
b) Halle el valor del ángulo exterior e interior de un icoságono.
c) Halle el polígono que desde un vértice se pueden trazar nueve diagonales.
5. Para cada figura, halle la información exigida:
60°
30°
234
43,8
y = ? r = ?
P = ? Q = R = ?
P
2x
43x
3x
Q
R
= ? = ?
110°
50°
El triángulo PQR es equilátero.
Demuestre que al trazar las alturas correspondientes
a cada lado, se forman tres triángulos isósceles.
P Q
R RKPN, MQPN
PNQR.
PR = QN y KE = ME
Demuestre que:
PRENQE
PN biseca a QR
P
Q
R
M
K
N
E
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76
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UN NÚMERO DE PARTES IGUALES
Dividamos el segmento PQ en 9 partes iguales.
EJERCICIO
Divida cada segmento en el número de partes indicadas:
RAZÓN DE SEGMENTOS
Consideremos los siguientes segmentos:
La razón entre dos segmentos, se expresa por medio(a través) de una división indicada
9.....9
....9
sobrePQdecocientealequivaledivisiónCadaXdespejandoPQ
X
segmentodesumaXPQ
inversaRazónPQ
KDesPQyKDentrerazónLa
KD
PQ
u
u
KD
PQ
esKDyPQentreLarazón
uKDyuPQ
......4
7:.
7
4
7
4
:
74
KDaesPQLéase
uenteConKD
eAntecedentPQrazóntodayestadeElementos
KD
PQ
:
...sec
...)(.
Tracemos el segmento PQ
A partir de uno de los extremos de PQ,
tracemos un segmento oblicuo(PD)
Sobre PD, tomemos 9 divisiones de K
longitud
Unamos la última medida con el otro
extremo de PQ. Luego, tracemos
segmentos paralelos al primero y que
corten cada división
Denominemos X cada división que se
forma en PQ
P Q 1
2 3
4 5
6 7
8 9
K K
K K
K K
K K
K
X X X X X X X X X
D
P Q Dividir en 12 partes iguales
R S
RS = 20m. Dividir en 7 partes iguales
M
P
Dividir en 5
partes iguales
P Q
u u u u
K D
u u u u u u u
Las expresiones:
Indican lo mismo: La razón entre dos segmentos o elementos
KD
PQyPQPQKDPQ aes :,
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77
SEGMENTOS PROPORCIONALES
Dos o más segmentos son proporcionales si y solo si sus razones son iguales.
Comparando (1) y (2):
. Esta es una proporción o iguladad entre dos razones.
. Los elementos de esta (y toda) proporción son:
. Lésae: PQ es QR como MN es NK.
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
PROPIEDADA FUNDAMENTAL: En toda proporción, el producto de extremos es igual al producto
de medios.
…..Multiplicando en cruz.
OTRAS PROPIEDADES:
. Enúnciela…
. Enúnciela…
)2.....(2
1
2
1
16
8).1.....(
2
1
2
1
8
4
NK
MN
NK
MN
QR
PQ
QR
PQ
NK
MN
QR
PQ
NK
MN
QR
PQ
Medios
Extremos
uentesCon
esAntecedent
MNyQR
NKyPQ
NKyQR
MNyPQ
sec
NK
MN
QR
PQ
MNQRNKPQNK
MN
QR
PQ
NK
MN
QR
PQ
NKQR
MNPQ
NK
MN
QR
PQSí
NK
MN
QR
PQ
NKQR
MNPQ
NK
MN
QR
PQSí
NK
NKMN
QR
QRPQ
NK
MN
QR
PQSí
NK
NKMN
QR
QRPQ
NK
MN
QR
PQSí
P Q
4
R
8
K M N
16 8
Las expresiones:
Indican lo mismo: La proporción entre dos razones.
NK
MN
KR
PQyNKNKaesaes MNKRPQMNcomoKRPQ ::::,
Suma de antecedentes y consecuentes es
igual a cada antecedente y consecuente.
Resta de antecedentes y consecuentes es
igual a cada antecedente y consecuente.
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78
EJEMPLO 1.
Dada la proporción , hallemos los valores de
Solución:
87
56
7
414
4
714
4
43
4
3
14
yyy
yx
y
x
yx
.681414 yx
EJEMPLO 2.
En la proporción , determinemos los valores de
Solución:
123
36
7
49
4
39
4
47
4
7
9
yyy
yx
y
x
yx
.211299 yx
EJEMPLO 3.
Dada la proporción , hallemos los valores de
EJEMPLO 4.
4
3
y
x14., yxSiyx
4
7
y
x9., yxSiyx
115
kt 8., ktSikt
21
21
21
21
5
22
5
:Re.588
22
5
16
58
11516
8
115115115
8
:
211
211
2
5
k
tspuestatk
tktktktkt
kt
Solución
kynHallemm
dondeDeknmknmknmknm
knm
Solución
kynmdevaloresloshallemosknmSi
:23
96
23
424
423
24
:127423
24
127412741274
1274
.
23
44
:
,,24.
Para cada ejemplo, identifique la
propiedad aplicada.
Para cada ejemplo, identifique la
propiedad aplicada.
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79
EJEMPLO 5.
Andres Felipe reparte 200 marañones entre sus padres, en la proporción de 2 a 6.
¿Cuántos marañones le corresponde a cada uno?
Solución:
x Marañones para la madre. y Marañones para el padre
200yx Marañones a repartir.
Como la proporción es de 2 a 6, entonces:
150
8
1200
8
)6(200
6
8200
6
62
6
2y
yy
yx
y
x
50 150200200 yx . Respuestas:
padreelparamarañones
madrelaparamarañones
150
50 .
EJERCICIOS
1. Identifique las parejas de razones que forman proporción.
2. Para cada proporción, halle el valor de las variables(letras) según la información
suministrada.
3. En un almacén los artículos de tipo A y los de tipo B están en relación de 4:3. Si hay
448 artículos, ¿cuántos son de cada tipo?
4. Las edades de dos hermanos están en relación de 7 a 4. Si las edades suman 44años,
¿cuántos años tiene cada uno?
5. El dinero que poseen dos amigos están en relación de 3 a 2. Si uno de los amigos tiene
$400 más que el otro, ¿cuánto dinero posee cada uno?
CUARTA PROPORCIONAL
La cuarta proporcional de tres segmentos RyQP, es el segmento X , que hace que se cumpla la
propiedad fundamental de la proporciones. Esto es: X
R
Q
P
EJEMPLO
Hallemos la cuarta proporcional de los segmentos cuya longitudes miden: 10, 12 y 8.
Solución:
Sea X la cuarta proporcional de los segmentos 10, 12 y 8, entonces:
539
5
48
10
96
10
)8(128
12
10X
X
.8,12
8,0,
8
5,0.
5
3
20
,3
4.
5
25,
2
4.
2
1,
8
4.
20
16,
5
4.
5
4,
2
3
.40.5810
.10.43
.1.128
.14.2
7
myxSimyx
dnmSinm
c
kmSikm
byxSiy
xa
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80
80
TERCERA PROPORCIONAL La tercera proporcional de dos segmentos QyP es el segmento X , que hace que se cumpla la
propiedad fundamental de la proporciones. Esto es: X
Q
Q
P
EJEMPLO
Hallemos la tercera proporcional de los segmentos cuya longitudes miden: 4 y 8.
Solución:
Sea X la tercera proporcional de los segmentos 4 y 8, entonces:
164
64
4
)8(88
8
4X
X
MEDIA PROPORCIONAL
La media proporcional de dos segmentos QyP es el segmento X , que hace que se cumpla la
propiedad fundamental de la proporciones. Esto es: QPXQPXQ
X
X
P
2
EJEMPLO
Hallemos la media proporcional de los segmentos cuya longitudes miden: 5 y 9.
Solución:
Sea X la media proporcional de los segmentos 5 y 9, entonces:
53 45959
5 2XX
X
X
164
64
4
)8(8
9
5X
X
X
SERIE DE RAZONES IGUALES
Si Y
X
K
R
Q
P . Entonces:
Y
X
K
R
Q
P
YKQ
XRP
…La suma de los antecedentes y todos los
consecuentes, es igual a cada antecedente y consecuente.
EJEMPLO
Si 12
9
8
6
4
3 es una serie de razones iguales, entonces:
12
9
8
6
4
3
24
18
12
9
8
6
4
3
1284
963
Si combinamos cada razón con la suma de antecedentes y consecuentes, en todos los casos se
cumple la propiedad fundamental de la proporciones. Compruébelo…
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81
EJERCICIOS
1. Para cada terna de segmentos, halle la cuarta proporcional:
.1616,4.6,7.7,05,0;86,0.14,33;42,1.95,234
52 yyyyy
2. Para cada par de segmentos, halle la tercera proporcional:
.1664.5.5,086,0.14,32,4.9575
31 yyyyy
3. Para cada par de segmentos, halle la media proporcional:
.323.,4.7,086,0.14,32,4.10875
31 yyyyy
TEOREMA 24
Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos transversales, determinarán
segmentos iguales en la otra transversal.
Demostración:
Por los puntos A, B y C tracemos segmentos paralelos a S| y que corten la paralela siguiente:
AM , BN y CK son paralelas a S|
En los ABM, BCN y CKD:
AB = BC = CD…..por hipótesis
B = C = D….Por ser ángulos correspondientes.
A = CBN = DCK…
ABM = BCN = CKD….caso ALA
AM = BN = CK…(1)…Por ser lados homólogos de triángulos iguales.
Pero:
AM = A|B
|….Por ser lados opuestos de paralelogramos.
BN = B|C
|….
CK = C|D
|….
Sustituyendo estos valores en (1): A
|B
| = B
|C
| = C
|D
|…..demostrado.
A| , léase: A prima
Hipótesis:
AA|// BB|// CC|//DD|
S y S| son transversales
AB = BC = CD
Tesis: A|B| = B|C| = C|D|
M
N
K
S S|
A
C
D
A|
B|
C|
D|
B
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82
TEOREMA 25. TEOREMA DE TALES
Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes
proporcionales.
Demostración:
Dividamos los segmentos AB y BD en una unidad cualesquiera, digamos u.
Supongamos que AB contiene a u m veces, entonces:
umAB …(1)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).
Supongamos que BD contiene a u n veces, entonces:
unBD …(2)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).
Estableciendo la razón entre (1) y (2):
).3....(n
m
BD
AB
un
um
BD
AB
De igual forma: ||| umBA …(4)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).
||| unDB …(5)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).
Estableciendo la razón entre (4) y (5):
).6....(||
||
|
|
||
||
n
m
DB
BA
un
um
DB
BA
Comparando (3) y (6):
......||
||
demostradoDB
BA
BD
AB
u|
Hipótesis:
AA|// BB
|// DD
|
S y S| son transversales
AB y BD segmentos correspondientes de S
A|B
| y B
|D
| segmentos correspondientes de S
|
Tesis:
||
||
DB
BA
BD
AB
u u|
A
B
D
A|
B|
D|
S S|
u|
u|
u|
u|
u
u
u
u
u
u
u|
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83
OBSERVACIÓN: El teorema de Tales se cumple o verifica para cualquier número de
paralelas y para cualquier posición de las transversales.
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, hallemos el valor de los lados desconocidos:
TEOREMA 26
Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados, en segmentos
proporcionales.
||||||
||||
||
MD
DM
DB
BD
BA
AB
ó
MD
DM
DB
BA
BD
AB
A
B
D
A|
B|
D|
M M|
4 1,9
4,8
X = ?
L1//L2//L3//L4. S y T transversales
S
L1
T
L2 L3 L4
2,4
Y = ?
28,4
)4,2(44,2
4
8,4
28,24
)9,1(8.4
9,14
8,4
:4,2
9,14
8,4
:
YY
XX
dondeDeY
X
gráficalaDe
P Q
R
K M
D F
Hipótesis:
En el PQR, KM//PQ
Tesis:
MQ
RM
PK
RK
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84
84
Demostración:
Por R tracemos DF//KM, entonces:
KM//PQ…(1)…por hipótesis
DF//KM…(2)…por construcción
Comparando (1) y (2):
PQ//KM//DF:
….Teorema de tales
COROLARIO
El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado
e igual a su mitad.
Demostración:
Por K tracemos KD//PR, formándose el DKQ.
En los MKR y DKQ:
Q = 2…..por correspondientes
R = 3…..por correspondientes
RK = KQ…..por ser K punto medio de QR
Entonces:
MKR = DKQ….por el caso ALA (ángulo lado ángulo)
Pero:
MK = DQ…(1)….Lados correspondientes de triángulos iguales.
MK = PD…(2)…. Lados opuestos de paralelogramos.
MQ
RM
PK
RK
KQRKRQdemediopuntoKserporKQ
RK
MPRMPRdemediopuntoMserporMP
RM
:)..2...(1
:)..1...(1
demostradoPQMK
dadtransitiviporKQ
RK
MP
RM
yComparando
.....//
....
:)2()1(
Hipótesis:
En el PQR, M y K son los
puntos medios de PR y QR
Tesis:
MK//PQ
2
PQMK
P Q
R
M K
D
2
3
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85
85
Sumando miembro a miembro (1) y (2):
MK +MK = PD + DQ
2MK = PD + DQ
TEOREMA 27
PROPIEDAD DE LA BISECTTRIZ DE UN TRIÁNGULO: La bisectriz de un ángulo interior de un
triángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.
Demostración:
Por Q tracemos QD//RK y prolonguemos PR hasta que corte QD en D, formándose el
QRD.
demostradoPQ
MK
endosustituyen
segmentosdesumaPQDQPDPero
DQPDMK
......2
:)3()4(
)...4...(:
)3....(2
1 2
3
P Q
R
K
D Hipótesis:
En el PQR:
RK es la bisectriz del R
PK y KQ son los segmentos
determinados por RK sobre PQ
Tesis:
RQ
PR
KQ
PK
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86
86
En el PQD:
EJEMPLO
Los lados de un triángulo miden: 5, 10 y 15. Hallemos la longitud de los segmentos
determinados por la bisectriz sobre el lado mayor.
Solución:
Consideremos el PQR y la bisectriz sobre el lado(mayor) que mide 15.
RQ
PR
KQ
PK
enemplazando
RQRD
entoncesisóscelesesQRD
D
yComparando
ernosAlternos
Pero
D
yComparando
PRQdeltrizbiRKserpor
ientescorrespondporD
Pero
TalesTQDRKserporRD
PR
KQ
PK
:)1()6(Re
)6....(
:,
3
:)5()4(
int)....5.....(32
:
)4.....(2
:)3()2(
sec)....3......(21
)....2......(1
:
).(//)...1.......(
10515
::
:
.515
155
5
1515
5
51015
.....
:
KQPQPKPQKQPK
doSustituyenRQ
RQPR
KQ
PQPQKQPKPero
RQ
RQPR
KQ
KQPK
RQ
PR
KQ
PK
Pero
KQKQKQ
esproporcionlasdepropiedad
anteriorteoremaelPor
5
P Q
R
K
10
15
De la figura:
PR = 10
PQ = 15
QR = 5
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87
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados
proporcionales.
LADOS HOMÓLOGOS: Son los lados que se oponen a ángulos iguales.
RAZÓN DE SEMEJANZA: Es la razón de los lados homólogos.
CARACTERES DE LA SEMEJANZA
TEOREMA 28
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA EXISTENCIA DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES(T.F.E..S): Toda paralela
a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.
||||||
||||||
||||||
:
27
14
4
8
5
10
,:
RQPtriánguloelconsemejantePQRTriánguloLéaseRQPPQR
QP
PQ
RQ
QR
RP
PR
RRyQQPPRQPyPQRlosEn
osósonQPyPQRR
osósonRPyPRQQ
osósonRQyQRPP
loghom
loghom
loghom
|||
|||
|||
|||||| QP
PQ
RQ
QR
RP
PR
?...:2
?...:2
...:1
||||||
||||||
ABCPQRABCRQPyRQPPQRTRANSITIVO
PQRRQPRQPPQRRECÍPROCO
mismoconsigosemejanteestriánguloTodoPQRPQRIDÉNTICO
P Q
R
8
14
10
P|
Q|
R|
4
7
5
Hipótesis:
En el PQR: MK //PQ
Tesis:
PQR MKR P
Q
R
M K
D
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
88
88
Demostración:
Por K tracemos KD//PR, formándose el triángulo KQD.
En los PQR y MKR:
R = R…..común
P = M….correspondientes
Q = K….correspondientes
Pero:
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
CASO 1. AA: Dos ángulos respectivamente iguales.
RQ
RK
PQ
MK
PR
RM
enemplazando
ramosparaledeopuestosladosPDMK
Pero
dadtransitiviRQ
RK
PQ
PD
PR
RM
yComparando
PRDKserporRQ
RK
PQ
PD
También
PQMKserporRQ
RK
PR
RM
:)3()4(Re
log)....4....(
:
)....3....(
:)2()1(
//)....2.......(
:
//)....1.......(
||||||
|||
|||||
:
:
QP
PQ
RQ
QR
RP
PRRQPPQRLuego
RRyPPRQPyPQRlosEn
Se ha demostrado que:
R = R
P = M
Q = K
PQR MKR
P Q
R
P|
Q|
R|
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
89
89
CASO 2: Si tienen un ángulo igual y los lados adyacentes al ángulo proporcionales.
En los
. Son lados adyacentes respectivamente
. Entiéndase PR proporcional a P|R
|
CASO 3: Si tienen sus tres lados proporcionales.
En los
TEOREMA 29. CASO 1
Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguales.
:||| RQPyPQR ||||,. QRyRPRQyPRRR
|||| QRRQyRPPR
||||||
||| :QP
PQ
RQ
QR
RP
PRRQPPQRLuego
:||| RQPyPQR |||||| , QRRQyQPPQRPPR
||||||
||| :QP
PQ
RQ
QR
RP
PRRQPPQRLuego
P Q
R
P|
Q|
R|
P Q
R
P|
Q|
R|
P|
Q|
R|
P Q
R
M K
Hipótesis: Tesis:
R = R| PQR P
|Q
|R
|
P = P|
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
90
90
Demostración:
En el PQR tracemos MR = P|R
| y MK//PQ, formándose el MKR.
En los MKR y P|Q
|R
|:
R = R|…..por hipótesis
MR = P|R
|…por construcción
P = M……(1)….por correspondientes
P = P|…….(2)….por hipótesis
Comparando (1) y (2):
M = P|, entonces:
MKR = P|Q
|R
|….(3)….caso ALA(ángulo lado ángulo)
Pero:
PQR MKR…..(4)…..T.F.E..S.
Sustituyendo (3) en (4): PQR P|Q
|R
|…..demostrado
TEOREMA 30. CASO 2
Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo
comprendido.
Demostración:
En el PQR tracemos MR = P|R
| y MK//PQ, formándose el MKR.
En los MKR y P|Q
|R
|:
R = R|…..por hipótesis
MR = P|R
|…(1)….por construcción
En los PQR y MKR:
)3....(
:)2()1(Re
//)...2....(
|| RK
RQ
RP
PR
enemplazando
PQMKserporRK
RQ
MR
PR
Hipótesis: Tesis:
R = R| PQR P
|Q
|R
|
||||
RQ
QR
RP
PR
P Q
R
M K P
| Q
|
R|
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
91
91
TEOREMA 31. CASO 3
Dos triángulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus tres lados.
Demostración:
En el PQR, tracemos MR = P|R
| y MK//PQ, formándose el MKR.
PQR MKR….(1)…T.F.E. .S.
demostradoRQPPQR
endoSustituyen
SEFTMKRPQR
Pero
LALcasoRQPMKR
QRRKQRRQ
RQQRRK
QR
RQ
RK
RQ
yComparando
hipótesisporQR
RQ
RP
PR
Pero
.....
:)6()5(
.....).....6.....(
:
).....5.....(
:)4()3(
)....4.....(
:
|||
|||
||||||
||
||||
hipótesisporQP
PQ
RQ
QR
RP
PR
Pero
MK
PQ
RK
RQ
RP
PR
endoSustituyen
ónconstrucciporRPMR
Pero
porMK
PQ
RK
RQ
MR
PR
)...5...(
:
)4...(
:)2()3(
)...3....(
:
)1()....2....(
||||||
||
||
Hipótesis Tesis:
PQR P|Q
|R
|
||||||
QP
PQ
RQ
QR
RP
PR
P Q
R
M K
P|
Q|
R|
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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92
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CASO 1: CUANDO TIENEN UN ÁNGULO AGUDO IGUAL
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, demostremos que los triángulos rectángulos que se forman son
semejantes y realicemos el cálculo exigido:
demostradoRQPPQR
endoSustituyen
LLLcasoRQPMKR
Luego
MKQPcruzenandomultipplicMKPQQPPQQP
PQ
MK
PQ
razóncuartalaysegundalaTomando
RKRQcruzenandomultipplicRKQRRQQRRQ
QR
RK
QR
razónterceralayprimeralaTomando
QP
PQ
RQ
QR
MK
PQ
RK
QR
yComparando
.....
:)1()6(
)...6....(
:
....
:
....
:
:)5()4(
|||
|||
||||
||
||||
||
||||
||||||
|||
|
|
:loghom
QR
RQ
RP
PR
QP
PQ
osóladoslosentrealidadproporcionlandoEstablecie
RQPPQRRR
PP
P Q
R
P| Q
|
R|
10m
P
Q
R
M
K
5m 7m
PM PR y QR PR
QK = ?
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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93
93
Solución:
En la figura:
P = 90°, por ser PM PR. R = 90°, por ser QR PR. Pero: PKM = QKR , por
opuestos por el vértice. Luego: PKM QKR
Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos:
mm
mmKQ
KQ
m
KR
PK
m
m
KQ
MK
KR
PK
QR
PM14
5
7107
10
5
CASO 2: LOS CATETOS PROPORCIONALES
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, demostremos que los triángulos rectángulos encuestión son
semejantes y establezcamos la proporcionalidad entre los lados homólogos.
Solución:
En la figura:
Q = Q = 90°….común para los PQR y MQK.
PQ es proporcional a MQ, por estar contenido en PQ. De igual forma: QR es proporcional
a QK
Luego: PQR MQK
Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos:
QK
QR
MK
PR
MQ
PQ
||||||
|||
||||
|
:loghom
90
QR
RQ
RP
PR
QP
PQ
osóladoslosentrealidadproporcionlandoEstablecie
RQPPQRRPRyQPPQ
PP
P
P Q
R
P| Q
|
R|
P Q
R
M
K
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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94
CASO 3: LA HIPOTENUSA Y UN CATETO PROPORCIONALES
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, demostremos que los triángulos rectángulos son semejantes y
establezcamos la proporcionalidad entre los lados homólogos.
Solución:
En la figura:
P = P = 90°….común para los QPR y MQK.
PQ es proporcional a MQ, por estar contenido en PQ. De igual forma: QR es proporcional
a QK
Luego: QPR MQK
Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos:
QK
QR
MQ
PQ
MK
PR
||||||
|||
||||||||
|
:loghom
90
RP
PR
QP
PQ
RQ
QR
osóladoslosentrealidadproporcionlandoEstablecie
RQPPQRRPPRyRQQRóQPPQyRQQR
PP
P Q
R
P| Q
|
R|
P
R
Q M
K
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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95
PROPORCIONALIDAD DE LAS ALTURAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes son proporcionales a sus lados
Consideremos los siguientes triángulos:
.
1h Altura correspondiente al . 2h Altura correspondiente al .
Las alturas 21 hyh , dividen cada triángulo en dos triángulos rectángulo semejantes entre sí, y
semejantes a los triángulos rectángulos del otro triángulo. Estableciendo la proporcionalidad
entre los lados homólogos:
2
1
|||||| h
h
QP
PQ
RQ
QR
RP
PR
EJEMPLO 1.
Dados los siguientes triángulos semejantes y sus respectivas alturas, hallemos el valor del
dato pedido:
La semejanza de triángulos, es muy útil para determinar las dimensiones de un elemento grande a
partir de otro más pequeño, siempre y cuando, al unir los vértices del elemento pequeño(triángulo)
con los puntos extremos (muestran lo que se quiere medir) del elemento grande, se formen dos
triángulos semejantes entre sí.
cmcm
cmcmh
h
cm
cm
cm
gráficalaDe
Solución
36,310
6,566,5
6
10
:
2
2
h1
P Q
R
h2
P|
Q|
R|
10cm
5,6 h2 = ?
6cm
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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96
EJEMPLO 2. APLICACIÓN
Un vagabundo que desea medir la distancia de una estrella a la tierra, se ubica en un punto extremo
del planeta. Hace coincidir un triángulo rectángulo de dimensiones 5cm, 12cm y 13cm con la estrella
y el centro de la tierra. Grafique la situación presentada.
Halle la distancia aproximada de la estrella a la tierra.
Ayuda: Diámetro de la tierra = 12756Km.
SOLUCIÓN
15307,2km
00005,0
76535,0
00005,0
00012,0637800012,0
6378
00005,0
63782
12756.00012,012.00005,05:.
125
km
km
kmkmh
h
km
km
km
kmkm
rkmcmkmcmPeroh
cm
r
cm
La estrella se encuentra aproximadamente a 15307,2km del centro de la tierra.
Observando el triángulo rectángulo que se
forma al unir la estrella con el centro de la
tierra y el punto donde está ubicado el
vagabundo, y el triángulo rectángulo utilizado
por éste para mirar la estrella, notamos que
tienen dos ángulos iguales, siendo los mismos
semejantes, entonces estableciendo la
proporcionalidad entre los lados homólogos:
h
13cm
Diámetro =
12756Km
12cm
5cm
Gráfic
a
Posición del
vagabundo
r
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
97
97
EJERCICIO
Para cada figura, realice la demostración y el cálculo exigido:
PROBLEMAS
1. Para determinar la altura de un árbol, un hombre de 1,9m utiliza un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 30cm y 21cm. El hombre se ubica a 40m del pie del árbol, y hace
coincidir la hipotenusa y un cateto con la copa y el tronco del árbol.
Grafique la situación presentada y halle la altura aproximada del árbol.
2. Para determinar la profundidad de un lago, un hombre hace uso de un triángulo rectángulo de
dimensiones 37cm, 30cm y 21cm. El hombre se ubica a 70m de la orilla del lago en el punto
más profundo, y hace coincidir un cateto con la superficie y el fondo del lago.
Grafique la situación presentada y halle la profundidad del lago.
P Q
K
R
M
D
PQ // DK y MD // QR.
Demuestre que PMD DKR y
establezca la proporcionalidad entre
los lado homólogos
QR // KM.
Demuestre que PQR KPM
y esablezca la proporcionalidad
entre los lados homólogos
P
K
Q
R
M
PR // MK. MQ = 50cm. KQ = 21cm
MP = 23cm. KR = ?
P Q
R
M
K
QR // NK. PN = ?
P Q
R
N
K
4cm
20cm
16cm
P
Q
K
N
PR // QN. QN = 12cm. PR = 5cm
PK = 7cm.
Demuestre que KQN PKR
Halle el valor de KN
R
KQ // NR. KR = 30cm. RP = 23cm
NR = 10cm. KQ = ?
P
Q
N
K R
QR PR y PK PR
QR = 30cm. KP = 11cm. NP = 14cm.
RN = ?
P
Q
N
R
K
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
98
98
AUTOEVALUACIÓN NRO 4
1. Escribe la lectura de los siguientes símbolos:
.
.
.
.
.
2. Relacione cada figura con su nombre:
a) Punto geométrico. i) Ángulo llano.
b) Triángulo escaleno. j) Rectas paralelas.
c) Ángulo nulo. k) Triángulo equilátero.
d) Ángulo agudo. l) Ángulo recto.
e) Línea curva. m) Rectas perpendiculares.
f) Segmento. n) Semirrecta.
g) Triángulo rectángulo. o) Triángulo isóscele.
h) Línea cerrada mixta. p) Línea recta horizontal.
PQ MKRPQR
BA KS //
DKRMKN
QSM //
PQRABC
Qm
Q
K
P
M
B
R
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
99
99
3.
a) Halle la cuarta proporcional de los números:
b) Halle la tercera proporcional de los números:
c) Halle la media prporcional de los números:
d) Verifique si la siguiente pareja de razones forman una proprción:
e) Los lados de un triángulo miden: 8m, 14m y 20m. Halle los segmentos
determinados por la bisectriz de cada ángulo sobre su lado opuesto
f) Los lados de un triángulo miden: 10cm, 7cm y 12cm. Halle la altura
correspondiente a cada lado.
4. Para cada figura, realice el cálculo exigido:
PROBLEMA
Desde un punto situado a 50m del pie de una montaña, un observador a línea los bordes de
una escuadra de dimensiones 30cm, 17cm y 35cm, con la cima de la montaña. Halle la
altura aproximada de la montaña.
71,214,3;7,0 y
9421 y
.2866,0.41,173,1.222 yyy
21
31
1
5,
4
3
L1
L4
L2
L3
5
4,6
9,2
4
X = ?
Y = ?
L1//L2//L3//L4
L1
L4
L2
L3
6,5 7
7
7
X = ?
Y = ?
L1//L2//L3//L4
P Q
K S
R
8,76
RK = PK. RS = SQ
PQ = ?
M
K
R
E
N
KM//RN. Demuestre que: KMEREN
D
P Q 30,8cm K
N
12,6cm
19,9m
PKNPQD. QD = ?
P
Q
K
R
N
PQ//NR
PK = 20cm. KN = 5cm.
QK = 10cm. KR = ?
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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100
100
PROYECCIÓN DE UNA FIGURA SOBRE UNA LÍNEA DE REFERENCIA
CLAVE: Se trazan perpendiculares desde los puntos o vértices de la figura a la recta de
referencia, finalmente, se unen los puntos proyectados.
Para cada triángulo, proyectemos dos de sus lados sobre el tercero. En este caso, sobre los
lados PQ y MN, respectivamente.
Para cada triángulo, realice la proyección sobre el lado indicado.
.?.Pr.?.Pr.?.Pr.?.Pr
:......Pr
.
||
|
ABoyecNGoyecRQoyecDMoyec
KaigualesKdeTFsobreproyecciónléaseKKoyec
TFsobreKdeproyecciónK
TFTFTFTF
TF
..Pr..Pr
..Pr..Pr
||
||
NKKNoyecPRPRoyec
MKMKoyecQRQRoyec
MNPQ
MNPQ
K
G|
D
M
R
Q N
A
G
B
D| K| M|
R| Q| N| A|, B|
Línea proyectante
T F
K
M N K| P
R
Q R|
G
M Q
B
Sobre MQ
Sobre FG R
F K
D
Sobre KD
N
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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101
TEOREMA 32
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenussa, se verifica
que:
1. Los triángulos rectángulos resultantes son semejantes entre sí y semejantes al triángulo
dado.
2. La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en
que se divide ésta.
3. La altura correspondiente a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los
catetos.
4. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella
5. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de los segmentos que la altura
determina en la hipotenusa.
Tesis:
1. . 4. KQ
PQ
PQ
QRy
KR
PR
PR
QR
2. KQ
PK
PK
RK . 5.
KQ
KR
PQ
PR
2
2
)(
)(
3. PK
PQ
PR
RQ .
DEMOSTRACIONES:
1. En los .
. Entonces: ….(1)…tener un ángulo agudo igual.
En los .
. Entoces: ….(2)…tener un ángulo agudo igual.
Comparando (1) y (2): ….demostrado….transitividad.
2. Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos de los triángulos
:
KQ
PK
PK
RK ….demostrado.
Hipótesis
En el PQR, PK es la altura correspondiente
a la hipotenusa
K
R
Q P
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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102
3. Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos de los triángulos
:
PK
PQ
PR
QR ….demostrado.
4. Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos de los triángulos
:
KQ
PQ
PQ
QRy
KR
PR
PR
QR ….demostrado.
5. De la demostración 4:
)....(2
aKRQRPRKR
PR
PR
QR . Multiplicando en cruz:
)....(2
bKQQRPQKQ
PQ
PQ
QR . Multiplicando en cruz:
Dividiendo miembro a miembro (a) y (b):
KQ
KR
PQ
PR
KQQR
KRQR
PQ
PR
2
2
2
2
…..demostrado….Simplificando.
TEOREMA 33. TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma
de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Demostración:
En el triángulo rectángulo, tracemos la altura correspondiente a la hipotenusa,
formándose los triángulos rectángulos . Como cada cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella, por el teorema anterior:
)2.....().1.....(22
HKHK
QKQK
rqq
q
rrh
h
h
r
Sumando miembro a miembro:
HKQK rrqh 22
.).....3....(22 rdofactorizanHKQKrqh
Pero: )4....(HKQKr
Hipótesis:
El HQR es rectángulo en R,
HQ = r
HR = q
QR = h
Tesis:
222 hqr
K
Q
R
h
q H
r
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
103
103
Sustituyendo (4) en (3):
demostradoqhrrrqh .....22222 . De donde: 22 qhr
Despejando los catetos:
222 qrh . De donde: 22 qrh .
222 hrq . De donde: 22 hrq .
EJEMPLO 1.
Dado el siguiente triángulo, hallemos el valor del lado desconocido:
Entonces, aplicando Pitágoras: 222 )20()40( x
222 )20()40( x ….Despejando 2x . De donde: 22 )20()40( x ….Despejando x .
64,3412004001600 x ….Desarrollando potencias, restando y extrayendo raíz.
EJEMPLO 2.
Hallemos la llongitud de los lados del siguiente triángulo:
Entonces, aplicando Pitágoras: 222 )3()1()2( xxx
96124 222 xxxxx …..Desarrollando potencias.
096124 222 xxxxx …..Transponiendo términos e igualando a cero, ha nos
resultado una ecuación de segundo grado.
01082 2 xx …..Reduciendo términos semejantes.
0542 xx ….Dividiendo toda la expresión por 2, porque es posible.
0)1)(5( xx ….Resolviendo la ecuación por factorización.
101505 2211 xxyxx . Por ser una ecuación de segundo
grado, obtienen dos valores. Como ninguna longitud puede ser negativa, el valor de x que
nos sirve es el positivo, o sea, 5.
Entonces: .353.151.)5(22 8610 xxx
Los lados de este triángulo rectángulo miden: 6, 8 y 10.
Solución:
El triángulo que muestra la figura es rectángulo, y
en este caso se desconoce el valor de un cateto. 20 40
?x
Ojooo
Siempre se parte de
la hipotenusa
Solución:
Como se puede observar, las longitudes de
los lados de este triángulo vienen expresadas
por la variable x .
3x
1x
x2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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104
104
EJEMPLO 3.
Demostremos que la diagonal de un ortoedro de dimensiones hba , viene dada por la
expresión: 2222 hbad .
Demostración:
En el triángulo rectángulo :
r Hipotenusa. bya Catetos. Aplicando Pitágoras:
22222 barbar
Ahora, en el triángulo rectángulo :
d Hipotenusa. hyr Catetos. Aplicando Pitágoras:
222 hrd . Sustituyendo 2r en esta ecuación:
222 hbad 2222 hbad …..demostrado
EJECICIO
Para cada figura, halle el valor de los lados desconocido.
r
a
b
h
22 bar
222 hbad
d
Arista
h
b
Q
P R
K
En el ortoedro de la figura, al trazar la
diagonal d , se debe trazar la diagonal r
de la base, porque para determinar la
longitud diagonal, primero hay que
calcular la diagonal de la base.
Las caras de un ortoedro son rectángulos
5cm
60°
n = ? 25m
k = ?
8x 1
4x
2x
Halle el valor de cada lado
8cm
r = ?
r = ?
30° n = ?
17
m
d = ? 10cm
30cm
40cm
d =?
En todo ortoedro o en un cubo, la diagonal es igual a la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de las aristas
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
105
105
TEOREMA 34. GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de uno de estos lados por la
proyección del otro sobre él.
En el triángulo rectángulo: En el triángulo rectángulo:
.)...1.....(222 Pitágorasporhxb .)...2.....(222 Pitágorasporyqh
Pero: )3....(yrxryx ….Suma y sustracción de segmentos.
Sustituyendo (2) y (3) en (1): 2222 )( yqyrb .
22222 2 yqyryrb ….Desarrollando potencias.
ry2qrb 222 ….demostrado….reducciendo términos semejantes.
Este teorema es clave, para deducir el teorema o ley del COSENO
Hipótesis:
En el BQR, B es agudo
Proyec.BQ BR = BK = y
Tesis:
ryrqb 2222
q
B Q
h
K
b
x
R
y
r
4cm
r = ?
d = ?
8cm 6cm
10m
d = ?
De la figura:
x = 11, y = 6. h = ?
r = 10, p = 6. x = ?
r = 15, q = 10. y = ?
p = 4, q = 6, x = 4,5. y = ?
q
p h
Q
P R
r
x
y
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106
TEOREMA 35. CUADRADO DEL LADO OPUESTO A UN ÁNGULO OBTUSO EN UN TRIÁNGULO
En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados, más el doble producto de uno de estos por la
proyección del otro sobre él.
En el rectángulo: En el rectángulo: 222 )( hxrq ….(1)….Pitágoras. 222 xbh ….(2)….Pitágoras.
Sustituyendo (2) en (1): 2222 )( xbxrq
22222 2 xbxrxrq …..Desarrollando potencias.
rxbrq 2222 …..demostrado.
CÁLCULO DE LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS
En el :
r
brqyryrqb
22
222222
…..(1)…..Despejando y .
En el rectángulo: 222 yqh …..(2)…..Pitágoras.
Sustituyendo (1) en (2):
r
brqq
r
brqq
r
brqqh
222
2222222
22222 ….Factorizando.
r
brqqr
r
brqqrh
2
2
2
2 2222222
…..Sumando racionales.
r
rqrqb
r
brqrqh
2
)2(
2
)2( 2222222
…Agrupando los trinomios cuadrados
perfectos.
Hipótesis:
En el BQR, BQR es obtuso
Proyec.BQ b = x
Tesis:
rxrbq 2222 Q
B
h
K
b
x
R
q
r
En el BQR, h es la altura
correspondiente al lado r. La altura
h divide al BQR en dos
triángulos rectángulos: BKR
y QKR
q
B Q
h
K
b
x
R
y
r
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107
r
rqb
r
brqh
2
)(
2
)( 22222
……Factorizando los trinomios.
2
2
4
))()()((
r
rqbrqbbrqbrqh
…….(3)……..Factorizando la diferencia de
cuadrados perfectos.
Pero:
prqb 2 ….(4)…..Semiperímetro. bprq 2 ….(5). rpqb 2 ….(6)
qprb 2 ….(7)
Sustituyendo (4), (5), (6) y (7) en (3):
22
2
4
)22)(22)(22(2
4
)2)(2)(2(2
r
qprpbpp
r
qqprrpbbpph
2
2
4
)(2)(2)(22
r
qprpbpph
….Factorizando por 2.
22
2 ))()((4
4
))()((16
r
qprpbpp
r
qprpbpph
…Multiplicando y simplificando.
))()((2
qprpbppr
h …..Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros.
q)r)(pb)(pp(pr
2h . Con esta expresión se cálcula la altura con respecto al lado r .
Para los lados qyb :
))()((2
qprpbppb
h . ))()((2
qprpbppq
h
EJEMPLO Dado el siguiente triángulo, hallemos la altura con respecto al lado mayor:
Solución:
drkcmkcmrcmd .14.12.5
.5,152
31
2
12514
22 cm
rdkpprdk
.....14
46,58
14
)23,29(243,854
14
2)5,10)(5,3)(5,1(5,15
14
2
)55,15)(125,15)(145,15(5,1514
2))()((
2
alturacmh
dprpkppk
h
4,17
h
r = 12cm
5cm = d
k = 14cm
K D
R
r
Altura con respecto a k
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108
EJERCICIO
Para cada triángulo, halle la altura correspondiente a cada lado.
7cm
17cm
13cm
15m
12m
9m
8m
18m
14m
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109
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Las siguientes figuras son circunferencia:
DEFINICIÓN
La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan(están a l misma
distancia) todos de otro punto llamado centro.
PUNTOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UNA CIRCUNFERENCIA
Casi siempre, la circunferencia toma el nombre del
punto que ocupa la posición central y el radio. En
nuestro caso, hablamos de la circunferencia “O” y de
radio r.
En esta circunferencia:
OP = OQ = OR = r. Esto muestra, que los puntos
P, Q y R pertenecen a la circunferencia y están a la
misma distancia del centro R
P Q
r r
Centro O
r
El punto K es interior(está dentro) de la
circunferencia O. OK < r
El punto P es exterior(está fuera) de la
circunferencia O. OP > r
El punto Q pertenece(está) en la
circunferencia O. OQ = r
Exterior
Q
O
K
P
Interior
r
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110
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
SEMICIRCUNFERENCIA: Cada una de las dos partes en que se divide una circunferencia.
En la circunferencia de la derecha:
RET ARCO: Porción(parte) de la circunferencia.
RT CUERDA: Segmento que une dos puntos de la…
OT RADIO: Segmento que une el centro de la circunferencia y un punto de la misma.
PQ DIÁMETRO: Cuerda que divide la circunferencia en dos partes iguales Cada parte se llama semicircunferencia
El diámetro es igual a dos radios: PQ = r + r = 2r
DN SECANTE: Recta que toca la circunferencia en dos puntos.
S TANGENTE: Recta que toca la circunferencia en un solo punto.
PQ Diámetro: Divide a O en dos
partes iguales
OPKQ Semicircunferencia
OPDQ Semicircunferencia
OPKQ + OPDQ = O
P
Q
O K D
P Q
T
N
R
D
O
S
E
r
r
r
Arco
D i á m e t r o
Secante
Cuerda
O
Tangente
Radio
r|
O| O
r
En las circunferencias O y O|:
r = r|. Esto muestra, que las
circunferencias en cuestión son
iguales.
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CÁLCULOS IMPORTANTES SOBRE UNA CIRCUNFERENCIA
El número irracional (lésae: pí. = 3,141592654…) es una constante que se obtiene al
dividir la longitud(L) de la circunferencia entre el diámetro(d).
EJEMPLO
Calculemos el radio, el ángulo central y el perímetro de la siguiente circunferencia:
EJERCICIO
Para cada circunferencia, calcule el valor de los elementos desconocidos:
.d
L
500cm
9
5
5cm
2
3
2
25.9m
Solución:
d = 80m. S = 50m. r = ?. = ?
P = L?.
mmdrLP
rad
radm
m
r
SrS
mmd
r
328.251)80(1416.32
61,711416.3
18025,1
.25,140
50
.402
80
2
50m r
80m
d = Diámetro. r = Radio. S = Arco.
= Ángulo central (en radianes).
P = L = Perímetro o longitud de la circunferencia.
d = 2 r .
= 3,141592654…
drLPrSd
r 2..2
S r
d
ACTIVIDADES:
Identifica en tú entorno objetos que contengan circunferencias.
Describe el objeto
Mide la longitud y el diámetro y comprueba el valor de
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112
CÍRCULO
Las siguientes figuras son círculos:
DEFINICIÓN
Un círculo es el conjunto formado por todos los puntos de la circunferencia que lo
circunda(rodea) y por los puntos interiores a los mismos.
En nuestras figuras anteriores, la línea curva cerrada(circunferencia) y la parte
sombreada(pintada) forman un círculo.
Los elementos de un círculo, básicamente, son los mismos elementos de la circunferencia.
FIGURAS EN EL CÍRCULO
SECTOR CIRCULAR: Parte de un círculo limitada por dos radios y el arco que forman.
SEGMENTO CIRCULAR: Porción de círculo limitado por una cuerda y su arco.
CORONA CIRCULAR: Porción de círculo limitada por dos circunferencias concéntricas.
TRAPECIO CIRCULAR: Porción de círculo limitada por dos circunferencias concéntricas y dos.
radios
SEMICIRCULO: Cada una de las dos partes en que se divide un círculo.
Sector circular
Corona circular
Trapecio circular
Segmento
circular
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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113
ÁNGULO CENTRAL Y ARCO CORRESPONDIENTE
En la circunferencia “O” el vértice del POR está en
el centro de la circunferencia. Cuando esto sucede, se
dice que el ángulo es central.
POR, es central. El arco correspondiente a éste
ángulo es el limitado por sus lados: OP y OR
El arco OPR ó ORP es correspondiente al POR
R
P
O
Q
P
O
N
M
O|
En las circunferencias O y O|: POQ = MO
|N, entonces: OPQ = O
|MN
Dos arcos son iguales, si y sólo si los ángulos centrales que los determinan
son iguales. De igual forma, a ángulos centrales desiguales se oponen arcos
desiguales. Como las circunferencias O y O||
T
H
O
N
O||
D
En O y O||:
HOT > DO||N, entonces: OHT > O
||DN
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114
TEOREMA 36
El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia.
Demostración:
Unamos M, K y O, formándose el MKO.
En el MKO:
MO + KO > MK……(1)….teorema de la envolvente y la envuelta
Pero:
MO = KO…..(2)…..por ser radios de O
MO = PO y KO = QO…..(3)…..por ser radios
Sustituyendo (3) y (2) en (1):
PO + QO > MK…..(4)
Pero:
PO + QO = PQ….(5)….suma de segmentos
Sustituyendo (5) en (4):
PQ > MK…..demostrado.
TEOREMA 37
Todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide a ésta y a los arcos subtendidos en partes
iguales.
Hipótesis:
En la circunferencia O:
PQ = diámetro
MN = cuerda
PQ MN
Tesis:
MK = KN
ONQ = OMQ y ONP = OMP
N
P
Q
O
K M
2 1
Hipótesis:
En la circunferencia O:
PQ = cuerda, que es el diámetro
MK = cuerda, que noes el diámetro
Tesis:
PQ > MK
K
P Q
O
M
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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115
Demostración:
Unamos M, N y O, formándose el MON
En los MOK y NOK:
OM = ON…..radios
OK = OK…..común
Además, PQ MN….por hipótesis
De donde: MOK y NOK….son rectángulos que tienen iguales la hipotenusa y un cateto
Luego: MOK = NOK
MK = NK…….demostrado……….lados homólogos de triángulos iguales
1 = 2…..por oponerse a lados iguales de triángulos iguales
Por ende: OMQ = ONQ…..demostrado…..arcos correpondientes a ángulos centrales iguales.
De igual forma:
OPNQ = OPMQ…..(1)….por ser PQ diámetro
OPM + OMQ = OPN + ONQ….(2)…..suma de arcos y PQ diámetros
Pero: OMQ = ONQ…(3)…demostrado.
Sustituyendo (3) en (2):
OPM + ONQ = OPN + ONQ
OPM = OPN…..demostrado…..simplificando.
TEOREMA 38
RELACIONES ENTRE LAS CUERDAS Y LOS ARCOS CORRESPONDIENTES.
En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a arcos iguales correponden
cuerdas iguales y a arcos desiguales corresponden cuerdas desiguales.
Demostración:
En la circunferencia O, unamos M, K, P y Q con O, formándose los MOK y POQ
En los MOK y POQ:
OP = OQ = OM = OK …..radios.
Hipótesis:
En la circunferencia O:
OMK = OPQ
MK y PQ , son cuerdas correspondientes
Tesis:
MK = PQ P
Q
K
M
O
2
1
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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116
Pero:
OMK = OPQ …..por hipótesis, entonces:
1 = 2….por ser centrales y oponerse a arcos iguales
MOK = POQ ….caso LAL
Por ende:
MK = PQ ….demostrado…lados homólogos de triángulos iguales.
SEGUNDA PARTE: ARCOS DESIGUALES
Demostración:
En la circunferencia O, unamos M, K, P y Q con O, formándose los POQ y MOK
En los POQ y MOK:
OP = OQ = OM = OK …..radios
Pero:
OPQ > OMK….por hipótesis
POQ > MOK
Por ende:
PQ > MK….demostrado.
TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
Hipótesis:
En la circunferencia O:
OPQ > OMK y ambos menores que una
circunferencia
MK y PQ , son cuerdas correspondientes
Tesis:
PQ > MK
P
Q
K
M
O
En la circunferencia O, la recta QK es tangente
en el punto P.
La tangente de una circunferencia es
perpendicular al radio en el punto de contacto
Por cada punto de una circunferencia pasa una
sola recta tangente
P
Q
K
r
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117
NORMAL A UNA CIRCUNFERENCIA
DISTANCIA DE UN PUNNTO A UNA CIRCUNFERENCIA
EJEMPLO
Dos puntos distan 4cm y 8cm del centro de una circunferencia de 10cm de diámetro.
Hallemos la distancia de cada punto a la circunferencia.
En la circunferencia O, la recta MN es normal a la
circunferencia, porque es perpendicular a la
tangente. QK MN
“En toda circunferencia, la perpendicular a la
tangente se llama normal”
Q
K
N
O
M
En la circunferencia O, el punto K es interior.
MK es la distancia del punto K a la
circunferencia y KO es la distancia del punto
al centro, entonces:
OK + KM = r KM = r OK
El punto P es exterior, PQ es la distancia del
punto P a la circunferencia, entonces:
PQ + r = PO PQ = PO r
M
Q
K
P
O
r
Para el punto Q:
OQ = 4cm. OK = r = 5cm. QK = ? distancia de Q a O
QK = r OQ = 5cm 4cm = 1cm
Para el punto P:
PO = 8cm. NO = r = 5cm. PN = ? distancia de P a O
PN = PO r = 8cm 5cm = 3cm
N
Q
K
4cm
O 5cm 5cm
P
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118
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES: Los puntos de cada una son exteriores a la otra.
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORMENTE: Se cortan en un sólo punto.
O y O| son tangentes
exteriormente
O
| r
R
O
d
R
r
O|
O
OO| = d = R + r d = R + r
Esto muestra, que si la distancia que
separa los centros de dos
circunferencias es igual a la suma de
sus radios, las mismas son tangentes
exteriormente
O y O| son exteriores
O
|
R
O
K
d
M
r
O| R O
OO| = d = R + r + MK d > R + r
Esto muestra, que si la distancia que separa los centros de dos
circunferencias es mayor que la suma de sus radios, las mismas
son exteriores.
d = Distancia que
separa los centros
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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119
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORMENTE: Tienen un punto común y todos de una de
ella son interiores a la otra
CIRCUNFERENCIAS SECANTES: Se cortan en dos puntos.
d + r = R d = R r Si dos circunferencias se cortan y además, la distancia que
separan sus centros, se halla estableciendo una diferencia entre
sus radios, las misma son tangentes interiormente.
O|
O
O y O| son secantes
M
K
O|
O
d
R r
OO| = d < R + r
Si la suma de los radios de dos circunferencias es
mayor que la distancia que separa sus centros, las
circunferencias son secantes
O y O| Se tocan en un sólo punto, y además, todos los puntos de O
| son puntos
interiores de O, por eso, son tangentes interiormente:
R
O
| r
O
O
O|
r
R
d
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120
CIRCUNFERECIAS INTERIORES: Todos los puntos de una de ella, son interiores de la otra.
CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Tienen el mismo centro.
CIRCUNFERENCIAS EX CÉNTRICAS: no tienen el mismo centro.
O y O| son interiores: Todos los puntos de O
| son puntos interiores de O
R = x + r + r + y. Pero: d = x + r R = d + r +y
Luego: d = R r y d < R r
Si en dos circunferencias la distancia que une sus centros es
menor que la diferencia de sus radios, las mismas son interiores
R
O
O
| r
r
R
y x O|
O
d
O y O| tienen como centro un mismo punto, por eso,
son concéntricas.
OO| = d = 0
Si la distancia que separa los centros de dos
circunferecias es cero, las mismas son concéntricas
O
O
|
Las circunferencias O y O|| son excéntricas
O
O||
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LÚNULA (DE LUNA) O HUSO
Las siguientes figuras son lúnulas o husos geométricos:
Como se puede observar, una lúnula se forma por la intersección de dos círculos (la región
sombreada 0 coloreada) y su nombre se debe a que parece una luna en su fase creciente.
Formalmente, una lúnula es el complemento de un círculo en otro, situados de forma que
ambos se intersecan, pero ninguno es un subconjunto del otro. Esto es, si A y B son dos
círculos, entonces (ver figura 1):
BAAL . De donde: L = lúnula. A = Segundo círculo. B = Primer
círculo.
En la figura 2: La lúnula esférica o huso esférico es la región demarcada con las líneas
gruesas y
las líneas negras finas, muestran los dos círculos. Además, estas circunferencias máximas
definen otros tres husos, y se intersecan en dos puntos polares opuestos, como en el caso de
los polos Norte y Sur geométricos.
HUSO ESFÉRICO: Parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se
cortan en el diámetro de la misma.
A
B
A
B
L = A
AB
1
Lúnula
Lúnula esférica o huso
esférico.
2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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TEOREMA 39
Los arcos de una circunferencia conprendidos entre paralelas , son iguales.
Demostración:
En O, tracemos el diámetro MD. Entonces:
MD PQ y MD KN…..todo diámetro es perpendicular a una cuerda.
OKD = OND….(1)…Teorema 37: todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide
OPD = OQD…..(2)…a ésta y al arco subtendido, en partes iguales
Restando miembro a miembro (1) y (2):
OKD OPD = OND OQD….(3)
Pero:
OKP + OPD = OKD OKP = OKD OPD…(4)
OQN + OQD = OND OQN = OND OQD…(5)
Sustituyendo (4) y (5) en (3):
OKP = ONQ….demmostrado.
EJERCICIOS
1.
D
M
Hipótesis:
En O:
PQ // KN
Tesis:
OKP = ONQ
N
Q
K
P
O
Si PQ = QK = KN
Demuestre que:
POK = QON
N
Q
K
P
O
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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123
2. Dadas la siguientes circunferencias, clasifíquelas en: concéntricas, tangentes interior y
exteriormente, secantes, interiores y exteriores y además, halle las distancias entre
sus centros.
3. Dada la siguente circunferencia, identifique sus partes o elementos.
4. Si PK // MQ y O es el punto medio de
PQ
Demuestre que PK = MQ
K
Q
M
P
O
12
14
8
O3
O4
10 20
O1
2O
O5
17
O6
NOTA: Si no es posible hallar la
distancia entre los centros,
exprese la misma en función de
una variable
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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124
5.
6.
7. Un punto dista 14m del centro de una circunferencia de 820cm de diámetro.
Halle la distancia del punto a la circunferencia.
8. Exprese la menor distancia(x) de un punto a una circunferencia, en función de la
distancia(d) del punto al centro y del radio(r) de la circunferencia si:
a). d < r. b) d > r.
9. Identifica en tú casa o entorno elementos u objetos que tengan forma circular:
Descríbelos y haz una representación gráfica
Ubica en él, los elementos de una circunferencia
Mide la longitud del diámetro y determine la longitud de la circunferencia.
DQ = DP
Demuestre que:
OQN = OPN
N
Q
K
P
O
D
PQ = QK
1 = 2.
Demuestre que:
PQK = PKO
Q
K P
O
1 2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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125
ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
ÁNGULO CENTRAL: Tiene su vértice en el centro de la circunferencia.
PROPORCIONALIDAD ENTRE LOS ARCOS Y LOS ÁNGULOS CENTRALES
En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, los ángulos centrales son
proporcionales a sus arcos correspondientes.
Q P
O
5 r
En las circunferencias O y O1 los POQ y MO1N son centrales
M
N
r
r
O1
En las circunferencias O y O1 :
El POM es central y OPM su arco correspondiente.
El QOM es central y OQM su arco correspondiente
El MO1N es central y O1MN su arco correspondiente
MNO
OQM
NMO
QOMOyOEn
OPM
OQM
POM
QOMOEn
11
1 :.:
M
N
O1
Q
P
O M
O y O1 son iguales
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126
MEDIDAD DEL ÁNGULO CENTRAL
ÁNGULO INSCRITO: Tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes.
EJEMPLO
En la circunferencia O1, el arco O1MN mide 100°, hallemos la medida del ángulo inscrito.
Tomando como unidad de ángulos el ángulo central
correspondiente a la unidad, la medida del ángulo
central es igual a la de su arco correspondiente,
entonces: POQ = OPQ
P
Q
O
K
M
O1
120°
En la circunferencia O1: MO1K es central
MO1K = 120°, entonces: O1KM = 120°
Esto muestra que el ángulo central y su
arco correspondiente tiernen el mismo
valor
PQK es inscrito
En toda circunferencia, la medida del ángulo
inscrito es igual a la mitad del arco comprendido
entre sus lados.
PQKOPKformaigualDeOPK
PQK 2:.2
P
O
K Q
502
100
2
100
1
1
:
MNMKN
MN
O
O
Solución
K
O1
N
M
50°
100°
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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127
127
Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales.
Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos, o sea que
miden 90°.
ÁNGULO SEMI – INSCRITO: Tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es una
tangente y el otro una secante.
En la semicircunferencia OKMQP:
El arco OPK es común para los ángulos
PQK y PMK, que son inscritos…
Pero: OPK = 180° por ser OKMPQ
semicircunferencia, entonces:
rectossonPMKPQK
OPKPMK
OPKPQK
,90
)2....(902
180
2
)1....(902
180
2
P
M Q
O
K
En la circunferencia O:
PQ es secante y QK es tangente, y además son los
lados del ángulo PQK , luego el PQK es semi-
inscrito
La medida del ángulo sem-inscrito es igual a la
mitad del arco comprendido entre sus lados.
PQKOPQformaigualDeOPQ
PQK 2:.2
P
O
K Q
En la circunferencia O:
PQK y PMK son inscritos
El arco OPK es común para
ambos, entonces:
PMKPQK
yComparando
OPKPMK
OPKPQK
:)2()1(
)2....(2
)1....(2
K O
M
P
Q
ARCO CAPAZ: Es el arco opuesto
a varios ángulos inscritos.
PMKyPQKánguloslos
paracapazarcounesOPK
,
,
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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128
EJEMPLO
En la circunferencia O, el PQK es semi-inscrito, hallemos la medida de éste ángulo.
ÁNGULO EX - INSCRITO: Es adyacente a un ángulo inscrito.
ÁNGULO INTERIOR: Es el ángulo cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia.
Q
K
O P
En la circunferencia O:
PQ es secante y diámetro. QK es tangente.
PQK es semi-inscrito, entonces:
esto muestra, que toda
tangente es perpendicular al diámetro
902
180
2
OPQPQK
El PQM es inscrito
El MQK es adyacente al PQM
Entonces:
MQK es ex - inscrito
La medida de un ángulo ex – inscrito es igual a la
semisuma de los arcos que tienen su origen en el
vértice y sus extremos en uno de los lados y en la
prolongación del otro
2
OQPOQMMQK
M
P
O
K
Q
K
N
M
P
O
Q
PKM
PKQ
MKN
QKN
La medida de un ángulo interior es igual a la
semisuma de los arcos de sus lados y la
prolongación de los mismos
QKNPKM
OMNOPQMKNPKQ
2
Son interiores
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
129
129
ÁNGULO EXTERIOR: Su vértice es un punto exterior de la circunferencia.
EJEMPLO
En la circunferencia O, PKQ = 30° y OMN = 50°. Hallemos la mediada de OPQ.
EJERCICIOS
1. Dada la siguiente figura, clasisfique los ángulos en: central, inscrito, semi-inscrito,
interior, exterior, exinscrito, y además idetifique sus arcos.
QPK es exterior
La medida de un ángulo exterior es igual a
la semi-diferencia de las medidas de los
arcos comprendidos por sus lados
2
OMNOKQQPK
K
N
M
P
Q
O
11050602
5030
2
:
,.....
:
OPQOPQ
OMNOPQPKQ
entonces
OnciacircunferelaaexterioresPKQ
Solución
K
N
M
P
Q
O 30° 50°
M
P
Q
N
D
O
K
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
130
130
2. Para cada figura, realice el cálculo exigido:
K
O
P
Q
OPK = 120°
PQK = ?
R M
N
P
Q
O
40°
MQR 40° y OPN = 135°
OMR = ?
O
K
N
M
P
Q
OMN = 35° y OPQ = 80°
PKQ = ? y PKN = ?
O
39°
K
P
Q
PKQ = 39°
OPQ = ?
QOM = 120°
POM = ? OQM = ?
OMQ = ? OPM = ?
OMQ = ?
M
P Q
O
120°
P
O
K N
M
Q
36°
QNM = 36° y ONP = 32°
PKN = ? y NQP = ?
OPQ = 110° MKQ =47°
POQ = ? PMQ = ?
OPM = ?
P
O M
Q
K
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
131
131
RELACIONES MÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Muestra la relación de mediadas entre las cuerdas, secantes y tangentes.
TEOREMA 40. RELACIONES ENTRE LAS CUERDAS
Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan, el producto de dos segmentos determinados
en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos determinados en la otra.
Demostración:
Unamos M con R y Pcon Q, formándose los triángulos PKQ y MKR
En los PKQ y MKR:
P = M ….son inscritos en el mismo arco
Q = R ….son inscritos en el mismo arco
PKQ = MKR ….opuestos por el vértice
Luego: PKQ MKR
Estableciendo la proporcionalidad enttre los lados homólogos:
EJEMPLO 1.
Dada la siguiente figura, hallemos el valor del dato desconocido:
demostradoKRPKKQMKKQ
KR
PK
MK......
Hipótesis:
PR y QM soncuerdas que se se cortan en K
MK y KQ segmentos correspondientes de MQ
PK y KR segmentos correspondientes de PR
Tesis:
KQMKKRPK
O
K
R
M
P
Q
204
810
:40
KR
KPMKQK
KPMKKRQK
teoremaelPor
O
4
10
8
P
Q
K
R
M
QK = ?
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
132
132
EJEMPLO 2.
Dada la siguiente figura, hallemos el valor de los datos desconocidos:
Aunque PK puede tomar dos valores positivos: 12 y 2; si analizamos la figura, sólo para PK = 12,
hay una correspondencia entre la longitud del tramo y el número asignado.
Cuando los valores tienen diferente signo, se toma el valor positivo.
TEOREMA 41. RELACIONES ENTRE SECANTES
Si por un punto exterior de una circunferencia, se trazan dos secantes, el producto de una
secante por su segmento exterior, es igual al producto de la otra por su segmento exterior.
2121414
:)2(
12:
0)2)(12(02414)(2
:Re
PKKQ
enPKdoSustituyen
PKLuego
PKPKPKPK
gradosegundodeecuaciónestasolviendo
02414)(
24)(1424)14(
:)1()2(
)2...(1414:
)1....(24
46
2
2
:40
PKPK
PKPKPKPK
endoSustituyen
PKKQPQKQPKPero
KQPK
KQPKKRMKKQPK
teoremaelPor
O
P
Q
K
R
M
MK = 4 , KR = 6 y PQ = 14
PK = ? y KQ = ?
Hipótesis:
En O:
Q es exterior
QR y PQ secantes que pasan por Q
MQ y QK segmentos exteriores de QR y PQ
respectivamente
Tesis:
KQPQMQQR
P
R
K
M
Q
O
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
133
133
Demostración:
Unamos P y M y R y K , formándose los triángulos PMQ y QKR.
En los PmQ y PKR:
Q = Q….común
P = R ….son inscritos en el mismo arco
K = M ….son inscritos en el mismo arco
Luego: PMQ PKR
Estableciendo la proporcionalidad enttre los lados homólogos:
EJEMPLO 1.
Dada la siguiente figura, hallemos el valor del dato desconocido:
EJEMPLO 2.
Dada la siguiente figura, hallemos el valor del dato desconocido:
demostradoMQQRKQPQPQ
QR
MQ
KQ......
Solución:
PK55QK
(1)
(1)
125
1252
250)()2()10(25
:Re
2
1025.:
.....
:41
251510
2QKQKQK
envaloresestosemplazando
QKQKQKKPQKPQ
MQyQRKPQKPero
QPQKMQQR
teoremaelPor
MRMQQR
P
R
K
M
Q
10
15
KQ = KP. MQ = 10. MR = 15
QR= ?. PK = ?
Solución:
PQ = PK + KQ = 6 + 5 = 11
Por el teorema 41:
75,94
39
4
16554
4
55
:
4
555114
:Re
4
39
MR
MQQRMRMQMRQR
Pero
QRQR
emplazando
KQPQMQQR
KQ = 5. MQ = 4. PK = 6
PQ = ?. MR = ?
P
R
K
M
Q
6
4
5
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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134
TEOREMA 42. PROPIEDAD DE LA TANGENTE Y LA SECANTE TRAZADAS DESDE UN PUNTO
EXTERIOR. Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la
tangente es media proporcional entre la secante y su tangente exterior.
Demostración:
Unamos K con P y con M, formándose los triángulos PKQ y QMK
En los PKQ y QMK:
Q = Q……común
P = QKM…inscrito y semi-inscrito en el mismo arco
PKQ QMK…..además son rectángulos
Un ángulo inscrito y otro semi-inscrito en el mismo arco, son iguales.
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, hallemos el valor del dato desconocido:
demostrado
osóladossusentrealidadproporcionlandoEstablecie
QM
QK
QK
Qp.....
:loghom
Hipótesis:
En la circunferencia O:
QP es secante
QK es tangente
Tesis:
QMQK
QKQP
P
K
M Q
O
83,14220220)(
10
22
221012
2
:42
:
QKQK
QK
QKQM
QK
QK
QP
MQPMPQ
teoremaelPor
Solución
M P
K
Q
10
12
QK y PQ tangente y secante
PM = 12 y MQ = 10
QK = ?
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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135
DIVISIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO
Consideremos el segmento PQ y la división proporcional en el punto K.
Decimos que el segmento PQ está dividido aureamente, si se cumple que:
O sea: El tramo de la división mayor es media proporcional entre la longitud del segmento y
la división menor.
PK es el segmento áureo de PQ, porque lo divide en extrema y media razón.
La división áurea es considerada, como la más precisa división proporcional que se puede hacer
de un segmento.
CÁLCULO ANALÍTICO DEL SEGMENTO ÁUREO
EJEMPLO 1.
Hallemos la división áurea de un segmento de 10m y el porcentaje que representa.
KQPK
PKPQ
618,02
15618,0
:,
.........0
mintan......
:,
2
15
22
22
llx
quetienesegradosegundodeecuaciónladesoluciónconjuntoelHallando
gradosegundodeecuaciónordenandoyndotransponiellxx
adoresdenodoquilxlx
xl
x
x
l
KQyPKPQdoSustituyen
KQ
PK
PK
PQ
%8,6110
%10018,6
18,6
%10010
:
18,6)10(618,0618,0
?%?.10
:
m
mj
jm
m
representaquePorcentaje
mmlx
representaquexml
Solución
P K Q
xlKQ
xPK
lPQ
l
xl x
P K Q
a
acbbx
soluciónraiceslashallarparaFórmula
cbxax
2
4
:)(
0:
2
2
gradosegundodeEcuación
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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136
136
EJEMPLO 2.
Hallemos el segmento cuyo segmento áureo vale 9cm.
EJEMPLO 3.
Dada la siguente figura, hallemos el segmento áureo del segmento tangente
EJERCICIO
Para cada figura, halle el valor de los datos desconocidos:
cmcmx
llx
lcmx
Solución
56,14618,0
9
618,0618,0
?9
:
57,9)49,15(618,0618,0
49,152402401024)( 2
PQx
PQPQPQPQPMPR
PQ
PR
PQ
deáureadivisiónx
PQ
ante
gente
?
?
sec
tan
P
R
M
Q
10
14
PK = 20. KQ = 6. NK = 14
KM = ?.
P
M
Q
N
K
KN = 6. QK = 9. PM = 12
PK = ?. KM = ?
P
M
Q
N
K
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
137
137
PK = ?
P
M
15
Q
13
K
PN = 14
PK = 18
MN = ? Además, halle el
segmento áureo de la
tangente.
P
N
M
K
PN = ?
N
4 P
M
7
Q
9
K
PN = QN
PN = ?
N
P
M
Q
15
K
6,5
MK = x = 0,618, división áurea.
MN = ?
N M
0,618
K
16cm
P Q
Halle el segmento áureo y el
porcentaje que representa.
KQ = x = 20cm, división áurea.
PQ = ?
P Q
20cm
K
PN = ?
NQ = ?
MK = ?
KQ= ?
x + 6
N
P
M
Q
x + 2
K
x
x + 4
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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138
138
SUPERFICIE, PERÍMETRO Y ÁREA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS
GEOMÉTRICAS PLANAS
SUPERFICIE
Se entiende por superficie, la parte exterior de un cuerpo o figura geométrica. También suele
considerarse como el contorno que delimita el espacio interior del exterior de un cuerpo o
figura geométrica. Hay superficies: Cuadradas, rectangulares, circulares, triangulares, etc.
CONTORNO: conjunto de líneas que delimitan una figura geométrica.
Veamos:
PERÍMETRO
El perímetro es la medida (longitud) del contorno de una figura o cuerpo geométrico.
El perímetro se halla, sumando todos los lados que posee una figura geométrica.
EJEMPLO
Para cada figura, hallemmos el perímetro.
Solución:
Para la figura Sea P = perímetro, entonces:
73,18cm cmcmcmcmcmcmP 14918,1119155
Para la figura
Sea P = perímetro, entonces:
111x 224514 xxxP
:a
:b
x
y
z
k P = k x y z
P perímetro
5cm
11,18cm
9cm
14cm
19cm
15m
Fig. a
2x 2
5x 4
4x 1
Fig. b
Suma vertical
111x
22
14
45
x
x
x
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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139
139
EJERCICIO
Para cada figura, halle el perímetro:
ÁREA
El área es la medida de la superficie de una figura geométrica. También puede considerarse el
área, como la región delimitada (comprendida) por líneas poligonales.
El área se refiere al tamaño de la figura
SUMA Y RESTA DE ÁREAS
Consideremos la siguiente figura:
A T = A 1 A 2. Suma de todas las áreas
A 1 = A T A 2. Área total menos área dos
A 2 = A T A 1. Área total menos área un
A T Área total
A 1 A 2
5m
11,18m
10m
5m
11m
10, 64m
5, 56m
3,45cm
3,98cm
6,956cm
8,705cm
11,25cm
2x 2
3x 4
x 1
A
A
A A
El área siempre involucra dos
dimensiones, por eso, se expresa en
unidades al cuadrado u2.
u = unidad
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
140
140
EJEMPLO
Para cada figura, realicemos el cálculo exigido.
Solución:
Para la figura
Para la figura
EJERCICIO
Para cada figura, halle el área exigida:
:a
233,24m
22
21
2
2
2
1
24,1518
24,1518
mmAAA
mAymA
T
:b
3x2
1131432
)113(1432
1131432
22
1
22
2121
2
2
2
xxxxA
xxxxAAAAAA
xxAyxxA
TT
T
Fig. a
18m 2
AT =?
15,24m 2
1432 2 xxAT
?1 A 1132 xx
Fig. b
Sustracción vertical
3x2
13
14322
2
xx
xx
A cada término del sustraendo
se le cambia el signo y se suma
común y corriente.
15m 2
8m 2
AT = ?
44 cm 2
35 cm 2
38,4 cm 2
AT = ?
54 cm 2
AT =135cm 2
A2 = ?
AT =79,56m 2
43,88m 2
A1 =?
AT =43,4 m 2
25,8m 2
A1 =?
xx 32 2
?TA
42 x
43 2 xx
242 xyxAT
12 xyx ?2 A
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
141
141
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN RECTÁNGULO
EJEMPLO 1.
Hallemos el área y el perímetro de un rectángulo que tiene 5,64cm y 8cm de lado.
Solución:
EJEMPLO 2.
La siguiente figura muestra las dimensiones de un salón múltiple de un colegio.
Solución:
a) Como el salón tiene forma rectangular, el área se calcula multiplicando la base (15m) por
la altura (6m)
b) Las dimensiones de las baldosas indica que tienen forma cuadrada.
cmcmcmcmcmhbP
cmcmcmbhA
cmhcmb
PA
28,271628,118264,5222
.12,45864,5
8.64,5
?.?
2
salóndeláreaelesestecmmmmbhA 22
1 90000090)6(15
b
h
b Base
h Altura
A = bh. Base por altura
El área de un rectángulo se halla
multiplicando la base por la altura.
Base: Área sobre la cual descansa un
cuerpo o figura.
Altura: Es la distancia perpendicular
que hay desde la base hasta el punto
más alto que alcanza un cuerpo.
Como el perímetro es la suma de
todos los lados, entonces:
P = b b h h = 2b 2h
P = 2b 2h
Hallemos:
a) El área de la salón múltiple
b) Si se desea embaldosar el salón con baldosas de dimensiones:
51,5cm x 51,5cm, ¿cuántas bladosas aproximadamente se
necesitan?
c) Si cada baldosa tiene un costo de $120,86. ¿Cuánto dinero se
necesita par embaldosar el salón?
d) Un vagabundo que desee dar cuatro vueltas y media al salón,
¿cuántos metros recorre?
15m
6m
51,5cm
51,5cm baldosacadadeáreacmcmcmA 2
2 25,2652)5,51(5,51
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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142
142
Para hallar la cantidad de baldosas que se necesitan para embaldosar el salón, aplpicamos una
regla de tres simple directa entre el área A1 (salón) y A2 (una sóla baldosa)
c) Como cada baldosa cuesta $120,86. Para comprar las 340 baldosas se necesita:
d) Para determinar los metros que recorre el vagabundo al dar 4 vueltas y ½ al ssalón,
primero calculamos el perímetro del salón:
EJERCICIOS
1. Halle el área y el perímetro de un rectángulo que tiene 5m y 3m de lado.
2. El lado mayor de un rectángulo mide 14,68cm. Si el lado menor mide la mitad del mayor,
halle el área y el perímetro.
3. El lado mayor de un rectángulo excede al menor en 5m. Si el menor mide 8m, halle el
área y el perímetro.
4. El lado menor de un rectángulo mide 2,04cm. Si el mayor es tres veces el menor, halle el
área y el perímetro.
5. Identifica los escenarios deportivos de tú ciudad que tienen forma rectángular, mide las
dimensiones, calcule el área y el perímetro.
6. Las dimensiones del piso de un coliseo miden 30,5m y 18,5m.
a) Halle el área del piso del coliseo.
b) ¿Cuántas baldosas de dimensión 49,35cm x 49,35cm se necesitan para cubrirlo?
c) Si un metro de baldosa trae 5 baldosas, ¿cuántos metros se necesitan?
d) Si cada metro de baldosa cuesta $30000, ¿cuánto dinero se necesita?
e) Una persona que desee recorrer 4Km alrededor de la pista del coliseo, ¿cuántas
vueltas debe dar?
7. Halle el área total de la parte sombreada(pintada):
tan34033,33925,2652
9000001:
900000
25,26521
10000190000090
2
2222
1
necesisequebaldosasxdondeDe
x
cmBaldosa
cmmcmmA
42000$4,41092$)86,120(340
mmm
recorreyvueltaslasEn
mrecorrevueltamediaEn
vueltasolaunaenrecorrequeciadismmmmmP
18921)42(4
:2/14
21:
tan42615615
7, 4m
4m
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
143
143
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
EJEMPLO
El área de un paralelogramo mide 100m 2
. Si la altura mide 12m, halle la base.
Solución:
EJERCCIOS
1. Halle el área de un paralelogramo que tiene 6m de base y 2m de altura.
2. El área de un paralelogramo mide 80m 2
. Si la altura mide 13m, halle la base.
3. El área de un paralelogramo mide 54,88cm 2
. Si la base mide 9m, halle la altura.
4. Un paralelogramo tiene una base 123,48cm. Si su altura es 2/5 de la base, halle el
área.
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Consideremos el siguiente rectángulo:
El área de todo triángulo es la mitad del área del rectángulo que lo contiene.
mmidebaseLamm
m
h
Ab
b
mhmA
33,8.33,812
100
?
12.100
2
2
H
B
b R
r h bh2
1
bh2
1
H
B
b R
r h bh2
1
22
1 bhbhA
La diagonal BH divide el rectángulo en dos triángulos
iguales, por eso, el área de un triángulo es la mitad del
área de un rectángulo.
b
h
El área de un paralelogramo es
igual al producto de la base por
la altura.
b
Ah
h
Ab
bhA
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
144
144
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA
ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS
Consideremos el triángulo (1), la siguiente expresión permite calcular el área en función de
los lados a, b y c: . Donde P es el semiperímetro del
triángulo.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS
. Altura con respecto al lado b. El denominador es c, para el
lado c y a, para el lado a. Donde P es el semiperímetro del triángulo.
EJEMPLO
Para cada triángulo, hallemos el área.
))()(( cPbPaPPA
))()((2 cPbPaPPhb
Cateto
Cateto
Hipotenusa
Hipotenusa: Lado más largo.
El área de un triángulo rectángulo es igual al
semiproducto de los catetos.
Semiproducto: Es la mitad del producto.
C
c
b A
B
a
h
22
1 bhbhA El área de cualquier triángulo
se halla multiplicando la base
por la altura y dividiendo este
producto por dos
P = a b c
B
h
C A
b
1
16m
8m
20m
Fig. b Fig. a
12,4cm
5,4cm
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
145
145
Solución:
Para el triángula , conocemos la base y la altura.
Para el triángulo , conocemos los tres lados.
EJERCICIOS
1. Halle el área y el perímetro de cada triángulo:
Base 9cm, altura 10cm.
Base 6,23m, altura 5,45m.
Catetos: 7cm y 4cm.
Lados 9m.
Lados 16cm.
2. Utilice los datos presentados y calcule el dato desconocido:
A = 8m 2
, b = 3m, h = ?.
A = 9,4m 2
, b = ? , h = 2m.
A = 25m 2
, b = 4m, h = ?.
A = 36cm 2
, b = ?, h = 6cm.
3. Para los lados de cada triángulo, halle el área y la altura con respecto a un lado
Lados: 5cm, 16cm y 25cm
Lados: 10m, 8m y 7m
Lados: 10,5m; 7,8m y 17,86m
4. Halle el área total de la región sombreada (pintada):
a
2cm33,48
296,66
2)4,5)(4,12(
2
2
:.4,54,12
cmcmcmbhA
EntoncescmhycmbSea
b
260,79m
m22
3696)14)(6)(2(22
))()((
:.
:.816,26
)822)(1622)(2022(22
281620
2 244
A
cPbPaPPA
LuegoP
EntoncesmcymbmaSea
cba
cmycmcmLados425
419,
512:
Altura de un triángulo equilátero
Área:
73,132
3
lh
4
3 2lA
b
Ah
h
Ab
2.
2
5m
10m
8m
5m
14m 10m
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mapb
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146
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CUADRADO
EJEMPLO 1.
Hallemos el área de un cuadrado de 4,68cm de lado
Consideremos la siguiente figura.
EJEMPLO 2.
Calculemos el lado del siguiente cuadrado.
EJERCICIOS
1. Para cada cuadrado, halle el área y el perímetro:
a) Lado: 4cm. b) Lado: 3,64m. c) Lado: 9,642m.
2. Las áreas que se relacionan a continuación pertenecen a cuadrados, para cada una ,
halle el lado y el perímetro:
a) A = 25cm 2
. b) A = 64 m 2
. c) A = 90m 2
.
4. Calcule el área de la región sombreada.
4,8m
9,6m
Solución:
2
21,90cm
)68,4)(68,4()68,4(
68,4
22 cmcmcmkA
cmk
4,68cm
cuadradoundeladoelcalcularparaExpresiónAk .
A
k
k k
k El área de un cuadrado
es igual al cuadrado de
la medida de su lado
A = k k = k 2
P = k k k k = 4k
A = k 2
P = 4k
Solución:
9m
22
2
81
?.81
mAkkA
kmA
281m
?k
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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147
ÁREA DE UN ROMBO
EJEMPLO
La diagonal mayor de un rombo excede a la menor en 4,25cm. Si la diagonal menor mide
5cm, hallemos el área del rombo.
EJERCICIOS
1. Las diagonales de un rombo miden 9m y 4m. Halle el área.
2. La diagonal mayor de un rombo excede en 9cm a la menor. Si la diagonal mayor
mide 15cm, halle el área del rombo.
3. La diagonal mayor de un rombo mide 18m. si diagonal menor equivale a las dos
terceras partes de la mayor, calcule el área del rombo.
4. El área de un rombo mide 400m 2
. Si la diagonal menor mide 20m, halle la diagonal
mayor.
5. El área de un rombo mide 36,64cm 2
. Si la diagonal mayor mide 14cm, calcule la
diagonal menor.
ÁREA DE UN TRAPECIO
B
b
h
menorBaseb
mayorBaseB
hbBA
.
2
El área de un trapecio es igual
al producto de la semisuma de
las bases por la altura
D
Ad
menorDiagonaldd
AD
mayorDiagonalDDd
A
2
2
2
El área de un rombo es igual al
semiproducto de las diagonales
d
D
cm5
cm25,9
Solución:
. Como la diagonal mayor excede a la menor en
4,25cm, entonces:
Aplicando la fórmula:
cmd 5
cmcmcmD 25,925,45
223,12cm
2
25,46
2
)5)(25,9(
2
2cmcmcmDdA
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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148
EJEMPLO
Calculemos el área de un trapecio cuyas bases miden 4m y 10m , y tiene 5m de altura
Solución:
EJERCICIOS
1. Las bases de un trapecio miden 8m y 12m, si la altura mide 4m, halle el área.
2. Si las bases de un trapecio miden 4,64cm y 8,04cm y su altura es de3,62cm, ¿cuál es
la medida del área?.
3. La base mayor de un trapecio excede a la menor en 4. Si la base mayor mide 20cm y
el trapecio tiene una altura de 8cm, halle el área.
4. El área de un trapecio mide 27cm2. Si la base mayor y la altura miden 12cm y 3cm,
respectivamente, determine el valor de la base menor.
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN POLÍGONO REGULAR
Apotema: Segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados.
. Expresión que permite calcular la apotema de un hexágono regular.
EJEMPLO
Determinemos el área de un pentágono regular de 15m de lado y 6m apotema.
Solución:
22
352
70
2
514
2
5410
2
5.10.4.?
mmmmmmmhbB
A
mhmBmbA
23 La
ladosdeNúmeronLadoL
nLP
ApotemaanLapa
A
.
.
.22
El área de un polígono regular es
igual al semiproducto del perímetro
por la apotema
L a
L
L
L
L
L
15m
15m
6m
2225mA
2
450
2
)6)(15(5
2
6
15
,5
2mmmnla
ma
ml
pentágonounserporn
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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149
EJERCICIOS
1. Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de14m de lado y 12m de
apotema.
2. Halla el área y el perímetro de un hexágono regular de 20cm de lado.
3. Halla el área y el perímetro de un heptágono de 18m de lado y 18,72m de apotema.
4. Halla el área y el perímetro de un pentágono de 13,8cm de apotema y 20cm de lado.
6. Encuentra la medida del lado de un polígono de 12 lados, si se sabe que la apotema
mide 7cm y el área es de 168cm 2
.
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CÍRCULO
EJEMPLO
Calculemos el área y el perímetro de un círculo de 4,7m de radio.
Solución:
EJERCICIOS
1. Calcule el área y el perímetro de un círculo si se sabe que el radio mide 5m.
2. El diámetro de un círculo mide 7cm, halle el área y el perímetro.
3. Halle el área de un semicírculo de 9m de diámetro.
4. El área de un círculo mide 50,24m 2
. Halle: El radio, el diámetro y el perímetro.
5. Si el radio de una circunferencia se duplica, ¿qué sucede con el área del círculo
Correspondiente?.
mmrP
mmmrA
mrPA
516,297,414,322
362,6909,2214,37,414,3
7,4.?.?
2222
El área de un círculo es igual al producto del número por el radio al cuadrado.
Ar
culosemicircírÁrear
A
DiámetroDD
rrD
perímetroonciacircunfereladeLongitudL
rLP
DrA
S .2
.
2
2
.
.2
14,34
1
2
22
r
Diámetro
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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150
ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR
EJEMPLO
Hallemos el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas cuyos
radios miden 3cm y 5cm.
Solución:
EJERCICIOS
1. Los radios de dos circunferencias concéntricas miden 2m y 6m. Calcule el área de la
corona circular que forman.
2. Los diámetros de dos circunferencias concéntricas miden 4m y 7m. Halle el área de la
corona circular que forman.
3. Halla el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas de
7cm y 14cm de diámetros, respectivamente.
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
.16925
35
.3.5.?
222
2222
cmcmcmA
cmcmrRA
cmrcmRA
31
El área de un sector circular es igual al
semiproducto del cuadrado del radio por el ángulo
central
ángulo central
r º
B
A
S
ByApuntoslosentreocomprendidArcoS
radianesEnrS
radianesEnr
gradosEnr
2
3602
2
A
A
El área de una corona circular es
igual al producto del número por
la diferencia de los cuadrados de los
radios
)( 22 rRA
R
R r r
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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151
EJEMPLO 1.
Calculemos el área del siguiente sector circular.
EJEMPLO 2.
Hallemos el área del siguiente sector circular.
EJERCICIOS
1. El ángulo central de un círculo de 4cm de diámetro mide 60º. Halle el área y la
longitud del arco que forma.
2. El radio de un sector circula mide 10m. Si el ángulo central mide rad.,calcule el
área y la longitud del arco.
3. Calcule la longitud del arco y el área de un sector circular, si el radio mide 3m y el
ángulo central
4. La longitud del arco de un sector circular mide 20m. Si el ángulo central mide
, halle el radio y el área.
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
.4
rad
rad6
Solución: Como el ángulo central está expresado en grados, hacemos uso de
la fórmula: , donde:
360
2rA mry 570
215,26mA
A
360
5495
360
)25)(14,3(70
360
)25)(14,3(70
360
)5)(14,3(70
36022
222
mm
mmr
5m 70 º
3
2
cm12
Solución: Como el ángulo central está expresado en radianes, hacemos uso de
la fórmula: , donde:
2
2r
A cmry 123
2
2m8,33πA
A
6
50
2
22
)25(
2
)5(
2
22
2222
350
350
32
32
m
mmr
m
m
Rr
R
r º
El área de un trapecio circular es igual al
semiproducto del ángulo central por la diferencia
de los cuadrados de los radios
ángulo central
radianesEnrR
gradosEnrR
2
)(
360
)(
22
22
A
A
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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152
EJERCICIOS
1. Los radios de dos circunferencias concéntricas miden 8m y 16m. Si el ángulo central
que forman los radios mide 80º, halle el área del trapecio circular que forman.
2. Halle el área de un trapecio circular limitado por dos circunferencias concéntricas de
4m y 10m de radios, si el ángulo central que forman mide 120º.
3. Los diámetros de dos circunferencias concéntricas miden 4cm y 16cm. Halle el área
del trapecio circular que forman los radios, si el ángulo central mide .
ÁREA DE UNA LÚNULA
Cuando = 2, es decir, si la segunda circunferencia se ha movido una circunferencia entera,
el área es: 24 RA , o sea, la de una esfera.
ÁNGULO DIEDRO: Ángulo formado por dos semiplanos.
EJERCICIOS
1. Dos círculos de 7cm de diámetros se intersecan formando un ángulo de 90°. Grafique la
situación y halle el área de la lúnula formada.
2. Dos círculos de 9,25m de radios se intersecan formando un ángulo de 2/3. Grafique la
situación y halle el área de la lúnula formada.
3. Halle el área de la lúnula mostrada en la figura:
3
2
70° 17,5cm
El área de un huso esférico se calcula mediante la fórmula: 22 RA . De donde (en radián) es el ángulo diedro formado por
las dos medias circunferencias máximas, y R es el radio.
Para en grados:
90
2RA
.
R
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153
ÁREA Y PERÍMETRO DE UNA EMBECADURA
ÁREA DE UNA ELIPSE
EJERCICIOS
1. Los diámetros de una elipse miden 7cm y 14cm. Halle el área y el perímetro
2. Calcule el área y el perímetro de una elipse cuyos radios miden 3,6m y 4,9m.
3. El diámetro mayor de una elipse excede en 3m al menor. Si el diámetro mayor mide
8,54m, halle el área y el perímetro de la elipse.
perímetrodD
menorDiámetrod
mayorDiámetroD
P
DdA
....2
22
2
D
d
rrP
rrA
22
1
4
22
r
r
EJERCICIOS
El radio de una embecadura mide
4cm. Halle el área y el perímetro.
Halle el área y el perímetro de una
embecadura de 5m de radio
Un visitante se
encuentra en el
punto A, y desea
desplazarse al
puntoB. Pero, quiere
escoger la distancia
más corta. ¿Qué ruta le
recomendarías al
visitante? 5m
La figura, representa un plano de uncentro recreacional. Halle el área total construida.
B
Ruta 1
R
u
t
a
2
12m
31,10m
5,40m
10,50m
3m
4,20m
3,80m
5,60m
56,80m
3,5m
11,30m
6,80m
7,20m
4m
1,8m 2m
2,60m
8,50m
3,90m 4,20m
10,70m
9,80m
3,20m
A
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154
ÁREA LIMITADA POR DOS O MÁS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
memaS AAA . SA Área de la región sombreada.
maA Área de la figura mayor. meA Área figura menor
PROCEDIMIENTO:
Calcule el área de la figura mayor, y el área de la menor.
Establezca la diferencia (resta) entre las áreas.
Para cada figura, halle el área de la región sombreada.
16m
8m
20m
8m
15m
5m
9m
15m
20m
7m
7m
106º
5m
3 m 4m
18 cm
7,2 m
7m
5m
6m
10m
5m
ar
3m
3 m
10m
7m 6m
12m
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155
ALGEBRA Y GEOMETRÍA -- ÁREA
En este capítulo estableceremos una relación entre la aritmética, el álgebra y la geometría.
Expresaremos algebraicamente los cálculos que sobre las principales figuras geométricas
planas realizamos aritméticamente. Es importante recalcar, que la conexión se establece con
los mismos conceptos que sobre áreas y perímetros conocemos de cada figura.
PERÍMETRO
El perímetro de una figura se halla sumando todos los lados.
EJERCICIO
Escribamos la expresión algebraica que representa el perímetro de cada figura y calculemos
el valor numérico del mismo para los valores asignados:
x
3
x 2
3x
x
2x 1 2 4
x
2x
x 1
2x 4
25x 5 5
x y z
Solución:
P = 2x 2x + 8 x 1 4x 7 = 9x + 2. Expresión algebraica
P = 9x + 2 = 9(3) + 2 = 27 + 2 = 29m
x = 3m, y = 2m, z = 1m
Solución:
P = x y z. Expresión algebraica del perímetro de la figura.
P = x y z = 3m 2m 1m = 6m. m = Metro
1
2x
2x 8
x 1 4x 7 2
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156
x 2
5y 2
8z 1 6
x 1
x 4
4x 12
4x 4 7
2x 3
8
5
2x 3
4x 2
9
x 1
10
x 3
5
4y 4
11
2x 2
12
4y 3
13
3z 11
14
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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157
ÁREA TOTAL
El área total de una figura geométrica es igual a la suma de las áreas de las regiones en que
esta se ha subdividido(suma de todas las áreas).
AT = A1 A2 ... De donde: A1 = AT A2. A2 = AT A1
EJERCICIO
Para cada figura, hallemos el área indicada:
4x2 2xy 4
x2 4xy
AT = ?
1
7y2 3xy 9
A2 = ?
AT = 11y2 2xy 9
4
8x2 2xy 1
A1 = ?
AT = 10x2 2xy 2
3
x2
x2 8
AT = ?
2
3x2 2xy 1 2x
2 1 5x
2 xy 2
AT = ?
5
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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158
ÁREA
Aplicando el concepto y la fórmula de área para cada figura, hallemos la expresión algebraica
que representa el área y calculemos la misma para los valores asignados.
Recordemos que:
El área se expresa en unidades cuadradas. u2 = Unidad cuadrada.
Después de reemplazar las letras por su valor numérico y realizadas las operaciones indicadas, al
número que resulta se le agrega u2.
EJEMPLO
Hallemos la expresión algebraica que representa el área de cada figura, y además el valor de las
misma para los valores indicados.
La figura 3 es un cuadrado:
EJERCICIO
Para cada figura, halle la expresión algebraica que representa el área y el perímetro si es
posible. Además, determine el valor numérico para los valores indicados.
2
2
9uA
14y4yA
22
222
914414)1(41)1(4)1(4
:1
exp....144)12(
12
uA
yPara
resiónyyyAkA
yk
Solución:
La figura 1 es un rectángulo:
2
2
12uA
A
2x2xA
4842(4)
2(2)2(2)2x2x
:2
...
22))(22(
:.
22
22
2
exp
xPara
xxxxbhA
EntoncesbhA
xhyxb
áreaelrepresentaqueresión
La figura 2 es un círculo:
2
2
u25πA
πA
9πx24πx16πA
2
2
222
2
259π48π64π
:2
exp...
.92416
)92416()(
:.
3468
34
268
2
u
xPara
resión
xxA
xxrA
EntoncesrA
xrxd
x
xd
VALORES
x = 2
y = 1 2x 2
x 1
2
8x 6
2y 1
3
VALORES: x = 2, y = 1
y 2 3x 1
1 2
x
y
10x 3
x 6
3
4
6x
4x 1
3x 5
4x 1 5
y 1
6
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mapb
159
159
2y 3
9
y
8
2x 1
3y 1 7
x 2
2x 5
21
17
x 7 8
x 1
19
5x 3
3x 2
5 14 8x 6
20 2x
4x 3
18
x
x 4
22
2x 9
24
x 1
2/3
23
8x 1
2x 3
10
y 6
x 2 11
x 2
2x 3
x 7
15 x
4x 2
2x 16
x 7
x 1
13
RECUERDE PRODUCTOS NOTABLES
abxabxabaxbxxbxax
babbaabababbaaba
babababababa
)(.3
.33.33.2
.2.2.1
22
3223332233
222222
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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160
ÁREA LIMITADA POR DOS O MÁS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Área limitada por dos figuras geométricas = Área figura mayor área figura menor
EJERCICIO
Para cada figura, halle el área de la región sombreada:
ÁREA DE FIGURAS IRREGULARES
Llamaremos figuras irregulares a aquellas formas geométricas que carecen de un patrón
definido, y por ende, no tienen una expresión(fórmula) que permita calcular su área.
Veamos:
Para estas figuras geométricas, no existen fórmulas que permitan hallar el área.
...
.
menorfiguraáreamayorfiguraáreasombreadaregiónárea memaS
memaS
AAA
AAA
2x +1
1 3x 2
x
4x 6
2
3
x + 3
x 1
x 5
x 12
5
4
2x 2
3x +2
r = a
x +1
x
x 1
6
7
3x + 2
8
x + 3
x + 1
4x 3
9
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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161
CÁLCULO APROXIMADO DEL ÁREA DE UNA FIGURA IRREGULAR
No exite un fórmua mágica que permita determinar o calcular el área de una figuar irregular,
la destreza del interesado juega un papel muy importante en esta tarea. No obstante, la
comprensión del procedimiento que acontinnuación se describe facilita el trabajo.
En el interior de la figura irregular, se trazan figuras regulares(rectángulos, cuadrados,
triángulos, rombos, trapecios y semicírculos principalmente).
Se miden las dimensiones necesarias para hallar el área de las figuras regulares trazadas.
Se calcula el área de cada figura regular construida, y se hace una suma.
EJEMPLO
Hallemos el área aproximada de la siguiente figura.
Como se puede observar, la figura irregular se ha dividido en 1 trapecio y 12 triángulos. Calculando
las áreas:
Trapecio:
Para los triángulos:
Sumando las área se tiene que: . Esta es el área aproximada de la figura
Halle el área aproximada de las figuras irregulares anteriores
222
222
222
222
59.02
)4,0)(98,2(23.0
2
)32,2)(2,0(.15.0
2
)25,0)(2,1(
.56.12
)5,0)(25,6(.09.0
2
)2,0)(91,0(.09.0
2
)2,0)(9,0(
.15.12
)7,0)(3,3(.27.0
2
)18,0)(3(.7.0
2
)37,0)(8,3(
.72.02
)38,0)(5,3(.71.1
2
)56,0)(13,6(.67.0
2
)41,0)(4,3(
2
mmm
mmm
mmm
mmmbh
2m,3 075
214,272
)1,3)(51,17(
2
)1,3)(39,813,9(
2
)(m
hbBA
Orden seguido para calcular las áreas, y de adentro hacia afuera
1,2m
9,13m
8,39m 0,18m
0,37m 3,8m 3m
0,56m
0,2m
0,9m
3,3m
0,7m
0,91m
0,2m
0,25m
6,25m
2,98m 0,4m
3,4m
0,41m 6,13m
3,5m
0,38m
3,1m
0,5m
Minimizando y
seprando las figuras
0,2m 2,32m
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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162
162
COMPROBACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS DESDE EL CONCEPTO DE ÁREA
Consideremos los siguientes cuadrados:
En la figura 1:
Dentro del cuadrado mayor se ha construido otro más pequeño de lado r, que es la hipotenusa de cada
uno de los triángulos rectángulos formados por los lados de los dos cuadrados.
El lado del cuadrado mayor es la suma de los segmentos b y q, o sea:
Área del cuadrado mayor:
Área del cuadrado menor:
Área de cada uno de los triángulos: . Área total de los 4 triángulos:
Como el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas en que éste ha sido dividido,
entonces:
Realice la comprobación con la figura 2
OTRA FORMA
Consideremos el triángulo rectángulo cuyos lados son la terna de números pitagóricos 3, 4 y 5
qb 2)( qb
2r
2
bqbq
bq2
2
4
semejantesostérreduciendocomprobadorqb
binomioelndodesarrollarbqqbqb
rbqqb
min.........
...22
2)(
222
222
22
q b
r r
r r
q
b
q
b
q b
1
q
b
q
b
r
r
2
En cada lado del triángulo, se trazan
cuadrados de igual longitud del lado
Cada lado de cada cuadrado, se divide en
partes iguales según indiquen los números
pitagóricos.
Cada lado del cuadrado b se ha dividido en
tres partes iguales, el cuadrado q en 4, y el
cuadrado r en 5.
El cuadrado de la hipotenusa tiene 25 cuadritos
El cuadrado del cateto mayor tiene 16 cuadritos
El cuadrado del cateto menor tiene 9 cuadritos
comprobadobqr
potenciadeformaenresando
Comparando
....
exp...345
91625
222
222
:
4
5
3 b
q
r
Compruébelo para
la terna: 5, 12 y 13
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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163
VOLÚMENES Y ÁREAS DE LOS PRINCIPALES POLIEDROS
VOLUMEN Y ÁREA DE UN ORTOEDRO
Consideremos el siguiente ortoedro:
Arista: Línea formada por la unión de dos caras.
Cara: Cada uno de los rectángulos que forman el ortoedro.
DESARMANDO LA FIGURA:
………………Expresión que permite calcular el volumen de un ortoedro.
VOLUMEN: Espacio que ocupa un cuerpo.
ÁREA LATERAL: Es el área de las caras laterales de un poliedro.
ÁREA DE LA BASE: Es el área sobre la cual descansa la figura.
ÁREA TOTAL: Es la suma del área lateral más el área de las bases.
hbaV
totaláreaelcalcularpermitequeExpresiónabbahBAA
abBentoncesbasesdostieneComo
baseladeÁreaabB
lateraláreaelcalcularpermitequeExpresiónbahbhahA
bahbhahbhbhahahA
LT
L
L
.........2)(22
22:,
....
.).........(222
)(222
Todas las caras son rectángulos
Hay 2 caras que sirven de base, y 4
que son caras laterales
a
b
h
h h a
b Base Base
El volumen de un ortoedro es igual
al producto de sus tres dimensiones:
Largo x ancho x alto )( hba
baseladeáreaB
atotaláreA
lateraláreaA
volumenV
T
L
Diagonalhbad .222
a
b
h
Cara
Arista
22 ba
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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164
EJEMPLO 1.
Hallemos el volumen, el área lateral, área total y la diagonal de un ortoedro cuyas
dimensiones son: 8cm, 5cm y 2cm.
Solución:
EJEMPLO 2.
La siguiente figura representa un depósito de agua construido en una cominidad
Solución:
a) El volumen del deposito se halla multiplicando las tres dimensiones:
b) Aplicando una regla de tres simple directa, calculamos los litros que puede contener:
cmcmd
cmcmcmcmcmcmhbad
cmA
cmcmcmcmBbahBAA
cmcmcmabB
T
LT
64,993
42564)2()5()8(
132
8052)40(2522)(22
.40)5)(8(
2
222222222
2
2222
2
33 000.400.102´104,10102)16)(5,20)(8,30( cmmmmmV
litrosxdondeDe
x
cmLitros
400.102.101000
000.400.102´101:
000.400.102´10
10001
3
8cm 5cm
2cm
.52)13(4
)58)(2(2)(2
80)2)(5)(8(
.2.5.8
2
3
cmcmcmA
cmcmcmbahA
cmcmcmcmabhV
cmhcmbcma
L
L
30,8m
20,5m 16m
a) Hallemos el volumen apróximado del depósito
b) ¿Cuántos litros de agua puede contener
c) Si un litro de agua se vende a $14,5. ¿Cuánto dinero
se recauda?
d) Si en la comunidad hay 135 casas y cada una
consume en promedio 99,5 litros de agua cada día,
¿para cuántos días alcanza el agua?
e) Si una familia de 15 miembros puede consumir el
depósito en 30 días, ¿en cuántos días lo consumirá
otra familia que tiene 5 miembros más…?
33
3
1000000
1000
1
1
:Re
cmm
cmlitro
quecuerde
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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165
c) Vendiendo los 10´102.400 litros de agua a $14.5, se recauda:
d) Como cada casa consume en promedio 99,5 litros de agua por día, las 135 casas
consumen en un día:
Aplicando una regla de tres simple directa . Entonces:
e) Como a más personas consumiendo agua, la misma alcanza para menos días, en este
caso, aplicamos una regla de tres simple inversa. La primera familia tiene 15 miembros
y la segunda 20 miembros, porque según el enunciado, tiene 5 más. Entonces:
EJERCICIOS
1. Halle el volumen, el área total y la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones miden 6m,
12m y 8m.
2. Las dimensiones de un ortoedro son: 5m, 9m y 12m. Calcule el volumen, el área total y la
diagonal.
3. El volumen de un ortoedro es de 192cm3 y dos de sus dimensiones son 8cm y 6cm. Halle
la otra dimensión, el área lateral y la diagonal.
4. ¿Cuánto cartón se necesita para hacer una caja sin tapa, que tenga forma de ortoedro rectangular cuyas dimensiones sean: 4cm, 3.5cm y 2cm. Sugerencia: Halle el área de las caras.
5. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular miden: 6m, 8m y 3m.
a) ¿Cuánto cartón se debe comprar para construir el paralelepípedo sin tapa y cuánto, con tapa?
b) Si el m2 de cartón cuesta $ 46.89, ¿con cuánto dinero se pueden construir los
paralelepípedos?.
6. Se van aguardar libros en una bodega de dimensiones 4m, 7m y 3m. Si la dimensión de
cada libro es 20cm, 10cm y 4cm, calcule el número de libros que se puede guardar en esa
bodega.
7. Las dimensiones de una piscina que tiene forma de ortoedro miden 30m x 10m x 3m.
a) Halle el volumen de la piscina
b) Si se estima que una persona tiene un volumen de 51000cm3, ¿cuántas personas
caben en la piscina?
c) Si el litro de agua cuesta $25.56, ¿cuánto cuesta llenar la piscina?
d) Si una llave que vierte 20 litros por segundos, llena la tina en 12 horas, ¿en cuántas
horas la llenará otra llave que vierte las 2/5 de la primera en el mismo tiempo?
Nota: Para cada ejercicio, construya una gráfica que represente la situación.
800.484´146$)400.102´10(5,14Re caudo
litros5,13432)5,99(135
díasxdondeDe
x
díasLitros
08,7525,13432
400.102´10:
400.102´10
15,13432
díasxx
dondeDe
x
díasPersonas
5,2220
1530
15
2030:
20
3015
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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166
VOLUMEN Y ÁREA DE UN CUBO O HEXAEDRO
Fórmula para calcular la arista.
El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo, o sea, elevada a la 3.
DESARMANDO LA FIGURA:
EJEMPLO 1.
Calculemos el volumen, el área total y la diagonal de un cubo de 4,25m de arista.
Solución:
3Vk
K
K
K
Arista
kd 3
.6
6242
.22.
.4
4
.
2
222
22
2
22222
33
kA
kkkBAA
kBkB
kA
kkkkkA
kVkkkkV
T
LT
L
L
73,13
4,25m
mmkd
mmmkA
mmkVmk
T
35,7)25,4(73,13
.37,108)062,18(6)25,4(66
76,76)25,4(.25,4
2222
333
K
K K
Todas las caras son cuadrados.
Hay 2 caras que sirven de base, y 4 que
son caras laterales
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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167
EJEMPLO 2.
Si la arista de un cubo se duplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen?
El nuevo volumen(2) es 8 veces el volumen inicial (1) ó el volumen inicial (1) es la octava
parte del volumen final (2). Lo que indica, que por cada unidad del volumen (1), hay ocho
unidades del volumen (2). O sea, están en una proporción de 1:8 ó de 8:1
Haciendo uso de la ecuación anterior( ), complete la siguiente tabla para los valores
indicados e indique la proporción
Proporción
8
3
30 1:8
15
5
¿Qué puedes opinar acerca de las proporciones?
EJERCICIOS
1. La arista de un hexaedro mide 4m. Calcule el volumen, el área total y la diagonal.
2. Halle el volumen, el área lateral y la diagonal de un cubo de 5,8cm de arista.
3. Halle la arista y la diagonal de un cubo cuyo volumen es de 512m3.
4. El volumen de un cubo es de 125cm3. Halle: La arista, el área total y la diagonal.
5. La diagonal de un cubo mide 10,38cm. Halle: La arista, el área total y el volumen.
6. ¿Cuánto cartón se necesita para construir un caja de forma cúbica de 9,5 cm de arista
8. Si el m2 del numeral 6 cuesta $ 250,25. ¿Cuánto dinero se necesita?.
9. Si la arista de un cubo se triplica, ¿en cuánto crece el nuevo voumen y la nueva área
total?
10. Si la arista de un cubo se reduce a la mitad, ¿en cuánto decrece el nuevo volumen y la
nueva área total?
12
2
1
3
3
2
1
33
2
33
1
8:,8
1
8
:)2()1(
)2.....(8)2()1.....()(
:
VVdondedeV
V
k
k
V
V
yvolúmeneslosentreproporciónlandoEstablecie
kkVkkV
volúmeneslosHallemos
12 8VV
1V 2V
Como se puede observar, la
arista del cubo de la derecha es
el doble de la del cubo de la
izquierda k
1V
2k
2V
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168
VOLUMEN Y ÁREA DE UN PRISMA
n = Número de lados. L = longitud de los lados. h = altura.
B = área de la base. a = apotema. P = perímetro.
BhV . Pero: 22
PanLaB . Entonces:
2
ahnBhV
L .
nLhAL
h)nL(aAT
)(222
hanLnLhnLanLhnLhBAnLa
T
El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
El área lateral de un prisma es igual al producto de la altura(h) por el perímetro de la sección
recta.
EJEMPLO
Un prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero de 8m de lado. Si la altura
del prima es de 10m, calculemos el volumen y el área total.
Solución:
8m
10m
2
2
68,272
36,55
2
)92,6(8
2
.92,62
84,13
2
)8(73,1
2
3
10.8..2
.2
3
mmmmhb
B
mmmL
h
mhmLtriánguloÁreahb
A
equiláterotriánguloalturaFórmulaL
h
a
L
L
h
En este caso, el prisma es pentagonal,
porque su base es un pentágono.
Cualquier polígono puede servir de base.
Todas las caras son crectángulos.
L
L
h
L
L
DESARMANDO LA FIGURA:
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169
EJERCICIOS
1. Un prisma recto tiene como base un cuadrilátero cuyos lados miden 8cm y 12cm. Halle el
área total y el volumen, si la altura mide 15cm.
2. Un prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero de 4cm de lado. Si la
altura del prima es de 7cm, calculemos el volumen y el área total.
3. Un prisma hexagonal recto tiene por base un hexagono de 2m de lado. Si la altura mide
90cm, halle el volumen y el área lateral.
Ayuda: . Apotema de un hexagono.
4. Un poste de alumbrado tiene 6m de altura y base hexagonal regular de 18cm de lado.
Calcule el volumen y el área total del poste.
5. Un prisma tiene por base un cuadrado de 10m de lado. Si alcanza una altura de 5m, halle
el volumen y el área total.
6. Un prisma tiene por base un rombo cuyas diagonales miden 9m y 14m. Si el prisma
alcanza una altura de 3m, halle el área total y el volumen.
7. Para almacenar agua, una comunidad construye un lago en un terreno. Dos de las caras
laterales son trapecios isósceles cuyas bases miden 9m y 12m, el fondo y las otras paredes
son rectángulos. Las caras trapezoidal están separadas por una distancia de 100m. Si
máxima altura que alcanza el agua almacenada es de 5m, determine:
a) La capacidad(volumen) del lago. Exprese el volumen en litros
b) Si cada litro de agua tiene un valor de $245,86 ¿cuánto dinero recaudará la
cominudad?
totaláreaelesestammBAA
baseslasdeáreaelesestamB
lateraláreaelesestammnlhA
n
volumenelesestemmBhV
LT
L
2
2
2
3
295,36m
55,36m
240m
276,8m
22
2
2
36,552402
.)68,27(22
.)10)(8(3
.3
)10(68,27
2
3 La
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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170
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VOLUMEN Y ÁREA DE UNA PIRÁMIDE
EJEMPLO
Hallemos el volumen de una pirámide que tiene una altura de 11m y su base es un rectángulo
de 7m y 4m de lado
Solución:
EJERCICIOS
1. Halle el volumen de una pirámide que tiene 5cm de altura y su base es un cuadrado de 8cm de
lado.
2. Halle el volumen de una pirámide que tiene 15m de altura y su base es un rectángulo de 500cm y
300cm.
3. Halle el volumen y el área total de un tetraedro regular si la arista mide 8cm.
Tetraedro regular: Pirámide cuya base y caras laterales son triángulos equiláteros
4. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado de 9m de lado y alcanza una
altura de 4m. Halle el volumen de la pirámide. 5. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado cuyo lado mide 232m y la arista de
las caras laterales tiene igual medida que el lado de la base. Calcule el volumen y el área total.
caraunadeáreal
Atetraedrovolumenl
V ....4
3....
12
2 23
32
2
66,1023
)11(28
3:
28)4(7:
.33
1
mmmBh
V
mmmB
BAABh
BhV
pirámideVolumen
baseladeÁrea
LT
11m
7m
4m
BAABh
BhLT
V .33
1
El volumen de una pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base por la altura.
El área lateral se halla sumando las áreas de los triángulos (caras laterales).
En una pirámide regular, la apotema es la altura de los triángulos isósceles de las caras laterales
Cara lateral
Altura
Arista
Base
h
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VOLUMEN Y ÁREA DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO
EJEMPLO1.
Hallemos el volumen y el área lateral de un cilindro que tiene un diámetro de 9cm y una
altura de 14cm.
Solución:
)(2)(222
2.2..
.1416,3.2
.2
....
2
22
rhrArhrrrhA
BAArhArBhrV
drrd
GeneratrizgAlturahRadiorDiámetrod
TT
LTL
12cm
9cm
.29,339)12)(5,4)(1416,3(22
4,763)12)(25,20)(1416,3(
).12()5,4)(1416,3(
.1416,3.12.5,42
9
2.9
2
22
22
cmcmcmrhA
cmcmcmV
cmcmhrV
cmhcmcmd
rcmd
L
El volumen de un cilindro se
halla multiplicando el número
por el radio al cuadrado y
por la altura
h
r
d
h
r
r2
r
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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172
EJEMPLO 2.
¿Cuál debe ser el radio de un cilindro para que el área lateral sea el triplo del área de la base?.
Solución:
El ejemplo nos muestra, que el área lateral equivale tres veces el área de la base, entonces:
El radio debe ser las dos terceras partes de la altura.
Halle el valor del radio para las siguientes alturas: 10m, 15cm, 25m y 36cm.
EJERCICIOS
1. Un tanque cilíndrico tiene 5m de radio y 10m de altura. Halle el volumen y el área total.
2. La base de un cilindro tiene un diámetro de 16cm. Calcule el volumen y el área total, si la
altura es de 2cm.
3. ¿Cuál es la altura de un tanque cilíndrico que tienen una capacidad de 400litros, si su
diámetro es de 75cm. Ayuda: Litro = 1000cm3.
4. Un tanque cilíndrico tiene 1000cm de diámetro y 12cm de altura. ¿Cuántos galones de
gasolina puede contener?. Ayuda: Galón = 3,78 litros.
5. Un tanque cilíndrico tiene 500cm de diámetro y 2,5m de altura. Calcule el área total y el
volumen.
6. ¿Cuál es el radio de un cilindro, si el área lateral es el doble del área de la base?.
VOLUMEN Y ÁREA DE UN CONO
.3
2
3
232
:),1()3()2(Re).3().2(2
)1(3
3
22
2
2
hh
rh
r
rrrh
tieneseenyemplazandorBrhA
BA
L
L
)()(
..3
1..
2
2222
rgrArgrrgrBAA
rBrgAhrVrghGeneratrizg
TLT
L
h g
r
r
g
r2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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173
EJEMPLO
Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 1,12m y 2,4m. ¿En qué
proporción están sus volúmenes?.
Solución:
Los volúmenes están en una proporción de 1 a 5, o sea, que V1 es la quinta parte de V2 o en
su efecto, V2 es 5 veces V1.
EJECICIOS
1. El radio de la base de un cono recto mide 4m. Si la altura y la generatriz miden 5m y 8m,
respectivamente. Halle el volumen y el área total.
2. Halle el área total y el volumen de un cono sabiendo que el radio de la base mide 3cm, la
altura 5cm y la generatriz 6cm.
3. Halle el volumen y el área total de un cono sabiendo que el diámetro de la base mide12m,
la altura 6m y la generatriz 9m.
4. Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 8cm y 4cm. ¿En qué
proporción están sus volúmenes?.
5. Dos conos tienen el mismo diámetro y sus alturas miden 6cm y 4cm. ¿En qué proporción
están sus volúmenes, áreas laterales y áreas totales?.
6. La generatriz de un cono mide 12m y el área lateral de la superficie desarrollada forman
un sector circular de 60º. Calcule el volumen y el área total.
7. Si el área total de un cono es 75,24cm2 y la generatriz es el doble del radio de la base,
determine el volumen.
8. La capota de una lámpara es de forma cónica. Su diámetro es de 6,5cm y su altura es de
14cm. ¿Cuál es el volumen?.
VVV
V
h
h
V
V
proporciónlandoEstablecie
hhhrVhhhrV
volúmeneslosCalculando
122
1
2
1 55
1
5
1
10
22,0
48,0
10,0
:
.48,0)2,1(3
1
3
1.10,0)56,0(
3
1
3
1
:
22
22
22
11
h
g
d2
h g
d1
mmd
r
mmd
r
mdmdhh
2,12
4,2
2
56,02
12,1
2
.4,2.12,1.
22
11
21
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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174
VOLUMEN Y ÁREA DE UNA ESFERA
Semiesfera: Mitad de una esfera.
EJEMPLO
Si el diámetro de una esfera es tres veces el radio de otra esfera, determine:
a). La razón entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas.
c). La razón entre los dos volúmenes.
Solución:
.
2
9
24
108
3
8
274
3
2
34
3
4:1
.4
9:.
4
9
4
9
4
9
:
.4.94
94
2
344:1
.3
2
2
3
.2
332
33
33
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
21
2
1
1
22
22
1
2
11
2
1
2
1
11
12
2:exp.
2
3
rr
rr
r
VesvolumenEl
A
A
r
r
A
A
áreaslasentreproporciónlandoEstablecie
rAr
rrrAesáreaEl
rry
rr
r
r
rr
esáreaslasderazónLa
quetieneseresiónanteriorlaDeesradioslosderazónLa
Esfera 1 Esfera 2
D1 = 3r2
2r1 = 3r2
33
2
13
4
3.
4
4.6
1
3
4
82.
2
2233
33
3
VVr
Ar
drAdrV
ddr
dr
r
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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175
EJERCICIOS
1. Calcule el volumen y el área de una esfera de 1,5cm de radio.
2. Halle el volumen y el área de una esfera de 5m de diámetro.
3. Los radios de dos esferas miden 4m y 6m. Halle los volúmenes y las áreas
4. 8cm y 7cm son los diámetros de dos esferas. ¿En qué proporción están los volúmenes y
las áreas?.
5. Halle el volumen y el área de una semiesfera de 9m de diámetro.
6. Encuentre el espesor de una esfera hueca, si la superficie exterior mide 4m2 y la
interior 3,8m2. Ayuda: Calcule los dos radios y establezca la diferencia.
7. El área de una esfera mide 40cm2. Halle el radio y el volumen de la esfera.
8. El volumen de una esfera es de 27m3. Halle el radio y el área.
9. ¿Porqué número debe multiplicarse el diámetro de una esfera para que: a). Su área se
duplique? b). Su volumen se triplique?.
10. Si el diámetro de una esfera es el doble del radio de otra esfera, determine: a). La razón
entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas. c). La razón entre los dos
volúmenes.
RELACIÓN ENTRE EL VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR CIRCUNSCRITO A UNA
ESFERA (LA ESFERA DENTRO DEL CILINDRO)
.8
27:.
8
27
8
27
8
327
3
4
2
9
.3
4:2
2
1
22
2
2
1
2
3
2
3
3
3
2:
esvolúmeneslosderazónLa
volúmeneslosentreproporciónlandoEstablecie
V
V
r
r
r
r
V
V
r
VesvolumenEl
Lo anterior se interprreta a sí: El volumen del cilindro es 3/2 del volumen de la esfera o el volumen de
la esfera es 2/3 del volumen del cilindro
V cV eoV eV cV e
V c
V e
V c
x
x
x
x
yvolúmenesdoslosentrerelaciónlandoEstablecie
3
2
2
3
2
3
2
3
4
6
4
6
:)2()1(
3
3
3
3
6
4
x
x
Como se puede observar, dentro del cilindro hay una esfera
cuyo diámetro es igual a la altura y al diámetro del cilindro
Hallemos los volúmenes y establezcamos la relación:
)2.....(6
3
3
3
24
3
34.
2
)1.....(4
)()2
.2
)(
(.3222
xrr
Esfera
xhrhrrxh
Cilindro
x
V ex
xxV c
x
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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176
VOLÚMENES DE SÓLIDOS TRUNCADOS, SECCIONADOS Y EN DIFERENTES POSICIONES
VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
EJERCICIOS
1. El área de las bases de un tronco de pirámide miden 16cm2 y 8cm
2. Si la altura que las separa es
de 7cm, halle el volumen del tronco de pirámide que forman.
2. Las bases de un tronco de pirámide son dos cuadrados de 10m y 6m de lado. Calcule el volumen,
si altura que las separa es de 8m.
3. Las bases de un tronco de pirámide son dos triángulos equiláteros de 5cm y 0,15m de lado. Si la
altura que separa las dos bases es de 15cm, halle el volumen.
4. Dos rectángulos uno de 4cm y 7cm de lado y el otro de 3,6cm y 4,9cm de lado, son las bases de
un tronco de pirámide. Halle el volumen.
5. Los volúmenes de un tronco de pirámide y una pirámide miden 36m3 y 20m
3. Si el tronco
sostiene la pirámide y las dos bases están separadas por una distancia de 10m, halle la altura de la
pirámide y la altura que alcanzan las dos figuras.
VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO
EJERCICIOS
1. Un tronco de cono tiene como bases dos círculos de 18cm y 9cm de diámetros. Si la altura que las
separa es de 5cm y su generatriz mide 8cn, halle el volumen y el área total
2. 8,5m y 4,5m son los radios de un tronco de cono. Si la altura que separa los dos círculos mide 3m
y la generatriz vale 7m, halle el volumen y el área lateral.
3. 14cm y 8cm son los radios de un tronco de cono. Si la altura del tronco mide 9cm, halle: a). El
volumen. b). El volumen del cono restante. c). l volumen de todo el cono.
.
33
1
.2.1
3
31
2
1
22121
22121
21
2
1
21
2
.
2
h
h
V
V
hBBBBhBBBBV
hhhh
h
h
baseladeÁreaBbaseladeÁreaB
pírámideladeAltura
basesdoslasseparaqueAltura
pirámideladevérticeelhastabaseladesdevaqueAltura
h B2
h1
h2
B1
B2
B1
h
)(
)(
33
1
..
.2.2.
22
22
222
2
1
2
21
..
rRAA
rRgA
RrrRhRrrRhV
r
R
h
h
r
R
d
D
rdRDhhh
R
LT
L
menorcírculoRadiormayorcírculoRadio
h
h2
h1
R
r
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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177
R
h
CILINDRO OBLICUO
hRV 2
1
h
2
h
R
CILINDRO TRUNCADO
)( 21
2 hhRV
R r
h
CILINDRO HUECO
)( 22 rRhV
R
h
CONO OBLICUO
3
2hRV
h
R
SECTOR ESFÉRICO
3
2 2hRV
d
D
k
ELIPSOIDE
3
4 DdkV
h
b
B
SEGMENTO ESFÉRICO
áreassonbyB
hhbBV
,
62
3
n
R
CUÑA
gradosenÁngulon
nRV
3603
4 3
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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178
PRINCIPALES POLÍGONOS
Polígono: Figura cerrada que tiene varios lados.
Polígono regalar: Es aquel que tiene sus lados iguales (la misma medida)
Figura
Nombre
Características
Área
Triángulo
Tiene tres lados, tres ángulo y
tres vértices
Triángulo
rectángulo
Tiene un ángulo recto(90º)
Triángulo
isósceles
Tiene dos lados iguales
Triángulo
equilátero
Tiene tres lados iguales
Cuadrilátero
Tiene cuatro lado
Rectángulo
Cuadrilátero que tiene los
cuatro ángulos iguales y los
lados paralelos iguales dos a
dos
Paralelogramo
Tiene sus lados paralelos e
iguales dos a dos
Trapecio
Tiene un par de lados
opuestos paralelos
Cuadrado
Tiene 4 lados y 4 ángulos
iguales
Rombo
Tiene 4 lados iguales y los
ángulos contiguos desiguales
Pentágono regular
Tiene 5 lados iguales
Hexágono regular
Tiene 6 lados iguales
2
bh
2
bh
2
bh
2
bh
bh
bh
2
hbB
2k
2
Dd
2
nla
2
nla
h
b
h
b
B
h
b
b
h
k
l a
D d
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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179
PRINCIPALES POLIEDROS
Poliedro: Sólido que tiene varias caras.
Poliedro regular: Cuando las caras son polígonos regulares iguales.
Figura
Nombre
Características
Tetraedro regular
Tiene 4 caras iguales. Las caras son triángulos
equiláteros
Cubo o hexaedro
Tiene 6 caras iguales. Las caras son cuadrados
Prisma recto
Poliedro limitado por varios paralelogramos y
dos polígonos iguales cuyos planos son
paralelos(bases)
Paralelepípedo
Prisma cuyas bases so paralelogramos
Pirámide
Poliedro que tiene una cara llamada base, que
es un polígono cualquiera y las otras , llamadas
caras laterales son triángulos que tienen un
vértice común.
Cilindro
Sólido formado por dos curvas cerradas
paralelas.
Cilindro
Sólido formado por dos curvas cerradas
paralelas.
Esfera
Sólido o espacio limitado por una superficie
curva cuyos puntos equidistan todos de otro
interior llamado centro.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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180
VOLUMEN TOTAL
El volumen total de un cuerpo sólido que está formado por varios poliedros regulares, se
halla sumando los volúmenes.
321 VVVVT TV Volumen total. 1V Volumen primer sólido.
2V Volumen segundo sólido. 3V Volumen tercer sólido.
Volumen sólido cuatro, cinco, seis, siete, ocho, …
EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen total:
3
4..
3
32.
2
..
32
2
3
rhr
hr
BhPahnlah
BhabhK
5cm
3cm 3cm
11cm
8cm
4cm
1
10m
10m 10m
12m
9m
2
14,78m 8m
9,8m
7,96m
11,6m
5m
16m
10m
3
Halle el área total de las figuras 2 y 3
Análisis:
Halle por separado el volumen de cada
uno de los sólidos involucrados en la
figura, luego, sume los volúmenes
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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181
VOLUMEN LIMITADO POR DOS SÓLIDOS
El volumen limitado por dos sólidos, se halla estableciendo la diferencia (resta) entre el
volumen del sólido mayor y el sólido menor.
memaL VVV . LV Volumen limitado por los dos sólidos.
maV Volumen sólido mayor. meV Volumen sólido menor.
EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen limitado:
14,6m
8m
3
14m
17m
5
7 8
8
1
7cm
9cm
19cm
15,79cm
6
19m
10,5m 8,2m
4
18cm
18cm
6cm
2
Análisis:
Calcule el volumen del sólido mayor.
Calcule el volumen del sólido menor.
Halle la diferencia (resta) entre los dos volúmenes
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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ALGEBRA Y GEOMETRÍA -- VOLUMEN
En este capítulo estableceremos una relación entre la aritmética, el algebra y la geometría.
Expresaremos algebraicamente los cálculos que sobre los principales poliedros (sólidos)
realizamos aritméticamente. Es importante recalcar, que la conexión se establece con los
mismos conceptos que sobre volumen y áreas conocemos de cada poliedro.
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, hallemos la expresión algebraica que representa el volumen y el
área de la región sombreada. Además, el valor numérico para x = 2.
, valor numérico
Para la región sombreada:
La misma es un rectángulo cuyos lados miden . Pero es la diagonal de la cara
frontal del poliedro, aplicando el teorema de Pitágoras para esta diagonal:
5221244)1()2( 22222 xxxxxxxxd , este es el valor del
lado del rectángulo, calculando el área del rectángulo ( región sombreada):
5121162522)1()1( 2342 xxxxxxxxdA
212,36u 1535244448325)2(12)2(11)2(6)2(2 234A
EJERCICIOS
1. Aplicando el concepto y la fórmula para cada sólido, halle la expresión algebraica que
representa el volumen y el área total de cada figura. Si en alguna figura hace falta
informción, no realice el cálculo exigido
Solución: El poliedro involucrado es un ortoedro de
dimensiones . Entonces:
,
esta es la expresión algebarica que representa el
volumen
d
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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RECUERDE:
El volumen se expresa en unidades cúbicas…………….u3 = unidad cúbica.
Después de reemplazar las letras por su valor numérico, y realizadas la operaciones
indicadas, al número que resulta se agrega u3.
2. Para cada figura, halle el volumen limitado.
6
2y +4 2z + 2
z + 1
4 5
2x 1
x = 2, y = 3, z =
4
Halle el área
lateral y total
de las figuras:
1, 3, 4 y 8
3
x 1
3x
3x + 2
6x 2
2 3y + 1
5y 2
x
2x + 1
2x + 3
7 8 x + 4
2x + 1
y + 4
2y + 3
y
9
2x + 2
5x
4x + 3
1
2
2y + 1
2y + 6
2y
3
3z + 1
z + 4 z
3x + 2
5
5x 4
5z 3
z 4
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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184
3. Para cada figura, halle la expresión que representa el volumen y el área de la región
sombreada y además, halle el valor numérico para: 1x
x
2x + 2
2x
x
3x
4x
6x
2x
x+ 1
4x 3 2x + 1
x
x +3
x+ 1
x
A B
E C
D
El perímetro de la figura ABCDE mide
160m. El triángulo CDE es equilátero. Si el
lado AB es el doble del lado BC, halle el
perímetro del triángulo y el área total de
la figura
M N
P Q
El perímetro del cuadrado MNPQ mide
480m. El cuadrado mayor se ha dividido
en 4 cuadrados, el cuadrado de la parte
inferior izquierda se ha dividido en 6
rectángulos, halle el perímetro del
rectángulo rayado(tramado)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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CÁLCULO DE LA ALTURA, VOLUMEN, ÁREA LATERAL Y ÁREA TOTAL DE UN
TETRAEDRO REGULAR
Para hallar la altura h del tetraedro, primero debemos determinar los valores del cateto K y de
la hipotenusa r del BQF, para luego, calcular la altura FR = h del triángulo QRF que es la
misma altura del tetraedro.
Calculando :
Calculando en el QRF la altura :
….esta es la altura del tetraedro
Calculando el área de la base:
El volumen del tetraedro es:
ryK
6L3
K
63
33
230tan
22
30tan LLgLKLKg
3
rL3
3
2
4
2
22 363
63 22
2222 LLLLK LLr
h
Lh3
2
3
223
22222 LLLrLh
4
L3 2
2
2
3
2
)(
)(.....23
LL
QMLB
equiláteroPQDdelalturaL
QM
12
L3V
3
12
L2
3
L3
2
4
2L3
3
3BhV
TETREADRO REGULAR: Poliedro que
tiene 4 caras iguales, las mismas son
triángulos equiláteros. Esto muestra,
que las aristas tienen la misma medida.
En nuestro caso, la figura PQRD es un
tetreadro regular de arista L.
El triángulo PQD es la base del
tetreadro y además es equilátero. Cada
uno de los ángulos interiores de estos
triángulos mide 60°.
Las alturas que se trazan en un
triángulo equilátero son bisectrices,
medianas y mediatrices.
Todos los triángulos que forman las
alturas y las intersecciones de las
mismas son rectángulos, y además son
30°, 60° y 90°.
M
30°
L L
P Q
R
D
F
h
2LB
r
L
K
Calcule usted el área
lateral y el área total
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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AUTO EVALUACIÓN NRO 5
1. Relacione cada figura con la fórmula para calcular su área:
a Triángulo. e Corona circular. i Círculo
b Cuadrado. f Embecadura. j Polígono regular.
c Rombo. g Sector circular. k Elipse.
d Trapecio. h Trapecio circular.
.2
)(.
2.
360.
2.
22.
2
22hbBrrDdpanlabh
.
360.
2.
4
4..
222222222
rRrRrrkrR
2. Relacione cada figura con la expresión que permite determinar su volumen:
a Esfera. e Cubo.
b Tronco de cono. f Cilindro.
c Prisma. g Tronco de pirámide.
d Ortoedro. h Pirámide.
).(2.22
.2)(2..6. 2 rhrpahnlah
abbahBhkabh
)(.3
...4. 3222 rgrBh
BAkrrR L
.3
.3
)(.
3
4.
3
21212232 hBBBBRrrRhrhr
3. Para cada figura, realice el cálculo exigido:
5,85cm
2,85cm
15,54cm
3cm
9cm
7cm
4cm
7,56cm
16,5cm
4,1cm
AT = ?
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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187
4. Dada la siguiente figura, halle la expresión algebraica que representa el área:
x
x 1
3x + 3
x + 1
4x 3
2x + 6
x + 2
3x 1
5x + 1
2x 1
AT = ?
8m
8 m
30m
8 cm
9m
6m
12,68m
3cm
4,5cm
r = a 6m
5m
4m
Halle el área de la región sombreada (pintada)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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5.
a) Los lados de un rectángulo están en relación de 5 a 2. Si su perímetro es de
20m, halle el área.
b) Las bases de un trapecio miden 40cm y 20cm. Si la altura es las 2/5 partes de
la base mayor, halle el área.
c) Los lados de un triángulo miden: 8cm, 14cm y 20cm. Halle el área.
d) Los diámetros de dos círculos miden 8m y 4m, ¿en qué proporción están sus
áreas y sus perímetros.
e) El área de un triángulo mide 255cm2. Si la base mide 20cm, halle la altura
f) Halle el área de un hexagono regular de 30cm de lado.
g) Un cuerpo celeste que gira alrededor de la tierra describe una elipse cuyos
diámetros mayor y menor miden 800000km y 500000km. Halle el área de la
región delimitada por la órbita del cuerpo celeste y la distancia que recorre en
dos vueltas y media.
6. Para cada figura, realice el cálculo indicado:
3cm
1cm 1cm
9cm
6cm
2cm
VT = ?
12m
12m 12m
14m
11m
VT = ?
11,78m 5m
6,8m
4,96m
8,6m
2m
13m
7m
VT = ?
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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189
7. Para cada figura, halle la expresión algebraica que representa el volumen:
8.
a) ¿Cuánto cartón se necesita para hacer una caja sin tapa cuyas dimensiones
sean 18cm x 25cm x 40cm.
b) Una tina de forma cúbica tiene 5,64m de arista.
¿Cuántas baldosas de dimensiones 50cm x 51cm se necesitan para
cubrirla?
¿Cuál es la capacidad de la tina?
Si el litro de agua cuesta $20,25. ¿Cuánto dinero se debe invertir para
llenarla?
c) Las dimensiones de una sala de un primer piso son 8m x 10m x 4m.
¿Cuántas baldosas de dimensiones 30cm x 30cm se necesitan para
embaldosarla?
Si se decidde convertir la sala en una bodega, ¿cuántos libros de
dimensiones 20cm x 30cm x 4,5cm caben en la sala?
d) Si la arista de un cubo se duplica, ¿cuánto crece el volumen y el área?
e) Los diámetros de una esfera hueca miden 20cm y 18,34cm. Halle el volumen
del metal limitado por los dos diámetros.
f) Si el diámetro de un cono es la mitad del diámetro de otro cono, y si ambos
tienen la misma altura, halle la razón entre los volúmnes y las área de las
bases.
x+ 1
x 1 x 1
4x + 2
3x + 2
x
VT = ?
x + 1
x + 1
x + 1
3x + 1
4x + 2
VT = ?
5x + 2 7x 3
3x +1
3x + 2
2x + 3
x
5x 2
9x
VT = ?
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
Geometría analítica = Geometría plana y del Espacio + Álgebra. Establece la relación entre
las diferentes figuras geométricas y su representación algebraica, y además analiza el
comportamiento… Hoy, es el componente clave de la Física y la Astronomía,
principalmente; pero, interviene en la comprensión de las demás ciencias y en la aplicación
de todas ellas…
PLANO CARTESIANO
La siguiente figura es un plano cartesiano.
En el plano cartesiano se representan puntos de la forma . son las coordenadas
del punto .
Ejemplos de puntos de la forma :
Escribe 5 puntos más…
yxP , yx,
P
yxP ,
5,50,5,6,4,0,7,6,0,4,3,3,2 SyKRPDBA
ordenadaslasdeEjey
abscisaslasdeEjex
Ejesyx
,
En el eje horizontal, de cero hacia la derecha
se ubican los positivos y hacia la izquierda, los
negativos.
En el eje vertical, de cero hacia arriba se
ubican los positivos y hacia abajo, los
negativos.
ABSCISA: Es la distancia de un
punto al eje de las ordenadas(y)
ORDENADA: Es la distancia de un
punto al eje de las abscisas(x)
Ordenadas
Abscisas x
y
1 2 3 1 2 3
1
2
2
3
3
4
4
1
Abscisa
Ordenada
0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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EJERCICIO Para cada uno de los puntos anteriores, identifique la abscisa, la ordenada y las coordenadas
Solución:
GRÁFICA DE UN PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO PROCEDIMIENTO Se identifican las abscisas y las ordenadas de cada punto.
Se traza un plano cartesiano que incluya las coordenadas de cada punto, para ello, se
identifica el mayor y el menor valor de la abscisa y de la ordenada, estos valores indican
el tamaño del plano. El plano se extiende un punto más allá de los valores máximos. La graduación(escala) de cada eje, puede hacerse de acuerdo a la conveniencia del interesado.
Para graficar un punto: En el eje se identifica el valor de la abscisa y se traza una
perpendicular discontinua que pase por la misma, luego, en el eje , la ordenada y se
traza una perpendicular discontinua que pase por ella. Donde se cortan las dos
perpendiculares, se ubica el punto.
NOTA Cuando una de las coordenadas del punto es cero, el punto queda ubicado sobre uno de los ejes
EJEMPLO
Grafiquemos los siguientes puntos:
Solución:
Máximo valor de 4, mínimo valor de 2. Máximo valor de 3,
mínimo valor de 4
Construyamos el plano con estas especificaciones.
sCoordenada
Ordenaday
Abscisax
A
3,2
3
2
3,2
xy
0,4,4,2,3,0 DBA
x x yy
4,23,0 BA
x y x y
3
1
0 4
0,4D
x
y
1 1 2 2 3 3
1
2
2
3
4
4
5
5
4,2 B
3,0A
EJERCICIO
Gráfica en un mismo plano los
puntos del ejercicio anterior y
los tú que inventaste
x y
Analice los demás puntos
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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GRÁFICA DE UN NÚMERO DECIMAL
Consideremos el borde graduado de una regla.
Debido a que nuestro sistema de numeración es decimal (en base 10), el espacio que
existe entre dos números enteros consecutivos, se considera dividido en 10 partes
iguales.
El espacio comprendido entre 0 y 1 es dominado por el 0, allí se ubican los decimales que
empiezan por 0; el espacio comprendido entre 1 y 2 es dominado por el 1, allí se ubican los
decimales que empiezan por 1; el espacio comprendido entre 2 y 3 es dominado por el 2, allí
se ubican los decimales que empiezan por 2; y a si sucesivamente.
¿Quién domina el espacio comprendido entre: 3 y 4, 4 y 5, 50 y 60, 90 y 100, 200 y 300?.
EJEMPLO
Grafiquemos los siguientes números decimales: 0,5; 0,8; 1,3; 2,3 y 3,5.
Solución:
Como el mayor decimal es 3,5; la recta numérica se gradúa hasta 4, por ser el número entero
más próximo.
EJERCICIO
Grafique los siguientes decimales: 2,4; 0,5; 1,5; 3,1; 4,5; 0,75; 0,25; 0,86; 1,9; 2,6 y 4,2.
GRÁFICA DE UN NÚMERO RACIONAL E IRRACIONAL PROCEDIMIENTO
a) Se divide el número racional(numerador denominador) hasta obtener una o dos cifras
decimales.
b) En la recta numérica se identifica la posición del decimal(cociente), y en ese lugar se
ubica el número racional.
c) Si el número es irracional, se le extrae raíz y se aplica el paso b.
0,2
0,1
0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0 1 2 3 4
0,5
0,8
1,3
2,3
3,5
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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193
EJERCICIOS
1. Grafiquemos los siguientes números racionales:
Los puntos indican la ubicación aproximada de cada racional.
..............................................................................................Grafique los demás racionales e irracionales.
2. Grafique en un mismo plano cartesiano los siguientes puntos:
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 1. PUNTOS SOBRE UNA RECTA PARALELA AL EJE X
5,4292
9.33,3310
3
10.5,021
2
1
:
33 25,2,5
4,
2
9,
4
3,
2
1,
3
10,
2
9,
2
3,
2
1,
3
4,
4
5,
2
3,
2
1
Sol
y
4 25,3 910,2,2
3,5,
2
3,0,
2
3,0
,4
3,
3
16,
2
11,5,
2
7,
2
9,6,
3
4,0,
3
7,
2
9,0
DyGTRR
QPEDBA
5 0 1 2 3 4 2 3 4 1
310
21
29
NOTA: La distancia siempre es positiva. Si el resultado es negativo, debe escribirse con signo positivo
Como la recta es paralela
al eje X, en ambos puntos
la segunda componente
tiene el mismo valor,
entonces:
Luego:
011 yy
12 xxd
y
),( 122 yxP
x
d
2x0
),( 111 yxP
1x
1y
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
194
194
EJEMPLOS
a) Hallemos la distancia que recorre un móvil entre los puntos P1( 4, 5 ) y P2( 5, 5 ).
Solución:
Como en ambos puntos la ordenada tiene el mismo valor, esto indica que el móvil se
mueve paralelo al eje , entonces:
. La distancia es 9.
b) Calculemos la distancia que recorre un persona al moverse de P1( 9, 2 ) y P2( 4, 2 ).
Solución:
. Luego: d = 5.
c) Encontremos la distancia entre los puntos P1 = 6 y P2 = 9.
Solución:
EJERCICIO
Para cada par de puntos, halle la distancia:
a) P1( 0,7 ) y P2( 8,7 ). b) P1(4 ,6 ) y P2(7 , 6 ). c) P1(8 , 8 ) y P2( 9, 8 ).
d) P1 = 4 y P2 = 10. e) P1 = 8 y P2 = 7 . c) P1 = 2 y P2 = 10.
2. PUNTOS SOBRE UNA RECTA PARALELA AL EJE Y
9 45)4(512 xxd
559412 xxd
3:tan.69
.9,6
12
2211
esciadisLaxxd
xPxP
3
9
x2 x1
6
d
Como la recta es paralela al eje Y,
en ambos puntos la primera
componente tiene el mismo valor,
entonces:
Luego:
011 xx
12 yyd 0
y
x d
1y
2y
1x
),( 111 yxP
),( 212 yxP
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
195
195
EJEMPLOS
a) Hallemos la distancia que recorre un móvil entre los puntos P1( 4, 8 ) y P2( 4, 3 ).
Solución:
En ambos puntos, la abscisa tiene el mismo valor:
b) Un cuerpo que es lanzado verticalmente pasa por P1( 1, 6 ) después de cierto tiempo
pasa por P2( 1, 9 ). Calculemos la distancia que separa los dos puntos.
Solución:
c) Un cuerpo que cae libremente pasa por P1 = 14m y P2 = 2m de altura.
¿Qué distancia recorrió el cuerpo entre P1 y P2?.
Solución:
EJERCICIOS
a) Para cada par de puntos, halle la distancia que los separa.
P1( 4, 10) y P2( 4, 8 ). P1(o,5 ) y P2(0 , 9 ). P1(2 , 6 ) y P2(2, 1 ).
b) Una ventana de un edificio está ubicada en P1( 2, 9) y otra ventana se encuentra en
P2( 2, 6). ¿Qué distancia las separa?.
d) Un cuerpo al caer pasa por P1 = 190cm y P2 = 60cm. ¿Qué distancia recorre el cuerpo
al pasar por dichos puntos?.
3. PUNTOS SOBRE UNA RECTA QUE NO ES PARALELA A NINGUNO DE LOS DOS EJES
11 118512 yyd
569)6(912 1 yyd
mesciadisLammmmyyd
myPmyP
10:tan.1010142
.2,14
12
2211
La distancia entre P1 y P2 , es
la hipotenusa del triángulo
rectángulo que se ha
formado al trazar las
perpendiculares discontinuas
respecto a los ejes
2
12
2
12
2
12
2
12
2
yyxxd
yyxxd
Con esta expresión se calcula
la distancia entre P1 y P2
d
12 xx
12 yy
1x
),( 222 yxP
y
),( 111 yxP
x
1y
2y
0 2x
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
196
196
EJEMPLOS
a) Hallemos la gráfica y distancia entre los puntos (4 , 5 ) y (3, 4 ).
Solución:
b) Calculemos la distancia entre los puntos
Solución:
EJERCICIOS
a) Para cada par de pareja de puntos, halle la distancia que los separa:
( 5, 1) y ( 4, 3 ). (1,1 ) y (1 ,1 ). P1(6 , 1/2 ) y P2(6, 1/3 ).
( 4, 4) y ( 8, 8 ). ( 0, 7) y ( 3, 0 ).
b) Grafique en el plano cartesiano los puntos: P1(6 , 4 ), P2( 2, 4 ), P3( 2,4 ) y calcule
la distancia entre ellos.
c) Compruebe que los puntos A( 2,2 ), B( 6,2 ) y D( 4,4 ) son los vértices de un
triángulo isósceles.
6,27,4 21 PyP
51412
7642
22
22221212
d
yyxxd
22
22
5443
1212
d
yyxxd
x
y
0 1 1 2 2 3 3
1
2
2
3
3
4
4
1
5
4 4
d
40,111308149
97
547
22
22
d
d
d
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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197
197
PLANO TRIDIMENSIONAL
Las siguientes figuras son planos tridimensionales:
En el puntos de este plano son de la forma
EJEMPLOS de puntos tridimensionales:
EJRCICIO
a) Para cada uno de los puntos anteriores, identifique: La abscisa, la ordenada, la cota y las
coordenadas.
b) Grafique los anteriores puntos.
Solución b):
),,( zyxP
),5,7,4()5,0,0(),0,4,0(),2,5,4(
),3,3,3(),2,2,0(),6,5,4(),0,0,3(),0,4,3(),3,0,2(
KyTSR
QPEDBA
5,7,4)5,7,4( zyxK
Plano inverso Plano directo, el
que se va a utilizar
x
y
z
0
x
y
z
0
x Abscisa
y Ordenada
z cota
x
y
z
0
4
7
5
k( 4 , 7, 5 )
Grafique los demás...
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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198
198
DIVISIÓN PROPORCIONAL DE UN SEGMENTO
óndemostraciotralaalice
xdespejandoydofactorizanndotransponierr
rxrxx
cruzenndomultiplicarxrxrxrx
r
r
xx
xx
enemplazando
yyRP
yyTP
xxRP
xxTP
Pero
r
r
RP
TP
r
r
RP
TP
entoncesRPPTPPqueobservasegráficalaDe
ónDemostraci
Re
,........................
..................................
:)1()3(Re
).4().3(
:
).2().1(
:,:
:
0
21
21120
10122120
2
1
02
10
022
100
020
101
2
1
2
0
2
1
0
1
2001
Como y son
proporcionales, entonces:
Proporción o razón,
resulta de dividir:
01PP
20PP
2
1
20
01
r
r
PP
PP
2
1
r
r
20
01
PP
PP
0
P1
x1
Y
X
y1
y2
x2
P2
P0
R
Q
x0
T
y0
r2
r1
Las coordenadas del punto de división son:
0P
21
1221
21
12210000
21
12210
21
12210
,,rr
ryry
rr
rxrxPyxP
rr
ryryyy
rr
rxrxx
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
199
199
EJEMPLOS
a) Hallemos las coordenadas del punto que está a dos terceras partes de la distancia de
los puntos (4,6 ) y (8 ,2 )
Solución:
Dos tercios de la distancia entre
Un tercio de la distancia entre
estas son las corrdenadas del punto pedido.
b) Hallemos las coordenadas del punto situado a 3/2 de la distancia entre los puntos (7, 3
) y (6 ,8 )
Solución:
c) Calculemos las coordenadas del punto que divide el segmento que va del punto
( 5, 8 ) al punto (2 ,6 ) en la relación 5: 3
Solución:
21 r 21 PyP
12 r 21 PyP
1
2
2
1
20
01 r
r
PP
PP
43
12
3
164
12
)2(8)1(4
21
12210
rr
rxrxx
3
2
3
46
12
)2)(2()1(6
21
12210
rr
ryryy
32,4, 0000 PyxP
23 21 ryr
2
3
2
1
20
01 r
r
PP
PP
5
32
5
1814
23
)3)(6()2(7
21
12210
rr
rxrxx
5
18,
535
0
21
12210 :.
5
18
5
246
23
)3(8)2(3
PEntonces
rr
ryryy
35 21 ryr
8
5
8
1015
35
)5)(2()3(5
21
12210
rr
rxrxx
4
27,
85
0
21
12210 :.
4
27
8
54
8
3024
35
)5(6)3(8PEntonces
rr
ryryy
32
31
1r 2r
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
200
200
EJERCICIOS
a) Halle las coordenadas del punto situado a dos quintas partes de la distancia que hay
entre los puntos (3, 5 ) y (4 ,9 )
b) Calcule las coordenadas del punto que divide el segmento que va del punto
(8, 8 ) a ( 6 ,6 ) en la relación 1/3.
c) Halle las coordenadas del punto que divide el segmento que va del punto
( 2, 5 ) a (7 , 11 ) en la proporción 5: 4
d) Halle las coordenadas del punto situado a cinco terceras partes de la distancia que hay
entre los puntos ( 0, 4 ) y (10 ,0 )
e) Los extremos de un segmento son los puntos P1( 7 , 4 ) y P2( 1, 4 ). Halle la razón
en la que P0( 1 , 2 ) divide el segmento. Sugerencia: Calcule las distancias: P1 P0 y P0
P2.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Las siguientes expresiones permiten calaular las coordenadas del punto medio:
En la división de un segmento en partes proporcionales, demostramos que:
. Siendo el punto donde el
segmento es dividido en partes proporcionales. Si es el punto medio del segmento ,
entonces: . Sustituyendo (3) en (1) y (2), se tiene que:
2,
2.
2.
2
21210
210
210
yyxxP
yyy
xxx
)2().1(21
12210
21
12210
rr
ryryy
rr
rxrxx 000 , yxP
0P 21PP
)3(21 rr
P1 ( x1 , y1)
P2( x2 , y2)
0 x1
Y
X
y1
y2
x2 x0
y0
P0( x0 , y0)
Sea P0 el
punto medio
del segmento
P1 P2. Las
coordenadas
de P0 son
x0 , y0.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
201
201
EJEMPLOS
Hallemos las cooordenadas del punto mediodel segmento determinado por los puntos
P1(4 , 8 ) y P2(6, 4 ).
Solución:
Calculemos las cooordenadas del punto mediodel segmento quetiene por extremos los
puntos P1( 5 , 9 ) y P2( 6, 4 ).
Solución:
EJERCICIO
Para cada pareja de punto, halle las coordenadas del punto medio:
a) P1( 0 , 6 ) y P2( 6, 9 ). b) P1( 3 , 3 ) y P2( 6, 6 ).
c) P1(9 , 0 ) y P2( 0, 7 ). d) P1( 1/2 , 3/4 ) y P2( 8, 9 ).
22
22
22
2121 ,),(
)(
)(
000
21
1
211
11
1211
21
12210
21
1
211
11
1211
21
12210
yyxxyxP
yy
r
yyr
rr
ryry
rr
ryryy
xx
r
xxr
rr
rxrx
rr
rxrxx
6,1:.62
12
2
48
.12
2
2
64
00
0
PLuegoy
x
2
5,
2
11:.
2
5
2
49
.2
11
2
65
00
0
PLuegoy
x
Para hallar el punto medio de un segmento, se suman algebraicamente los extremos y la suma se divide por dos
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
202
202
FUNCIÓN CONSTANTE
Una función constante es de la forma:
Gráfica:
Grafiquemos la función: .
Solución:
Elaboremos la siguiente tabla:
Construyamos una tabla con los valores de :
cambianoteconskRkkxfy tan..
3xf
.33.32
.31.30.31.32.33
,
,
ff
fffff
xdedependetomaquevaloreledependientVariablexfy
valorcualquierasignarpuedelesenteindependieVariablex
)(x xfdey
3 2 1 0 1 3 3
3 3 3 3 3 3 3
Gráfica:
x
xf
EJEMPLOS de
funciones constantes:
etcxf
xf
xf
,3
2
4
3
x
kf(x)
k
y
0
Escriba 4 funciones constantes
Grafique las demás funciones del ejemplo anterior
3)( xf
y
x 0
1
2
3
4
1 2 3 4 1 2 3 4
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
203
203
FUNCIÓN LÍNEAL
Una función líneal es de la forma:
Gráfica:
PENDIENTE: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta.
ÁNGULO DE INCLINACIÓN: Es el ángulo medido en sentido contrario al movimiento de las
manecillas del reloj, formado por una recta y el eje positivo .
Punto de intersección de la recta con el eje .
EJEMPLOS de funciones líneales:
Para cada una de las funciones anteriores, identifique la pendiente, la inclinación y el
intercepto con el eje y.
Solución:
La pendiente es: . El intercepto con el eje es .
El ángulo de inclinación es:
.,. Rbmbxmxfy
m
x
b y
etcxyxxfxyxyxyxxfy ,1,12)(,2,,,1)(32
bxmy
xy
12
2 y 1|||5533116
Y
bxmxf
0 X
b tangm
Una función es lineal, si y sólo si su gráfica es
una línea recta
Comparando la forma particular con la general:
Como la pendiente es negativa, el ángulo de inclinación real se calcula con
la expresión:
|||11
1
052663)2(tan)(tan
)(tantan:.12
gmg
mggmdondeDebym
|||||| 5533116052663180180
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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204
204
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LÍNEAL
EJEMPLO 1.
Gráfiquemos la siguiente función:
Solución:
Consideremos la siguiente tabla:
2
1
0
1
2
3
5
3
1
1
3
5
Variable independiente: Toma valores arbitrarios.
Variable dependiente: Los valores que toma dependen de los valores de x .
NOTA:
Se escogen mínimo seis(6) valores para hacer una gráfica o en su efecto dos; cuando se escogen dos valores, los mismos son: 0 y 0, uno para cada variable. En este caso, se hace una variable igual a cero (0) y se halla el valor de la otra y viceversa.
12 xy
x
y
xy
5
3
1
1
3
5
161)3(2
141)2(2
121)1(2
101)0(2
121)1(2
141)2(2
,3
,2
,1
,0
,1
,2
12
y
y
y
y
y
y
xPara
xPara
xPara
xPara
xPara
xPara
xy
1
12 xy
2 2 3
3
1
2
5
4
1
5
6
0 1 x
y
Variable independiente
Variable dependiente
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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205
EJEMPLO 2.
Gráfiquemos la función 01243 yx , haciendo uso de dos puntos:
Solución:
Consideremos la siguiente tabla:
0
4
3
0
Esto es:
Para 3 412124012400124)0(3:0 yyyyx
Para 4
31212301203012)0(43:0 xxxxy
Gráfica:
GRÁFICA DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO 1. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es de la forma: Rcybacbxaxf x ,.2
)( .
Gráfica:
x
y
0
2
)(
aPara
cbxaxf x
Parábola c
0
y
x
0
2
)(
aPara
cbxaxf x
Parábola
c
0
y
x
Como únicamente debemos obtener dos puntos;
primero hacemos , determinamos el valor de .
Luego, , determinamos el valor de .
3
4
01243 yx
x
y
0
EJERCICIOS
Escribe 3 funciones líneales, diferente a las
que aparecen en este libro.
Gráfique las siguientes funciones, primero
haciendo uso 6 puntos, y luego, de dos
puntos
.01052.1
..1
..
..3
)(
)()(
)(
3155
12
32
yxhxfd
ygxyc
ffxfb
fexya
x
xx
x
x
x
x
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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206
206
EJEMPLOS de funciones cuadráticas:
.,,3,2,12
,32,534,1,2
2222
2222
21
)(
)()(
etcxyxyxyxxf
xxyxxfxxyxxf
x
xx
Para cada una de las funciones anterior, determinemos los valores de
Solución:
cxbxaf
xxf
x
x
2
2
)(
)(02
Analice las demás.. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Gráfiquemos: .122
)( xxf x
Solución:
x
4
3
2
1
0
1
2
f x)(
7
2
1
2
1
2
7
., cyba
.212111211
72.114412222
21.216913233
10.7181614244
2
2
2
2
f
ff
ff
ff
0
2
3 2
1
1
3
4
5
6
7
1
1
2
2
3
3 4 5
y
x
122 xxxfy
Comparando la ecuación particular dada, con la forma
general. Si en la particular hace falta un término, el
mismo se reemplaza por cero (0). Entonces:
.01,2 cyba
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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207
207
EJERCICIOS
Escribe 3 funciones cuadráticas.
Gráfica las siguientes funciones:
2. GRÁFICA DE UNA CIRCUNFERENCIA
. Ecuación de una circunferencia cuyo centro se encuentra en el origen del
sistema de coordenadas rectangulares.
Despejando y:
. Esta es la forma de las funciones cuya gráfica es una
circunferencia.
EJEMPLOS:
Grafiquemos La raíz cuadrada del radio indica el recorrido
del dominio. Como en nuestro ejemplo el radio es 4 y la raíz cuadrada de 4 es 2, por
eso, el dominio empieza en 2 y termina en 2.
x 2 1 0 1 2
)(xf 0 1,73 2 1,73 0
102,532,,2
,42,1,,
2222
2222
xyxxxfxxfxxy
xxyxxyxxfxy
222 ryx
22 xryf x
etcxyxyxy
xyxyxf x
,36,25,16
9,1,4
222
222
2,2.4 2 xxf
0)2(
73,1)1(
2404)0(4)0(
73,1314)1(4)1(
044)2(4)2(
4)(
2
2
2
2
f
f
f
f
f
xxf
Grafique las demás funciones
del ejemplo anterior
1,73
0
2
2
1
1
1
1
2
2
y
x
1,73
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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208
208
3. GRÁFICA DE UNA ELIPSE
. Ecuación de una Elipse con centro en el punto P ( 0 , 0 ).
Despejando y:
. Esta es la forma de las funciones cuya gráfica es una Elipse.
EJEMPLOS:
Grafiquemos: . La raíz cuadrada del denominador muestra el
recorrido del dominio.
12
2
2
2
b
y
a
x
2
222
a
xbbyxf
16
99
25
99,
41,
25
44
2
22 2
xy
xy
xy
xxf
4,4.16
99
2
x
y
repitensevaloreslosporquefffff
f
f
f
f
f
.0)4(.98,1)3(.59,2)2(.98,1)1()1(
3999)0(
9,243,8999)1(
59,275,6999)2(
98,193,3999)3(
09999)4(
909160
1616
2)0(9
16135
169144
169
1619
16
2)1(9
427
4936
49
1649
16
2)2(9
1663
1681144
1681
1699
16
2)3(9
16169
16
2)4(9
09
:formaigualDe
4 3 2 1 0 1 2 3 4
0 1, 98 2, 59 2, 9 3 2, 9 2, 59 1, 98 0
x xf
Grafique las demás funciones del
ejemplo anterior
Elipse
y
x
2,9
2,9
2,59
1,98
2
1
3
0
1
4 3
1,98
2,59
2 1 2 4
3
3
1
2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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209
209
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
Las funciones racionales son aquellas que poseen variable independiente en el denominador.
Algunas de estas funciones tienen variable en el numerador y en el denominaador.
EJEMPLOS:
Escribe 4 funciones racionales
Grafiquemos la función:
3/2 = 1,5
, léase: Infinito. Indica que la curva se apróxima al eje y, pero nunca lo toca; es como
si en ese punto existiera un agujero o un hueco.
.,2
5,
2
32,
1,
2,
4,
1etc
xy
x
xy
x
xy
xy
xy
xy
xy
3
0
3.3
1
3.
2
3
2
3.1
3
3yyyy
3 2 1 0 1 2 3
1 3/2 3 3 3/2 1
xy
Grafique las demás funciones del ejemplo anterior
Gráfica de la función:
xy 3
y
x
1
23
2
3
0 2 1
1
1
2
2 4 3 3 4
3
23
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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210
210
GRÁFICA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES
Las funciones Logarítmicas y exponenciales reciben el nombre de trascendentales. Estas
funciones son de la forma:
EJEMPLOS de funciones exponenciales:
EJEMPLOS de funciones logarímicas:
log logaritmo en base 10 o de Briggs
ln logaritmo natural, la base es en número irracional
En estas funciones logarítmicas, siempre toma valores positivos
EJERCICIOS
Gráfica:
Grafique en un mismo plano:
Solución:
Grafiquemos en un plano la siguiente funcion:
.exp...718281828,2.
tan..
onencialessonfuncionesAmbasexey
teConsRConxy aaa
.,2
,2
,,,,,
.,2,,3,4,2
121
211
etcyyyyyyy
etcyyyyy
xxxxxxx
xxxxx
eeeeeee
.log xy
.ln xy e
x
.log,ln,,4,2,2 xyxyxeyxyxyxy xyxy 3,3
xy 2
82
.42
.22
12
.2
1
2
12
.4
1
2
12
3
2
1
0
1
1
2
2
y
y
y
y
y
y
2 1 0 1 2 3
1/4 1/2 1 2 4 8
xy
Grafique las demás funciones del
ejemplo anterior
xy 2
y
x
41
21
5
4
6
2
1
3
8
7
1 0
2 1
1
2 3 3
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211
FORMA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTALES
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Son de la forma:
bxyxf )(
Lnxy
Lnxy
Creciente
Decreciente
0
Logxy
Logxy
Creciente
Decreciente
0
xey
xey
Creciente
Decreciente
0
0
xey
xx
eey
1
Creciente
Decreciente
bxy , decrece desde hasta bx y crece desde b hasta +
kxy , decrece desde hasta 0x y crece desde 0 hasta +
.12)(
.4)(.3)(
.2)(.2)(
:
xxfe
xxfdxxfc
xxfbxxfa
funcionessiguienteslasGrafique
EJERCICIO
xy
bxy Decreciente
Creciente
b
0
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212
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Son de la forma:
FUNCIÓN CÚBICA
Son de la forma:
0:.,.)( kaxqueSiempreRkakaxyxf
.1.32)(.1.)(
:
xydxxfcxybxxfa
funcionessiguienteslasGrafique
EJERCICIO
Rckbackxbxaxyxf ,,,.)( 23
1.432)(.2
12)(.)(.
:
3233
23233
xyfxxxfdxyb
xxxxfexxxxfcxya
funcionessiguienteslasGrafique
EJERCICIO
ckxbxaxy 23
kxbxaxy 23
0
c
Al escoger el dominio (los valores de x), estos
deben asegurar que : ,debido, a que las
raíces cuadradas negativas no existen. Para ello,
hacemos , este cociente
indica el inicio del dominio
0 kax
akxkax 0
xy
bxy
kxparakxy .
kxparakxy .
b
k 0
k
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213
TALLER DE CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
OBSERVACIONES:
El mismo será desarrollado por cada estudiante durante el semestre o año.
Matodología: Extraclase.
Representará el 10% del 100% del: primer parcial, segundo parcial y del
examen final o 10% de todas las actividades del año lectivo.
Cada conjunto de gráfica se representará en el mismo plano. Primero, elabore
las tablas de cada conjunto de gráficas, para identificar el tamaño del plano.
Primero se grafican en el cuaderno, y se presenta en papel milimetrado PRIMER PARCIAL O PERIODO:
SEGUNDO PARCIAL O PERIODO:
EXAMEN FINAL O TERCER PERIODO:
CUARTO PERIODO:
.
22
12
4.
43
12
3.012
01543
2.5
41
2
2
2
)(
)(
)(
)(
)(
secint
xxf
xf
xxf
xy
xy
xyyx
yx
f
f
x
x
x
x
x
ciónerde
puntoeleIdentifiqu
.8.
3
3
3
7.6.
16
15
5,5:min
1
1
22
22
1625
x
x
x
x
x
x
ioDo
x
x
e
e
e
y
y
y
y
y
y
y
y
yx
yx
.
2
212.
4
211.log
log10.
2
2
2
9
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
y
y
y
x
x
x
e
e
e
.
4
14.13 3
2
3
3
xy
xy
xxy
xy
xy
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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214
ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL
Anallizar la gráfica de una función es establecer una correlación entre las magnitudes que la
determinan. Las magnitudes que intervienen en una gráfica se denominan variables.
Las variables pueden ser: Independientes y Dependientes
VARIABLE INDEPENDIENTE: Toma valores arbitrarios, generalmente se ubica en el eje
horizontal .
VARIABLE DEPENDIENTE: Los valores que se le asigna dependen de los valores tome la
variable independiente, generalmente se ubica en el eje vertical .
EJEMPLO:
En la función:
x Variable independiente
y Variable dependiente.
Al analizar las dos magnitudes que generan una gráfica se pueden presentar las siguientes
consideraciones:
1. Que las dos magnitudes aumenten o disminuyan al mismo tiempo y en la misma
proporción, indicando que son directamente proporcionales.
2. Que la una aumente y la otra disminuya en la misma proporción, indicando que son
inversamente proporcionales.
3. Que la una aumente y la otra permanezca invariable ( constante ).
4. Que las dos magnitudes aumenten pero no en las mismas proporciones, mostrando que
son directamente correlacionadas.
5. Que una magnitud aumente y la otra disminuya pero no en las mismas
proporciones, mostrando que son inversamente correlacionadas.
Las anteriores consideraciones, determinan el comportamiento de una función.
Es muy dificil definnir un procedimiento para analizar las gráficas de las situaciones 4 y 5,
debido, a que no presentan un comportamiento secuencial que permita predecir los cambios
que pueden presentar. De ahí, que la habilidad y capacidad del interesado es vital para
construir una función que permita conjeturar sobre estos tipos de gráficas.
)(x
)(y
xy 2
Magnitudes directamente
proporcionales
La gráfica es una recta que pasa por el origen
del sistema de coordenadas cartesianas
d
t 0
Magnitudes directamente
correlacionadas
La gráfica es una recta que no pasa por el
origen del sistema de coordenadas cartesianas
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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215
Caso contrario sucede con los numerales 1, 2 y 3; por eso, se hace mucho más énfasis en
ellos.
EJEMPLO 1.
Analicemos la siguiente gráfica.
De la gráfica se puede observar que: Cuando x = 1, y = 1. Cuando x = 3, y = 3.
Si x aumenta, y también lo hace en la misma proporción. Si x disminuye, y también lo
hace en la misma proporción, luego, x , y son dos magnitudes directamente proporcionales.
¿Qué valor toma x , cuando y = 20?.
Solución:
Consideremos la siguiente tabla con algunos valores de x , y.
EJEMPLO 2.
Analicemos el siguiente gráfico.
0
2
3 2
1
1
3
1 1
2
2
3
3
y
x
x, variable independiente
y, variable dependiente
x y
1 1
k 20
k, valor que toma x cuando y = 20.
De la tabla se obtiene:
Luego: para y = 20, x = 20
20
1
201
20
11
k
k
v
t
2
1
3
0 2 1 4 3
3/2
v, variable dependiente
t, variable independiente
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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216
Para: t = 1, v = 3. Para: t = 2, v = 3/2. Para: t = 3, v = 1.
De la gráfica se puede observar que: cuando t aumenta, v disminuye en la misma
proporción y viceversa. Luego, t y v son dos magnitudes inversamente proporcionales.
¿Qué valor toma v , cuando t = 9 ?.
Solución:
Consideremos la siguiente tabla con algunos valores de t y v.
EJEMPLO 3.
Analicemos la siguiente figura:
Para: t = 3s, v = 30m/s. Para: t = 5s, v = 30m/s. Para: t = 7s, v = 30m/s.
Para: t = 9s, v = 30m/s.
Como se puede observar para cualquier valor de t , v permanece inmodificable o constante.
¿Qué valor toma v , cuando t = 15s ?.
Solución:
Para t = 15s , v = 30m/s. Esto, porque v es constante .
t v
1 3
9 k
k, valor que toma v cuando t = 9.
De la tabla se obtiene:
Como las magnitudes son inversamente proporcionales, la magnitud que
contiene la incógnita se escribe tal cual como está y la que no la contiene,
se invierte. Luego: para t = 9, v = 1/3.
3
1
9
3
9
31
1
93
k
k
v, variable dependiente
t, variable independiente
v, velocidad
t, tiempo
V(m/s)
t(s)
20
10
30
0 3 7 5 9
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217
EJEMPLO 4.
Analicemos la siguiente gráfica.
De la gráfica y de la tabla se puede observar que:
Las magnitudes son directamente correlacionadas.
En x, cada tértmino es 1 más que el anterior.
En y, cada término es 2 más que el anterior.
El cociente entre las variables y , x no es el mismo en todos los casos, por eso, no
podemos aplicar una regla de tres simple directa.
Conservando el comportamiento de cada variable, estirremos la tabla hasta los valores
exigidos
x 0 1 2 3 4 5 5.5 6 7
y 1 3 5 7 9 11 12 13 15
De la tabla se puede observar que:
Para x = 5.5, y = 12
Para y = 15, x = 7
Este método es muy útil para valores muy pequeños de las variables.
OTRA FORMA:
Consiste en construir una función lineal para la gráfica y a partir de ahí, sustituir los valores
dados, para los pedidos. Una vez detrminada la función, se podrá asignar a una variable
cualquier valor, para hallar el valor de la otra…
Esto se podrá comprender mejor, cuando aprendamos a determmminar la ecuación de la recta
que pasa por dos puntos.
¿Qué valor toma x, cuando y = 15?
¿Qué valor toma y, cuando x = 5.5?
Elaboremos una tabla con los datos de
la figura:
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
0
7
3 2
1
1
3
5
x
y
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218
EJERCICIO
Analice cada gráfica y responda los interrogantes planteados:
¿Qué valor toma x , cuando y = 15 ?
¿Qué valor toma y , cuando x = 12,9 ?
2
0 3 2 1 1 2 3 x
2
1
3
1
3
y
4
5
v
t
20
10
30
0 2 1 4 3
15
¿Qué valor toma v , cuando t = 10 ?
¿Qué valor toma t , cuando v = 100 ?
y
5
20
12 8
10
4
30
10 4
20
8
30
12
¿Qué valor toma x , cuando y = 150 ?
¿Qué valor toma y , cuando x = 17 ?
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219
¿Qué valor toma p , cuando v = 13,5 ?
¿Qué valor toma v , cuando p = 95 ?
¿Para qué valor de p, v = p?.
P(atm.)
60
20
80
40
V(m3) 0 2 1 4 3
¿Qué valor toma v , cuando t = 13,5 ?
¿Qué valor toma t , cuando v = 27 ?
V(m/s)
t(s)
18
9
27
0 2 6 4 8
y
30
x 0 2 6 4 2
60
30
¿Qué valor toma y , cuando x = 3 ?
¿Qué valor toma y , cuando x = 0 ?
¿Qué valor toma x , cuando v = 27 ?
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SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Consiste en hallar el punto de intersección de las rectas determinadas por cada ecuación.
PROCEDIMIENTO:
Se grafican las dos ecuaciones en un mismo plano catesiano. Normalmente, se hallan dos
puntos para cada recta. Haciendo primero , se determina el valor de , después, se
hace , se determina el valor de
Se identifica el punto de intersección de las rectas, y desde dicho punto, se trazan
perpendiculares a cada eje. Los números a donde llegan las perpendiculares, forman el
conjunto solución de las ecuaciones. Esto quiere decir, que las coordenadas del punto de
intersección satisfacen(hacen verdadera) cada ecuación.
Si las ecuaciones no tienen un punto de intersección, significa que las rectas son
paralelas, por ende, el sistema de ecuaciones no tiene solución. Cuando esto ocurre, se
dice que son “INCOMPATIBLES”
Si las rectas de ambas ecuaciones coinciden(se superponen), el sistema tiene
infinnitos puntos comunes(conjunto solución infinito), esto muestra, que las
ecuaciones son “EQUIVALENTES”
EJEMPLO 1.
Hallemos gráficamente el conjunto solución de
Solución:
Para cada ecuación, encontremos dos puntos para trazar su gráfica.
Para la ecuación :
.
Esto se resume en la siguiente tabla:
Gráfica
0 6
4 0
0 1
-1 0
Para la ecuación
La tabla es:
0
3
2
Punto de intersección
de las rectas Como se puede observar, en el punto es
donde se cortan las dos rectas que
representan cada ecuación. Al trazar
perpendiculares(discontinuas) hacia cada eje,
las mismas caen en las coordenadas (3,2).
O sea:
Luego, la solución del sistema es:
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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221
221
EJEMPLO 2.
Resolvamos graficamente:
Solución:
EJEMPLO 3.
Hallemos el conjunto solución de:
Solución:
0 4
0
0 1
0
Como las rectas son paralelas, el
sistema no tiene solución. Las
ecuaciones son incompatibles
0
0 5
0
0 5
0
Como se puede observar, las rectas
coinciden, esto muestra, que todos los puntos
que satifacen una ecuación, también satifacen
la otra, y como una recta tiene infinitos
puntos, el conjunto solución es infinito;
mostrando que las ecuaciones son
equivalentes, o sea, la una es la
ampliación(multiplicación) de la otra por un
número o escalar
0
3
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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222
EJERCICIO
Halle gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas:
LA LÍNEA RECTA
ECUACIÓN GENERAL DE UNA LÍNEA RECTA
La ecuación general de una línea recta es de la forma:
Gráfica
PENDIENTE DE UNA RECTA
1262
63
13
3
84
622
2342
52
102
103
63
1
7
4
1023
yx
yxf
yx
yx
yx
c
yx
yxe
yx
yxb
yx
yxg
yx
yxd
yx
yxa
0 CByAx
0
y
x
0 CByAx
...4
.,753
6,03
1
2
3
2
1
2,0523
:
másEscribe
etcyx
yxyx
yxyx
Ejemplos
0
y
x
0 CByAx
ángulo de inclinación
La pendiente de una línea
recta es la tangente del ángulo
de inclinación
ángulo de inclinación
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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223
223
La pendiente se denota con la letra . pendiente
INCLINACIÓN: Es el ángulo medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del
reloj, formado por una recta y el eje positivo de las . En nuestra gráfica el ángulo de
inclinación es .
Analizando lo anterior tenemos:
Si de la ecuación general despejamos y, se obtiene:
EJEMPLO 1.
Hallemos la pendiente e inclinación de la siguiente recta
Solución:
Despejando . De donde: , est es el valor de la pendiente.
La inclinación es:
El ángulo real de inclinación se calcula con la expresión: .
Entonces:
La expresión 180° + se utiliza sólo cuando la pendiente es negativa
EJEMPLO 2.
Hallemos la pendiente e inclinación de la siguiente recta
Solución:
EJEMPLO 3.
Encontremos la pendiente e inclinación de la siguiente recta
Despejando y :
. De donde:
este es el valor de la pendiente
De los ejemplos anteriores se puede inferir lo siguiente:
Si la pendiente es negativa (), el ángulo de inclinación es obtuso, o sea, que mide más de
90° grados; indicando que la recta desciende (decrece - baja)
Si la pendiente es positiva (+), el ángulo de inclinación agudo, o sea, que mide menos de
90° grados; indicando que la recta asciende (crece - sube)
EJERCICIO
Para cada recta, halle la pendiente inclinación:
m m
x
)(tantan 1 mggm
B
Cx
B
Ay
0423 yx
2:23 xyy
23m
|||1
231 351856)5,1(tan)(tan gg
180|||
2441123 |||351856180180
1244 yx
pendienteladevalorelesestemdondeDexyyDespejando 1 :.3:
45)1(tan: 1gesninclinacióLa
025 yx
|||1541168)
25(tan:
gesninclinacióLa
.0946.64.52.1052.0423 yxyxxyyxyx
Pendiente
Debido a que toda ecuación de una línea recta es
una función lineal, después de despejar y, el
coeficiente de es la pendiente de la recta
que representa la función. Entonces:
B
Ax
gmB
Atan
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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224
PENDIENTE DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
EJEMPPLO 1.
Hallemos la gráfica, pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos.
P1(1,2) y P2(3,5)
|||11
12
12
2211
21
3518562
3tantan
2
3
13
25
)5,3()2,1(
gmg
xx
yym
yxyx
PP
1P
2P
0
y
x 1 3
2
5
Consideremos la recta que pasa por los
puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
Con esta expresión se calcula la pendiente
de una recta que pasa por dos puntos.
12
12
12
12tan
tan
xx
yym
xx
yyg
gm
0
y
x
1x
12 xx
1y
2y
12 yy
2x
P1
P2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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225
225
EJEMPLO 2.
Hallemos la gráfica, pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos.
P1(3,5) y P2(1,3)
EJERCICIOS
1. Para cada par de puntos, halle la gráfica, la pendiente e inclinación de la recta que
Pasa por ellos:
2. Los vértices de un triángulo son los puntos:
Halle la pendiente e inclinación de cada lado.
CONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA PUNTO PENDIENTE
Es la ecuación de una recta que pasa por un punto y que tiene una pendiente
Consideremos la recta L que pasa por los puntos
).6,5()1,2().8,8()5,4(
).0,5()4,0().3,2()5,3(
2121
2121
PyPPyP
PyPPyP
)3,1().2,3(),3,2( DBA
).,(),( 11 yxPyyxQ
||||||
|||11
12
12
2211
21
526153543326180180
180
5433262
1tantan
2
1
31
2
)3(1
53
)3,1()5,3(
:exp
,
resiónsiguienteladeuso
hacemosverdaderoánguloelhallarPara
gmg
xx
yym
yxyx
PP
1P
2P 3
5
0
y
x 1 3
De la gráfica se obtiene que:
pendientepunto
rectaladeEcuaciónxxmyy
dondedexx
yymEntonces
gmperoxx
yyg
)(
::
tan:tan
11
1
1
1
1
0
y
x
1x
1xx 1y
y
1yy
x
Q
P(x,y)
L
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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226
EJEMPLO 1.
Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,4) y que tiene 2 de pendiente.
EJEMPLO 2.
Determinemos la ecuación de la recta que tiene de pendiente y que pasa por el punto
A(4,1).
Solución:
EJERCICIO
Para cada punto y pendiente, halle la ecuación de la recta que pasa por él…
ECUACIÓN DE UNA RECTA CUANDDO LA ORDENADA ESTÁ EN EL ORIGEN Y
DADA LA PENDIENTE O ECUACIÓN PUNTO INTERSECTO
Es la ecuación de la recta que se intersecta en un punto ubicado sobre el eje y.
pedidaecuaciónlaesesta
semejantesostérreduciendoxy
ostérndotransponiexy
vadistributipropiedadlaaplicandoxy
yxmdoreemplazanxy
xxmyy
yxdondeDePm
Solución
xy ....................
min.....................022
min................0624
.....................624
,,..........).........3(24
)(
43:).4,3(.2
:
022
11
11
11
3
2
ecuaciónyxxy
xyx
yxyxxmyy
Am
........0113208233
82333
821)4(1)(
)1,4(.
32
11
32
.),2,3(.1),6,4(.5),3,5(.),3,4(21
32 mDmRmQmP
De la gráfica se puede observar, que la
abscisa del punto Q es cero(0), o sea: x1 = 0.
Utilizando la ecuación de recta punto
pendiente, se tiene que:
ecuaciónlaesEstamxyy
xmyy
xxmyy
1
1
11
)0(
)(
1y
y
x x
y
0
),0( 1yQ
),( yxP
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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227
EJEMPLO
Hallemos la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y la intersección con eje y es 2
Solución:
EJERCICIO
Para cada punto de intersección con el eje y, halle la ecuación de la recta según la pendiente
dada:
ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Consideremos la recta L que pasa por los puntos
EJEMPLO
Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos
Solución:
ecuaciónyxxy
xyxxmyy
xym
.....02332
)0(3)2()(
0.2.3
11
11
.7,4.,.,2 125
34
132
1 mymymy
),(),( 2211 yxPyyxQ
)4,3()2,4( PyQ
Ecuaciónyxxy
xyxyxy
xyxyxxxx
yyyy
yxyx
PQ
.......01076246147
)4(6)2(7)4(7
62)4(
7
62
)4(7
242)4(
43
)2(4)2()(
)4,3()2,4(
1
12
121
2211
De la gráfica:
Ambas expresiones representan la ecuación
de una recta que pasa por dos puntos
12
1
12
11
12
121
12
12
12
12
)(
:
:,tan:.tan
xx
xx
yy
yyóxx
xx
yyyy
dondedexx
yym
entoncesgmPeroxx
yyg
),( 22 yxP
),( 11 yxQ
0
y
x
1x
12 xx 1y
2y
12 yy
2xL
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
228
228
EJERCICIO
Para cada para de puntos, halle la ecuación de la recta que pasa por ellos:
1.
2. Encuentre la ecuación de cada uno de los lados de un triángulo cuyos vértices son
los puntos
LÍNEAS RECTAS PARALELAS
Consideremos la siguiente gráfica:
EJEMPLO 1.
Determinemos si las rectas que pasan por los puntos indicados son paralelas:
).9,4()5,0(:).6,5()4,2(: 432211 PyPLPyPL
Solución:
Para responder a esta situación, solo debemos probar que las pendientes de las rectas 21 LyL son
iguales. Entonces: Sea 1m la pendiente de )6,5()4,2(: 211 PyPL y 2m , la pendiente de
)9,4()5,0(: 432 PyPL . Luego:
7
10
7
10
25
46
12
121
xx
yym . 1
4
4
04
59
12
122
xx
yym . Como se puede
observar: 17
1021 mm , por ende, 1L no es paralela a 2L . Trace usted la gráfica.
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4, 5) y que es paralela a la recta
0532 yx .
Solución:
Sea 1L la recta 0532 yx , y 2L la recta que pasa por el punto P(4, 5), y que es paralela a 1L
O sea: 21 // LL .
De 0532:1 yxL , despejemos y para determinar el valor de la pendiente 1m de 1L . Esto es:
3
5
3
2 xy . De donde:
32
1m . Como 21 // LL , entonces: 32mm1 2 .
2m pendiente de 2L .
).5,3()5,4().6,6()2,5().0,4()4,0().2,1()2,3( QyPQyPQyPQyP
).6,5()5,2(),4,3( QyRP
De la gráfica se puede observar que las
rectas L1 y L2 son paralelas. L1 L2.
Lo anterior indica que las rectas tienen la
misma inclinación, entonces: 1 = 2
De igual forma: tang1 = tang2.
Pero: 11tan mg y 22tan mg
De donde: 21 mm , indicando que
tienen la misma pendiente.
Dos o más rectas son paralelas si y sólo
si tienen la misma pendiente
0
y
x
2
L1
1
L2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
229
229
Haciendo uso de la ecuación punto pendiente, para 2L . Esto es: )( 121 xxmyy .
32
2 m y P(4, 5):
073y2x 82153)4(532 xyxy …esta es la ecuación de la recta
2L que es paralela a 1L . Trace usted la gráfica.
EJERCICIOS
1. Determine si las rectas que pasan por los puntos indicados son paralelas:
).7,2()2,1(:);2,0()8,2(: 432211 PyPLPyPLa
).5,2()4,2(:);1,3()4,1(: 432211 PyPLPyPLb
).13,6()11,2(:);0,6()2,2(: 432211 PyPLPyPLc
2. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto indicado y que es paralela a la
recta dada:
LÍNEAS RECTAS PERPENDICULARES
Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares. Esto significa que se cortan formando un ángulo
recto. O sea, de 90°.
De igual forma:
.42),1,2(
.054),6,4(
.0532),5,4(
yxRc
yxQb
yxPa
1:.1tantan:
tan
1tan:.
)90(cot
1tan
1212
1
2
1
2
mmteconsiguienPorggEntonces
ggdondeDe
gg
Ayuda: Halle la pendiente de la ecuación despejando
y. Como las rectas tienen la misma pendiente, haga
uso de la ecuación de la recta punto pendiente
L1 L2 son perpendiculares.
1 inclinación de L1 m1 = tang1
2 inclinación de L2 m2 = tang2
Por geometría: 2 = 90° + 1.
tang2 = tang(90° + 1)
Pero:
gg
cot
1tan
y
x
2 1
L1
0
L2
90°
Dos rectas son
perpendiculares si
y sólo si el producto
de sus pendientes es
igual a menos uno
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
230
230
EJEMPLO 1.
Determinemos si las rectas que pasan por los puntos indicados son perpendiculares:
Solución:
Sea la pendiente de y la pendiente de . Entonces:
, las rectas y no son perpendiculares, porque el producto de
sus pendientes no es igual a
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y que es perpendicular a la
recta 3x +2y = 4.
Solución:
De la ecuación , despejemos . Esto es: .
Sea la pendiente dde la recta dada y la pendiente de la recta que pasa por el
punto P(4, 5). Como las rectas son perpendiculares, entonces:
De donde: . Haciendo uso de la ecuación .
Entonces:
Trace usted la gráfica.
EJERCICIOS
1. Determine si las parejas de rectas que pasan por los puntos indicados son
perpendiculares
2. Para cada recta, halle otra que sea perpendicular y que pase por el punto indicado:
3. Identifique los pares de rectas paralelas y perpendiculares:
.082:.022:.42: 321 yxLyxLyxL
).1,4()2,2(:).1,2()3,0(: 432211 PyPLPyPL
1m 1L 2m 2L
.22
31
02
)3(1
12
121
xx
yym
6
1
6
1
24
212
m
3
1
6
2
6
1221 mm 1L 2L
1
423 yx y 223 xy
23
1 m 2m
121 mm
3
211
23
1
2
m
m )( 121 xxmyy
072x3y 82153)4(532 xyxy
).2,4()34,7(:);5/17,3()5,5(:
).7,4()1,2(:);2,5()4,3(:
).11,4()2,2(:);2,3()0,0(:
432211
432211
432211
PyPLPyPLc
PyPLPyPLb
PyPLPyPLa
0.2048),1,2(
.0843),6,4(
.464),4,0(
yxRc
yxQb
yxPa
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
231
231
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Consideremos la siguiente gráfica
Por consiguiente: con esta expresión se halla el ángulo
entre dos rectas.
EJEMPLO 1.
Hallemos el ángulo formado por las rectas cuyas pendientes son 4 y 8.
Solución:
Denotemos como 21 mym las pendientes en cuestión, esto es: 84 21 mym , y sea el
ángulo entre las dos rectas, entonces:
121,033
4
321
4
841
48
1tan
21
12
mm
mmg .
De donde: |||40546 )121,0(tan 1g , este es el ángulo pedido.
EJEMPLO 2.
Determinemos el ángulo formado por las rectas 1243,0842 yxyx .
Solución:
Sea 1m la pendiente de 0842 yx y 2m , la pendiente de 1243 yx .
En ambas ecuaciones, despejemos y :
Para 0842 yx : 2
1
2
1
12
4
8
4
2mx
xy .
Para 1243 yx : 4
33
4
3
4
12
4
32 mx
xy .
Sea el ángulo entre las rectas en cuestión, entonces:
.2
20
40
111tan
8545
83
45
43
21
21
43
21
12
mm
mmg De donde:
|||052663 )2(tan 1g , este es el ángulo pedido. Trace usted la gráfica.
12
1212
1)(tantan
mm
mmgg
Sea el ángulo que forman
L1 y L2 al intersectarse. Por geometría: 2 = + 1
De donde: = 2 1
Por trigonometría:
2211
12
1212
tantan
:
tantan1
tantan)(tantan
gmygm
Pero
gg
gggg
180°
y
x
2 1
L1
0
L2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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232
EJERCICIOS
1. Para cada par de pendientes que se presentan a continuación, halle el ángulo que
forman las rectas al cortarse: 4 y 8; 5 y 3; 1 y 1; 4 y 2.
2. Para cada par de rectas, halle el ángulo que forman:
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Consideremos la siguiente figura.
En el análisis que hicimos en geometría plana, mostramos que la distancia más corta entre
un punto y una recta, es la perpendicular trazada desde la recta al punto. En nuestro caso, el
segmento PQ que es igual a la distancia d(d = PQ) es perpendicular a la recta L.
La distancia d del punto P a la recta L, se calcula con la siguiente expresión:
. El signo del radical es el mismo de B, si B ≠ 0, o el mismo signo de
A, si B = 0.
Demostración
Pasos:
1. Determinamos la ecuación de la recta L1 que es perpendicular a L.
2. Como el punto Q es común para las dos rectas, hallamos las coordenadas
resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma.
4. Calculamos la distancia entre los puntos P y Q que es la distancia del punto a la
recta
0.1025,036
.093,1844
.1765,0842
yxyxc
yxyxb
yxyxa
22
11
BA
CByAxd
L = línea recta.
d = distancia entre la línea L y elm punto P
Ax + By + C = 0…..Ecuación general de la
recta L.
L1
y
x
d
0
L
Q(x,y)
P(x1,y1)
Ax + By + C = 0
Ayuda: Para el ejercicio 2, despeje en ambas
ecuaciones e identifique las pendientes con m1
y m2 , luego, reemplace los valores en la
fórmula anterior. Como en el ejercicio 1 ya
están identificadas la pendientes, denótelas y …
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
233
233
Determinando la ecuación de L1:
B
Am
B
Cx
B
AyCByAx )1....(0 Pendiente de L .
Sea 1m la pendiente de 1L . Como A
B
mmmmLL
BA
111 111
.
Hallemos la ecuación de 1L que pasa por el punto :),( 11 yxP
1111111 )()( BxBxAyAyxxyyxxmyyAB .
De donde: )2....(011 AyBxAyBx …ecuación de 1L .
Hallando las coordenadas del punto Q:
Reuniendo las ecuaciones (1) y (2), y resolviendo el sistema por el método de reducción o
suma:
)0(0
)0(0
1111
AyBxAyBxAAyBxAyBx
CByAxBCByAx
Multiplicando, sumando, factorizando y despejando y :
22
1
2
1
1
2
1
22
1
2
1
2
2
0)(
0
0
BA
BCyAABxy
BCyAABxyBA
yAABxyAABx
BCyBABx
.
De igual forma: 22
11
2
BA
ACAByxBx
. Entonces, las coordenadas del punto Q son:
22
1
2
1
22
11
2
,),(BA
BCyAABx
BA
ACAByxBQyxQ , con estas coordenadas y las del
punto ),( 11 yxP , hallemos la distancia entre los puntos P y Q. Esto es: 2
22
1
2
11
2
22
11
2
1
2
BA
BCyAABxy
BA
ACAByxBxd
2
22
1
2
11
2
1
22
22
11
2
1
2
1
2
2
BA
BCyAABxyByA
BA
ACAByxBxBxAd ...Sumando fracciones.
2
22
11
22
22
11
22
BA
BCABxyB
BA
ACAByxAd ….Reduciendo términos semejantes.
2
22
11
2
22
112
BA
CByAxB
BA
CByAxAd …Ordenando y factorizando.
222
2
11
2
222
2
11
22
BA
CByAxB
BA
CByAxAd
…Desarrollando potencias.
22
2
11
222
2
11
222
BA
CByAx
BA
CByAxBAd
….Sumando fracciones, factorizando y
simplificando.
22
11
22
2
11
BA
CByAx
BA
CByAxd
…Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros
22
11
BA
CByAxd
…Esta es la fórmula para hallar la distancia entre una recta y un punto.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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234
EJEMPLO 1.
Hallemos la distancia que separa a la recta 2x +3y 6 =0 y el punto P(2, 4)
Gráfica
El signo menos de la distancia, muestra que el punto está por debajo de la recta, pero,
sabemos que la distancia nunca es negativa, por eso, en este caso se halla el valor absoluto
de la misma.
Si la distancia es positiva, el punto se encuentra por encima de la recta o a la derecha
EJEMPLO 2.
Los puntos )4,1()2,4(),3,4( KyQP son los vértices de un triángulo, hallemos la altura
correspondiente a cada lado.
Solución:
Para el lado )2,4(,)3,4(: QPPQ y el vértice opuesto K(1, 4):
)4(8
53)4(
44
323)( 1
12
121
xyxyxx
xx
yyyy .
0485205248 yxxy , esta es la ecuación del lado PQ.
Hallando la altura (distancia) de 0485 yx al punto K(1, 4):
0
y
x d
P(2, 4)
2x + 3y 6 = 0
ciadisd
d
BA
CByAxd
yxCBA
Pyx
tan...13
22
13
22
13
22
94
6124
32
)6()4(3)2(2
)4,2(0632
2222
11
11
PASOS A SEGUIR:
Determinemos la ecuación de la recta que
Contiene cada lado, haciendo uso de la
ecuación : )( 1
12
121 xx
xx
yyyy
.
Luego, calculemos la distancia de cada
Punto (vértice) a cada lado.
y
x
P(4, 3)
0
Q(4, 2)
K(1, 4)
Altura con respecto
al lado PQ
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
235
235
34,489
8941
6425
4325
8)5(
4)4(8)1(5
2222
11
BA
CByAxd
Halle usted la altura para los demás lados…
EJEMPLO 3.
Dadas las rectas 01234:0632: 21 yxLyyxL , hallemos la distancia que
las separa en un determinado punto.
Tomemos la recta 01234:2 yxL , determinemos las coordenadas de un punto sobre la
misma, digamos para 2x : 0123)2(401234 yyx
3404301238 yyy . Nuestro punto a utilizar es
34,2 .
Ahora, tomando 0632:1 yxL y el punto 34,2 , determinemos la distancia entre
21 LyL . Esto es: 34
11 2,6,3,2 yyxCBA
88,313
14
94
644
3)2(
)6()(3)2(2
22
34
22
11
13
1314
BA
CByAxd
EJERCICIOS
1. Para cada recta, halle la distancia al punto o a los puntos dados:
)6,3(,042 Pyxa .
)5,5()6,3(,5 QyPyxb .
)4,7()4,3(,01243 QyPyxc .
2. Los puntos )5,2()3,3(),4,5( KyRP son los vértices de un triángulo, hallemos la
altura correpondiente a cada lado.
3. Dadas 063:042:,4054: 321 yxLyyxLyxL , halle las
distancias entre 233121 , LyLyLyLLyL .
Importante:
Debido al carácter infinito de las rectas, es
imposible calcular la distancia que las separa
en todo el recorrido, pero, si podemos estimar
la distancia que las aparta en determinados
puntos del trayecto
y
x
1L
3
0
d
4
34
2
2
3
34,2
0632 yx
01234 yx
2L
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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236
CONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN DE ALGUNOS FENÓMENOS
En muchas situaciones de la realidad, encontramos relaciones complejas que se pueden
dilucidar (analizar) fácilmente, pero, la representación de esas relaciones complejas a través
de una función (fórmula o expresión algebraica), permiten comprenderlas más claramente,
conjeturar a cerca de su comportamiento y hacer predicciones sobre las mismas
No existe una fórmula mágica que permita construir la función (fórmula expresión
algebraica) que represente las características de un fenómeno natural, esto se debe a que los
fenómenos naturales son heterogéneos (distintos) y por ende, nos es posible establecer unas
reglas (condiciones) que los represente a todos. Por eso, la capacidad e inventiva del
interesado es muy importante para llevar a cabo tal construcción.
No obstante, la interiorización (comprensión) de las pautas que se presentan a continuación,
facilitan la construcción de la función de una situación natural:
1. Se identifica la variable dependiente, que normalmente se escribe en el primer miembro
de la ecuación o se despeja (aísla) después de construida la función.
2. Se identifica la variable independiente, que suele escribirse en el segundo miembro de
la ecuación.
3. Se identifica el factor constante, que permite sumar la variable independiente el número
de veces que indique él, que se convierte en el producto de la variable independiente
por el factor constante.
4. Se identifica el término constante, O sea, el término que permanece inmodificable e
indiferente a la variable independiente. El mismo se suma en el segundo miembro a la
función (ecuación).
EL SIGUIENTE ESQUEMA ILUSTRA LAS CONSIDERACIONES ANTERIORES:
Este esquema, se puede expresar así: ….Función
Casi siempre, la variable independiente se denomina y la dependiente,
kmxxfy )(
x y
Variable
Dependiente
eDependient
Variable
Variable Dependiente
nteIndependie
Variable
teCons
Factor
tan
Variable
Dependiente
teCons
oTér
tan
min
fy 0 m x k
Es muy importante anotar, que casi siempre las relaciones involucran dos variables
teconsonteindependieoTér
pendienteoteconsFactor
sarbitrariovaloresToma
dedependenqueSignifica
k
m
x
xfyxfy
tanmin
tan.,)(
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
237
237
Gráfica
EJEMPLO 1.
Durante una reunión familiar, el padre se compromete a darle a un hijo $500 más diario para sus
gastos, siempre y cuando, éste asista todos los días de la semana al colegio.
a) Hallemos una función para el ingreso adicional del hijo en función de los días asistidos al colegio
b) Determinemos, ¿cuánto acumulará en 46 días?
Solución: En un día recibe: 500. Que equivale a multiplicar 500(1)
En dos días recibirá: 500 + 500 = 1000. Que equivale a multiplicar 500(2)
En tres días recibirá: 500 + 500 + 500 = 1500. Que equivale a multiplicar 500(3)
En cuatro días recibirá: 500 + 500 + 500 + 500 = 2000. Que equivale a multiplicar 500(4)
El en cinco días recibirá: 500(5), y a si sucesivamente.
El anterior análisis muestra, que para determinar el ingreso del hijo en un determinado
número de días, solo hay que multiplicar lo que se gana el primer día ($500) por el número
de días transcurrido
Como ya interpretamos el comportamiento de la situación, planteemos la función:
Sea = Ingreso del hijo Variable dependiente
= Días transcurridos Variable independiente
$500 = Recursos que el hijo recibe el primer día Factor constante
Debido a que el ingreso ( ) depende de los días transcurridos ( ), se puede expresar en
función de los días. Esto es: . Multiplicando el factor constante por la variable, se obtiene
: . Finalmente, la función queda expresada así:
Función
b) Al transcurrir 46 días, o sea, para el hijo recibirá:
Gráfica:
0 1 2 3 4
0 500 1000 1500 2000
I
x
I x
I x)(
x500
xI x500
)(
46x
000.23$)46(500)46(
I
xy
kmxxfy )(
De la gráfica se puede observar que:
Cuando , el valor de es igual a
. Donde es el intercepto con el eje
0x )(xfy k
kxfy )( k y
k
y
x 0
xI x500
)(
Días 0
500
1000
1500
2000
1 2 3 4
Ingreso
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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238
EJEMPLO 2.
Un comerciante le paga a un empleado $10850 diario por la jornada ordinaria de trabajo. Con
el objetivo de aumentar la producción, el patrón acuerda con el empleado el pago de $2500
por cada hora extra (hora adicional a la jornada ordinaria) labrada Determinemos la función para el sueldo diario en función de las horas extras laboradas
Solución:
Debido a que las horas extras se contabilizan después de la jornada ordinaria de trabajo, y
además, el trabajador primero asegura el sueldo de la jornada ordinaria ($10850), entonces:
Para una hora extra: 10850 + 2500. Que equivale a: 10850 + 2500(1)
Para dos horas extras: 10850 + 2500 + 2500. Que equivale a: 10850 + 2500(2)
Para tres horas extras: 10850 + 2500 + 2500 + 2500. Que equivale a: 10850 + 2500(3)
Para una hora extra: 10850 + 2500(4), y a si sucesivamente
Como se puede observar, el sueldo correspondiente a la jornada ordinaria ($10850)
permanece inmodificable (constante), en cambio, el relacionado con las horas extras, depende
del número de horas laboradas, luego:
= Sueldo diario en función de las horas extras
= Horas extras laboradas
$10850 = Sueldo jornada ordinaria
$2500 = Sueldo hora extra laborada
El sueldo percibido por las horas extras laboradas, resulta de multiplicar el valor de la hora
extra por el número de horas extras transcurridas. O sea: . Pero, para tener derecho al
pago de horas extras, el trabajador primero asegura el sueldo de la jornada ordinaria
($10850), que lo suma al sueldo de las horas extras, entonces la función es:
Función
Gráfica:
0 1 2 3 4
10850 13350 15850 18350 20850
EJEMPLO 3.
Una fábrica paga a un empleado $200 por cada día laborado. Pero, debido a un préstamo que
la cooperativa de la fábrica le hizo al trabajador, cada vez que le pagan le hacen un descuento
de $80 para amortizar la deuda.
a) Construyamos una función para el ingreso del empleado en función de los días pagados.
b) Determinemos los días que debe trabajar para obtener un sueldo de $1000.
S
x
x2500
108502500250010850)()(
xSoxS xx
xy
¿Cuánto recibirá si trabaja 6 horas
extras?
¿Cuánto recibirá si no trabaja
ninguna hora extra?
Sueldo
xS x50010850
)(
13350
15850
18350
20850
10850
1 2 3 4 Horas 0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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239
Solución:
= Sueldo en función de los días trabajados
= Días laborados
$200 = Sueldo devengado en un día
$80 = Descuento que le hacen al trabajador cada vez que pagan
Como en un día gana $200, en días ganará: . Pero, para amortizar la deuda, cada vez
que pagan le hacen un descuento de $80, entonces, en días pagados, recibirá: .
De donde:
Función
b) Para un sueldo de $1000, o sea, , deberá laborar:
Gráfica:
0 1 2 3
80 120 320 520
EJEMPLO 4.
Para construir una casa comunal, los habitantes de un barrio de Quibdó compran un terreno
rectangular de 240m2 de área. Pero debido a la falta de presupuesto, la obra no podrá ser
construida inmediatamente, y la comunidad decide cercarlo con alambre.
Expresemos la longitud (perímetro) del lote como una función de uno de sus lados.
Solución:
S
x
x x200
x 80200 x
80200)(
xS x
1000)(S x
díasxxxS x4,5
200
1080
200
80100080200100080200
)(
xy
¿Cuál será la ganancia cuando el
trabajador no trabaja?
¿Cuánto recibirá si trabaja todo
el mes?
80200)(
xS x
520
160 120
320
240
1 2 3 4
80
80
400
480
560
Sueldo
Días 0
Expresemos la longitud en función del largo:
Sean los lados del terreno. Como es
rectangular el área es . Entonces:
….(1)
Pero:
….(2).
Reemplazando (1) en (2):
Exprese usted, la longitud en función del ancho
yx,
xyA
xydondeDexy 240:240
yxL 22
Función.......480
480240
2
222
)
)
(
(
x
xx
xL
xxL
x
x
x
y 2240mA
perímetrooLongutudL
AnchoyoLx
.arg
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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240
EJEMPLO 5.
Una tienda de video juego, presenta a sus clientes las siguientes opciones para la adquisición
de películas: Si comparan 4 películas a $160 cada una, entonces pueden comprar películas
adicionales a mitad de precio. Pero, debido a la poca oferta, a cada cliente solo se puede
vender un máximo de 10 películas
Hallemos la función del costo de la compra en función del número de películas compradas.
Solución:
= Costo de la compra
= Número de películas compradas
$160 = Precio de cada película
Como nunca es posible comprar cero películas, toma valores mayores a cero.
Si un cliente compra de 1 a 4 películas. El costo de la compra es: , entonces:
Pero después de comprar 4 películas, las demás se pueden pagar a mitad de precio, o sea a:
cada una. Esto muestra, que para la adquisición de películas, el cliente
paga cada una a . Pero como ya pagó las 4 primeras a , el costo de
comprar más de 4 películas, viene dado por la suma de las 4 que paga a $160 más las que
paga a mitad de precio. Luego:
Reuniendo (1) y (2):
. Se ha obtenido una función por tramo
¿Cuánto debe pagar un cliente que compre 3, 6, 7 o 9 películas?
EJEMPLO 6.
Carmen Bonilla hace helados a un costo de $8 cada uno. Si los vende a pesos, podrá
vender helados al día.
a). Hallemos una función que represente la utilidad (ganancia) en función del precio
b). Calculemos la utilidad si los helados se venden a $10.
Solución:
= Utilidad o ganancia
= Precio de cada helado
$8 = Costo de cada helado
= Número de helados vendidos
Pero:
Haciendo uso de la expresión: se tiene que:
C
x
x
)41( x x160
)1........(41.160)( xparaxC x
80$2
160$ 44 x
x80 640$)4(160160 x
)2.......(104.80640)( xparaxC x
104.80640
41160)( xparax
xparaxC x
x
x18
G
x
x18
)8)(18())(cos(
))(18())((
xCostoheladoportoheladosdenúmeroCosto
xxIngresoheladoporprecioheladosdenúmeroIngreso
toIngresoUtilidad cos
Función.......14426
14426)8)(18()8)(18())(18(
2
2
)(
)(
xxG
xxxxxxxG
x
x
En las operaciones comerciales, la Utilidad o
Ganancia, el Ingreso o Venta, el Costo y la Perdida,
están relacionadas a través de las siguientes
expresiones:
toIngresooventa cosUtilidadoGanancia
ventatoPerdida cos
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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241
b) Si vende los helados a $10, o sea: , obtiene una utilidad de:
Trace la gráfica de la función
EJEMPLO 7.
Una persona compra una motocicleta por $200.000. Después de 10 años de uso la
motocicleta está obsoleta y sin ningún valor.
a). Hallemos una función para el valor de la depreciación de la motocicleta durante
los 10 años de uso.
b). Transcurrido 7 años, ¿en cuánto se puede vender la motocicleta?
Solución:
= Valor de la depreciación de la motocicleta
10 = Tiempo de vida útil
= Tiempo que debe transcurrir para que la motocicleta quede obsoleta
$200.000 = Valor compra de la motocicleta
Como la motocicleta tiene una vida útil de 10 años, y queda obsoleta en años, cada año se
deteriora , pero a medida que pasan los años, el precio de la motocicleta se deteriora
proporcionalmente al tiempo transcurrido, entonces, la misma se deprecia en:
.
El valor de depreciación se calcula estableciendo la diferencia entre el costo inicial o
valor compra($200.000) y la depreciación del precio en años ( ). Luego:
……Función
b). Transcurrido 7 años, o sea:
Después de 7 años, la motocicleta se puede vender en $60.000
EJEMPLO 8.
Para estimular el consumo de un producto que tiene un precio de $200, el gerente de un
supermercado decide hacerle un descuento continuo diario del 10% sobre el costo,
disminuyendo constantemente su precio.
a). Hallemos una función para el costo del producto en función de los días que
permanece disponible al público.
b). Determinemos el costo del producto los 10 días de promoción
Solución:
10x
16$144260100144)10(26)10( 2
)10(G
V
t
t
10t
tt20000
10200000
V
t t20000
tVt
20000200000)(
7t
60000140000200000)7(20000200000)7(
V
Recordemos:
Para hallar el porcentaje de un número, multiplicamos la expresión racional( )
del porcentaje por el número. Esto es: El k% de Q
Hallemos el 40% de 500. Entonces:
.10085.
10010.
1005,2
5,2.1003030.
100%85%10%%% kk
100k
100100kQ
Qk
200100
20000)500(10040
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242
Ahora si podemos analizar nuestro ejemplo.
$200 = Precio inicial del producto
= Descuento
El primer día, el producto se reduce en un 10% del precio inicial, esto es:
. Nuevo costo del artículo.
El segundo día, se descuenta nuevamente el 10% del nuevo precio, esto es:
. Luego:
El tercer día, se descuenta el 10% del precio del día anterior, esto es:
. De donde:
Si observamos bien la secuencia, para el cuarto día el costo es:
Para el quinto día es: , y a si sucesivamente
¿Cuál será el costo para el día 10?
Reuniendo todos precios:
…..Primer día
…..Segundo día
…..Tercer día
…..Cuarto día
…..Quinto día
b). El costo del artículo a los 10 días, o sea, para es:
El precio del artículo a los 10 días de permanecer a la venta es de $69,73
En general:
= Costo del artículo al aplicarle el descuento continuo
= Precio inicial
= Porcentaje de descuento
= Tiempo
Luego:
….Esta es la fórmula para calcular el interés compuesto
101
10010%10
200%10 de
dofactorizan....1200200101200
101
1011200%10 de 2
101
101
101
101
101
101 12001120012001200
21011200%10 de
3222
101
101
101
101
101
101 12001120012001200
41011200
51011200
11011200
21011200
31011200
41011200
51011200
10t
73,699,020020020012001010
10910
1011010
101
)10( G
tt
tG 9,02001200
101
)(
G
Q
100% rr
t
tt
rQG100)(
1
Como se puede observar, el exponente de cada
paréntesis corresponde al número de días. Entonces:
= Costo del producto al aplicarle el descuento
= Días durante los cuales permanece disponible
el producto
De donde:
…..Función
G
t
tt
G101
)(1200
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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243
EJEMPLO 9.
Comparando las escalas de temperaturas Celsius o Centígrada y la Fahrenheit, se observa que para 0°
Celsius (punto de congelación del agua), la escala Fahrenheit marca 32° y para 100° Celsius (punto de
ebullición del agua), la escala Fahrenheit marca 212°. Si las dos escalas se relacionan linealmente:
a) Hallemos la función o fórmula que relaciona las dos escalas
b) Para una temperatura de 60° en la escala Celsius, ¿cuántos grados marca la escala Fahrenheit
Solución:
El enunciado muestra que las dos escalas coinciden en dos puntos distintos, esto nos lleva a utilizar la
eceuación de la recta que pasa por dos puntos.
Los puntos son:
Haciendo uso de las variables seleccionadas para nuestra solución, la ecuación es:
. Sustituyendo los valores de los puntos en esta ecuación, se
tiene que:
Como se puede observar la escala Fahrenheit está en función de la escala Celsius.
b) Para °C = 60°:
Entonces: Para °C = 60°, °F = 140°
EJERCICIOS
1. La siguiente tabla muestra el plan que una empresa telefónica ofrece a sus
usuarios
Precio minuto = $250 Cargo fijo por minuto = $12
a). Halle una función para el costo del plan en función de los minutos
consumidos
b). Si un usuario consume 680 minutos, ¿cuánto debe pagar?
c). Con $40000, ¿cuántos minutos puede comprar?
d). Trace la gráfica
FahrenheitFC yCelsius 00
2
0
2
0
1
0
1
0
212,10032,0
FCFC
)( 1
12
1
12
CCCC
FFFF
funciónlaesEstaLuego
CFCFCF
32C5
9F:
32180
32212
325
9
100)0(
0100
32
140321083232)32C5
540(60
5
9
5
9F
Ecuación de la recta que
pasa por dos puntos
)( 1
12
121 xx
xx
yyyy
(100°,212°)
°C
°F
100°
32°
212°
0°
(0°,32°)
Gráfica
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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244
2. Un rectángulo tiene un perímetro de 200m y sus lados están denotados con las
letras .
a). Exprese el área del rectángulo en función de
b). Para un área de , ¿cuál es el valor de
c). Para , ¿cuánto vale el área?
d). Trace la gráfica
3. Una empresa paga a sus empleados $400 por cada día laborado. Para evitar que
los trabajadores lleguen tarde , establece recortar $80 por cada hora de retraso
a). Halle una función para el sueldo de un trabajador en función de las horas de
retraso.
b). Para que un empleado reciba $100, ¿cuántas horas debe retrasarse?
c). ¿Cuál es el sueldo de un trabajador que se retrasa 5 horas?
d). Trace la gráfica.
4. Una empresa abona a sus agentes de ventas $3000 por alojamiento y alimentación
más $20 por cada km de viaje en coche
a). Escribe una función para el abono de un agente en función de los km recorridos
b). ¿Cuántos km debe recorrer un agente para obtener un abono de $36000?
c). Para un recorrido de cero km, ¿cuál será el abono que recibe un agente?
5. Una universidad compra un automóvil por $10.000.000. El vehículo tiene una
garantía de 20 años.
a). Halle una función para el valor del automóvil durante los 20 años
b). Si se quiere vender el automóvil en $8.000.000, ¿después de cuántos años se
debe realizar la venta?
6. Un cilindro recto tiene una superficie total de 80m2 y su radio y altura están
denotadas por las letras .
a). Exprese el volumen en función de
b). Para que valor de el volumen será de
7. En un supermercado por la compra de 7 artículos de tipo A se debe pagar $100 por
cada uno, pero, una vez se superen los 7 artículos comprados, se pueden comprar
artículos adicionales a las dos quintas partes del precio inicial. Debido a la
cantidad de clientes, cada uno puede comprar máximo 12 artículos.
a). Halle una función para el costo de los artículos en función del número comprado
yx,
x2200cm x
cmx 56,8
yx,
x
x 340m
)(52
y
x
yxPPerímetro
xyArectánguloÁrea
Ayuda
22:
:
:
)(2:
:
:
2
rhrAtotalÁrea
hrVcilindroVolumen
Ayuda
T
x
y
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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245
b). Un cliente que tenga $800, ¿cuántos artículos puede comprar?
8. Felipe compra celulares a $40 cada uno. Debido a la crisis económica del país, para
evitar la quiebra del negocio, tuvo que vender los celulares en $5 menos del precio
inicial. Él decide vender celulares diario.
a). Escribe una función de la perdida en función del número de celulares vendidos
b). ¿Cuántos celulares debe vender diariamente para que la perdida sea mínima?
9. Se va a construir una caja abierta de una pieza cuadrada de material de 30cm de lado,
cortando cuadrados iguales de sus esquinas y doblando por las líneas de puntos.
a). Exprese el volumen de la caja en función de
b). Para obtener un volumen de , ¿cuál debe ser el valor de ?.
10. Un padre le asigna a su hijo un estímulo económico de $500 diarios por asistir al
colegio , y adicionalmente le promete $700 por cada examen aprobado.
a). Escribe una función para el dinero percibido por el hijo en función de los
exámenes aprobados.
b). ¿Cuántos exámenes debe aprobar para obtener $6800?
c). ¿Cuánto recibirá si reprueba(pierde) todos los exámenes?
d). Trace la gráfica
11. CODECHOCÓ decide reforestar unas hectáreas de bosques que fueron taladas por
unos leñadores. Cuando los funcionarios inspecciones el área, contabilizan un
total de de 500 árboles. Después de hacer un análisis, estiman(deciden) sembrar
cada mes el 20% de los árboles existentes.
a). Halle una función para la cantidad de árboles que contiene el bosque en
función de los meses sembrados
b). ¿Cuántos árboles tendrá el bosque en un semestre?
12. La distancia que separa las ciudades de Quibdó y Medellín es de 200km
aproximadamente. Un atleta decide desplazarse de Medellín a Quibdó, cada día
recorre el 10% de la distancia entre las dos ciudades.
a). Halle una función para la distancia que le falta recorrer al atleta en función
de los días caminados
b). Después de 8 días de camino, ¿cuántos km le falta atleta por recorrer?
13. Un banco ofrece el 8% de utilidad diaria sobre el saldo, y cada día la ganancia se
acumula al capital. Un comerciante atraído por la oferta del banco deposita
$2000
a). Halle la función que le permite al comerciante estimar la ganancia en función
x20
CostoVentaPerdidaAyuda :
x31200cm x
Caja
construida
x
x
x230
x230
x
x
cm30
x230 Pieza
cuadrada abhV
Ayuda
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246
de los días b). A los 10 días de tener el dinero en el banco, ¿cuánto recibe?
14. Un estudio sobre la producción de oro en el departamento del Chocó mostró que en
el mes de enero se extrajeron 10 castellanos por cada 4m3 de tierra dragada y en el
mes de junio de 80 castellanos por cada 20m3 de tierra dragada. Si las dos variables
tienen un comportamiento líneal:
a) Halle una función para la producción de oro en el Chocó
b) Para una producción de 50 castellanos, ¿cuántos m3 se deben dragar?
c) Para un dragado de 80m3, ¿cuántos castellanos se producen?
15. Las ventas del comercio de Quibdó en los dos primeros meses de 2009 fue de 400 y
600 millones de pesos, respectivamente. Si el crecimiento de las ventas tienen un
comportamiento lineal:
a) Halle una función para las ventas
b) En el 10 mes, ¿a cuánto hacienden las ventas)
c) ¿Cuántos meses deben transcurrir para obtener unas ventas de 2000 millones
de pesos?
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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247
SECCIONES CÓNICAS
Las secciones cónicas son curvas que se forman por la reflexión e intersección de una
superficie cónica de revolución con un plano.
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias equidistan
todas (misma separación) de un punto llamado centro. La distancia a la que equidistan se
llama el radio de la circunferencia.
e
Generatriz(g)
Vértice
Eje
Las secciones cónicas son:
LA CIRCUNFERENCIA: El plano que corta el
cono es perpendicular al eje.
LA PARÁBOLA: El plano es paralelo a la
generatriz y oblicuo al eje.
LA ELIPSE: El plano es oblicuo al eje y corta las
dos generatrices.
LA HIPÉRBOLA: El plano es paralelo a las dos
generatrices.
Centro
Radio
C
r
y
x 0
r
y
x 0
r
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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248
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Consideremos la siguiente figura:
De donde: .
Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia, tenemos: 222 )()( rkyhx
22222 22 rkkyyhhxx …………….Desarrollando los binomios (potencias).
022 22222 rkhkyhxyx ………(1)………….Ordenando e igualando a cero.
Haciendo: 222.2.2 rkhFkEhD .
Reemplazando estos valores en la ecuación anterior (1), se tiene:
0FEyDxyx 22 ……………..Esta es la ecuación general de una circunferencia.
Para que una ecuación como esta represente una circunferencia, los coeficientes de
deben ser iguales.
ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO r
22kh yxr
22 , yx
y
0
r
P( x, y )
x
Como el centro está en origen del
sistema de coordenadas rectangulares,
C(h,k) = C(0,0); esto significa que:
h = 0 y k = 0. Reemplazando en la
ecuación ordinaria:
.00 222
222
ryx
ryx kh
222 ryx Ecuación…
h
k C( h, k )
r
P( x, y )
y
x 0
CANÓNICA: Forma simple o normal de
una ecuación que representa un fenómeno,
posición general o común de una figura
geométrica
La distancia entre los puntos P y C es el
radio de la circunferencia(r).
Aplicando la fórmula para hallar la distancia entre
los puntos, se tiene que:
222 )()( rkyhx ….Esta es la ecuación
ordinaria o canónica de una circunferencia.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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249
EJEMPLO 1.
La expresión es la ecuación de una circunferencia. Hallemos los
valores de D, E, F, el centro y el radio.
Solución:
La ecuación particular se comprara con la general
Comparando:
De la comparación se obtiene que:
35.4.2 FED
Pero: 22
4
22.1
2
2
22
EkkE
DhhD .
El centro es: 2)C(1, .
RadiorrdondeDe
rrrrkhF
.........1024040:
5354135)2()1(35
2
22222222
Gráfica:
0354222 yxyx
0354222 yxyx
022 FEyDxyx
0
03542
22
22
FyExDyx
yxyx
y
x 40 0
r
)2,1( C
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250
EJEMPLO 2.
La ecuación de una circunferencia es . Hallemos el centro
y el radio.
.054304
20
4
16
4
12
4
4
4
4 2222
yxyxyxyx
Solución:
Primero eliminamos los coeficientes de dividiendo toda la ecuación por el coeficiente
de , o sea, por 4, luego, se compara con la general. Esto es:
Comparando:
EJEMPLO 3.
La ecuación de una circunferencia es . Hallemos el centro y el radio.
Solución:
EJEMPLO 4.
Hallemos la ecuación ordinaria y general de la siguiente circunferencia.
020164 124 22 yxyx
22 , yx2x
0
0543
22
22
FEyDxyx
yxyx
2.:.22
)4(
24.
2
3
23
23
CescentroEl
EkE
DhD
radiorrkhFF 2
55 222
01224 yxx
0
0104
22
22
FEyDxyx
xyx
0,2:.02
0
20.2
2
)4(
24 CescentroEl
EkE
DhD
radiorrkhFF 31 222
Trace la gráfica….
NOTA: El elemento que no existe,
se reemplaza con cero(0)
y
0 x
10 )3,2(C
kh
rkhdondedeC
10,3,2:),3,2(
Reemplazando rykh, en la ecuación canónica: 222 )()( rkyhx
222 )10()3()]2([ yx . 222 )10()3()2( yx ……….Ecuación ordinaria.
1009644 22 yyxx .
0876y4xyx 22 ……. Ecuación general.
Trace la gráfica….
Ojoo: 22 , yx siempre son positivos
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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251
EJEMPLO 5.
Determinemos la ecuación general de una circunferencia cuyo diámetro tiene por extremo los
puntos ( 2, 6) y (2, 4).
Con el centro y el radio, determinemos la ecuación:
EJEMPLO 6.
Determinemos la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C( 2, 2) y pasa por
el punto (2,3).
...0201052510)(50 2222222 5 Ecuaciónyyxyyxyx
( 2, 6)
(2, 4)
0
y
x
C(0, 5)
Hallemos las coordenadas del punto medio, o sea, el
centro de la circunferencia.
52
64
2.0
2
22
2
2121
yy
kxx
h .
)5,0(),( CkhC
Ahora, calculemos el radio de la cirucnferencia, utilizando
el centro y uno de los extremos:
514)1()2()54()02( 2222 r .
(2,3)
y
x
C(2, 2)
r
Hallemos el radio, determinando la distancia entre
los dos puntos:
.412516
)5()4()32()22( 2222
r
r
22241)2()2( yx
412222 yx
414444 22 yyxx
0334422 yxyx ….Ecuación …
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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252
EJEMPLO 7.
La ecuación de una circunferencia es . Demostremos que el punto
P(3,5) está en el interior de la circunferencia y que el punto Q(4,8) está en el exterior. 222 )()( rkyhx .
Si rkyhx 22 )()( , el punto está en el interior de la circunferencia.
Si rkyhx 22 )()( , el punto nestá en el exterior de la circunferencia.
74949)6()4( 22 ryx .
Para )5,3(P : 72 7)65()43( 22 …Si se cumple, entonces, P(3,5) está en
el interior de la circunferencia.
Para )8,4( Q : 714 71967)68()44( 22 …Si se cumple,
entonces, Q(4,8) está en el exterior de la circunferencia.
EJEMPLO 8.
Hallemos la ecuación de la circunferencia de radio 10 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas
Solución:
El centro de la circunferencia es el punto de intersección de las dos rectas involucradas; para
hallar las coordenadas del punto de intersección que para nuestra circunferencia es el centro,
se resuelve el sistema por cualquiera de los métodos analizados en los años anteriores.
Resolviendo el sistema se tiene que C(2,1), entonces:
EJEMPLO 9.
Observe la siguiente circunferencia. Si la circunferencia se traslada 8 unidades hacia la
derecha, o sea, en la dirección )0,8(
V , ¿cuál es la ecuación de la circunferencia en la nueva
posición?.
492264 yx
0243732 yxyx y
....09524
100124)10(12
22
22222 4
generalEcuaciónyxyx
yyxxyx
Si trasladamos la circunferencia 8 unidades hacia la derecha, el
desplazamiento es paralelo al eje x; esto significa, que a la coordenada
del eje x se le suma 8, luego: 2 + 8 = 6. Como la coordenada del eje
y permanece constante el nuevo centro de la circunferencia es C(6,3);
con este centro y el radio determinaremos la ecuación en la nueva
posición. Esto es:
....020612
25963612)5(36
22
22222
generalEcuaciónyxyx
yyxxyx
0
y
x
5
Grafique la circunferencia en la nueva posición
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
253
253
EJERCICIOS
1. Para cada centro y punto, halle la ecuación de circunferencia y la gráfica.
a). C(0,0) y pasa por (4,8). b). C(2, 5) y pasa por (0,1).
c) C(5, 4) y pasa por(4,4)
2. Halle la ecuación general de las siguientes circunferencias
3. Para cada par de puntos que determina el diámetro de cada circunferencia, halle la
ecuación general
a). A(2, 2) y Q(2,2). b). A(0, 0) y Q(8,10). c). R(4, 5) y Q(4, 2).
4. Halle la ecuación de la circunferencia de centro C(4,5) y radio
5. Halle la ecuación de la circunferencia de centro C0,5) y radio 9.
6. La ecuación de una circunferencia es . Demuestre que el punto
P(0,1) está en el interior de la circunferencia y que el punto Q(2,5) está en el exterior
7. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección
de las rectas
8. Para cada circunferencia, halle la ecuación según la traslación indicada.
7
492264 yx
053201 yxyx y
7
0
y
x
11
0
y
x
11
0
y
x
Se traslada 5unidades
hacia la derecha y 4
hacia arriba, o sea, en
la dirección )4,5(
V
7
0
y
x
Se traslada 4unidades hacia la
izquierda y 3 hacia abajo, o sea,
en la dirección )3,4(
V
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
254
254
NOTA COMO COMPLETAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Las expresiones hacen parte de un trinomio cuadrado perfecto, pero
como se puede observar, a ambas expresiones le hace falta un término. Para hallar el término
que falta, se aplica el siguiente procedimiento:
Se ordena la expresión en forma descendente (de mayor a menor)
Se factoriza toda la expresión por el coeficiente del término de mayor grado
Cuando el trinomio hace parte de una ecuación o identidad, toda la expresión se divide
por el coeficiente del término de mayor grado
El coeficiente del segundo término se divide por 2 y el cociente se eleva al cuadrado
A la expresión inicial se suma y resta la potencia obtenida.
Finalmente, si es necesario se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.
Completemos los siguientes trinomios:
a …factorizando.
….elevando el cociente al cuadrado. …sumando y restando
….factorizando. Entonces: , sí esta expresión se desarrolla,
reproduce la inicial.
b …dividiendo por 3.
…elevando el cociente al cuadrado.
COMPLETE LOS SIGUIENTES TRINOMIOS:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
Al inicio de la guía se mostró que la ecuación ordinaria de una circunferencia se puede
escribir de la siguiente forma:
xxxx bayba 22
)(222122 xxxx 2...
412
21 pordividiendo
16
12
4
1
161
161
2122 xx
16
1
161
41 2
2 x 162
41 2
2 x
03093 22 xxxx 2...2323 pordividiendo
4
92
2
3
0
49
23
49
49 22 03 xxx
05.062.2.3.4 22222 xxxxxxxxxx
022 FEYDXYX
:
...4422
...tan4444
.0
2222
222
222
22
22
queobtieneseecuaciónestaDe
trinomioslosaislandoydoFactorizanF
trinomioslosdoCompleF
FandotransponieyOrdenandoF
nciacircunfereunadegeneralEcuaciónF
EDED
EEE
DDD
ED
ED
yx
yyxx
yyxx
yxyx
2,
2:
42
1
44.
2.
2
2222
2
ED
EDED
CescentroEl
FEDFkh rr
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
255
255
Gráfica:
EJEMPLO
Grafiquemos la circunferencia
Solución:
Comparando:
092222 yxyx
0
0922
22
22
FEyDxyx
yxyx
1,1:
.12
2
22.1
2
)2(
22
CescentroEl
EkE
DhD
1144)9(4)2()2(4:92122
2122
21 FEDrperoF
0
y
x
22
, EDC
FEDr 422
21
CONSIDERACIONES IMPORTANTES
SOBRE
Si 0, la circunferencia
es real
Si = 0, la circunferencia
se reduce a un punto
Si 0, la circunferencia
es imaginaria
FED 422
FED 422
FED 422
FED 422
0
y
x
)1,1( C
11
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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256
EJERCICIO
Grafique las siguientes circunferencias:
DETERMINACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN SUJETA A TRES
CONDICIONES
Las formas de la ecuación de una circunferencia son:
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,2) , B(6,6) y
Q(6, 2).
Solución:
En este caso utilizamos la ecuación . Reemplazando las
coordenadas de cada punto en la ecuación anterior, formamos un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas(D,E,F). El objetivo es hallar el valor de cada incógnita, para luego,
reemplazarlos en la ecuación general…
Para:
Para:
Para:
Reuniendo (1), (2) y (3):
Reemplazando los valores de D, E y F en la ecuación :
.02124.015
.044.052
842
62
2222
2222
yxyxyxyx
yxyxyxyx
.022
222
nciacircunfereunadegeneralEcuaciónFED
canónicaoordinariaEcuaciónkh
yxyx
ryx
022 FED yxyx
2,2)2,2( yxA
)...(822022440)2()2()2()2( 221 FEDFEDFED
6,6)6,6( yxB
)...(726606636360)6()6()6()6( 222 FEDFEDFED
2,6)2,6( yxQ
)...(40260264360)2()6()2()6( 223 FEDFEDFED
24.4.12)...(4026
:,)...(7266
Re)...(822
FEDFED
quetienesemétodocualquierporincógnitasFED
tresconecuacionestresdesistemaestesolviendoFED
3
2
1
022 FED yxyx
ecuaciónyxyx ...0)24()4()12(22 0244y12xyx 22
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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257
EJEMPLO 2.
Determinemos la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(6,2), Q(8,0) y
cuyo centro está sobre la recta
EJERCICIOS
1. Para cada terna de puntos, halle la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos:
a). P(1,0), Q(3,2) y R(1, 4). b). A(2, 2), B(1,4) y H(4, 6)
2. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 4), (2, 1) y
cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y +5 = 0.
3. Una circunferencia de centro (3, 2), es tangente a la recta 3x + 4y + 2 = 0. Determine la
ecuación de la circunferencia y la gráfica de la misma.
4. Sea la circunferencia . Halle la ecuación de la
circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x 12y = 1.
0273 yx
...4802020482044168
20)24)20()2(4
:Re
20,2,4:Re......(0273
.......(6416
......(40412
:tan
.....(0273:
...),(,,0273),(
222222
22222
222
222
222
).3
)2
)1
)3
Ecuaciónyxyxyxyxyyxx
khenvaloresestosemplazando
rkhquetienesesistemaelsolviendo
hkh
khkh
ecuacioneslasdoJun
Luego
ecuaciónlasatisfacekhCentoncessobreestákhCComo
yxyx
ryx
kh
r
r
kh
yx
01220164 224 yxyx
En este caso utilizaremos la ecuación
)2
08
)1
26
.......(6416
:)0,8(
......(40412
:)2,6(
222
222
222
222
222
r
r
r
r
ryx
hkh
kh
QPara
khkh
kh
APara
kh
0
y
x
A( 6,2 )
Q( 8,0 )
C(h,k)
0273 yx
Circunferencias concéntricas: Tienen el mismo centro
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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258
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determinemos la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y tangente a la
circunferencia
Conociendo el centro y el radio de C2 , hallemos la ecuación:
2. Determinemos las ecuaciones de tres circunferencias, tangentes dos a dos, con centro en
los puntos A(0,0), B(12,5) y Q129).
0168422 yxyx
...020424420420)220(00 2222222
2
2
22
Ecuayxyx
rkh
yx
yx
Hallemos el centro y el radio de
2)16(4)8()4(4
)4,2(
42
8
2.2
2
4
2
01684
22
2122
21
1
22
FEDr
C
Ek
Dh
yxyx
r : Distancia que separa los dos centros
220
:.20)04()02(
12
22
1221
rrr
Entoncesr
rrrrrr r
y
x 2
4
1r
2r
C(2,4)
168422
1 yxyxC
2C
1C
2Cy
x
12
5
9
0
Q(12,9)
B(12,5)
A
3C
1r
2r
2r
3r
3r
1r
Hallemos las distancias que separan los
centros, que es la suma de los radios:
14))9(5()1212(
15)09()012(
13)05()012(
:
...
22
22
22
323121
BQ
AQ
AB
Pero
BQrrAQrrABrr
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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259
Reemplazando las distancias en las siguientes ecuaciones, se tiene:
3. Un canal, cuya sección es una semicircunferencia, tiene 20m de profundidad en el centro.
Determinemos una ecuación para la semicircunferencia y hallemos la profundidad a 6m
del borde.
4. Un atleta recorre una pista circular tal que la ecuación es . Si la partida
se halla en el Este del centro, determinemos el número de vueltas que debe recorrer para
cubrir 4000m y la posición del atleta, en el momento de la llegada.
01611824)8()9()12()()(
:.8)9,12(:
01331024)6()5()12()()(
:.6)5,12(:
049)7()0()0()()(
:.7)0,0(:
:mindet,14
15
8,6,7:Re13
222222
3
22
33
222222
2
22
22
222222
1
22
11
32
31
32121
yxyxyxyx
yxyxyxyx
yxyxyx
rkh
EntoncesryCCPara
rkh
EntoncesryCCPara
rkh
EntoncesryCCPara
ecuacioneslasaremoserradioslosycentroslosConrr
rr
rrrquetienesesistemaelsolviendorr
090022 yx
y
x
6m
20m
Ubicando el sistema de coordenadas en el centro del
canal o semicircunferencia, tenemos:
dprofundidalaesestamy
y
xy
y
yx
yxryx
xentoncescentrodelmadprofundidalaes
bordedelmadprofundidaLaofundidad
Ecuación
kh
EntoncesCyr
....28,14204
)20(
204196400)14(400
400
14:,14
,6.Pr
...400
)0()0()()(
:).0,0(20
22
22
22
222222
Con el radio, calculamos los metros que recorre en una vuelta:
P = 2r = 2(3,1416)(30) = 188,495m
En una sola vuelta recorre 188,495m.
Para cubrir los 4000m, necesita:
En 21 vuelta recorre: 21188,495m = 3958,395m. Para completar
los 4000m, faltan 41,605m; esto significa que el recorrido finaliza
a 41,605m del punto de partida. Con el arco(41,605m) y el radio,
hallemos el valor del ángulo central ( ).
.3090090022 mryx
vueltasm
22,21495,188
4000
.386,130
605,41rad
m
m
r
SrS
Llegada
41,605m
Partida
y
x 0
r y
x
P(x, y)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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260
. La posición del atleta son las coordenadas del
punto P(x,y). Haciendo uso del triángulo rectángulo de la figura, se tiene que:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y tangente a la
circunferencia
2. Halle la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (4, 6) y que es tangente a la
circunferencia
3. Determine la ecuación de tres circunferencias, tangentes dos a dos, con centros en los
puntos A(0,0), B(0,9) y Q(3, 5).
4. Para ir de una ciudad a otra, un vehículo debe atravesar una carretera en forma de
semicircunferencia que tiene 40m de altura en el centro. Determine una ecuación para la
semicircunferencia(carretera) y halle la distancia horizontal de un vehículo estacionado a
25m de altura.
5. Un lago que tiene forma de semicircunferencia, tiene 200m de profundidad en el centro.
Halle una ecuación para la semicircunferencia y determine la profundidad de un barco
que se hundió a 150m de la orilla.
6. Un atleta recorre una pista circular tal que la ecuación es . Si la
partida se halla al este del centro, halle el número de vueltas que debe recorrer para cubrir
10000m y la posición del atleta al momento de la llegada.
7. Un ciclista recorre una pista circular tal que la ecuación es . Si la
partida se halla al oeste del centro, determine el número de vueltas que debe dar para
cubrir 2000m y la posición del ciclista al momento de la llegada.
41,79.
180.386,1:.386,1
radradhayradEn
)48.29,51.5(
.48,2941,7130.51,541,79cos30cos
PpuntoelendasellegadaLa
msenmsenrymmrx
044222 yxyx
064322 yxyx
0160022 yx
040022 yx
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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261
SECCIONES CÓNICAS
LA PARÁBOLA
Las siguientes figuras geométricas son parábolas:
Los fenómenos que a continuación se enuncian generan un movimiento parabólico:
La trayectoria que sigue un proyectil y el salto de un delfín.
El decolaje y aterrizaje de un avión y el salto de un atleta con o sin garrocha.
La trayectoria de un cometa y de los planetas, alrededor del sol, en este caso, el astro
luminoso es el foco.
El cable de suspensión de un puente colgante, adopta forma parabólica, la cúpula de una
iglesia, los arcos de las puertas y puentes.
El arco iris, entre otros…
La rotación de la parábola sobre su eje y, genera infinidades de paraboloides, que tienen
muchos usos en nuestra vida diaria: Los faros de los automóviles, de las linternas, los
telescopios, receptores y reflectores de radar, entre otros…
DEFINICIÓN
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Directriz
Foco
Lado recto
Vértice
Eje de simetría
Lado cóncavo
Lado convexo
Lado cóncavo: Es la curva hacia
dentro (interior) de la parábola.
Lado convexo: Es la curva hacia
a fuera (exterior) de la parábola
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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262
262
ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EN EL DE LAS
ABSCISA (x)
P
P
d
F L
V
E
R
F Foco: Punto ubicado sobre el eje de simetría que
se encuentra a la misma distancia del vértice que la
directriz.
V Vértice: Punto de la curva que se interfecta con
el eje de simetría.
d Directriz: Recta perpendicular al eje de simetría
que se encuentra a la misma distancia del vértice que
el foco.
E Eje de Simetría o eje Focal: Recta que contiene
al vértice y al foco; además, permite reflejar una rama
de la parábola sobre la otra.
LR Lado Recto: Es la cuerda focal perpendicular
al eje de simetría. Su longitud es 4 veces la distancia
del vértice al foco, esto es: LR = 4P.
P Distancia que separa al foco del vértice y al
vértice de la directriz
Dado: V(0,0), F(p,0) y d = P
...min,4
.........)()0()(
132Re.........)0()(
)(tan)........3(
.)...2()0()(.)....1(
:/
0
...4
....2
222
22
22
2
despejandoysemejantesostérreduciendopotenciaslasndoDesarrollaP
cuadradoalmiembrosambosElevandopxypx
enyemplazandopxypx
directrizrectalaapuntodelciaDispxPQ
puntosdosDistypxPFparáboladeDefiniciónPQPF
D
Con
parábolaladeEcuaciónP
xy
P
xy
x = p
F(p, 0)
p p
y
x
0
Q
P(x, y)
d
La ecuación de la parábola
tiene una sola variable
elevada al cuadrado
óndemostraciD :/
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
263
263
Si P 0, entonces: x = (P) = P. La gráfica es:
Resumiendo:
EJEMPLO 1.
Hallemos el foco, el vértice, la directriz, la longitud del lado recto y tracemos la gráfica de la
siguiente parábola: .
Solución:
xy 42
4)1(44.1:).0,0(4
).0,1()0,(.14
444
:4
.
.
2
2
PLRPDirectrizVP
FPFPP
quetienesegenerallaconparticularecuaciónestaComparando
xxy
xy
x = p
F(p, 0)
p p
y
x
0
Q
P(x, y)
d
PDirectriz
VVértice
PLRctoLado
PFFoco
Con
parábolaladeEcuaciónP
x
P
xy
:
)0,0(:
4:Re
).0,(:
0
...42
F(P,0)
F(P,0)
x
y
P
PConp
x
xy
0.42
P
PConp
x
xy
0.42
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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264
264
Gráfica:
Primero hallamos los puntos guías. Para ello, se tiene en cuenta el Vértice, el Foco y dos
puntos que se obtienen al reemplazar x por la primera componente del foco, esto para facilitar
el trabajo… Entonces:
EJEMPLO 2.
Hallemos el foco, el vértice, la directriz, la longitud del lado recto y tracemos la gráfica de la
siguiente parábola: .
Solución:
)2,1(),0,1(),0,0(:
244)1(4.1)0,1(4 222 .
DFVsonguíaspuntosLos
F yyyyxxy
052 2 xy
4
5,
8
5),0,0(,0,
8
5:
.4
5
16
25
16
25
8
5
2
52
2
2
.2
5
8
544
8
5
8
5:).0,0(.0,
8
5.
8
5
2
54:
2
5
052
...minexp
DVFguíasPuntos
yy
x
xy
xy
PLR
DirectrizVFPPdondeDe
ndotransponieygradomayordeotérdelecoeficientelporresiónlatodaDividiendo
x = 1 F(1, 0)
1
2
y
x 0
2
1
x = 85
y
x
1
85 0
45
)0,(85F
Gráfica
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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265
265
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación de la parábola con foco en (5,0) y directriz la recta x = 5.
Solución:
La gráfica de la parábola es:
EJEMPLO 4.
El lado recto de una parábola tiene una longitud de 16cm. Hallemos el foco, el vértice y la
ecuación.
Solución:
Trace la gráfica….
EJEMPLO 5.
Hallemos la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y que pasa por el punto
A(3,6).
Solución:
Trace la gráfica…
...1616)4(4
4:
)0,0(:.4:).0,4()0;(:
.4164:,4:.16
22
2
parábolaladeecuaciónlaesEstaxxxy
xy
x
y
PesecuaciónLa
VesvérticeElesdirectrizLaFpFesfocoEl
cmPcmPentoncesPLRComocmLR
párábolaladeEcuación
esestoecuaciónlaenAdescoordenadalasosreemplazamPdevalorelhallarPara
xyxy
PPP
PxyesparábolaladegeneralecuaciónLa
12)3(4
31236)3(4)6(
4:
22
12362
2
:,)6,3(,
Ecuaciónxyxxy
xy
tenemosPemplazando
PdondeDeFPero
P
esparábolaestadegeneralecuaciónLa
2020)5(4
:,Re
5:).0,5(:
.4
:
22
2
0
x = 5 F(5, 0)
5
y
x
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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266
266
EJERCICIOS
1. Para cada parábola, halle el foco, el vértice, la directriz, el lado recto y trace la gráfica:
2. Dado el foco y la directriz, halle la ecuación de cada parábola:
3. Para cada lado recto, halle la ecuación y la gráfica de la parábola que lo contiene:
4. Para cada punto, halle la ecuación de la parábola que pasa por el
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EN EL EJE DE LAS
ORDENADAS(Y)
.0.03.082.9. 22222 xyxyxyxyxy edcba
.2
3:,0,
2
3.10:),0,10(.2:),0,2(
xdirectrizFcxdirectrizFbxdirectrizFa
.6.20.8 cmLRcmLRbcmLRa
).6,4().2,2().4,5().6,3( PDBA
y
0
y = p
F(0, p)
x
Q
P(x, y)
p
0
y = p
F(0, p)
p
p
y
x
Q
P(x, y)
“La ecuación de la parábola tiene una
sola variable elevada al cuadrado”
0
...4
:).0,0().,0(
2
PCon
EcuaciónP
PDirectrizVPF
yx
y
“una sola variable al cuadrado”
0
...4
:).0,0().,0(
2
PCon
EcuaciónP
PDirectrizVPF
yx
y
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
267
267
Resumiendo:
EJEMPLO
Determinemos el foco, la directriz, el lado recto y tracemos la gráfica de la siguiente
parábola:
Solución:
Gráfica:
Para hallar los puntos guías, se remplaza y por la segunda componente del foco:
EJERCICIOS
1. Para cada parábola, halle el vértice, el lado recto, la directriz y trace la gráfica:
2. Dado el vértice y el foco, halle la ecuación y trace la gráfica de la parábola que los
contiene:
F(0,5) y V(0,0). F(0,4) y V(0,0). F(0,1) y V(0,0).
yx 82
8244.2:).0,0().2,0(4
848
.
.
2
2.2
48
PLRyDirectrizVFP
PP
yx
yx
).2,4()0,0(),2,0(:
.41616282
DyVFsonguíaspuntosLos
xx
.044.162.9. 2222 ydycyba xxxyx
P
PConpy
x
x
0.42
P
PConpy
x
x
0.42
F(0, P)
F(0, P)
x
y
0
y = 2
F(0, 2)
4
y
x 4
yx 82
2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
268
268
APLICACIÓN EJEMPLO 1.
La farola de una linterna tiene una longitud de 30cm y un diámetro de 16cm.
¿A qué distancia de la base de la farola se debe ubicar el bombillo?
Solución:
Tracemos un plano cartesiano por la base de la farola, de tal forma que la divida en dos partes
iguales.
La ecuación de la parábola es: . Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las
coordenadas del punto (30,8):
El bombillo debe ubicarse a 0,53cm de la base de la farola…
EJEMPLO 2.
La cúpula de una iglesia tiene una superficie parabólica. Si la cúpula tiene una longitud de
12m y un diámetro de 17m, ¿cuál será la mejor ubicación de una fuente de luz, para obtener
la mayor iluminación?
Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las coordenadas de uno de los puntos:
La fuente debe ubicarse a 1,5m por debajo de la parte superior de la cúpula
xy P42
...12.2
)0;53,0()0,(.53,0120
6412064)30(4)8(
2
2
Ecuaciónxy
FPFPPP
...6
)5,1;0(),0(.5,148
25,724825,72)12(4)5,8(
2
2
Ecuaciónyx
FpFPPP
Para obtener la mayor
iluminación, la fuente debe
ubicarse en el foco de la
parábola.
La ecuación de la parábola
es: pyx 42
La distancia a la cual debe
ubicarse el bombillo es el foco
de la parábola que forma la
parábola
(30,8)
16cm
30cm y
x
(30,8)
F
0
y
x
12m
17m (8,5; 12) (8,5; 12)
F
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
269
269
EJEMPLO 3.
Una antena parabólica tiene un diámetro de 80m y una longitud de 60m.
¿A qué distancia de la base debe colocarse un relector, para que recepcione la mayor cantidad
de señal posible?
Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las coordenadas de uno de los puntos:
La el receptor debe ubicarse a 6,66m de la base de la parábola.
EJEMPLO 4.
Un edificio moderno tiene una puerta en forma de arco parabólico, la cual mide 10m de alto y
6m de ancho. Hallemos una ecuación para la parábola y determinemos la altura de un punto
situado a 2m del centro.
Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las coordenadas de uno de los puntos:
Como la coordenada de y es 4,44m de la parte superior de la puerta, el punto se encuentra
a una altura de: 10m 4,44m = 5,56m del piso
...64,26
)66,6;0(),0(.66,6240
16002401600)60(4)40(
2
2
Ecuaciónyx
FpFPPP
myyy
yx
centrodelmasituadopuntodelycoordenadalaaremosermxPara
parábolaladeEcuación
FpFPPP
44,49,0
44)2( 9,09,0
9,0
)225,0;0(),0(.225,040
9409)10(4)3(
2
2
2
:2)(mindet,2
2m
0
y
x
10m
6m (3, 10) (3, 10)
La ecuación general de la
parábola es: . con P 0
yx P42
Para una mayor recepción,
el receptor debe ubicarse
en el foco de la parábola
La ecuación es: yx P42
0
60m
y
x
(40, 60) 80m (40, 60)
F
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
270
270
EJEMPLO 5.
Los bordes de una laguna que tiene forma parabólica están separados por una distsncia de
1200. Si la profundidad en su punto central es de 500m, hallemos la ecuación para la forma
de la laguna y determinemos la profundidad para una embarcación ubicada a 200m de uno de
los bordes.
Cuando la embarcación se encuentra a 200m del borde, la misma está a:
del centro. Luego:
altura desde el centro de la laguna para la
embarcación ubicada a 200m del borde, pero, como la profundidad se mide desde la
superficie y la laguna tiene una profundidad de 500m en su ccentro, la profundidad para la
embarcación a 200m de un extremos, se calcula estableciendo la diferencia entre la
profundidad en el centro y la altura a 400m del centro.
Luego:
EJERCICIOS
1. La cúpula de una catedral tiene una longitud de 20m y un diámetro de 40m.
¿A qué distancia de la parte superior de la cúpula se debe ubicar una lámpara para que la
iluminación sea máxima?
2. Un radiotelescopio de forma parabólico, tiene una profundidad de 9,4m y un ancho de
18,6m. ¿A qué distancia de la base de la parábola se debe ubicar un receptor para obtener
mayor eficiencia?
3. La farola de una lámpara tiene forma parabólica. Si la misma tiene una longitud de 12cm
y un diámetro de 10cm, ¿a qué distancia de la base de la farola debe colocarse un
bombillo, para que la iluminación sea máxima?
4. Un lago que tiene forma parabólica, tiene un ancho de 900m y una profundidad de 300m.
Encuentra una ecuación para la parábola que describe el lago y la profundidad para un
punto situado a 100m de uno de los bordes.
5. La puerta de un edificio tiene un arco parabólico, el cual mide 14m de alto y 7m de
ancho. Halle una ecuación para la parábola y determine la altura para un punto situado a
1,5m de uno de los bordes.
A(600,500)
600 400
200
Borde
Posición de la
embarcación
0
500
Como la parábola abre hacia arriba, su
ecuación es de la forma: .
Utilizando las coordenadas del punto A,
determinemos el valor de P
. Sustituyendo P en la
ecuación general:
. Ecuación de la forma de
la laguna
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
271
271
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA PARÁBOLA
La propiedad muestra que = . Esta propiedad es la base del reflector parabólico: Si se
coloca una fuente de luz en el foco de un reflector parabólico, cada rayo de luz se refleja
paralelamente al eje focal, produciendo así un haz paralelo de luz.
De igual forma, los haces de luz o señal que llegan a la parábola paralelamente al eje focal, se
concentran en el foco. Como se puede evidenciar en las linternas, lámparas, antenas
parabólicas, espejos parabólicos y cualquier otro elemento que tenga forma parabólica y que
sirva para emitir y recibir señal.
Ver
gráfica
Recta L tangente a la parábola en P.
Ángulo entre la tangente en P y la recta que pasa por P y es paralela
al eje focal(L1//X)
Ángulo entre la tangente en P y la recta que pasa por P y el foco(FP)
0
L
L1
y
x F Haces de luz
P
Haces de luz
o señal 0
y
x F
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
272
272
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE(h,k) Y EJE PARALELO AL EJE DE LAS
ABSCISAS(X)
Si P 0:
0
),().....(4)(
)....(4)(
....)()()(
)()(
:)1(Re
2
2
222
22
min,
PCon
khVvérticeconparábolaladeEcuaciónhxPky
hxPky
phxkyphx
phxkyphx
enPQyPFemplazando
dofactorizanysemejantesostérreduciendopotenciaslasndoDesarrolla
cuadradoalmiembrosambosElevando
Por definición de parábola:
PF = PQ (1)
Distancia entre dos puntos
phxPQ
kyphxPF
22 )()(
PLR
rectoLado
ph
Directriz
x
4
:
:
F(h + p, k)
P(x, y)
y
x
0
Q
p p
h
k
h p
Directriz
),( khV
Por definición de parábola:
.
Con P 0
Directirz:
Lado recto:
h + p
Directriz
F(h p, k)
h
k
P(x, y) Q
p p
),( khV
y
x
0
x
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
273
273
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola cuyo foco es el punto
F(6,4) y vértice en el punto V(2,4)
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola de vértice V(4, 3) y foco
F(1,3).
Solución:
Trace la gráfica…
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola de V(2,2) y F(4,2)
El valor de P, se halla estableciendo la diferencia entre el foco y el vértice:
12244134:
)..4(12)4()4)(3(4)3(341)4(1
:
).4(4)3())4((4)3(.)..(4)(
)3,1()3,4(
22
222.
PLRphDirectriz
xyxyP
focoelyelvérticeentrehorizontaldiferencialadevalorEl
xPyxPyhxPky
FyV
x
pedidaEcuación
generalEcuación
ndoestableciehallaseP
x = 2
y
x 0
F(6,4)
p
V(2, 4)
2 4
4
x = 8
8
y
x 0
F(4,2) V(2, 2)
2 4
2
p
16444
:
242:
)..2(16)4(
)2)(4(4)4(
426:
).2(4)4().4,2(
).....(4)(
2
2
2
2
PLR
rectoLado
phDirectriz
pedidaEcuaciónxy
xy
Pelfocoyvértice
elentrehorizontaldiferencialakh
devalorEl
xPyV
hxPky
x
ndoestableciehallaseP
generalEcuación
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
274
274
Directriz:
Lado recto:
EJEMPLO 4.
Si la parábola de la figura se desplaza 3 unidades hacia la derecha, hallemos la ecuación de la
nueva posición.
EJEMPLO 5.
Si la parábola de la figura se desplaza 5 unidades hacia la izquierda, hallemos la ecuación de
la nueva posición.
posiciónnuevaladeEcuaciónxyxy
generalEcuaciónhxPky
P
focoelyvérticeelentrehorizontaldiferencialandoestableciehallasePdevalorEl
posiciónnuevalade
directrizlayvérticeelfocoElSonxyVF
).....5(16)4()5)(4(4)4(
).......(4)(
459
:,
.
,:.1)4,5(),4,9(
22
2
222
p
F1(6,4)
x1 = 2
y
x 0
V1(2, 4)
2 6
4
F2(9,4)
9
x2 = 1
V2(5, 4)
p
Nueva posición
Como el desplazamiento es paralelo
al eje X, para las coordenadas de la
nueva posición, a cada abscisa
(primera componente) se le suma la
unidad de desplazamiento.
En este caso: 3
Como la traslación es paralela al
eje X y hacia la izquierda, a cada
abscisa(primera componente)
se le resta la unidad de
desplazamiento, en este caso: 5
0
V1(2, 2)
5 7
2
y
x
F1(5,2)
2
F2(10,2)
10
V2(7, 2)
Nueva posición
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
275
275
EJEMPLO 6.
La parábola de la gráfica se ha desplazado 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia
arriba. Hallemos la ecuación de la nueva posición
NOTA:
Hacia la derecha y hacia arriba: Suma
Hacia la derecha y hacia abajo: Suma y resta
Hacia la izquierda y hacia abajo: Resta
Hacia la izquierda y hacia arriba: Resta y suma
EJEMPLO 7.
Hallemos la ecuación de la parábola de foco F(5,5) y directriz que pasa por el punto P(1,0)
posiciónnuevaladeEcuación
generalEcuación
posiciónnuevaladevérticeelyfocoelSon
xy
xyhxPky
P
focoelyelvérticeentrehorizontaldiferencialadevalorEl
VF
ndoestableciehallaseP
)....7(12)2(
))7()(3(4)2(.)..(4)(
3710)7(10
:
.,
2
22.
:)2,7)2,10( 22
posiciónnuevaladeEcuación
generalEcuación
posiciónnuevaladevérticeelyfocoelSon
xy
xyhxPky
P
focoelyelvérticeentrehorizontaldiferencialadevalorEl
VF
ndoestableciehallaseP
)....5(12)2(
)5)(3(4)1(.)..(4)(
314
:
.,
2
22.
:)1,5)1,8( 22
5
Para hallar las coordenadas de la
nueva posición, a cada componente
se le suma su respectiva unidad de
traslación:
Para las abscisas: 4
Para las ordenadas: 3
Nueva posición
F2(8,1)
F1(4,2)
V1(1, 2)
V2(5, 1)
1
8 4
y
x 0
2
1
Para hallar las coordenadas del vértice,
determinamos el punto medio entre el foco y
la directriz. Esto es:
)5,3(),(3
3
6
2
15
5
VkhVh
k
F(5,5)
x = 1
P(1,0)
5
5
y
x 0 1
)5,3(V
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
276
276
EJEMPLO 8.
Hallemos la ecuación de la parábola de vértice V(2,2) y que pasa por el punto P(4,6)
Solución:
Como los punto P y V(vértice) hacen parte de la parábola, las coordenadas de ambos
satisfacen la ecuación:
EJERCICIOS
1. Para cada vértice y foco, halle la ecuación, la directriz, el lado recto y trace la gráfica de
la parábola que los incluye:
V(1,4) y F(5,4). V(2,5) y F(5,5). V(4, 4) y F(2, 4). V(6,2) y F(3,2).
2. Dado el foco y el punto por donde pasa la directriz, halle la ecuación y la gráfica de cada
parábola:
Directriz: P(2,0) y F(4,6). Directriz: P(0,0) y F(4,2).
Directriz: x + 2 = 0 y F(2,). Directriz: P(1,0) y F(3,5).
3. Para cada vértice y punto, halle la ecuación de la parábola que los incluye:
V(2,4) y P(6, 1). V(1,1) y P(4, 3). V(3, 2) y P(6, 7).
4. Para cada gráfica, halle la ecuación de la parábola según el movimiento indicado:
posiciónnuevaladeEcuación
generalEcuación
posiciónnuevaladevérticeelyfocoelSon
xy
xyhxPky
P
focoelyelvérticeentrehorizontaldiferencialadevalorEl
VF
ndoestableciehallaseP
)....3(8)5(
)3(24)5(.)..(4)(
235
:
.,
2
22.
:)5,3)5,5(
...
8
16
.
)....2(8)2()2(24)2(
2816
)2(4)4()24(4)26(
.)..(4)(
22
22
2
)6,4)2,2(
exigidaEcuación
generalEcuación
xyxy
PP
PPyxkh
PV
hxPky
F
4 unidades
hacia la derecha
F
3 unidades
hacia la izquierda
F
4 derecha y 5
hacia arriba
F
6 izquierda
y 5 hacia abajo
F
5 hacia arriba
F
3 derecha y 5
hacia abajo
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
277
277
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE(h,k) Y EJE PARALELO AL EJE DE LAS
ORDENADAS(Y)
Si P 0
0
)(4)(
)()(
:)1(Re
.
),(.....
:min
,
2
22
,
PCon
kyPhx
pkypkyhx
enPQyPFemplazando
ordenadas
lasaparaleloejeykhVvérticeconparábolaladeEcuación
dofactorizanysemejantesostérreduciendo
potenciaslasdoesarrollandcuadradoalmiembrosambosElevando
Por definición de parábola:
PF = PQ (1)
Distancia entre dos puntos
pkyPQ
pkyhxPF
22 )()(
PLR
rectoLado
pk
Directriz
y
4
:
:
F(h ,k p)
P(x, y)
p
p
k p
),( khV
Q
h
k
Directriz
y
x 0
k p
PLR
rectoLado
pk
Directriz
y
4
:
:
Por definición de parábola:
PF = PQ (1)
Distancia entre dos puntos
pkyPQ
pkyhxPF
22 )()(
Q
F(h ,k + p)
P(x, y)
y
p
p
h
k
k p
Directriz
),( khV
x 0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
278
278
EJEMPLO 1.
Hallemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola cuyo foco es el punto (2,2) y
vértice el punto (2,7).
EJEMPLO 2.
Determinemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola cuyo foco es el punto
(3,5) y vértice el punto (3,2).
0
)(4)(
)()(
:)1(Re
),(.....
:min
,
2
22
,
PCon
kyPhx
pkypkyhx
enPQyPFmplazando
ordenadaslasaparaleloejeykhVvérticeconparábolaladeEcuación
dofactorizanysemejantesostérreduciendo
potenciaslasdoesarrollandcuadradoalmiembrosambosElevando
20544
1257:
pLR
pkyDirectriz
...
.
...
)....7(20)2(
)7)(5(4)2(
..)..(4)(
572
:
.,
2
2
2
,
)7,2)2,2(
Ecuación
generalEcuación
vérticeelyfocoelSon
yx
yx
kyPhx
P
focoelyvérticeelentreverticaldiferencia
ladevalorEl
VF
ndoestableciehallaseP
F(2,2)
2
)7,2(V7
Directriz
y
x 0
12344
132:
)....2(12)3(
)2)(3(4)3(
..)..(4)(
325
:
.,
2
2
2.
...
,
)2,3)5,3(
pLR
pkyDirectriz
yx
yx
kyPhx
P
focoelyvérticeelentreverticaldiferencia
ladevalorEl
VF
posiciónnuevaladeEcuación
generalEcuación
vérticeelyfocoelSon
ndoestableciehallaseP
3
F(3,5)
)2,3(V
Directriz
5
y
x 0
2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
279
279
EJERCICIOS
1. Para cada vértice y foco, halle la ecuación, la directriz, el lado recto y trace la gráfica de
la parábola que los incluye:
V(1,1) y F(1,4). V(2,4) y F(2,6). V(1, 1) y F(1, 4). V(1,2) y F(1, 5).
2. Dado el foco y el punto por donde pasa la directriz, halle la ecuación y la gráfica de cada
parábola:
Directriz: P(0, 2) y F(6,4). Directriz: P(0,0) y F(4,2).
Directriz: y + 2 = 0 y F(2,3). Directriz: P(0,8) y F(3,4).
3. Para cada vértice y punto, halle la ecuación de la parábola que los incluye:
V(2,2) y P(4, 4). V(3,2) y P(2, 3). V(1,1) y P(5, 4).
4. Para cada gráfica, halle la ecuación de la parábola según el movimiento indicado:
4 unidades
hacia la derecha
F
4 derecha y 5
hacia arriba
F
F
4 derecha
6 izquierda
y 5 hacia abajo
F
5 hacia arriba
F
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
280
280
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA
Consideremos la siguiente parábola con el eje focal paralelo al eje x.
CANÓNICA: Forma simple o normal de una ecuación que representa un fenómeno, posición
general o común de una figura geométrica
EJEMPLO 1.
Hallemos la ecuación general de la parábola de V(2,3) con P = ½ y abre hacia el eje negativo
de las x.
Solución:
La ecuación canónica de esta parábola es
. Sustituyendo h, k y P en la ecuación canónica:
.4
4.
2.
41
,0,0
:
.0
..........0
,Re..................................0
4.4.2
...................0442
........................442
)(4)(
2
2
2
2
2
2
22
22
2
:
:,
:
min
Ppkh
cPhb
Pa
abajohaciasiyarribahaciaabre
bformasiguienteladeescribirsesueleecuaciónEsta
FDx
parábolaladegeneralEcuaciónFD
FyEDoempalazandFD
PhkFPEkD
TPhkPk
PhPkk
hPk
dondeDe
aaSi
cxaxy
Eyx
Exyy
Exyy
xyy
xyy
xy
ecuacióneslaordenadaslasdeejealparaleloesfocalejeelSi
Haciendo
ordenendoyostérdoransponien
indicadassoperacionelasndoDesarrolla
)(4)( 2 hxPky
213,2)3,2( pykhV
ecuaciónlaesesta
ndotransponiexyy
xyy
xdeecoeficienteloperandoxyxy
semejantesostérreduciendoy
indicadassoperacionelasybinomioelndodesarrolla
....
...0526
...4296
)2()....2(2)3()2)((4)3(
min2
2
2
212
052x6yy2
La ecuación canónica de esta
parábola es:
Ph
PConhPk
xDirectriz
xy
:
0).(4)( 2
Q
F(h + p, k)
P(x, y)
y
x 0
p p
h
k
hp
Directriz
),( khV
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
281
281
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación general de la parábola de V(1,1) con P = 1 y abre hacia el eje
positivo de las y.
Solución:
La ecuación canónica de esta parábola es:
. Sustituyendo en la ecuación canónica:
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación general de la parábola de vértice V(2,5) y que pasa por el punto P(4,6)
y abre hacia el eje negativo de las y.
Solución:
La ecuación canónica de esta parábola es:
Como pasa por el punto , entonces, las coordenadas de satisfacen la ecuación
anterior:
EJEMPLO 4.
Hallemos el foco, el vértice y el lado recto de la siguiente parábola:
Solución:
…..Aislando la variable de mayor grado
….Completando el trinimio cuadrado perfecto
….Transponiendo y factorizando el primer miembro
….Reduciendo términos semejantes en el segundo miembro y
factorizando
Comparando con la canónica: se tiene que:
)(4)( 2 kyPhx
11,1)1,1( PyhkV Pyhk,
generalEcuación
yxx
yxx
yxyx
......
04142
?.......4412
)1(4)1())1()(1(4))1((
2
2
22
034y2xx2
6,,5,5)6,4().5,2( yxxkhPV
)(4)( 2 kyPhx
)6,4( P P
111
444444)11(4)2()56(4)24( 22
PPPP
generalEcuación
yxx
xxyxyxy
......
204444411
44)5()2()5(4)2(
2
222
11204
114
111
0244y44x11x2
01642 yxy
01642 yxy
1462 xyy
149962 xyy
914)3( 2 xy
)2(4)3( 2 xy
)(4)( 2 hxPky
144.22.3344 PPhhkk
4)1(4).3,1(),().3,2(),( LRFkphFVkhV
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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282
EJERCICIOS
1. Halle la ecuación general de cada parábola, según la información dada:
2. Halle la ecuación de cada parábola, conociendo el vértice, la posición del eje focal y
el punto por donde pasa:
3. El foco de una parábola es F(0,6) y su vértice se halla en el centro de la
4. Para cada parábola, halle el vértice, el foco, el lado recto y la directriz:
5. Calcula la distancia entre los vértices y los focos de la siguientes parábolas:
RESUMIENDO:
.01:),2,2(.01:),1,1(
.2)5,0().6,4()3,4().5,7()5,2(
xDirectrizVeyDiectrizVd
PyVcFyVbFyVa
).4,0(,),4,2(
).6,5(,),4,2(
PpuntoXaparalelofocalejeVb
PpuntoYaparalelofocalejeVa
0922 yx
.121042.943.0432 222 yxxyxxxyy
.422422.4440432 2222 yxxyxxxyyxy yyy
PARÁBOLAS CON VÉRTICE EN EL ORIGEN
V(0,0)
paaxy
ppyx
41.
2
0.42
pa
p
axy
pyx
41.
04
2
2 .
pa
p
ayx
pxy
41.
04
2
2 .
pa
p
ayx
pxy
41.
04
2
2 .
X
Y
0 X
Y
0
X
Y
0
X
Y
0
PARÁBOLAS CON VÉRTICE EN (h,k)
V(h,k)
V(h,k)
X
Y
0
X
Y
0
V(h,k)
V(h,k)
X
Y
0
X
Y
0
V(h,k)
pacbxay
pypkyphx
x41.
00).(4)(
2
2
pacby
pyphxpk
ayx
y
41.
00).(4)(
2
2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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283
DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA SUJETA A TRES CONDICIONES
Las ecuaciones ordinarias o canónicas de una parábola son:
Las ecuaciones generales de la parábola son:
Nuestro trabajo consiste en hallar el valor de las constantes dados tres punto que pertenecen a
la parábola
EJEMPLO
Determinemos la ecuación de la parábola cuyo eje focal sea paralelo al eje x y que pasa por
los puntos (2,2), (6,5) y (6,-2).
Reemplazando cada punto en la ecuación general:
Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por cualquier método, se
obtiene que: D = 3, E = 3, F = 8 . Sustituyendo estos valores en la ecuación general:
pkhtesconstreshayecuacionesestasEn
yejealparalelofocalEjekyphx
xejealparalelofocalEjehxpky
,,:tan
)(4)(
)(4)(
2
2
FEDtesconstreshayecuacionesestasEn
yejealparalelofocalEjefEyDxx
xejealparalelofocalEjeFExDyy
,,:tan
0
0
2
2
)3(462
)2(2565
)1(422
:
)3(06240)6()2()2(
)2(065250)6()5()5(
)1(02240)2()2()2(
2
2
2
FED
FED
FED
dondeDe
FEDFED
FEDFED
FEDFED
.....08332 Ecuaciónxyy
La ecuación general de esta
parábola es:
02 FExDyy
(6,5)
(2,2)
)2,6(
y
x 0
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284
EJERCICIOS
1. Determine la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje y que pasa por los
puntos (4,5), (2,11) y (2, 11).
2. Halle la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje x que pasa por los
puntos (1,0), (3, 4) y (3, 4).
3. Determine la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje y que pasa por los
puntos (3,2), (1,8) y (2, 8).
4. Una parábola tiene su vértice en el centro de la circunferencia
y pasa por los puntos (0,5) y (6, 7). Determine su
ecuación y represéntela gráficamente.
APLICACIÓN
EJEMPLO 1.
Por el vértice y el lado recto de la parábola pasa una circunferencia.
Determinemos la ecuación de la circunferencia.
Solución:
Hallemos el foco, el vértice el lado recto, la gráfica de la parábola; a demás tracemos la
circunferencia que pasa por los extremos del ledo recto.
05181244 22 yxyx
yx 82
2).2,0(:).0,0(4
84.24
884.8
::
::
2
2
yFFocoVpyx
pLRPpyx
DirectrizVértice
rectoLadoComparando
nciacircunfereladeecuaciónyyx
tieneseFEyDxyxenvaloresestosdoSustituyen
E
D
F
ED
ED
F
FED
FED
F
sistemaelsolviendo
...010
:0:
10
0
0
:.
2024
2024
0
024416
024416
0
22
22
Re
Ahora, hallemos la ecuación de la
circunferencia que pasa por los
puntos (0,0), (4,2) y (4,2). Estos
puntos satisfacen la ecuación:
022 FEyDxyx
4
y
x 0
F(0,2)
4
(4,2) (4,2
)
Directriz
yx 82
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EJEMPLO 2.
El punto M(2,4) es el punto medio de una cuerda de la parábola . Prolongando
dicha cuerda, intersecta al eje focal en el punto P. Determinemos las coordenadas de P.
Solución:
Hallemos el foco, el vértice el lado recto y la gráfica de esta parábola:
S i m es la pendiente de la recta que pasa por M(2,4), la ecuación es:
Con la ecuación de la parábola, formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
Por propiedades de las raíces de las ecuaciones de segundo grado:
Para hallar las coordenadas de P, que es el intercepto con el eje y, hacemos x = 0.
0102 yx
25
25
2
22
::
.
10:.2
5
4
10104:
.,0:).0,0(
4
10010
yFFocoV
pyx
yxyx
DirectrizVértice
generalE
LRrectoLadoPpComparando
)2(4 xmy
0402010
4020104)2(10
:21
)2(10
)1(4)2(:)1()2(4
2
22
2
mmxx
mmxxxmx
endoSustituyen
yx
xmydondeDexmy
...)....2(5
24)2(4
.5
2
10
4410
:)4()3(
).4(4:
22
:,)4,2(,
)3(101
10
:),1(Re
21
21
212121
ecuaciónxyxmy
m
mm
yComparando
xxdondeDe
xxquetienesemediopuntoelesMcomoPero
mxxm
xxa
bxx
rectaladeecuaciónlahallamosenemplazando
Primero debemos hallar la
ecuación de la recta que pasa por
P, para luego, determinar las
coordenadas de P, que intersecta
el eje y
0102 yx
P
y
x 0
M(2,4)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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EJEMPLO 3.
Determinemos la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento que une los puntos
(3,5) y (3,3).
Para determinar las coordenadas de los vértices y las ecuaciones de las directrices, primero
hallamos el valor de P. Para ello, calculamos el valor del lado recto:
.
El foco de la parábola B es de la forma . Pero el foco de la parábola de la gráfica
es F(3,1). Comparando los focos: . Debido a que el eje
focal es paralelo al eje x, la componente k en y no varía, entonces: k = 1. De donde el vértice
de la parábola B es:
Para la parábola A:
La ecuación de la parábola A es:
)5
16,0(:
5
16)20(
5
24)2(
5
24
0
PsonPpuntodelscoordenadaLas
yyxy
x
24:.8)3(5 ppLRPeroLR
),( kphF
12333 phph
01121:
).1,1(),( 1
xphxesdirectrizLa
VkhV
07752:
).1,5(1.5323:
)1,3(:.).,(:
2
xphxDirectriz
VkhphEntonces
FgráficaladePerokphFformaladeesfocoEl
0982)1(4)1(
)(4)(:
03982)5(4)1()(4)(
22
2
222
xyyxpy
hxpkyesBparábolaladeecuaciónLa
xyyxpyhxpky
Como el lado recto es perpendicular al eje focal,
entonces, la ecuación de la parábola tiene la
forma: , esto debido a
que la parábola puede abrir hacia la derecha o
hacia la izquierda del lado recto.
Las coordenadas del foco se halla, calculando el
punto medio del lado recto:
F(3,1) es igual para las dos parábolas
)(4)( 2 hxpky
.12
35
2.3
2
33
2
2121
yyxx
A y
x 0
B
)1,1(1V )1,5(2V
)3,3(
)5,3(
)1,3(F
x 7 = 0
x +1 = 0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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EJEMPLO 4.
Un cable de suspensión de un puente colgante adopta forma de arco parabólico. Los pilares
que lo soportan tienen una altura de 70m y están separados por una distancia de 600m,
quedando el punto más alto bajo el cable a una altura de 20m sobre la calzada del puente.
Determinemos la ecuación de la parábola y calculemos la altura de un punto situado a 80m del
centro del puente.
La ecuación de la parábola de la figura 2 es de la forma:
. Hallemos el valor de p sustituyendo en esta ecuación las coordenadas
del vértice y de una de los puntos que pertenecen a la parábola:
La altura de un punto situado a 80m del centro del puente es de 23,55m
EJERCICIOS
1. Por el vértice y los extremos del lado recto de la parábola pasa una
circunferencia . Determine la ecuación de la circunferencia.
2. Los extremos de un cable de un puente colgante están a 800m de distancia y a
30m de altura (en los puntos de amarre) con respecto al piso en la vía horizontal.
Encuentre la altura del cable sobre el piso a una distancia de 100m del punto de
amarre
3. Si una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba a una velocidad de 40m/s, la
trayectoria descrita está dada por la ecuación S = 40 t2 donde S es la altura en
metros de la pelota en el instante t.
¿En qué instante golpeará la pelota al piso?
Traza la curva de la trayectoria de la pelota.
Ubique a t sobre el eje x y S sobre el eje y.
4. Determine la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento que une los
puntos (3,2) y (3,2).
)(4)( 2 kyphx
55,231800
3760036000180064000360001800)80(
.80.80
.....0360001800
)20(1800)20(4504)0(
)(4)(:Re.450200
90000
20090000)2070(4)0300()(4)(
)70,300().20,0(
2
2
22
2
22
:
yyy
yxmasituadopuntounPara
ecuaciónyx
yxyx
kyphxecuaciónlaenpdevalorelemplazandop
ppkyphx
V
devalorelHallemos
yx 162
Trazando el sistema de coordenadas rectangulares por el centro del puente, la figura 2 nos
ilustra mejor la situación
70m 600m
Figura 1
20m
300m 300m
70m
(0,20)
(300,70) (300,70)
Figura 2
0
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5. Los modelos de tres invernaderos para cultivar tomate que presenta un ingeniero
a un agricultor están representados por la siguientes ecuaciones.
¿Cuál de los modelos producirá más tomates?
LA ELIPSE
Las siguientes figuras geométricas son elipses:
Los fenómenos que a continuación se enuncian generan trayectorias elípticas:
El movimiento de los planetas, generan orbitas….
El desplazamiento de los cometas, asteroides y demás cuerpos del espacio(universo)
Las sondas enviadas por los científicos para explorar el universo
El movimiento de los satélites que el hombre envía al espacio
Y cualquier otro movimiento de un cuerpo o partícula que en su recorrido describa una
figura como las anteriores.
DEFINICIÓN
La elipse es el lugar geométrico de puntos en el plano cuya suma de distancia a dos puntos
fijos llamados focos(F1 y F2), es constante.
)2(10)2(:mod
)2(8)2(:mod).2(2)2(:modPr
2
22
yxeloTercer
yxeloSegundoyxeloimer
Diámetro mayor: Distancia entre vértices
Diámetro menor: Distancia entre los
puntos M y N.
PF1+PF2 = Diámetro mayor
M
N
F1 F2
V1 V2
P
Vértice Vértice
Foco Foco Diámetro mayor
Eje de simetría
Eje de simetría Centro
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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290
CÁLCULOS IMPORTANTES SOBRE UNA ELIPSE
EJEMPLO
Hallemos el área y el perímetro de la siguiente elipse:
EJERCICIO
Para cada elipse, halle el área y el perímetro:
El diámetro mayor de una elipse excede al menor en 5,45cm. Si el menor mide 19,34cm,
halle el área y el perímetro.
El área de una elipse mide 56,99m2. Si el diámetro menor mide 5,23m, halle el mayor
El diámetro mayor de una elipse mide 80cm. Si el menor es las ¾, partes del mayor, halle
el área y el perímetro.
Los diámetros de dos elipses son 9cm , 5cm y 18cm , 10cm respectivamente. ¿En qué
relación están sus áreas y perímetros?
D Diámetro mayor. A Área
d Diámetro menor. P Perímetro
22
22 dDP
dDA
D
d
10m
6m
D = 10m A = ?
d = 6m P = ?
mP
dDP
mmmdDA
1742
361002
2
)6()10(2
22
60)6()10(
2222
2
2,14m 5,5m 4cm
9cm
20m 30m
x+1
2x+3
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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291
ELEMENTOS DE UNA ELIPSE
EJES DE SIMETRÍA: Eje focal L1 y eje normal o secundario L2
VÉRTICES: Son los punto V1 y V2 donde el eje focal corta le elipse
EJE MAYOR( ): Es la distancia que hay entre los vértices(diámetro mayor)
SEMIEJE MAYOR( ): Es la mitad del eje mayor
EJE MENOR( ): Es la distancia comprendida entre los puntos en donde el eje normal
o secundario corta la elipse (diámetro menor)
SEMIEJE MENOR( ): Es la mitad del eje menor
FOCOS: Son los puntos fijos F1 y F2 ubicados sobre el eje mayor
LADO RECTO(LR): Es la cuerda perpendicular al eje focal(mayor) que pasa por uno de los
focos
LA EXCENTRICIDAD: Es la razón que se establece entre las distancias que separan al
centro de un foco y al centro de un vértice(
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN(0,0)
21VV
12 CVCV
21BB
21 CBCB
)1
1
CV
CFadExentricid
puntosdosentreciaDisycxPF
ycxPFPero
aPFPF
EntoncesaVVmayorDiámetroPFPF
queanalizamosElipsededefiniciónPor
ecuaciónsuemoserElipseestadenotablesPuntos
CyyxPaVaVcFcFDados
tan
0000
).........3()0()(
)2()0()(:
).1(2
:.2.
:,
.mindet,
)0,0(),(),,(),,(),,(),,(:
22
2
22
1
21
2121
2121
B1
B2
V1 V2
F1 F2 C
L1
L2
L
R
x
y
B1
B2
),( 02 aV
),( 01 cF
),( yxP
),( 01 aV b
0 ),( 02 cF
bBB
cFF
aVV
2
2
2
21
21
21
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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292
Reemplazando (3) y (2) en (1):
aycxycx 2)()( 2222
Aislando un radical y elevando ambos miembros al cuadrado:
222
222 )(2)( ycxaycx
Desarrollando potencias: 2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
22222 )(44)()( ycxaacxcx …Transponiendo y reduciendo términos semejantes
2222222 )(4422 ycxaaccxxccxx …Desarrollando potencias
222 )(444 ycxaacx …Rediciendo términos semejantes
222 )( ycxaacx …Dividiendo por 4 y transponiendo
22222 )( ycxaacx …Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado
2224222 )(2 ycxaacxaxc … Desarrollando potencias
22224222 22 yccxxaacxaxc ……..? 22222224222 22 yacacxaxaacxaxc ……..?
422222222 acayaxaxc ……..?
22222222 caayacax …Factorizando por 2x , por
2a y ordenando
222
222
222
22
222
222
caa
caa
caa
ya
caa
cax
…Dividiendo por 222 caa
122
2
2
2
ca
y
a
x. Haciendo: 222 cab , se tiene que:
1b
y
a
x2
2
2
2
…Ecuación de la elipse en cuestión. Con 222,0 cbaycaba
Si el eje mayor de la elipse se extiende sobre el eje y, la ecuación es:
a
ba
a
cedadExcentrici
a
bLRrectoLado
ba
a
x
b
xónestaecuaciDemuestre
22
2
22
:
2:
......122
x
y
b B1 B2
),(02 aV
),( yxP
),(01 aV
),(02 cF
0
),(01 cF
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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293
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación, el foco, la excentricidad y el lado recto de elipse cuyos semieje
mayor y menor miden 6 y 4 respectivamente
Para hallar los focos, hacemos uso de la siguiente expresión:
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación, el lado recto, la longitud de los semiejes mayor y menor y los vértices
de la elipse de foco F(0, ± 5) y excentricidad
31
22
12
22
222222222
53
16
6
)4(22:.
3
5
6
52:
)0,52()0,52()0,52()0,(:cos
5220163646
a
bLRrectoLado
a
ceidadExcentriic
FyFFcFFo
c
bacbacacba
8
5e
x
y
6
F2
)0,6(V4
0 F1
La ecuación canónica de esta elipse
es:
pedidaEcuaciónyx
yxbyadoSustituyen
byagráficalaDe
b
y
a
x
.....11636
1)4()6(
:
46:
.1
22
2
2
2
2
2
2
2
2
39.8
:
4
39
8
392
8
)39(22:
)80()0(:
16439
1)8()39(
1
:.39)5()8(
:
.85
405:
5)5,0()5,0()5,0(.
22
2,12,1
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22222
85
2185
bMenoraMayor
Semiejes
a
bLRrectoLado
VaVVértice
yxyx
a
y
b
x
esecuaciónLab
cabcbaAdemás
e
ca
a
cePero
cFyFFe
x
y
F2(0,5)
0
F1(0,5)
V1(0,8)
)0,39(
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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294
294
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación, los focos y la excentricidad de una elipse de centro C(0,0), vértices V(±
6,0) y lado recto LR = 5.
Solución:
El vértice muestra que la elipse tiene su eje focal sobre el eje x.
EJEMPLO 4.
Determinemos la ecuación y la excentricidad de la elipse de centro en el origen, uno de los
vértices en V(0,5) y que pasa por el punto P(4,2).
gráficalaTracea
ce
Fentoncesbac
cvalordeelamoserfolosParalos
yxyx
b
y
a
xesecuaciónLa
b
bb
a
bLRperoLRaV
..................................6
21
)0,21(:.211536
:mindetcos,
11536
115)6(
1:
.15
156
25
2:.5.6)0,6(
2,1
22
222
2
2
2
2
2
2
222
Como la elipse pasa por el punto P(4,2), las coordenadas
De este punto satisface (hace verdadera) la ecuación….
Entonces:
5:1
:
2
2
2
2
aperoa
y
b
x
eselipseestadeecuaciónLa
5
105
5
25
125
:,
21
4001
25
416
1)5(
)2()4(1
.5,2,4
2140022
2
21400
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
a
ba
a
ce
yxesecuaciónlaLuego
bb
ba
y
b
x
ayx ecuaciónlaendoSustituyen
x
y
P(4,2
)
0
V(0,5)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
295
295
EJEMPLO 5.
Hallemos la ecuación de la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x, que su centro está en
el origen; sabiendo que pasa por los puntos P(2,3) y Q(4,2).
. Como pasa por los puntos P(2,3) y Q(4,2),
Ambos puntos satisfacen la ecuación…
EJEMPLO 6.
Determinemos la ecuación de la elipse de foco F(0,3) cuyo centro y semieje mayor es igual al
centro y radio de la circunferencia , respectivamente.
Solución:
..Ecuación de la circunferencia que contiene a la elipse. El centro de esta
circunferencia es C(0,0), que es el mismo centro de la elipse. El radio de la circunferencia es:
. Como el semieje mayor de la elipse es igual al radio de la circunferencia,
uno de los vértices de la elipse es el punto V(0,4), porque el foco es F(0,3)
1:2
2
2
2
b
y
a
xeselipseestadeecuaciónLa
........1
:1:
)2(1416
3
32
23
128:)1(1
94
:Re
)2(1416
1)2()4(
:)2,4(
)1(194
1)3()2(
:)3,2(
332
2
23128
2
2
2
2
222
22
22
22
222
2
2
2
222
2
2
2
ecuaciónyx
tieneseb
y
a
xenbyadoSustituyen
ba
byaquetieneSeba
sistemaelsolviendo
baba
QPara
baba
PPara
1622 yx
1622 yx
4162 rr
x
y
P(4,2)
P(2,3)
0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
296
296
Ahora, hallemos la ecuación de la elipse de vértice V(0,4) y foco F(0,3), de donde:
Gráfica
EJEMPLO 7.
Determinemos la ecuación de la siguiente elipse:
De la gráfica se puede observar que:
El centro está en el origen (0,0)
El semieje menor es igual a 2 y el mayor, es igual a 5.
......1167
1:
791634.43
22
2
2
2
2
22222
ecuaciónyx
a
y
b
xeselipseestadecanónicaecuaciónLa
cabayc
......1425
1:
52:
22
2
2
2
2
ecuaciónyx
b
y
a
xformaladeesecuaciónLa
aybEntonces
x
y
V(0,4)
F(0,3)
0
1167
22
yx
1622 x
x
y
(0,2)
0
(0,5)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
297
297
EJEMPLO 8.
Dada la ecuación de la siguiente elipse, determinemos: Los vértices, los focos, el lado recto, la
excentricidad y tracemos su gráfica.
Solución:
….Dividiendo toda la ecuación por 20 para darle la forma.
….Comparando esta ecuación con su canónica:
Pero:
Vértices:
Focos:
Lado recto: Excentricidad:
El centro en el origen es:
Las coordenadas del semieje menor son:
Para trazar la gráfica, hacemos uso de los vértices, los semiejes menor y el centro
EJEMPLO 9.
Dada la ecuación de la siguiente elipse, hallemos: Los vértices, los focos, el lado recto, la
excentricidad y tracemos su gráfica.
Solución:
Dividiendo toda la ecuación por 3: . Esta ecuación se puede
expresar de la siguiente forma: …Comparando esta eecuación con su canónica:
2054 22 yx
20
20
20
5
20
4 22
yx
145
22
yx
12
2
2
2
b
y
a
x244.55 22 bbaa
1145)2(5 22
22222 baccba
)0,5()0,( 2,12,1 VaV
)0,1()0,( 2,12,1 FcF
.5
8
5
422 2
a
bLR
5
1
a
ce
)0,0(C
)2,0(),0( b
32 22 yx
133
2
3
3
33
2 2222
yxyx
13
22
23
yx
x
y
)0,5(
(2,0)
(2,0)
)0,5(
0
2054 22 yx
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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298
298
.
Pero:
Vértices:
Focos:
Lado recto: Excentricidad:
Las coordenadas del semieje menor son:
…………………………………………………………………………..Trace la gráfica
EJERCICIOS
1. Para cada par o terna de datos, halle la ecuación de la elipse que los contiene:
a. foco F(±4,0) y excentricidad e = 4/5
b. Lado recto LR = 8 y vértices V(±10,0)
c. Centro C(0,0), semieje menor = 10 y semieje mayor = 14
d. Foco F(0,±,5) y semieje menor = 8
2. Halle la ecuación de la elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje y, su centro está en el
origen y pasa por los puntos P(2,6) y Q(7,1)
3. Determine la ecuación de la elipse de foco en (4,0) cuyo centro y semieje mayor es igual
al centro y al radio de la circunferencia
4. Para cada ecuación de La elipse, halle: el centro, el lado recto, los focos, los vértices, la
excentricidad y trace su gráfica:
5. Para cada gráfica, halle la ecuación de la elipse que representa:
13
22
23
yx
3322.
26
23
23 aabb
12
2
2
2
a
y
b
x
26
23
23
23322222
cbaccba
)3,0(),0( 2,12,1 VaV
),0(),0(26
2,12,1 FcF
.3
3
3
22 232
a
bLR
2
2
32
23
32
18
32
6
3
26
e
)0,()0,(23b
6822 yx
.1238.12516
.
0232..149
..2464.
2222
2222
22
yxeyx
d
yxcyx
byxa
0
0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
299
299
CONSIDERACIONES IMPORTANTES SOBRRE LA ELIPSE
Debido a que la elipse es una circunferencia deformada, es conveniente hacer las
siguientes observaciones.
Si , la elipse se convierte en una circunferencia
Si , la elipse es horizontal
Si , la elipse es vertical
Si el valor de tiende a cero(0), tiende a 1, la elipse tiende a ser alargada
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN
022
a
ba
a
ceba
1a
ceba
1a
ceba
b e
),( kh
xejealparalelofocalEjebaConb
ky
a
hx...........1
)()(2
2
2
2
a b
F
x
y
0
0
h
0
k
B1
B2
),(2 kahV
),(1 kchF
),( yxP
),(1 kahV
),(2 kchF
0
h ),( kh
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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300
300
EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
EJEMPLO 1.
Hallemos la ecuación, los focos y el lado recto de la elipse con eje focal paralelo al eje x que
tiene sus vértices en los puntos (3,4) y (3,4) y excentricidad e = 2/3.
x
y
0
)( 4,31 V )( 4,32V
)( 4,21 F )( 4,22F
(0,4)
yejealparalelofocalEjebaCon
a
ky
b
hx
...
1)()(
2
2
2
2
),(1 akhV
x
y
0
0
h
0
k
),(1 ckhF
),(2 ckhF
),(2 akhV
),( kh
),( yxP
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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301
301
La coordenada h del centro(h,k), se halla calculando el punto medio del eje mayor, entonces:
de la gráfica k = 4, el centro es (0,4)
EJEMPLO 2.
Determinemos la ecuación, los vértices, el lado recto y la excentricidad de la elipse de focos
en los puntos (6,3) y (6,9) y semieje mayor igual a 10.
02
33
h
3
10
3
522
:
).4,2(),().4,2(),(
:cos
15
)(
91
5
)4(
3
)0(1
)()(
:
55)2()3(:
.23
23:
303:
2
2211
222
2
2
2
2
2
2
22222222
a
bLR
rectolado
FkchFFkchF
Fo
kyxyx
b
ky
a
hx
esecuaciónLa
menorsemiejebcabcbaPero
eaca
cemenorSemieje
amayorSemieje
5
3
10
6
:
5
64
10
6422
:
)13,6(2)103,6(2),(2
)6,6(1)103,6(1),(1
:
1100
)(
64
)(1
)()(
:
6436100.6.10
:
6)3(333
:),,(1:1
)3,6(),(:.6
.32
93:cos
),,(
2
22
2
2
2
2
222
a
ce
dadExcentrici
a
bLR
rectoLado
VVakhV
VVakhV
vérticesLos
kyhx
a
ky
b
hx
esLaecuación
cabca
bCalculando
kcck
entoncesckhFformaladeesFfocoEl
khcentroeshcoordenadaLa
kfolosdemediopuntodelscoordenada
lashallamoskhcentrodelkcoordenadalahallarpara )6,6(1V
)4,3(2V
0
x
y
(6,3)
)3,6(1F
)9,6(2 F
10
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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302
302
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación, los vértices, los focos, el lado recto y la excentricidad de la elipse de
centro (1,2), eje paralelo al eje x y que pasa por los puntos P(1,1) y Q(3,2).
EJEMPLO 4.
Determinemos la ecuación, los vértices, el lado recto, los focos y la excentricidad de la elipse
de centro (1,3), eje focal paralelo al eje x y semieje mayor y menor 4 y 3, respectivamente
2
3:
12
122:
).2,3(2),(2).2,1(1),(1:
).2,31(2),(2
).2,31(1),(1
2
2222
2
2
2
2
222222
22
2
2
2
22
2
2
2
:cos
14
114
1
:
331:
211
)2,1()2,3(.
1101)2,1()1,1(
)2()1()2()1()()(
4)22()13(
1)21()11(
a
cedadExcentrici
a
bLRrectoLado
VkahVVkahVvérticesLos
FkchFFkchFFo
ba
esecuaciónLa
cbaccbacCalculando
aaba
khyx
yQPara
bbba
yPPara
yxyxkyhx
La ecuación es:
Como la elipse pasa por los puntos P(1,1) y
Q(3,2), ambos puntos satisfacen la ecuación
12
2
2
2)()(
ba
kyhx
x
y
0
(1,2)
)1,1(P
)2,3(Q
7796
.34
31
)3,1(:
222
cbac
bya
kyh
centroenunciadoelygráficalaDe
x
y
0
3
4 (1,3)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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303
EJEMPLO 5.
Hallemos la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyos focos son los puntos (4,2) y
(4, 6) y la longitud del lado recto es 6.
4
7:.3
2
322:
).3,3(2),(2).3,5(1),(1:
).3,71(2),(2
).3,71(1),(1
2
22
2
2
2
2
:cos
1916
1
:
)3()1()()(
a
cedadExcentrici
a
bLRrectoLado
VkahVVkahVvérticesLos
FkchFFkchFFo
ba
esecuaciónLa
yxkyhx
2
1
4
2:
24
22
.6)(22
11612
1
3
22
2
2
2
2
2222
2
22222222
22222
2
)4()4()()(
:
12666:4
,1
14:...043
0)2(303622
:.6:
a
cedadExcentrici
bb
a
b
a
ca
a
b
yxkyhx
esecuaciónLa
aPara
cmayorqueesademásypositivossonsemiejeslosporqueasDescartamo
ayaessoluciónLasgradosegundodeecuacióna
aaa
AdemásLRPero
ab
b
a
acaacaca
cab
2)4(222)2,4(1
),(1
),(.2
:
:cos
)4,4(.42
62.4
2
kcckF
ckhF
khformaladeCentroa
bLRrectoLado
Fo
centrokh
)2,4(1 F
)4,4(
x
y
0
)6,4(2 F
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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304
304
EJEMPLO 6.
Hallemos la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (5,2) y (3,2) y sus covértices
los puntos (1,5) y (1, 1)
EJEMPLO 7.
Hallemos la ecuación de la elipse cuya suma de distancia de cada punto a los puntos Q(4,2)
y R(5,3) es 6.
Sustituyendo (2) y (3) en (1):
6)2()4()3()5( 2222 yxyx
Este desarrollo es parecido al que realizamos para demostrar la ecuación inicial o canónica de
la elipse. Continúe usted el análisis…
1916
1
1
22
2
2
2
2
2
2
2
2
)2()1()()(:
3)1(2.covtan:
4)5(1.tan:
)2,1(.22
15.1
2
35:),(
...
)()(:
yxkyhxesecuaciónLa
bérticeslosdeunoacentrodelciaDismenorSemieje
avérticeslosdeunoacentrodelciaDismayorSemieje
centrokhkhcentroelPara
semiejeslosdelongitudeslasycentrodelscoordenadalashallarDebemos
kyhxeselipseestadeecuaciónLa
ba
ba
)2,3( )2,5(
)1,1(
x
y
0
)5,1(
(1,2)
)2,4( Q
),( yxP
)3,5(R
x
y
0
Consideremos el punto P(x,y) de coordenadas x, y.
Entonces, por comprensión del enunciado, se
tienen que:
)3()2()4(
)2()3()5(
:
)1(6
22
22
yxPQ
yxPR
Pero
PRPQ
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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305
305
EJEMPLO 8.
Dada la ecuación de la elipse. Determinemos el centro, los vértices, los
focos, el lado recto, la excentricidad y tracemos su gráfica
Solución:
Para la gráfica, hacemos uso del centro, los vértices y los covértices. Como esta elipse tiene su
eje focal paralelo al eje y, los covértices se calculan con la siguiente expresión:
1169
22)1()2(
yx
4
7.
2
9
4
922
:
)71,2(),()5,2()41,2(),(
)71,2(),()3,2()41,2(),(
77916.416169
:cos
)1,2(),(.11.22
:),(
:,11169
2
22222
11111
22222
2
2
2
222)()()1()2(
a
ce
a
bLR
dadexcentriciyrectoLado
FckhFVVakhV
FckhFVVakhV
cbacaayb
foyVértices
khCentrokkhh
khCentro
tieneseab
kyhxcanónicalaconcomparando
yx
)71,2()71,2().5,2()3,2(
).1,5()1,32(),(:2).1,1()1,32(),(:1
.399
).,(:2).,(:1
2121
2
FyFVyV
kbhCovérticekbhCovértice
bb
kbhCovérticekbhCovértice
)1,5( )1,1(
)3,2(1V
)5,2(2 V
x
y
0
)1,2(
116
)1(
9
)2( 22
yx
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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306
EJERCICIOS
1. Halle la ecuación, los focos y el lado recto de la elipse con eje focal paralelo al eje y, que
tiene sus vértices en los puntos (2,4) y (2,2) y excentricidad e = 2/5
2. Determine la ecuación, los vértices, la excentricidad y el lado recto de la elipse de focos
F1(2,5) y F2(3,5), y eje mayor igual a 14
3. Halle la ecuación, los focos, los vértices, el lado recto y la excentricidad de la elipse de
centro en (2,2) y que pasa por los puntos P(0,5) y Q(0,2)
4. Halle la ecuación, los focos, los vértices, el lado recto y la excentricidad de la elipse de
centro en (2, 2), eje focal paralelo al eje y, y semiejes mayor y menor de 10 y 6,
respectivamente
5. Determine la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyos focos son (5,4) y (1,4), si la
longitud del lado recto es 6
6. Determine la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (0,2) y (8,2) y covértices
(4,0) y (4,4)
7. Determine la ecuación de la elipse cuya suma de distancia de cada punto a los puntos (2,3)
y (5, 1) es 7.
8. Para cada ecuación de la elipse, halle: los focos, los vértices, el lado recto, la excentricidad
y trace su gráfica
9. Para cada elipse, la ecuación de la posición inicial y final, según la traslación
indicada:
.116
)1(
9
)1(.1
4
)3(
16
)2(
.11625
.110
)5(
6
)2(
2222
2222
yxd
yxb
yxc
yxa
4 unidades izquierda
y 3 hacia abajo
5
6 unida hacia la
derecha
5 unidades izquierda
y 3 hacia arriba
(9,5)
(1,5)
(3,12
)
(3,2)
5 unidades hacia la
derecha 3 hacia arriba
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
307
307
APLICACIÓN EJEMPLO 1.
La órbita de la tierra es una elipse, con el sol en uno de sus focos. La distancia máxima del
planeta al sol es de 96,56 millones de millas, y su distancia mínima es de 91,44 millones de
millas. ¿Cuáles son los semiejes mayor y menor de la órbita de la tierra y cuál es su
excentricidad?
Solución:
La siguiente gráfica, ilustra el enunciado
Distancia máxima de la tierra al sol:
Distancia mínima de la tierra al sol:
Respuestas:
Semieje mayor( ) es 93 millones de millas
Semieje menor( ) es de 92,98 millones de millas
La excentricidad es de 0,0167.
La excentricidad es casi igual acero, muestra que la órbita de la tierra es casi circular;
mostrando que los semiejes son casi iguales.
APOGEO: Distancia máxima de la tierra al sol
PERIHELIO: Distancia mínima de la tierra al sol
ca 56,94 ca
ca 44,91 ca
127,836159,8941
:
.1067.10167,093
26,1
98,9256,8646
56,864643,28649)56,1()93(:
56,193:,Re
22
2
22222
yxestierraladeórbitaladeecuaciónLa
a
ce
b
cabdondeDe
cyaquetienesesistemaelsolviendo
93a
98,92b
Apogeo
Perihelio a c ca
ca
Tierra Tierra Sol
b
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
308
308
EJEMPLO 2.
Uno de los cometas más famosos es el cometa Halley. El astrónomo Edmund Halley,
discípulo de Newton, mostró que este cometa fue observado por los habitantes de la tierra en
los años 1682, 1607, 1531, 1456, 1066. En 1682, predijo que este cometa regresaría en 1759,
en 1835 y en 1910, lo cual fue correcto. El cometa Halley es observado cada 76 años, esto
muestra que también fue observado en 1986 y se espera que aparezca en el año 2062. La
órbita del cometa Halley es una elipse, con el sol en uno de sus focos, los semiejes mayor y
menor de esta órbita miden 18,09UA y 4,56UA, respectivamente.
¿Cuáles son las distancias máxima y mínima del sol al cometa Halley?.
UA = Unidad astronómica = 1,5108km
Hallemos:
a). La distancia máxima y mínima del cometa al sol.
b). la ecuación de la órbita del cometa
c). La excentricidad del cometa
Distancia máxima del cometa al sol:
Distancia mínima del cometa al sol:
La excentricidad es casi igual a uno(1), muestra que la órbita del cometa es muy alargada
ca UAa 09,18
ca UAb 56,4
1793,20248,3327
:
967,009,18
50,17
:
tan59,0050,1709,18
tan60,35050,1709,18
50,17554,306
454,306793,20248,327)56,4()09,18(:
22
22222
yxescometadelórbitaladeecuaciónLa
a
ce
dadexcentrici
PerheliomínimaciaDisUAUAUAca
ApogeomáximaciaDisUAUAUAca
UAc
bacdondeDe
Apogeo
Perihelio
a c ca
Cometa
Sol b
ca
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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309
309
EJEMPLO 3.
PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE UNA ELIPSE
La propiedad de reflexión de la elipse es la base del fenómeno “Galería susurrante”
escuchado en el senado de los estados unidos: Una persona situada en un foco de un
Elipsoide(se forma al girar una elipse en torno a su eje mayor) puede escuchar a otra persona
situada en el otro foco del Elipsoide, separados por una distancia aproximada de 50 pies
(152,4m)
Algunas mesas de billar se fabrican en forma elíptica, los focos de tales mesas están
señalados.
En medicina la propiedad de la reflexión se aplica en la “Litotripsia por ondas de choques”,
para desvanecer cálculos. U reflector elíptico con un transductor(transmisor de energía) se
ubica en uno focos fuera del cuerpo del paciente, el otro foco, se hace coincidir con el cálculo
y éste es bombardeado con ondas electromagnéticas, que pulverizan el cálculo.
Dada la siguiente elipse, hallemos los ángulos de reflexión
elipseladereflexióndepropiedadladeEcuaciónmm
mm
mm
mm
enydoSustituyen
mm
mmgentoncesLyPFrectaslasentreángulo
mm
mmgentoncesPFyLrectaslasentreángulo
taggComo
menterespectivaPFyPFLdependienteslasmymmSea
..................11
:)1()3()2(
)3(1
tan:,
)2(1
tan:,
)1(tan:
.,,,
2
2
1
1
2
22
1
11
2121
=
Se enuncia a si: La recta tangente L en
un punto P de la elipse forma ángulos
iguales con las dos rectas PF1 y PF2 de
los focos a la elipse. O sea: =
P L
Recta tangente
F1 F2
|||1
12
12
21
21
21
351856)5,1(tan
1tan 5,1
2
3
51
15
:
.532
27.1
32
27
:,
g
mm
mmg
PFyPFentreánguloelSea
mm
PFyPFLdependieteslasHallemos
x
y
L
0
)7,2(P
)2,3(2F
)2,3(1F
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
310
310
EJERCICIOS
1. La órbita del cometa Kahoutek es una elipse de excentricidad extrema e = 0,999925 con el sol en
uno de sus focos. La distancia mínima entre el sol y el cometa es de 0,13UA. Halle la distancia
máxima al sol y la ecuación de la órbita
2. La órbita de la tierra es una elipse que tiene al sol como uno de sus focos. La longitud del eje
mayor es de 2,99108Km y la excentricidad es de 1,6710
2. Determine las distancias máxima y
mínima de la tierra al sol y la ecuación de su órbita
3. La órbita del planeta mercurio es una elipse de excentricidad e = 0,206. Sus distancias máxima y
mínima al sol son 0,467UA y 0,307UA, respectivamente. Halle la longitudes de los semiejes
mayor y menor y la ecuación de su órbita.
4. Un satélite de comunicación es lanzado al espacio para que orbite alrededor de la tierra. Según los
científicos, el satélite describirá una órbita elíptica de eje mayor 40000Km y de eje menor
38500Km. Halle las distancias máxima y mínima de la tierra al satélite y la ecuación de la
trayectoria.
5. Para cada elipse,halle los ángulos de reflexión y la ecuación de la recta tangente
LrectaladeEcuación
entoncesesecuaciónlaP
xy
xxyy
mmmmmm
mmmmmmmmmmmm
m
m
m
m
mm
mm
mm
mm
pendientesuprimeroadoerLrectaladeecuaciónlahallemosAhora
ademásPero
mm
m
mm
pendientelaypuntoelPara
descienderectalaporqueescogemosecuaciónlaPara
ysoluciónescuya
gradosegundodeEcuación
)...2(7
),(,
.01304120412
055515551
51
5
1
1
11
:mindet,,
4250612
351856180.:.180:
2
133
1
,2
133
.2
133
2
133:
,..
::)7,2(
44
55
122
2
21
222
2222
2
2
1
1
||||||
P
0
F1 F2
0
P
F1
F2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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311
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación de la elipse de focos (3’5), (3,3) y eje focal 12 unidades
signoigualdeperodiferentessonyxdeescoeficientLos
generalEcuaciónFEyDxByAx
bakahbFkaEhbDaBbA
bakahbkyahxbyaxb
bakakyayahbhxbxb
bakyahxb
xejealparalelofocalEjebaConb
ky
a
hx
eselipseestadecanónicaecuaciónLa
Haciendo
Ordenando
potenciasndoDesarrolla
adoresdenoinandoeyfraccionesSumando
22
22
2222222222
222222222222
222222222222
222222
2
2
2
2
,
....0
.2.2..
....022
......22
.....)()(
...........1)()(
:
:
minlim
x
y
0
0
h
0
k
B1
B2
),(2 kahV
),(1 kchF
),( yxP
),(1 kahV
),(2 kchF
0
h ),( kh
generalecuación
Operando
canónicaEcuación
deValor
mayorSemiejeCentro
yxyx
yx
a
ky
b
hx
cabcba
cc
aakhkh
...0376402162036
.136
)1(
20
)3(
...1)()(
201636
.415:
6:)().1,3(),(:),(
22
22
2
2
2
2
222222
:..
.
F1(3,5)
F2(3,3)
0
y
x
(3,1)
6
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
312
312
EJEMPLO 2.
Dada la elipse , hallemos el centro, la excentricidad y tracemos su
gráfica
Solución:
Comparando la ecuación particular con la general:
Ahora:
La excentricidad es:
Además:
La ecuación canónica es:
OTRA FORMA: COMPLETANDO TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS
Solución:
Trace usted la gráfica…………..
01284 22 yxyx
0
01284
22
22
FEyDxByAx
yxyx
11:,1
24:,4
2
2
BaaBperoB
AbbAperoA
3314222 cbac
31
3
a
ce
1,1),(
12
2
)1(2
2
22:,2
18
8
)2(2
8
22:,8
22
2
22
2
CkhC
a
EkkaEperoE
b
DhhbDperoD
:escentroEl
14
)1(
1
)1(1
)()( 22
2
2
2
2
yx
b
ky
a
hx
ndotransponieypordividiendoy
x
semejantesostérreduciendoydofactorizanyx
trinomiosdocompleyyxx
dofactorizanyyxx
agrupandoyordenandoyyxx
yxyx
4......14
11
min......04114
tan......041112124
......01224
......01284
01284
22
22
22
22
22
22
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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313
EJERCICIOS
1. Para cada ecuación general de la elipse, halle: El centro, los vértices, los focos, el lado
recto, los semiejes mayor y menor, la excentricidad y trace la gráfica
2. Calcule la distancia del centro de la elipse a la recta
Ayuda: Halle en centro de la elipse y luego, determine la distancia de la recta al centro
3. Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro y centro son el eje mayor y el
centro de la elipse , respectivamente.
Construya ambas curvas en un mismo plano
4. El punto medio de una cuerda de la elipse es el punto (5,2).
Halle la ecuación de la cuerda
Ayuda:
Tome m como pendiente de la cuerda(recta)
Escriba la ecuación de la cuerda de pendiente m y que pasa por el punto(5,2)
Junte las dos ecuaciones y halle el valor de la pendiente, resolviendo el sistema de
ecuaciones.
ECUACIÓN DE UNA ELIPSE SUJETA A CUATRO CONDICIONES
Las ecuaciones ordinarias o canónicas de una elipse son:
Nuestro trabajo consiste en hallar el valor de las constantes dados cuatro puntos que
pertenecen a la elipse
020121032
04312102
02201210925
22
22
22
yxyxc
yxyxb
yxyxa
0144724894 22 yxyx
022 yx
4505018 22 yx
0342 22 yxyx
FEDBtesconscuatrohayecuaciónestaEn
utilizaravamosquelaesEstaFEyDxByx
AHaciendoFEyDxByAx
songeneralesecuacionesLas
bakhtesconscuatrohayecuacionesestasEn
yejealparalelofocalEjea
ky
b
hx
xejealparalelofocalEjeb
ky
a
hx
,,,:tan
......0
1:.0
:
,,,:tan
1)()(
1)()(
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
314
314
EJEMPLO
Hallemos la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (4,1), (4,1), (2,3) y (2, 1) y cuyo
eje focal es paralelo al eje x.
EJERCICIO
Para cada cuarteto de puntos, halle la ecuación general de la elipse que pasa por ellos:
a. (6,4), (8,1), (2,4) y (8, 3)
b. (2,2), (4,10), (6,9) y (7, 5)
)4(930)1()3()1()3(
:)1,3(
)3(163490)3()4()3()4(
:)3,4(
)2(43290)3()2()3()2(
:)3,2(
)1(1640)1()4()1()4(
:)1,4(
0
22
22
22
22
22
FEDBFEDB
Para
FEDBFEDB
Para
FEDBFEDB
Para
FEDBFEDB
Para
FEyDxByxgeneralecuaciónlaenpuntocadadescoordenadalasdoSustituyen
Ecuaciónyxyxyxyx
FEyDxByxenFyEDBemplazando
FEDB
FEDB
FEDBFEDB
quetienesesistemaelsolviendoFEDB
ecuacioneslasuniendo
...0211241658032
:0,,Re
)4(43
)3(16349
.3.2.)2(4329
:Re)1(164
:Re
22
82112
852
22
8211
85
y
x
(4,1)
(3,1)
(2,3)
(4,3)
0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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315
LA HIPÉRBOLA
Las siguientes figuras son hipérbolas:
Los siguientes fenómenos describen movimientos hiperbólicos:
Una partícula que es disparada hacia el núcleo de un átomo y la repulsión de la misma.
El desplazamiento de una nave espacial que utiliza la fuerza de gravedad de un
cuerpo(planeta, sol, galaxia, entre otros) del universo para propulsarse.
El descenso y ascenso de un avión con el objetivo de lanzar algún objeto en un punto
determinado o para enganchar un cuerpo que desea levantar, al ser observado desde abajo.
El desplazamiento de algunos cometas.
El choque con la tierra del cono que produce un JET(avión ultrasónico) cuando rompe la
barrera del sonido, produce una rama de una hipérbola.
En física, principalmente en óptica, La forma de los espejos convexos. De igual forma, la
construcción de muchos telescopios utilizan espejos de forma hiperbólica.
DEFINICIÓN
La hipérbola es el lugar geométrico de puntos en el plano cuya diferencia de distancia a dos
puntos fijos, llamados focos(F1 y F2), es constante.
Foco Foco
Eje focal
Eje normal
Asíntota
Centro Vértice
Lado recto
Rama de la hipérbola
Rectángulo: Facilita la
construcción de la hipérbola
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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316
ELEMENTOS DE UNA HIPÉRBOLA
ECUACIÓN DE LAHIPÉRBOLA DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL
PARALELO AL EJE X
Consideremos la siguiente hipérbola y el punto P(x,y) de una de las ramas de la…
Eje Focal: Es la recta L1 que contiene los focos.
La distancia entre los focos F1 y F2 mide 2c:
Eje Normal: Es la recta L2 perpendicular al eje focal(L1)
Eje Conjugado: Es la distancia entre los puntos B1 y B2. Mide 2b:
Asíntotas: Son las rectas diagonales L1 y L2 del rectángulo que se trazan para
construir la hipérbola
Lado Recto: Es la cuerda LR perpendicular a uno de los focos de la…
cFF 221
bBB 221
Focos: son los puntos fijos F1 y F2
mencionados en la definición
Centro: Es el punto medio de la
distancia entre los focos(F1 y F2).
La distancia del centro a uno de los
focos se denota con la letra c. con
c0.
Vértices: son las intersecciones
V1 y V2 de la curva con el eje
focal. La distancia del vértice al
centro se denota con la letra a
Eje Transverso(V1 y V2): Es la
distancia que separa los vértices.
aVV 221
L
F1(c,0)
L1
X
Y
0 F2(c,0) V1(a,0) V2(a,0)
L2
R
B1
B2
L4 L3
b
)3......()(
)2......()(
:tan
)1.......(2
22
2
22
1
21
:
ycxPF
ycxPF
puntosdosentreciadisPor
aPFPF
hipérboladedefiniciónPor
F1(c,0) X
Y
0 F2(c,0)
V1(a,0) V2(a,0)
),( yxPB1
B2
b
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
317
317
Reemplazando (3) y (2) en (1):
aycxycx 2)()( 2222
Aislando un radical y elevando ambos miembros al cuadrado:
222
222 )(2)( ycxaycx
Desarrollando potencias: 2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
22222 )(44)()( ycxaacxcx …Transponiendo y reduciendo términos semejantes
2222222 )(4422 ycxaaccxxccxx …Desarrollando potencias
222 )(444 ycxaacx …Rediciendo términos semejantes
222 )( ycxaacx …Dividiendo por 4 y transponiendo
22222 )( ycxaacx …Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado
2224222 )(2 ycxaacxaxc … Desarrollando potencias
22224222 22 yccxxaacxaxc ……..? 22222224222 22 yacacxaxaacxaxc ……..?
422222222 acayaxaxc ……..?
22222222 acayaacx …Factorizando por 2x , por
2a y ordenando
222
222
222
22
222
222
aca
aca
aca
ya
aca
acx
…Dividiendo por 222 caa
122
2
2
2
ac
y
a
x. Haciendo: 222 acb , se tiene que:
1b
y
a
x2
2
2
2
…Ecuación de la hipérbola en cuestión. Con 222 cbayac
Lado recto: a
bLR
22 . Excentricidad:
a
ba
a
ce
22 .
Los extremos del lado recto son de la forma: abc ,
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
318
318
PARA EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y:
ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA
Consideremos la siguiente hipérbola:
ASÍNTOTA: La asíntota de una curva es una recta cuya distancia a la curva tiende a cero a
medida que la curva se aleja indefinidamente del origen.
Para la asíntota horizontal, la ecuación es: y = k con k R.
Para la asíntota vertical, la ecuación es: x = k con k R.
Y
..
11
:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
21
:
ecuaciónla
ygráficaladeusoHaga
a
y
b
xo
b
x
a
y
eshipérbolaestadeecuaciónLa
aPFPF
demuéstre
hipérboladedefiniciónPor
F1(0, c)
X
F2(0,c)
),( yxP
B1
B2
0
V2(0,a)
b
V1(0, a)
La gráfica muestra que:
Entre más se acerca el valor de x a 2, el
valor de y se hace infinitamente
grande. Entonces, en x = 2 hay una
asíntota vertical.
De igual forma, mientras más se acerca
el valor de y a 1, el valor de x se hace
infinitamente grande.
Entonces, en y = 1 hay una asíntota
horizontal
0
1
2 x
y
Asíntota
horizontal
Asíntota
vertical
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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319
PARA LA HIPÉRBOLA EN CUESTION, hablamos de asíntotas oblicuas.
ECUACIÓN DE LAS ASÍNTOTAS
Para ello, determinamos la ecuación de la recta que pasa por los vértices del rectángulo
puntos (a,b) y (a,b)) y el centro de la hipérbola, en este caso el origen(0,0).
Se hace uso de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación, los vértices, la excentricidad, el lado recto, el eje transverso, el eje
conjugado y las asíntotas de la hipérbola de centro en el punto (0,0), foco en (6,0) y semieje
transverso igual a 4.
)( 1
12
121 xx
xx
yyyy
0)0(0
00
:),()0,0(:
0)0(0
00
:),()0,0(:
aybxóxyxa
by
baypuntoslosPara
aybxóxyxa
byx
a
by
baypuntoslosPara
ab
ab
1
:
2
2
2
2
b
y
a
x
eshipérbolaladeecuaciónLa
xy
aybx
ab
0
xy
aybx
ab
0
),( ba
X
Y
F1(c,0) 0 F2(c,0)
V1(a,0) V2(a,0)
b
),( ba
Asíntotas oblicuas
1
)0,6(
2
2
2
2
2
:
)0,0(
:
b
y
a
x
ejealparalelofocalEje
F
escanónicaecuaciónSu
X
yC
enunciadoDel
X
Y
F1(6,0)
0 F2(6,0)
V1(4,0) V2(4,0)
0420 yx
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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320
320
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación, los vértices, el lado recto, el eje transverso, el eje conjugado y las
asíntotas de la hipérbola de focos en F1(0,5) y F2(0,5) y excentricidad e = 5/3.
04200
.04200.04200
:
545222:
8422:.2
3
4
6:
104
2022:).0,4(2,1)0,(:
....12016
1
:
5220201636:
tan:,4
.6)0,6()0,(
:exp
2,1
21
21
2
22
2
2
2
2
2222
22
yxaybx
yxaybxyxaybx
asíntotaslasdeEcuaciones
bBBconjugadoEje
aVVtransversoEjea
ceadxcentricid
a
bLRrectoLadoVaVVértices
ecuaciónyx
b
y
a
x
hipérbolaestadecanónicaecuaciónlaenbyadoSustituyen
bbacbPero
vérticeslosentreciaDistransversoejedelmitadlaserpora
cFcF
formasiguienteladeresarpuedenseTambién
3
32
3
1622:).3,0(),0(:
....1169
1
:
4.16925:
35
535
.5)5,0(),0(
2
22
2
2
2
2
2222
35
35
11
2,12,1
a
bLRrectoLadoVaVVértices
ecuaciónxy
b
x
a
y
hipérbolaestadecanónicaecuaciónlaenbyadoSustituyen
bbacbPero
e
ca
a
ce
ecFcF
1
)5,0(),5,0(
2
2
2
2
35
21
:
:
b
x
a
y
ejealparalelofocalEje
eyFF
escanónicaecuaciónSu
Y
enunciadoDel
X
Y
F2(0,5)
0
F1(0,5)
V1(0,3)
V2(0,3
043 yx
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
321
321
EJEMPLO 3.
Determinemos la ecuación, los focos, el lado recto, el eje transverso, el eje conjugado y las
asíntotas de la hipérbola cuyos vértices son los puntos (8,0) y (8,0), y que tiene una
excentricidad de 5/4.
0430
.0430.0430
:
8422:
6322:
:exp
21
21
yxbyax
yxbyaxyxbyax
asíntotaslasdeEcuaciones
bBBconjugadoEje
aVVtransversoEje
formasiguienteladeresarpuedenseTambién
0860
.0860.0860
:
12622:16822:
98
3622:)0,10()0,(:cos
....13664
1
:
6.3664100:
108
.8)0,8()0,(
:exp
2,12,1
2121
2
22
2
2
2
2
2222
45
45
12
4
40
yxaybx
yxaybxyxaybx
asíntotaslasdeEcuaciones
bBBconjugadoEjeaVVtransversoEje
a
bLRrectoLadoFcFFo
ecuaciónyx
b
y
a
x
hipérbolaestadecanónicaecuaciónlaenbyadoSustituyen
bbacbPero
eaca
ce
eaVaV
formasiguienteladeresarpuedenseTambién
1
)0,8(),0,8(
2
2
2
2
45
21
:
:
b
y
a
x
ejealparalelofocalEje
eyVV
escanónicaecuaciónSu
X
enunciadoDel
X
Y
086 yx
F1(10,0) F2(10,0)
V1(8,0) V2(8,0)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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322
EJEMPLO 4.
Hallemos la ecuación, la excentricidad, el lado recto, el eje transverso, el eje conjugado y las
asíntotas de la hipérbola cuyos vértices y focos son los puntos (0,3), (0,3) y (0,6), (0,6),
respectivamente.
EJEMPLO 5.
Dada la hipérbola , determinemos: sus focos, sus vértices, el lado recto, las
asíntotas, el eje transverso, el eje conjugado y tracemos la gráfica
Solución:
. Dividiendo toda la expresión por 160:
. La canónica de esta ecuación es
02730
.02730.02730
:
363322:6322:
.323
3322:
....1279
1
:
3327.27936:
.6)6,0(),0(.3)3,0(),0(
:exp
2121
2
22
2
2
2
2
2222
1111
yxyax
yxbyaxyxbyax
asíntotaslasdeEcuaciones
bBBconjugadoEjeaVVtransversoEje
a
bLRrectoLado
ecuaciónxy
b
x
a
y
hipérbolaestadecanónicaecuaciónlaenbyadoSustituyen
bbacbPero
cFcFaVaV
formasiguienteladeresarpuedenseTambién
1601610 22 yx
1601610 22 yx
11016160
160
160
16
160
10 2222
yxyx
12
2
2
2
b
y
a
x
1
)6,0(),6,0()3,0(),3,0(
2
2
2
2
2121
:
:
b
x
a
y
ejealparalelofocalEje
FFyVV
escanónicaecuaciónSu
Y
enunciadoDel
X
Y
0333 yx
F2(0,6)
F1(0,6)
V2(0,3)
V1(0,3)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
323
323
GRÁFICA:
Para trazar la gráfica, hacemos uso del centro, los ejes transverso y conjugado, los vértices,
los focos y principalmente: 1028,0,26),0,0( 2,1 yVC
Como las asíntotas pasan por los vértices del rectángulo que forman los ejes, los siguientes
pasos son de gran ayuda:
Ubicamos el centro y trazamos el eje focal (identificando la orientación de la hipérbola)
A partir del centro y el eje focal, construimos el rectángulo cuyos lados tienen la misma
longitud de los ejes
Trazamos las asíntotas y las ramas de la hipérbola
Finalmente, ubicamos los demás elementos
04100
.04100.04100
:
1022:
8422:4
26:
54
1022:
)0,26()0,(:cos).0,4()0,(:
26.261610:
.1010.416).0,0(:
:,
:exp
2,12,12,12,1
21
21
2
222222
22
yxaybx
yxaybxyxaybx
asíntotaslasdeEcuaciones
bBBconjugadoEje
aVVtransversoEjea
ceadxcentricid
a
bLRrectoLado
FcFFoVaVVértices
cabcacbPero
bbaaCCentro
tieneseparticularlaycanónicaecuaciónlaComparando
formasiguienteladeresarpuedenseTambién
11016
22
yx
V1
X
Y
0410 yx
1F 2F
V2
0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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324
EJERCICIOS
1. Halle la ecuación, la excentricidad, los vértices, el eje conjugado, el lado recto y las
asíntotas de la hipérbola de centro en el origen, foco en (10,0) y semieje transverso igual a 6.
2. Halle la ecuación, la excentricidad, el eje conjugado, el eje transverso, el lado recto y
las asíntotas de la hipérbola cuyos vértices y focos son los puntos (0,8) y (0, 4),
respectivamente.
3. Halle la ecuación, los focos, el eje conjugado, el eje transverso, el lado recto y las
asíntotas de la hipérbola de vértices en (5,0) y excentricidad e = 3/2.
4. Escribe la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados sobre el eje x, su centro
está en el origen y que cumple con las siguientes condiciones: 2a = 10 y 2b = 12.
5. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,7) y (0,7), y la
longitud del lado recto es 6. Halle la ecuación, los focos, la excentricidad, lo eje
transverso, el eje conjugado y conjugado y las asíntotas
6 Determine la ecuación, los vértices, los el conjugado, el lado recto y las asíntotas
de la hipérbola cuyos focos son los puntos (13,0) y (13,0) y cuyo eje transverso
mide 24.
7. Determine la ecuación, los vértices, los focos y las asíntotas de una hipérbola de
centro en el origen y su eje transverso sobre el eje x. Si sabemos e = 1/26 y
que pasa por el punto (2,1)
8. Halle la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (3, 1), cuyos ejes transverso
y conjugado son iguales
9. Para cada hipérbola, determine: Los vértices, los focos, el eje transverso, el eje
conjugado, la excentricidad, el lado recto y trace la gráfica:
ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA DE CENTRO EN (h, k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
.4.01234.82.1416
.194
2222222222
yxyxyxxyyx
1)()(
:
2
2
2
2
b
ky
a
hx
eshipérbolala
deecuaciónLa
)(
0)()(
hxky
kyahxb
ab
)(
0)()(
hxky
kyahxb
ab
X
Y
F1(hc,K)
0
F2(h+c,K)
h
k (h,k)
V1(ha,K) V2(h+a,K)
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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325
SI EL EJE ES PARALELO AL EJE Y:
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación, los vértices, el lado recto, la excentricidad y las asíntotas de la
hipérbola de centro (4,3), eje transverso 8 y uno de los focos en (10,3)
.2:.2:
:.2
:
).,(),(:cos
).,(),(:
)(:
2121
222
21
21
bBBtransversoEjeaVVconjugadoEje
a
ba
a
cedadExcentrici
a
bLRrectoLado
kchFykchFFo
kahVykahVVértices
hxkyAsíntotas ab
)(: hxkyAsíntotasba
1)()(
:
2
2
2
2
b
hx
a
ky
eshipérbolala
deecuaciónLa
)(
0)()(
hxky
kybhxa
ba
)(
0)()(
hxky
kybhxa
ba
F1(h,k+c)
X
Y
0 h
k (h, k)
V1(k,h+a)
F2(h,kc)
V2(h,ka)
1
)()(2
2
2
2
:
b
ky
a
hx
formaladeeshipérbolaestadeecuaciónLa
F1
0
F2(10,3) 8
(4,3)
X
Y
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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326
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación, los focos, la excentricidad, el eje transverso, el eje conjugado y las
asíntotas de la hipérbola cuyo lado recto mide 9/4 y los vértices son los puntos (4,5) y (4,3)
)4(3)4(3)(:
2
3
4
6:
.104
2022:
).3,8()3,44(),().3,0()3,44(),(
:
....136
)3(
16
)4(
:1)()(
,,
522020163646:
64101010)3,10(),(:cos
4828
34)3,4(),(:
2
5
4
52
2
222111
22
2
2
2
2
22222
22
28
xyxyhxkyAsíntotas
a
cedadExcentrici
a
bLRrectoLado
VVkahVVVkahV
Vértices
ecuaciónyx
b
ky
a
hxenkyhbadoSustituyen
bacbPero
hcchFkchFFo
aatransversoEje
kyhkhCCentro
ab
ecuaciónxy
b
hx
a
kyenkyhbadoSustituyen
bb
a
bLRrectoLado
VVaaVVPeroVVtransversoEje
....1)4(
16
)1(
:1)()(
,,
4
9
4
22:
42
8
22:.835)3(5:
29
29
22
2
2
2
2
222
212121
)1,4(),(:
1.4
1)()(
235
244
:
,
:2
2
2
2
CkhCCentro
kh
b
hx
a
ky
vérticeslosentremediopuntodelscoordenada
lasndoestableciehallansecentrodelscoordenadaLas
formaladesu
YejealparalelofocalejesutienehipérbolaEsta
F1
(4,1)
V1(4,5)
V1 (4,3)
0 X
Y
F2
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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327
EJEMPLO 3.
Dada la hipérbola , hallemos: El centro, los vértices, los focos, el lado
recto, el eje transverso, el eje conjugado, las asíntotas y tracemos su gráfica
)4(3)4(1)(:
2322
4:
1,4),(.1,4),(:cos
4
9
4
22:
16:
23
2211
222
222222
84
2
23
241
241
241
2
23
2
3
2
929
241
241
29
223
xyxyhxkyAsíntotas
bconjugadoEje
a
cedadExcentrici
FckhFFckhFFo
bb
a
bLRrectoLado
cabcacbPero
ba
b
149
)4(
25
)3( 22
yx
)3(4)(:
.14722.10522
5
74:
195
98
5
4922:
).4,743(),().4,743(),(
).4,8()4,53(),().4,2()4,53(),(
74744925:
.74949.52525
:cos
)4,3(),(:.44.33
:
.1)()(
.149
)4(
25
)3(
:
57
53
2
2211
222111
222222
22
2
2
2
2
22
:
,
xyhxkyAsíntotas
bconjugadoEjeatransversoEje
a
cedadExcentrici
a
bLRrectoLado
FkchFFkchF
VVkahVVVkahV
cbacacbPero
bbaa
FoyVértices
CkhCCentrokkhh
ecuacionesdoslasComparando
b
ky
a
hx
yx
Sol
ab
escanónicaecuaciónsu
XejealparaleloeshipérbolaestadefocalejeEl
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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328
EJERCICIOS
1. Para cada conjunto de datos, halle la ecuación de la hipérbola que lo contiene,
los demás elementos y trace la gráfica.
a). V1(4,6), V2(4,0) y b = 1.
b). F1(9,2), F2(3,2) y C(3,2)
c). F1(9,2), F2(3,2) y eje conjugado = 6.
2. Uno de los focos de una hipérbola es (6,4) y el centro (3,5). Si la excentricidad es 3,
determine: La ecuación, los demás elementos y trace la gráfica.
3. Para cada ecuación de la hipérbola, halle todos los elementos:
4. Determina la ecuación de la hipérbola cuyo centro se halla en el vértice de la
parábola
5. Para cada hipérbola, halle la ecuación de la posición inicial, de la posición final y
trace la gráfica en la nueva posición.
10)2()3(
.116
)2(
36
)2(.1
14
)2(
9
)1(
22
2222
yxc
xyb
yxa
024642 xyy
Gráfica:
Para la gráfica, hacemos uso del centro, los vértices, los focos y el eje
conjugado. Aunque, el eje conjugado(14) no se observa en la gráfica, a
partir del eje transverso(10) y entre los vértices, se forma el rectángulo de
dimensiones 10x14
F1
0
1)2
2
2
2 )4()3(
ba
yx
F2 C(4,3)
X
Y
V1 V2
4 unidades hacia la derecha y
5 hacia abajo
6 unidades hacia la
izquierda y 2 hacia arriba
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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329
HIPÉRBOLAS CONJUGADAS
Las siguientes hipérbolas son conjugadas.
Las siguientes observaciones definen las hipérbolas conjugadas:
El eje transverso de H1 es el eje conjugado de H2 y viceversa.
Si son semiejes transverso y conjugado de H1 y son semiejes
conjugados y transverso de H2, entinces: .
De igual forma: tiene el mismo valor para ambas hipérbolas.
H1 y H2 tienen las mismas asíntotas:
La siguiente tabla resume todo lo anterior.
EJES H1(x) H2(y) FOCOS CON
Transverso
Conjugado
EJEMPLO
Dada la hipérbola , hallemos su conjugada y tracemos la gráfica
Solución:
………….Dividiendo toda la ecuación por 36.
……….Realizando las divisiones
1F 2F
V2 V1
X
Y
0
= 1
= 1
H1 y H2 , hipérbolas
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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330
La
conjugada de esta hipérbola es de la forma:
Para la gráfica, hallemos el centro, los vértices, los focos, los ejes tranversos y conjugados y
las asíntotas.
En la siguiente tabla encontramos los elementos señalados:
Hipérbola
Centr
o
Vértice
Foco
Eje
transverso
Eje
conjugado
Asíntota
(0,0) 6 4
(0´0) 4 6
Gráfica:
HIPÉRBOLAS EQUILÁTERAS
Dos hipérbolas son equiláteras, si y sólo si, sus ejes transversos y conjugados son iguales.
Esto implica que: . Luego:
Pero:
…..(1)
De igual forma:
…..(2).
Las hipérbolas (1) y (2) son equiláteras.
= 1
= 1
X
Y
1F 2F
V2 V1
0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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331
La siguiente tabla muestra las características de las hipérbolas equiláteras
Hipérbola
Centro
Vértice
Foco
Eje transverso Eje conjugado
Asíntota
(0,0) 2a 2a
(0´0) 2a 2a
Gráfica
EJEMPLO
Dada la siguiente hipérbola, hallemos la hipérbola euilátera y sus elementos:
Solución:
La tabla muestra los elementos
Hipérbola
Centro
Vértice
Foco
Eje
transverso
Eje
conjugado
Asíntota
(0,0)
(0´0)
EJERCICIOS
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
.364.0964.03694
:,.2
.0742.01.2466
:,.1
222222
222222
yxcxyxybyxa
gráficalatraceyconjugadasuhallehipérbolacadaPara
yxyxcyxbxya
gráficalatraceyequiláterasuhallehipérbolacadaPara
= 1
= 1
X
Y
1F 2F
V2 V1
0
Trace la gráfica
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
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332
EJEMPLO 1.
En 1911, el físico ERNEST RUTHERFORD(1981 – 1937) descubrió que si se disparan párticulas
alfas hacia el nucleo de un átomo, aveces son repelidas(desviadas) y se alejan del nucleo
formando trayectorias parabólicas. La figura muestra la trayectoria de una párticula que va
hacia la recta
, y llega a 5 unidades del nucleo. Determinemos la ecuación de la
trayectoria que sigue la párticula.
Como se puede observar en la gráfica, la párticula alfa describe una de las ramas de una
hipérbola cuyo centro está en el origen(0,0). El vértice de esta hipérbola es V(5,0) y la
asíntota es la recta
.
La ecuación general de esta hipérbola es de la forma
, cuyo vértice es y la
asíntota
. Comparando las asíntota general con la particular y reemplazando el valor de , se
tiene que:
EJEMPLO 2
SISTEMA DE NAVEGACIÓN LORAN(del Inglés Long Range Navigatión)
Dos estaciones A y B que se encuentran en un litoral recto, están separadas por una distancia
de 600Km. Un buque registra una diferencia de tiempo de 0,000984 segundos(tiempo señal
emitida por la estación B menos el tiempo señal emitida por la estación A) entre dos señales
Loran. Hallemos la distancia en donde el buque tocaría tierra, si sigue la hipérbola
correspondiente a esta diferencia de tiempo.
párticulalaportrazadaatrayectoriladeecuaciónyx
b
y
a
x
generalecuaciónlaenydevaloreslosdoSustituyen
bb
a
bx
a
byaaV
xyV
ba
....125
1
:
4
15
4
3
54
35)0,(
4
3)0,5(
16225
22
2
2
2
2
= 1
X
Y
0 5
Párticula
a
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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333
Solución
Por definición de hipérbola:
La distancia que recorre el buque entre una señal y otra se calcula con la siguiente expresión:
Como el buque describe una hipérbola en todo momento, la distancia que separa los
focos(estaciones A y B) es constante, entonces:
El vértice de esta hipérbola es:
La diferencia entre el foco y el vértice, indica la distancia a la que el buque tocaría tierra
desde la estación A. Entonces:
EJEMPLO 3.
La figura muestra una aeronave que sigue una trayectoria hiperbólica según la ecuación
. Hallemos la mínima distancia(altura) a la que llega la aeronave a una casa
situada 300m del centro de la hipérbola.
Kmctd
segtseñaleslasentretiempodediferenciatiempot
segKmcluzladevelocidadcdondeDectd
2,295)000984,0(300000
000984,0).(
/300000.:.
KmaaaPABP 6,1472
2,2952,29522,2952
1624 22 xy
En la navegación es
donde más se aplica la
hipérbola
Las estaciones A y B son
puntos fijos y constituyen los
focos de la hipérbola
A(300,0) B(-300,0) X
Y
Posición del
buque
0
600
Sea la mínima altura a la
que llega la aeronave de la
casa. Entonces, la aeronave se
aproxima más a la casa,
cuando pasa por el punto
de coordenadas
300m
Aeronave
iculaa
X
Y
0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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Sustituyendo las coordenadas de en la ecuación de la trayectoria de la aeronave:
La mínima altura a la que llega la aeronave de la casa es 212, 14m
EJERCICIOS
1. Dos estaciones sonoras A y B muy potentes, se encuentran separadas por una distancia de
2000m sobre una carretera recta. Un desocupado que vuela en una cometa en la zona de
influencia de las dos estaciones, registra una diferencia de 10 segundos entre las dos señales
sonoras. Halle una ecuación para la posición de la cometa y la altura a la que se encuentra,
cuando coincide con un punto situado a 400m de la estación A, si la cometa sigue una
trayectoria hiperbólica. Ayuda: .
2. Dos estaciones Loran A y B están a una distancia de 500km a lo largo de un litoral recto. Un
barco registra una diferencia de tiempo de 0’000048segs. entre las dos señales Loran. Halle la
distancia a la que tocaría el barco la costa si sigue una trayectoria hiperbólica.
3. Dos estaciones de RADAR distan 2000km. Un avión que sigue una trayectoria hiperbólica,
recibe la primera señal a las 8:30AM y 0’000025segs. después recibe la segunda señal. Halle
una ecuación para la trayectoria del avión y determine la posición para un punto situado a
800m de la primera estación.
4. Dos estaciones de radio A y B están en una línea en dirección Este-Oeste, de modo que A está
a 100 millas de al oeste de B. Un avión viaja hacia el oeste en una línea recta a 500 millas al
norte de la línea AB. Las señales de radio (viajan a 980pies/segs) se envían de manera
simultáneas desde A y B, y la enviada desde B llega al avión antes que la
enviada desde A. ¿Dónde está el avión?
5. Dos estaciones A y B que se encuentran en la dirección Norte-Sur están separadas por 300km.
Se transmiten señales simultáneas desde cada estación a un barco que se encuentra entre ellas.
El barco recibe la señal de A 0’0005segs antes de recibir la de B. Suponga que la velocidad de
las señales es de 320m/segs. Halle la distancia a la que se encuentra el barco de la costa y la
ecuación de la trayectoria quen describe.
6. La gráfica muestra la trayectoria hiperbólica que sigue un pájaro, según la ecuación
. Halle la distancia mínima a la que el pájaro de un árbol situado a 400m del
eje focal de la hipérbola.
mk
kkk
14,21245004
4
18001616180000416)300(2)(4 2222
segs4104
0182 22 xy
400m
Pájaro
X
Y
0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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335
335
LA PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LA HIPÉRBOLA
Esta propiedad tiene la misma forma que la propiedad correspondiente a la Elipse. Si P es un
punto sobre la hipérbola, entonces, las dos rectas PF2 y PF1 de P a los dos focos, forman
ángulos iguales con la recta(L) tangente en P. O sea: .
ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA
Las ecuaciones ordinarias o canónicas de una hipérbola son:
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx. Con eje focal paralelo al eje x
1
2
2
2
2
b
hx
a
ky. Con eje focal paralelo al eje y
Desarrollando las operaciones indicadas de cada ecuación, se obtiene la ecuación general.
Tomando la primera ecuación:
12
2
2
2
b
ky
a
hx
1
22
2222
ba
kyahxb…..Restando las fracciones
222222 bakyahxb …..Quitando denominadores
22222222 22 bakkyyahhxxb …..Desarrollando potencias
222222222222 22 bakakyayahbhxbxb ….multiplicando
022 222222222222 bakahbkyahxbyaxb ….Ordenando y transponiendo
Haciendo:
..2.2.. 2222222222 bakahbFkaEhbDaBbA
Se tiene que:
0FEyDxByAx 22 ….Ecuación general de la hipérbola en cuestión
Los coeficientes de 22 , yx son diferentes. El signo más (+) para
2x y el signo menos () para 2y .
Para la hipérbola con eje focal paralelo al eje y, la ecuación general es:
0FEDBA 22 xyxy
L
F2
F1
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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336
336
Con: ..2.2.. 2222222222 bahakbFhaEkbDaBbA
Los coeficientes de 22 , xy son diferentes. El signo más (+) para
2y y el signo menos () para 2x .
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación general de la hipérbola focos )8,3()2,3( 21 FyF con eje transverso de
4 unidades
Solución:
Si analizamos bien las coordenadas de los focos )8,3()2,3( 21 FyF de la hipérbola en cuestión,
notamos que la misma tiene su eje focal paralelo al eje y.
Hallando las coodenadas del punto medio de los focos, tendremos el centro de la hipérbola, entonces:
.52
82.3
2
33
kh El centro es )5,3(),( CkhC
Como el eje transverso mide 4 unnidades, entonces: 2a 22424
21 aaVV
Pero, el foco uno es de forma: ),(1 ckhF . Comparándolo con )2,3(1 F . Se tiene que:
3c 352)5(222 kcck
Pero:
5b 549)2()3( 22222 acb
El vértice uno es de la forma: 3)(3,V1 )52,3(),( 11 VkahV
Sustituyendo los valores de kyhba ,, en la ecuación ordinaria:
12
2
2
2
b
hx
a
ky, se tiene
que:
1
5
3
4
522
xy
. Desarrollando las operaciones indicadas:
general06924x50y4x5y
22 Ecuación
xxyyxxyy
xyxy
....
20362441255052096425105
203455120
3455
2222
2222
Gráfica:
06924x50y4x5y 22
x
y
)2,3(1 F
0
)5,3( C
)8,3(2 F
)7,3(2 V
)2,3(1 V
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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337
337
EJEMPLO 2.
Dada la hipérbola 6432x36y9y4x 22 , hallemos el centro, los focos, los vértices, los ejes
ttransverso y conjugado, el lado recto, la excentricidad, las asíntotas y la gráfica.
Solución:
Utilizando el método de completación de cuadrados perfectos, entonces:
6432x36y9y4x 22
6436y9y32x4x 22 ….Juntando las variables de la misma clase
644y)9(y8x)4(x 22 ….Factorizando por agrupación
644)44y9(y16)168x4(x 22 ….Completando trinomios…
64364)4y9(y6416)8x4(x 22 ….Aislando los trinomios
366464)29(y)44(x 22 ….Factorizando y transponiendo
362)9(y)44(x 22 ….Reduciendo términos semejantes.
36
36
36
2)9(y
36
)44(x 22
….Dividiendo por 36 , porque el segundo miembro de la ecuación.
siempre es positivo e igual a la unidad.
19
)4(x
4
2)(y 22
….Simplificando y ordenando.
19
)4(x
4
2)(y 22
…..Esta hipérbola tiene su eje focal paralelo al eje y.
Comparando esta eecuación con su canónica u ordinaria, se tiene que:
19
)4(x
4
2)(y 22
1)(xk)(y
2
2
2
2
b
h
a
El centro es: )2,4(),( CkhC .
Los focos: ).132,4(),().132,4(),( 2211 FckhFFckhF
Los vértices:
.0)22,4(),(.)22,4(),( 22211 )4,(V4)4,(V1 VakhVVakhV
Ejes transverso y conjugado: .)3(22.)2(22 2121 64 bBBaVV
Lado recto: 9
2
92
2
2)3(2
22
a
bLR
Excentricidad: 2
13
a
ce
Asíntotas:
03y2x0143y2x
2
8263
)4(2)2(3
)()(
8263
)4(2)2(3
)()(
xy
xy
hxakyb
xy
xy
hxakyb
2.4
1394:
.99.44
222222
22
kh
bacacbPero
bbaa
13c
32
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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338
338
Gráfica:
EJEMPLO 3.
Dada la hipérbola 0436y1y4189x 22 x , hallemos el centro, los focos, los vértices, los
ejes ttransverso y conjugado, el lado recto, la excentricidad, las asíntotas y la gráfica.
Solución:
Utilizando el método de completación de cuadrados perfectos, entonces:
436y1y4189x 22 x ………….?
434y)y(4)29(x 22 x …………?
434)44yy(4)1129(x 22 x ………..?
43164)4yy(49)129(x 22 x ………?
16943)2y(4)19(x 22 ……….?
36)2y(4)19(x 22 ………..?
36
36
36
2)4(y
36
)19(x 22
….Dividiendo por 36 , porque el segundo miembro de la ecuación.
siempre es positivo e igual a la unidad.
19
)2(y
4
1)(x 22
….Simplificando y ordenando.
19
)2(y
4
1)(x 22
…..Esta hipérbola tiene su eje focal paralelo al eje x.
Comparando esta eecuación con su canónica u ordinaria, se tiene que:
19
)2(y
4
1)(x 22
1)(yh)(x
2
2
2
2
b
k
a
El centro es: )2,1(),( CkhC .
Los focos: ).2,131(),().2,131(),( 2211 FkchFFkchF
Los vértices: .21)2,21(),(.23)2,21(),( 22211 ),(V),(V1 VkahVVkahV
Ejes transverso y conjugado: .)3(22.)2(22 2121 64 bBBaVV
6432x36y9y4x22
01432 yx
x
y
0
1F
C
1V
2F
2V
0232 yx
0).4,(V4).4,(V
).1324,(F).1324,(F
6.BB4.VV
2)4,C(
21
21
2121
2.1
1394:
.99.44
222222
22
kh
bacacbPero
bbaa
13c
32
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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339
Lado recto: 9
2
92
2
2)3(2
22
a
bLR
Excentricidad: 2
13
a
ce
Asíntotas:
0yx01yx
823
12342
)4(3)2(2
)()(
623
12342
)4(3)2(2
)()(
xy
xy
hxbkya
xy
xy
hxbkya
Gráfica:
EJERCICIOS
1. Halle la ecuación general de cada hipérbola según la información suministrada:
a) )3,7(),3,1( 21 VV y eje transverso igual a 6 unidades
b) )8,2(),4,2( 21 FF y eje conjugado igual a 6 unidades
2. Para cada una de las hipérbolas, halle el centro, los focos, los vértices, los ejes ttransverso y
conjugado, el lado recto, la excentricidad, las asíntotas y la gráfica.
016361694)
07489).0442)
22
2222
yxyxb
yxxycyxyxa
2).1,(V2).(3,V
2,13(1F2).,13(1F
6.BB4.VV
2)C(1,
21
21
2121
04316yy4189x22
x
01yx 623
0823 yx
x
y
C
1
F
1V
2F
2V
0
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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340
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
La ecuación general de segundo grado es de la forma: 022 FEyDxCyBxyAx .
De donde: FyEDCBA ,,,, son números reales diferentes de cero.
El análisis de esta ecuación de segundo evidencia cuatro casos importantes:
CASO 1.
SI 0B y 0AC . Es decir: 00 CóA , la ecuación se reduce a:
00 22 FEyDxByóFEyDxAx , ambas ecuaciones representan una
parábola.
CASO 2.
SI 0B y 0AC . Es decir: 0000 CyAóCyA , la ecuación se
reduce a: 022 FEyDxCyAx , la ecuación representa una elipse.
CASO 3.
SI 0B y 0AC . Es decir: 0000 CyAóCyA , la ecuación se
reduce a: 00 2222 FEyDxAxCyóFEyDxCyAx , ambas
ecuaciones representan una hipérbola.
CASO 4.
SI 0B y CA , la ecuación se reduce a: 022 FEyDxAyAx , la ecuación
representa una circunferencia.
EJERCICIO
Identifica la cónica que representa cada ecuación:
PRINCIPALES EXPRESIONES QUE FACILITAN LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
1. EXCEDER: Tener de más. EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
El número 9 excedido en 4 9 + 4 = 13
El número excedido en
El exceso de 10 sobre 3
El exceso de sobre 2
El exceso de 7 sobre
.01028
.0432
.01261222
.0105453
03
.0446
.08744
2
2
22
22
22
22
22
yxxg
yyxf
yxyxe
yxxyd
yxyxxc
yxyxb
xyxa
x 4 4x
7310
x 2x
y y7
, Y, K, R, M, N, Q , P
son número reales.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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341
341
2. DISMINUIR: Quitar, restar, sacar. DIFRENCIA = RESTA EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
La diferencia entre los números 9 y 7
El número disminuido en 3
De sacar 5
La diferencia entre los números
3. EQUIVALER: Ser igual. EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
El número equivale a 8
El número equivale a
4. EL DOBLE, DOS VECES O EL DUPLO: Es el número 2 multiplicado por un número. EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
El duplo de 9
El doble de
El duplo de
5. EL TRIPLO O TRIPLE Y TRES VECES: Es el número 3 multiplicado por un número. EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
El triplo de 5
El triple de
Tres veces
6. EL CUÁDRUPLO O CUATRO VECES: Es el número 4 multiplicado por un número. EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
El cuádruplo de 6
El cuádruplo de
Cuatro veces
PRODUCTO = MULTIPLICACIÓN. El producto de los números P y Q, esto es:
De igual forma se puede calcular sobre un número: El quíntuple o quíntuplo(5),
El séxtuple o séxtuplo(6), El séptuple o séptuplo(7), El óctuple u óctuplo(8), noctuple o
noctuplo(9), y asi sucesivamente
7. 8 EXCEDE A 5 EN 3.
De la anterior oración se pueden plantear 3 ecuaciones:
EN GENERAL
excede a K en R.
279
x 3x
x 5x
yx, yx
x 8x
x k kx
18)9(2
x x2
k k2
15)5(3
x x3
k k3
24)6(4
x x4
k k4
QP
ANÁLISIS:
La primer cantidad es igual a la suma
de las otras dos
La primera menos la segunda es
igual a la tercera
La primera menos la tercera es igual
a la segunda
358 358 538
RKX RKX KRX
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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342
EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
5 exced a en 9
excede a 7 en 1
8. 9 veces el exceso de 5 sobre 3. Esto es: .
9. En general:
K veces el exceso de X sobre P. Esto es:
10. Dos números enteros consecutivos. Esto es:
11. Tres números consecutivos. Esto es:
4
44495
999)4(5
55945
x
71
17
17
x
x
x
16)2(9)35(9
)( PXK
númerosegundox
númeroprimerx
.....1
.....
ntesucesivameasíynúmerotercerx
númerosegundox
númeroprimerx
,.....2
.....1
.....
EJEMPLO:
La suma de dos números enteros
consecutivos es 9
Solución:
4
192
91
28
x
x
xx
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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343
12. Un número par. Esto es:
13. Dos números pares consecutivos. Esto es:
14. Tres números pares consecutivos. Esto es:
15. Un número impar. Esto es:
16. Dos números impares consecutivos. Esto es:
17. Tres números impares consecutivos. Esto es:
18. LA MITAD, UN MEDIO O UN NÚMERO DIVIDIDO POR 2: Es un multiplicado por un
número. EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
Un medio de 18
La mitad de
19. LA TERCERA PARTE, UN TERCIO O UN NÚMERO DIVIDIDO POR 3:
Es multiplicado por un número.
EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
Un tercio de 18
La tercera parte de
20. LA CUARTA PARTE, UN CUARTO O UN NÚMERO DIVIDIDO POR 4:
Es multiplicado por un número.
EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
Un cuarto de 18
La cuarta parte de
2x
númerosegundox
númeroprimerx
.....22
.....2
ntesucesivameasiynúmerotercerx
númerosegundox
númeroprimerx
,.....42
.....22
.....2
12x
númerosegundox
númeroprimerx
.....32
.....12
ntesucesivameasiynúmerotercerx
númerosegundox
númeroprimerx
,.....52
.....32
.....12
2
1
92
18)18(21
x22
1)(21 xxx
3
1
63
18)18(31
x33
1)(31 xxx
4
1
29
418)18(
41
x44
1)(41 xxx
EJEMPLO:
La suma de tres números
pares consecutivos es 36
Solución:
3642222 xxx
EJEMPLO:
La suma de dos números
impares consecutivos es 20
Solución:
203212 xx
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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344
21. LAS DOS TERCERAS PARTES: Es multiplicado por un número.
EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
Las dos terceras partes de 18
Las dos terceras partes de
Del mismo modo se puede calcular sobre un número: La quinta parte ,
la sexta parte , la séptima parte , la octava parte , la novena parte , la décima
parte , las tres cuartas partes , las dos quintas partes , los tres medios ,y así
sucesivamente.
22. 8 ES 2 VECES MAYOR QUE 4.
De la anterior expresión se obtienen tres ecuaciones:
EN GENERAL
ES K veces mayor que R.
23. EL CUADRADO O LA SEGUNDA POTENCIA: Es un número elevado a la 2. EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
El cuadrado de
La segunda potencia de
El cuadrado de
24. EL CUBO O LA TERCERA POTENCIA: Es un número elevado a la 3. EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
El cubo de
La tercera potencia de
El cubo de
3
2
123
36)18(32
x3
2)(32 xx
51
61
71
81
91
101
43
52
23
3 9)3( 2
x 2x
y 2y
3 27)3( 3
x 3x
y 3y
428 42
8
24
8
porSigno RKX R
K
X K
R
X
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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345
25. EL NÚMERO K ES AL NÚMERO Q COMO EL NÚMERO M ES AL NÚMERO N:
Esto es:
EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
8 es a 5 como 16 es 10
es a como 2 es 3
y están en relación de 9 a 4
La razón de los números y
26. Porcentajes:
27.
28.
29.
30.
31.
N
M
Q
K
1016
58
x y32y
x
m n49n
m
P RRP
.100
5,1%5,1.
100
423%423.
100
75%75.
100
30%30
porcientoK:Léase%.%
100
K%:.
100
K :es esto%,
KporcentajedeSigno
KdondeDeK
100100
K :es Esto Q. de %
QKQK
225100
50045500
100
45 :es Esto 500. de %45
100100
KK :es Esto Q.de%
QKKQKelmásK
5,87
100
75505075
100
5050 :es Esto 75.de%5050
elmás
100100
XK :es Esto K. de %
KXKKXelmásK
42
100
30403030
100
4030 :es Esto 30.de%4030
elmás
100100
KK :es Esto Q.de%
QKKQKelmenosK
5,12
100
75505075
100
5050 :es Esto 75.de%5050
elmenos
100100
XK :es Esto K. de %
KXKKXelmenosK
36
100
60406060
100
4060 :es Esto 60.de%4060
elmenos
Para hallar el de
, se multiplica el
porcentaje expresado
en racional por el
número base ( )
%k
Q
Q
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346
31. Precio de un artículo, según el número de artículos comprados y la cantidad de dinero
utilizado para la compra.
Con $200 se compra un número X de libros. El precio de cada libro es:
32. Costo, Venta, Ganancia y Perdida al comparar y vender un artículo.
La siguiente tabla muestra el costo, la venta y la ganancia obtenida sobre un artículo
Costo Venta Ganancia
500 700 200
De la tabla se puede observar, que la ganancia es la diferencia entre la venta y el costo:
La siguiente tabla muestra el costo, la venta y la pérdida producida sobre un artículo
Costo Venta Perdida
500 400 100
De la tabla se puede observar, que la pérdida es la diferencia entre el costo y la venta:
EJEMPLO
El cuádruplo de excede al triplo de en 9.
Solución:
….Cuádruplo de
….Cuádruplo de
Como el cuádruplo de x excede al triplo de x en 9, entonces: excede a en 9.
De donde:
EJERCICIOS
Exprese en el lenguaje Matemático las siguientes oraciones:
El 17 disminuido en 4.
El cuádruplo de 8.
La quinta potencia de 2.
La tercera parte de 12.
El exceso de 14 sobre 3.
La mitad de X.
El doble de 15.
X excede a 1 en 9. ¿Cuál es el valor de X?
Un tercio de 18.
9 aumentado en 3.
Las dos quintas partes de 10.
12 es a 16 como 96 es a 128
Las tres séptimas partes de K.
El doble de K excede a 17 en 8.¿Cuánto vale K?
La mitad de K equivale a la tercera parte de R.
El doble de X equivale a la tercera parte de X aumentada en 4.
X
200
toventaGananciadondeDeCostoVentaGanancia
cos:.500700200
ventatoPerdidadondeDeVentaCostoPerdida
cos:.400500100
x x
x4 x
x3 x
x4 x3
9934934 xxxxx
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347
El cubo de K es igual al doble de K disminuido en 5.
La razón de los números 8 y 16
El cuádruplo de X excede al triplo de X en 9.
¿Cuál es el exceso de 342 sobre 149?
El doble de M excede al triplo de X en 2.
K y Q están en relación de 9 a 5
La suma de tres números pares consecutivos es 90
Las cinco novenas partes de 360.
La quinta parte de R excede al doble de R en Q.
El doble de K es a la tercera parte de R como 5 es a 1/4
El doble de K más el cuadrado de K excede a 5 en 2.
El doble de Y equivale al triplo de Y disminuido en 7.
El doble de R aumentado en 5 es igual al séxtuplo de R disminuido en 1.
La suma de dos números enteros consecutivos es igual a 9.
El doble de M es a la mitad de Q como el triplo de N es al cuadrado de R
La diferencia entre dos números pares consecutivos es 2
La suma de dos números impares consecutivos equivale a25.
La suma de tres números enteros consecutivos es igual a 6.
El duplo de X y el triplo de Y están en relación de 5 a 3
La suma de cuatro números enteros consecutivos es igual a 9.
7 veces el exceso de 45 sobre 25.
R veces el exceso de T sobre J.
El 54% de 54. El 36% de 750. El 110% de 20. El 250% de 500.
150 más el 60% de 550. 40 más el 50% de 40. L más el 10% de L.
900 menos el 80% de 1000. El X% de X. El Y% de Y.
70 menos el 40% de 70.
M menos el 25% de M.
Una persona tiene $500. Si cada día pierde el 10%, ¿cuánto tendrá después de 4 días?
Felipe tiene 120cm de estatura en el año 2008. Si cada año crece un 5%, ¿cuál será su estatura en
el año 2011?
Un comerciante compra un artículo en X pesos y lo vende en Y pesos, ganando Z pesos.
Un estudiante compra X número de cuadernos por $600. Halle el precio de cada cuaderno
Un agricultor compra una marañón en X pesos y lo vende en Y pesos, perdiendo Z pesos
NOTA Desarrolle las operaciones indicadas, si es posible.
La certeza en la solución de los ejercicios, viene dada por la correcta aplicación por parte
del alumno de los procedimientos indicados para cada caso. Por eso, este libro carece de
respuesta a los ejercicios propuestos.
La idea es involucrar a los educandos en el seguimiento lógico de los procesos matemáticos.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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348
348
FÓRMULA
Una fórmula es una composición algebraica en donde intervienen varias magnitudes o
elementos que caracterizan un fenómeno natural, plenamente analizado y comprobado.
Las fórmulas nos permiten potencializar las leyes o principios de nuestra naturaleza.
Representar un evento natural a través de una expresión matemática, nos permite analizar
cada una de las variables que lo constituyen, para a sí, emitir juicios lógicos sobre el mismo y
predecir las posibles alteraciones que pueden presentarse.
La fórmula es la encarnización de los fenómenos naturales, objetivamente estudiados y
comprobados.
EJEMPLO
El siguiente fenómeno natural nos permite construir una expresión matemática(fórmula) que
lo represente: La distancia recorrida por un móvil es igual al producto de la velocidad por el
tiempo empleado para recorrer dicho tramo.
Análisis:
Las magnitudes o elementos esenciales del evento natural son: La distancia, la velocidad o
rapidez y el tiempo.
Llamemos:
Analizando el enunciado tenemos:
Fórmula
Las letras que intervienen o hacen parte de una fórmula se llaman(reciben el nombre) de
incógnitas. Así, en la fórmula: , las incógnitas son:
INCÓGNITA: Es una magnitud desconocida que se debe buscar en una igualdad
matemática.
Una fórmula es una igualdad que se establece entre las magnitudes que intervienen en
un evento natural
TiempotvciaDisd Velocidad..tan
tvd tyvd ,
tvd
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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349
FÓRMULAS MÁS USADAS POR LAS CIENCIAS
1. vtdex Distancia recorrida por un cuerpo a velocidad constante.
2.
t
vva 0 Aceleración constante.
3. R
va
2
Aceleración centrípeta.
4.
t
vvg 0 Aceleración de la gravedad.
5. T
w2
Velocidad angular.
6. ghv 2 Velocidad final de un cuerpo que se deja caer desde una altura h .
7. t
xv Velocidad media.
8. T
rv
2 Velocidad tangencial o lineal.
9. fVs Velocidad de propagación de una onda sonora. f Frecuencia.
10.
Cseg
tmvVs 0
0
010
6 Velocidad del sonido en función de la temperatura. metrosm
11. g
vhm
2
2
0Altura máxima que alcanza un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba.
12. if xxx Desplazamiento horizontal.
13. fdd i
111
0
Ecuación de las lentes.
14. mgw Peso de un cuerpo.
15. V
md Densidad de un cuerpo.
16. dgVE Empuje de un liquido.
17. dghPP 12 Presión hidrostática.
18. A
FP Presión.
19. 2212 VPVP Ecuación de cambio de estado de un gas ideal.
20. RTPV n Ley de los gases ideales.
21. 15,273CK Grados kelvin.
22. 3259 CF Grados farenhey.
23. 2
2
221
2
11
22h
g
v
dg
Ph
g
v
dg
PEcuación de Bernoulli.
24. )( 22 rRA Área de una corona circular.
25. maF Segunda ley de Newton. m Masa del cuerpo.
26. 2
22 4
T
mR
R
mvFc
Fuerza centrípeta.
.
2
0
/8,9
.
.
radio
periodo
tiempo
r
T
segmg
t
incialvelocidadv
finalvelocidadv
tecons
volumen
masa
foco
objetociadis
finalposición
onddelongitud
n
V
m
f
d
X
a
f
tan
.tan0
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350
350
27. 2
21
d
MGMF Fuerza de atracción gravitacional.
28. KXF Fuerza ejercida por un resorte. K Constante de elasticidad.
29.
222
2
0
22
0
2 mvmvmvmvEEE cicfc Energía cinética.
30. mghE p Energía potencial.
31.
mghmvmv
EEE pcT2
2
0
2
Energía total.
32. 2mcE Principal ecuación de la relatividad de Albert Einstein.
33. 2
2KX
pE Energía potencial elástica.
34. FdW Trabajo realizado por una fuerza.
35.
222
2
0
22
0
2 mvmvmvmvEEW cicf Trabajo en función de la masa y la velocidad.
36. 2
2FX
W Trabajo realizado por un resorte.
37. Fd Torque.
38. rRdF Ley de las palancas.
39.
vmP Cantidad de movimiento.
40. )1(0 tLL Dilatación.
41.
tm
QC Calor específico.
42. Asenwty Elongación.
43. gLT 2 Período de un péndulo.
44. t
nf
T
1Frecuencia.
45.
2
21
d
QQF Fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas.
46. Q
WV Potencial eléctrico.
47. I
VR Resistencia eléctrica.
48.
nRRRR
1111
21
Resistencia equivalente de un circuito e paralelo.
49. senRnsenIn 21 Ley de Snell.
50. 02 cbxax Forma de una ecuación de segundo grado.
51.
a
acbbx
2
42
Fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.
52. 222 ryx Ecuación de una circunferencia de centro en el origen (0,0).
53. 2
12
2
12 )()( yyxxd Distancia entre dos puntos.
54. )( 11 xxmyy Ecuación de la recta punto pendiente.
ensidad
voltaje
asc
atemperaturdediferencia
dilatacióndetecons
iniciallongitud
fuerza
masas
I
V
QyQ
t
L
F
MyM
int
arg
tan
21
0
21
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
351
351
55. cbxaxf x2
)( Función cuadrática.
56. kf x)( Función constante. k Constante.
57. bmxf x)( Función lineal.
58. xf x)( Función idéntica.
59.
100
trCI Interés simple.
60. trC c )1( Interés compuesto.
61.
zyx
cba
z
c
y
b
x
aReparto proporcional entre tres personas.
62.
2
)1(2
2
)( rnnanuaS Suma de los términos de una progresión o sucesión aritmética.
63. rnau )1( Término n-ésimo de una progresión aritmética.
64.
1
)1(
1 r
ra
r
aruS
n
Suma de los términos de una sucesión o progresión geométrica.
65. 1nrau Término n-ésimo de una progresión geométrica.
66. )1()2)(1( nmmmmVA mnm
n Coordinaciones, arreglos o variaciones.
67. )1()3)(2)(1(! nnnnnPn Permutaciones.
68.
!
)1()2)(1(
n
nmmmm
P
AC
n
mn
mnm
n Combinaciones.
69. Abccba cos2222 Ley o teorema del coseno para el ABC oblicuángulo.
70. senC
c
senB
b
senA
ao
c
senC
b
senB
a
senA Ley o teorema de los seno, ABC.
71. 1cos 22 xsenx Identidad fundamental.
72. 2
bhA Área de un triángulo.
73.
2
)( hbBA Área de un trapecio.
74. bhA Área de un rectángulo.
75. 2lA Área de un cuadrado.
76. 2
DdA Área de un rombo.
77. 2rA Área de un círculo.
78. 22
PanlaA Área de un polígono regular.
79.
3602
22 rrA
Área de un sector circular.
80. cbaP Perímetro del ABC.
81. baP 22 Perímetro de un triángulo de lados ba , .
82. lP 4 Perímetro de un cuadrado de lado l .
83. drP 2 Perímetro o longitud de una circunferencia.
84. nlP Perímetro de un polígono regular.
85. rd 2 diámetro de una circunferencia.
aristaa
baseladeáreab
A
tecons
gradoenángulo
polígonoundeladosdenúmeron
menorndiagonal
mayordiagonal
lado
mayorbase
altura
base
d
D
l
B
h
b
tan1416,3
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
352
352
86. hrV 2 Volumen de un cilindro.
87. 3
2 hrV
Volumen de un cono.
88. 3
4 3rV
Volumen de una esfera.
89. hAV b Volumen de una pirámide.
90. 3aV Volumen de un cubo de arista, a .
91.
n
fxx
iiPromedio de una serie de datos.
PARA CADA UNA DE LAS FÓRMULAS ANTERIORES, IDENTIFIQUE LAS INCÓGNITAS
CÓMO DESPEJAR UNA INCÓGNITA
Despejar una incógnita, es dejarla sola en un miembro de la igualdad.
CASO 1.
TÉRMINOS O MAGNITUDES QUE SUMAN O RESTAN LA INCÓGNITA
Toda magnitud o término que sume o reste la incógnita, se pasa para el otro miembro a restar
o a sumar según el caso.
EJERCICIO
Dadas las siguientes fórmulas, despejemos las incógnitas indicadas:
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
353
353
ordenandoyincógnitalaasignoeleCambiándolatVV
signopropiosuconincógnitalaAislandoVatV
VDespejendo
VatVVDespejendo
VVdespejeatVVb
xkyydespejemosAhora
signoelecambiándol
miembrosegundoelparayaotranspuestpasadoHemosykx
esEstoxdespejemoskyxa
Solución
AAAdespejeAAAAhxdespejekxd
VVdespejeatVVgcbadepejecbaPc
zyxdespejezyxfVVdespejeatVVb
cadespejercaeyxdespejekyxa
T
....
..........
:
:
,:.)
3:
,)(......3
:.:.3)
:
,,:.):.2)
,:.),,:.)
,,:.8),:.)
,:.23),:.3)
0
0
0
0
00
321321
00
00
bapccbaP
capbbcaP
cbpaacbP
cbadepejecbaPc
,,:.)
Cuando la incógnita es negativa, a toda la expresión se le cambia el signo
, Léase: Entonces
Desarrolle los demás ejercicios
Toda magnitud o cantidad que cambia
de miembro, también cambia de signo
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
354
354
CASO 2.
MAGNITUDES O FACTORES QUE MULTIPLICAN LA INCÓGNITA
Toda magnitud o factor que multiplique la incógnita, pasa a dividir.
VEAMOS:
Despejemos las incógnitas indicadas:
Desarrolle los demás ejercicios
CASO 3.
COMBINACIÓN DE LOS CASOS 1 Y 2
Primero se aplica el caso 1, aislando todo el término que contiene la incógnita. Luego, se
aplica el caso 2.
EJERCICIO
Despejemos las incógnitas indicadas:
w
VrrDespejendo
r
VwwDespejendo
rwdespejewrVe
incógnitalandomultiplicaestabaporque
kadividiramiembrosegundoalpasadohafactorElk
x
esEstoxdespejemosxdespejekxa
Solución
lndespejenlPhhbdespejebhAd
hBdespejeVBhgtadepejeVVatc
VdespejerVfydespejeQyb
rwdespejewrVexdespejekxa
:
:
,:.)
,2......2
:.::.2)
:
,:.),:.2)
,:.),:.)
:.43):.5)
,:.):.2)
0
3
2......3
62
min...623
:
,,:.623)
:
,,:.2),,:.223)
,:.2),:.)
,,:.524),,:.623)
221
22
00
casoelAplicandokyQ
x
incógnitalacontienequeotérelAislandokyQx
xDespejemos
kyxdespejeQkyxa
Solución
TgmdespejemgTTftqpdepejeRtqpc
hgdespejeVghVetadepejeVatVb
cbadespejecbapdkyxdespejeQkyxa
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
355
355
.........................................Desarrolle los demás ejercicios
CASO 4. EL INVERSO DEL CASO 2
MAGNITUD(ES) QUE DIVIDE(N) LA INCÓGNITA
Todo magnitud que divide la incógnita, pasa a multiplicar.
EJERCICIO
Despejemos las incógnitas indicadas:
. Despejemos:
Despejando ….Las magnitudes pasaron a multiplicar, por eso,
aparecen en el numerador de la fracción.
Despejando
.............................................................desarrolle los demás ejercicios
2......6
23
min...236
:
.2......2
63
min...632
:
casoelAplicandoyxQ
x
incógnitalacontienequeotérelAislandoyxQk
kDespejemos
casoelAplicandokxQ
y
incógnitalacontienequeotérelAislandokxQy
yDespejemos
incógnitaladividiendoestabaporque
rmultiplicaamiembrootroalpasadohafactorElpx
esEstoxosdespejejempx
a
Solución
mdespejer
mvFhpmdespeje
Qt
p
nh
md
fdespejed
fgkxdepeje
p
k
y
xc
VdespejeVt
xfadespejer
w
ab
BAdespejeb
B
a
Aexdespejep
xa
,3......3
:..3
)
:
:.),:.)
:.1),:.)
:.):.)
,:.72
):.3
)
2
2
t
p
nh
m
Q pym
:mt
pnhm
Q hyn
:pnh
tmp
Q
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
356
356
CASO 5.
CUANDO LA INCÓGNITA ESTÁ EN EL DIVISOR(DENOMINADOR) DE UNA
IGUALDAD RACIONAL
PROCEDIMIENTO:
a) Se multiplica en cruz, para eliminar los denominadores.
b) Se aplican los casos anteriores.
EJERCICIO
desarrolle los demás ejercicios.
CASO 6.
CUANDO LA INCÓGNITA ESTÁ ELEVADA A UN EXPONENTE MAYOR QUE LA UNIDAD
PROCEDIMIENTO:
a) Se selecciona el término que contiene la incógnita, tal cual como está.
b) Se aísla la incógnita con su propio exponente, aplicando los casos anteriores.
c) Se extrae raíz en ambos miembros de la igualdad, colocando como índice el
exponente de la incógnita. Luego, se saca la incógnita de la raíz dejando el segundo
miembro bajo el signo radical
EJERCICIO
A
BAb
casoelAplicandoaB
Ab
cruzenndoMultiplicaBaAb
esEstobaosdespejejemb
B
a
Aa
Solución
rdespejer
mvFhtQhndespeje
Qt
p
nh
md
badespejeb
SenB
a
SenAgpydepeje
p
k
y
xc
tdespejeVt
xfddespeje
d
xVb
badespejeb
B
a
Aebadespeje
b
B
a
Aa
2...........................
...........................
:.,.)
:
:.),,,:.)
,:.),:.)
:.):.)
,:.72
),:.)
2
2
xaVVdespejeaxVVhrdespejerVd
tadespejeatxgrwdepejerwac
yuzdespejepyuzfVVdespejeaxVVb
hrdespejehrVecbadespejebaca
,,,:.2):.43)
,:.2),:.)
,,:.4283),:.2)
,:.),,:.)
0
2
0
23
22
23
0
2
0
2
2222
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
357
357
.............
............
min.....
:
.............
............
min.....
:
....
2exp
,....
,,,
:
,,:.)
:
2222
222
222
2222
222
222
22
222
222
incógnitalaacuadradaraízleExtrayéndoacbbac
miembrosambosencuadradaraízExtrayendobac
incógnitalacontienequeotérelndoSeleccionabac
bDespejando
incógnitalaacuadradaraízleExtrayéndobcaabc
miembrosambosencuadradaraízExtrayendoabc
incógnitalacontienequeotérelndoSeleccionaabc
aDespejando
radicalsignoelbajo
miembrootroeldejandoyincógnitalaacuadradaraízleExtrayéndobac
esincógnitaladeonente
elporqueigualdadlademiembrosambosencuadradaraízExtrayendobac
hacerlodenecesidadhaynoesoporaisladaydaseleccionaestáyacincógnitaLa
cDespejando
cbadespejebaca
Solución
radicalsignoelbajo
miembrootroeldejandoyincógnitalaacúbicaraízleExtrayéndoyup
z
esincógnitaladeonente
elporqueigualdadlademiembrosambosencúbicaraízExtrayendoyup
z
incógnitalaaislandoyup
z
incógnitalacontienequeotérelaislandoyupz
incógnitalacontienequeotérelndoSeleccionapyuz
zDespejando
yuzdespejepyuzf
.....3
284
3exp
,.......3
284
.......3
2834
min....2843
min.......4283
:
,,:.4283)
3
2
3
23 3
23
23
23
23
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
358
358
............................................................Desarrolle los demás ejercicios.
CASO 7. EL INVERSO DEL CASO 6.
CUANDO LA INCÓGNITAESTÁ BAJO UN SIGNO RADICAL
PROCEDIMIENTO:
a) Ambos miembros se elevan a la potencia que indique el índice.
b) Se desarrolla la potencia y se extrae raíz .
c) Se aplican los casos anteriores.
EJERCICIO
………………………Desarrolle los demás ejercicios
2
834
?......8342
?......4283
:
?........8
234
?...........8
234
?........8
234
?.......2348
?.......4283
:
23
23
23
23
232
232
32
23
uzpy
uzpy
pyuz
yDespejando
yzpu
yzpu
yzpu
yzpu
pyuz
uDespejando
xaVdespejeaxVVhVdespejeV
rd
tadespejem
FrVgXLdepeje
X
LVc
yxdespejeryxfzxdespejezxkb
aydespejea
ytexadespejeaxVa
,,:.2):.4
3)
,:.),:.)
,:.),:.4)
,:.2
),:.2)
0
2
03
223 2
2..................................................3
4
.4..................................................43
.....................................................4
3
3,.........................................4
3
.4
3
3
3
3
3
33
3
Casor
V
CasorV
potenciasndoDesarrollaV
r
esíndiceelporquecuboalmiembrosambosElevandoV
r
VdespejemosV
r
NOTA:
Cuando el exponente coincide con el
índice, el signo radical desaparece y las
cantidades salen tal cual como están
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
359
359
CASO 8.
CUANDO LA INCÓGNITA ES UN EXPONENTE
PROCEDIMIENTO:
a) Se aplica logaritmo en ambos miembros de la igualdad. Log, para logaritmo en base
10 y Ln, para logaritmo natural (La base es )
b) Se aplican las propiedades de los logaritmos.
c) Se aplican los casos anteriores que sean necesarios.
EJERCICIO
......................DESARROLLE LOS DEMÁS EJERCICIOS
e
LnQ
Lnt
LnQ
Lnt
LntLnQ
miembrosambosenebasenaturalaritmoAplicandoLnLnQ
tdespejemosQd
CasoLog
Logx
Log
Logx
LogLogx
LogLog
xdespejeg
CasoLog
LogYx
potenciaunadearitmoplicandoLogxLogY
miembrosambosenbasedecimalaritmoAplicandoLogLogY
xdespejemosYa
Solución
ndespejeBEAjxdespejee
lndespejeWitdespejeQd
tdespejeKEYhndepejeraUc
xdespejegxdespejeKb
tdespejerPCfxdespejeYa
ee
e
e
e
ee
t
t
x
x
x
x
x
tt
tn
xx
tx
A
n
44
?....................4
)(log......................
:.)
1.....................13
729
?........................3
7291
?..............7293)1(
?................73
:.73)
2.....................2
log
)10(log...............
:.)
:
:.):.603)
,:.):.)
:.):.)
:.73):.)
:.)1():.)
4
4
1
1
24
51
14
29
29
...............2
2
2
293
2
4
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
360
360
REPASO
LOGARITMACIÓN
Operación inversa a la potenciación.
Veamos:
Potenciación Logaritmación
Ejemplos
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. LOGARITMO DE UN PRODUCTO
2. LOGARITMO DE UN COCIENTE
3. LOGARITMO DE UNA POTENCIA
4. LOGARITMO DE UNA RAÍZ
PnK nPk
Log
481:.81433
LogEntonces
510
25,4:.25,4
:.5
rentoncesrLog
eKEntoncesLnK
Bk
LogAk
LogBAk
Log )(
Bk
LogAk
LogBAk
Log )(
Ak
LognnAk
Log
n
Mk
Logn M
kLog
Exponente
Base
Potencia
Base
Potencia
Logaritmo
naturalaritmoLn log
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
361
361
EJERCICIOS DIVERSOS
x
t
yx
kt
VlxRPdespejePRKf
Rkdybudespejed
z
c
y
b
x
a
ue
xdespejeKAjzyxdespejeD
z
B
y
A
xd
yxdespejeQKipnmdespejepnm
c
ktdespejeShRMKdespejeMKR
b
LGPdespejeL
G
PQgFQKdespeje
FQKa
x
x
e
e
2
52
425
37
35
4),,:.2)
),,,:.)
:.),,:.)
,:.),,:.754
)
,:.),,:.532
)
,,:.1
),,:.111
)
3
2...............................................)(
.............................).........()(
.......................
.....................
:
,,:.)
..........................
.2............................
,minlim....................)(
tanRe..............1
1............min............111
:
,,:.111
)
:
casoDB
zyAx
dofactorizanyndosimplificazyADBx
cruzenndomultiplicaAzAyAxDxBxAx
igualesrazonesdeserieladelfundamentapropiedadDBA
zyx
A
x
xDespejemos
zyxdespejeD
z
B
y
A
xd
DespéjelasFyQdespejaseformamismalaDe
casoFQ
QFK
cruzenndomultiplicaadoresdenoinandoEQFFQK
miembrosegundoelenosheterogéneracionaleslosdosQF
FQ
K
casoincógnitalacontienequeotérelAislandoQFK
KDespejando
FQKdespejeFQK
a
Solución
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
362
362
................................................................Desarrolle los demás ejercicios
PROPORCIONALIDAD RAZÓN MATEMÁTICA
Se entiende por razón matemática a la relación que se establece entre dos magnitudes. Esta
relación se expresa a través de una división indicada.
La razón que existe entre los números 4 y 8, se expresa a sí: 4 a 8 o 4:8, léase: 4 es a 8. Se
indica:
La razón que existe entre la parte coloreada de la figura y las partes en que se ha dividido la
misma, es 2 a 5.
En la razón
LogQ
LogKxyy
LogQ
LogKx
LogK
LogQyx
LogK
LogQyx
LogQyLogKx
LogQLogK
xDespejemos
yxdespejeQKi
zDespejar
casoDA
zxBy
dofactorizanyndosimplificazxBDAy
cruzenndomultiplicaBzByBxDyByAy
igualesrazonesdeserieladelfundamentapropiedadDBA
zyx
B
y
yespejemosAhorad
yx
yx
3
73
7
7
337
37
:
,:.)
.
2...............................................)(
.............................).........()(
.......................
.....................
:
37
37
8
4
5
2
uenteconelbyeantecedentelesab
asec,,
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
363
363
PROPORCIÓN
Se entiende por proporción a la igualdad entre dos razones.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar la una, la otra también
aumenta en la misma proporción.
EJEMPLOS de magnitudes directamente proporcionales:
El # de artículos y el precio que se paga por ellos, son directamente proporcionales.
La distancia y el tiempo, son directamente proporcionales
La distancia y la velocidad, son directamente proporcionales.
El peso y la masa, son directamente proporcionales.
El área y las dimensiones de una figura plana, son directamente proporcionales, etc.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES
El gráfico 1 representa dos magnitudes directamente proporcionales, la gráfica es una línea
de puntos que pasa por el origen del sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares
El gráfico 2 representa dos magnitudes directamente correlacionadas, en este caso la línea de
puntos no pasa por el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Esto muestra que
aunque ambas magnitudes aumentan no lo hacen en la misma proporción
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Expresión matemática que resulta de comparar dos magnitudes directamente proporcionales.
EJEMPLO 1.
Cuatro naranjas cuestan $12, ¿cuántas naranjas se compran con $850?.
Solución:
A más naranjas, más dinero se paga por ellas.
daesccomobaesaléased
c
b
a
aescomoaesléase
:
6432:6
4
3
2
2
Representa dos magnitudes
directamente correlacionadas
0 x
y
1
Representa dos magnitudes
directamente proporcionales
t
d
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
364
364
PLANTEAMIENTO
Al plantear una regla de tres, las unidades se escriben de tal forma que se correspondan. En
este caso, naranja debajo de naranja y costo debajo de costo
Con $850 se compran 283,33 naranjas.
EJEMPLO 2.
Un Km tiene 1000m. En 4,58Km, ¿cuántos m hay?
Solución:
A más Km, más m.
EJERCICIOS
a) Un año tiene 365 días, en 2005 días, ¿cuántos años hay?.
b) Una fotocopiadora reproduce 250 hojas cada minuto. ¿Cuántas hojas sacará en 10
horas?. c) Un vagabundo cobra $854 por cada Kg de carga. Por transportar 5362 Kg al mismo
destino; ¿cuánto cobrará?.
d) Un cilindro contiene 100 litros de agua, cuando el liquido alcanza 20cm de altura.
Cuando el nivel del agua baja 12cm de altura, ¿qué cantidad de agua contendrá?.
e) Un metro tiene 1000 milímetros. En 45600 milímetros, ¿cuántos metros hay?.
naranjasx
x
x
33,28312
)850(4
)850(412
850
124
mxx
x
mKm
45801
)1000(58,41000
58,4
1
58,4
10001
ANÁLISIS:
1. Se escribe la magnitud que contiene la incógnita en
forma de fracción tal cual como está.
2. Después del signo igual, se escribe la otra magnitud
como está
3. Se multiplica en cruz, para eliminar los denominadores
4. Se despeja la incógnita y se desarrollan las operaciones
indicadas
850
124
x
CostoNaranjasRegla de tres simple directa
, naranjas que se compran con $850 x
FORMA ABREVIADA: El término que va con
la incógnita pasa a dividir(divisor) y los otros, se
multiplican en el numerador(dividendo)
La incógnita se relaciona diagonalmente con
una magnitud o cantidad
mx 45801
)1000(58,4
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
365
365
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar la una, la otra disminuye en
la misma proporción.
EJEMPLOS de magnitudes inversamente proporcionales:
El # de Obreros y el tiempo empleado para realizar una obra, son inversamente
proporcionales.
La velocidad y el tiempo, son inversamente proporcionales.
La masa y la aceleración, son inversamente proporcionales.
El flujo de agua y el tiempo empleado para llenar un recipiente, son inversamente
proporcionales.
La densidad y el volumen de un cuerpo, son inversamente proporcionales.
La fuerza de atracción y la distancia que separa dos cuerpos, son inversamente
proporcionales.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES
El gráfico 1 representa dos magnitudes inversamente proporcionales, la gráfica es una línea
de puntos que decrece(disminuye).
El gráfico 2 representa dos magnitudes inversamente correlacionadas, en este caso la línea
de puntos es una curva. Esto muestra que cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye,
pero no en la misma proporción
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Expresión matemática que resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales.
EJEMPLO 1
12 Obreros realizan una obra en 20 días, ¿cuántos Obreros se necesitan para hacer la misma
obra en 10días?.
Solución:
A más Obreros, menos días empleados para culminar(terminar) la obra.
Representa dos magnitudes
inversamente proporcionales
t
v
1
0
Representa dos magnitudes
inversamente correlacionadas
2
0 x
y
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PLANTEAMIENTO
Se necesitan 24 Obreros para realizar la obra en 10 días.
EJEMPLO 2.
Se contrataron cinco alumnos para pintar un salón de clase en 15 días. Si dos alumnos
deciden no hacer el trabajo, ¿cuántos días se gastarán los demás alumnos?.
Solución:
A más alumnos pintando, menos días empleados para pintar el salón.
EJERCICIOS
a) Una cuadrilla de 7 obreros puede hacer una obra en 8 días. ¿En cuántos obreros habría
que aumentar la cuadrilla para hacer la misma obra 5 días?
b) Una persona gasta 3 horas en recorrer una distancia a 15 Kilómetros por horas. ¿En
cuánto tiempo recorrerá la misma distancia a una velocidad de 6,8 Kilómetros por
horas?
c) 5 profesores gastan 650 litros de agua. ¿Cuántos profesores se necesitan para
consumir 900 litros de agua?
d) En un criadero de cerdos hay alimento para 200 animales durante 4 meses. ¿Cuántos
cerdos hay que sacar para que el alimento dure 9 meses?
e) Para hacer una obra, un grupo de obreros tarda 9 días trabajando 5 horas diaria.
¿Cuántos días hubieran empleados trabajando una hora diaria menos?
f)
Obrerosx
x
x
.2410
)20(12
)20(1210
20
1012
díasx
xx
x
DíasAlumnos
25
3
75
3
)15(5
)15(5315
5
3
3
155
ANÁLISIS:
1. Se escribe la magnitud que contiene la incógnita en
forma de fracción tal cual como está.
2. Después del signo igual, se escribe la otra magnitud
invirtiendo las cantidades.
3. Se multiplica en cruz, para eliminar los denominadores
4. Se despeja la incógnita y se desarrollan las operaciones
indicadas
Regla de tres simple inversa
, Obreros que se necesitan x
10
2012
x
DíasObreros
FORMA ABREVIADA: El término que va con
la incógnita pasa a dividir(divisor) y los otros, se
multiplican en el numerador(dividendo)
La incógnita se relaciona horizontalmente con
una magnitud o cantidad
díasx 253
75
3
)15(5
Como 2 alumnos se
retiraron, el salón fue
pintado por 3 estudiantes
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REGLA DE TRES COMPUESTA
Expresión matemática que resulta de comparar más de dos magnitudes directamente
proporcionales, más de dos magnitudes inversamente proporcionales o magnitudes directas e
inversamente proporcionales.
EJEMPLO 1
20 alumnos se alimentan con 600kg de comida durante 15 días, ¿Durante cuánto tiempo se
alimentaran 12 alumnos con 1200kg de comida?.
Solución:
A más alumnos, el alimento alcanza para menos días y a más días, más alimento.
EJEMPLO 2.
5 secretarias escriben 11 cartas en 4 horas. ¿Cuántas cartas escribirán 10 secretarias en 6
horas?.
Solución:
x
DíaskgAlumnos
120012
1560020
díasxx
xx
507200
360000
7200
)24000(15)24000(157200
24000
720015
1200
600
20
1215
cartasxluegoxx
x
HorasCartasSecret
3320
660
20
)60(11:,
60
2011
6
4
10
511
610
4115
.
ANÁLISIS:
1. Se escribe la magnitud que contiene la incógnita en forma de fracción tal cual como está.
2. Se compara cada magnitud con la que contiene la incógnita
3. Después del signo igual, se escriben las demás magnitudes teniendo en cuenta lo siguiente:
Si son directamente proporcionales, se escriben las cantidades como están.
Si son inversamente proporcionales, las cantidades se invierten
4. Se realizan las operaciones indicadas y se despeja la incógnita.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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368
EJERCICIOS
a) 4 obreros hacen 300 metros de construcción en 24 días, ¿en cuántos días 10 obreros
harán 500 metros?.
a) Durante 8 días 5 profesores gastan 650 litros de agua.¿Cuántos profesores se necesitan
para consumir 900 litros en 10 días?.
b) Una familia de 8 personas consume 48 m 3 de agua en un mes. Si las condiciones de
consumo individual son las mismas, una familia de 15 personas, ¿qué cantidad de
agua consume durante 50 días?.
c) Una persona tarda 12 días en la lectura de un libro de 450 páginas, leyendo
diariamente 25 minutos. Si dispone de 20 días para leer un libro de 200 páginas, ¿qué
tiempo debe dedicar diariamente a la lectura?.
ESCALAS MATEMÁTICAS
Es comprensible, que si deseamos representar una distancia de 3km (3 kilómetros) en una
hoja de papel que mide 20cm (20 centímetros) de largo por 10cm (10 centímetros) ancho, al
tratar de dibujar esta realidad en la hoja, la distancia no cabría dentro de la misma, y en su
efecto necesitarían muchas hojas de este tamaño (20x10) para cumplir con la tarea. El
procedimiento que nos permite hacer el trabajo en una sola hoja, recibe el nombre de ESCALA
(dibujo a escala).
Para nuestra distancia involucrada (3km), supongamos que 1cm equivale a 1km
(1cm 1km), o sea, 1cm en el dibujo representa 1km de distancia en la realidad, de igual
forma, 2cm 2km y 3cm 3km. Con estas consideraciones, grafiquemos nuestra distancia:
Este es un dibujo a escala, porque está representando una realidad grande con una figura
pequeño.
CONCEPTO
Se puede entender una escala matemática, como el procedimiento que permite seleccionar un
factor que ayude a representar la realidad (que es muy grande o muy pequeña) en función de
elementos (dibujos a escalas) que se puedan manipular y comprender fácilmente, haciendo
uso de las proporciones como operación.
CIENCIAS QUE SE BENEFICIAN DE LAS ESCALAS
Son muchas las ciencias que se apoyan en las escalas para justificarse, entre estas podemos
citar:
LA CARTOGRAFÍA (Arte de hacer mapas) en las ciencias sociales, se apoya en un
100% en las escalas matemáticas al momento de representar los ríos, montañas, llanuras,
cordilleras, volcanes, lagos, mares, océanos, las líneas imaginarias de la tierra, entre
otras…
En esta ciencia, la mayoría de las escalas son gráficas:
1c
m 1km
1c
m 1km
1c
m 1km
1c
m
1km
2c
m
2km
3c
m
3km 0
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369
LA ASTRONOMÍA, a la hora de recrear los planetas, el sol, los cometas, las galaxias, las
estrellas, las distancias que separan los cuerpos celestes, entre otros…
LAS CIENCIAS NATURALES, al representar las plantas, animales, ecosistemas, los
macro y micro organismos, entre otros…
LA ARQUITECTURA Y ALGUNAS INGENIERÍAS, todo tipo de plano que represente
la realidad está hecho a escala. Para estas disciplinas existen escalas prediseñadas, que
permiten estandarizar la lectura de planos, las más comunes son: 1:100, se representa
y significa que 1cm en el plano (hoja) representa 100cm = 1m en la realidad. De igual
forma: 1:120, 1:125, 1:150, 1:175, 1:500, 1:1000, 1:1500, 1:100000, entre
otras… Estas escalas son numéricas. 1:100, léase 1 es a 100.
Como las escalas se pueden expresar en forma de fracción (lo que realmente son), es
posible identificar entres varias escalas la de mayor y menor tamaño. El siguiente cuadro
ilustra la situación
Estableciendo la relación de orden:
10000
1
1500
1
1000
1
500
1
175
1
150
1
125
1
120
1
100
1 . De igual forma:
0001,000066,0001,0002,00057,00066,0008,00083,001,0
ESCALA
FORMA DE
FRACCIÓN O RAZÓN
FORMA
DECIMAL
1:100
0,01
1:120
0,0083
1:125
0,008
1:150
0,0066
1:175
0,0057
1:500
0,002
1:1000
0,001
1:1500
0,00066
1:10000
0,0001
En la primera escala: 1cm representa 20Km. En la segunda escala: 1cm
representa 50Km.
En la tercera escala: 1cm representa 100Km.
0
1c
m
20 60km 40 0
1c
m
50 150k
m 100
0 100 300km 200
Al presentar un dibujo a
escala, debe indicarse la
misma, para que el lector
pueda comprender
fácilmente las condiciones
reales.
Entre más grande sea la
estructura o realidad a
representar, más pequeña
debe ser la escala.
Cuando se comparan
fracciones de igual
numerador, mayor es la que
tiene menor denominador.
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370
EN GENERAL:
Si NZk , o sea, k es un número entero positivo, entonces, las expresiones:
...,:4,:3,:2,:1 kkkk son escalas.
Veamos:
2:100, esta escala muestra que 2cm equivale a 100cm en la realidad.
2:500, esta escala muestra que 2cm equivale a 500cm en la realidad.
3:175, esta escala muestra que 3cm equivale a 175cm en la realidad.
Y QUE DECIR DE LAS MATEMÁTICAS, que se encarga de exponer las escalas, sin
ellas le sería imposible recrear, manipular, estimar y predecir la realidad. Para estas áreas
citadas, las escalas son imprescindibles.
ACTIVIDAD:
Identifica en tú entorno 3 situaciones diferentes a las citadas en donde se hayan utilizado
escalas.
CÓMO CONSTRUIR UNA ESCALA
No existe una fórmula mágica que permita escoger (elaborar) las escalas matemáticas, de ahí,
que el querer (lo que yo quiero, mi propia escala…) e interés de la persona es muy
importante. No obstante, las pautas que a continuación se describen pueden ser de gran
ayuda:
Se identifican las dimensiones reales del objeto a representar.
Se suman las dimensiones, para crearse una idea del tamaño total, esto permite comparar
el espacio (hoja) a utilizar para la representación… En ocasiones, esta suma sirve para
estimar la escala. Es usual que se elija una escala prediseñada (ya existente), la mayor de
las dimensiones también se puede tener en cuenta a la hora de seleccionar la escala.
Cuando el primer término de la escala no es la unidad o el término escogido para
construir la misma es mayor que la unidad, se establece la razón entre la medida de la
representación y la medida de la realidad. Para convertir el numerador a la unidad, ambos
términos se dividen por el numerador de la razón.
Veamos:
Si la escala es 4:4000, entonces: 1000
1
4000
4
44000
44
. O sea: 4:4000 1:1000.
Si la escala es 12000
5. Entonces: 2400:1
2400
1
12000
5
512000
55
EJEMPLO 1.
Las dimensiones de un terreno rectangular miden 130m, 150m y 200m.
a) Tracemos un dibujo a escala del terreno.
b) Hallemos el área del terreno.
c) Si el metro cuadrado (1m2) cuesta $50,75; ¿cuánto se debe pagar por el terreno?
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Solución:
a) El procedimiento que nos permite representar la realidad expuesta en una hoja de papel,
recibe el nombre de dibujo a escala.
Tomemos 1:1500 como escala, o sea, 1500cm de la realidad es representado en la hoja
por 1cm. Entonces:
Para: 130m = 13000cm:
Escala
Dibujo (cm) Realidad (cm)
1
x
1500
13000
Para: 150m = 15000: cmx 10
1500
15000
1500
150001.
Para: 200m = 20000: cmx 13,3
1500
20000
1500
200001.
DIBUJO:
Escala
Dibujo (cm) Realidad (cm)
1
8,5
1500
X
El área real del terreno es: 25,95622
19125
2
5,127150
2m
alturaBase
c). Como 1m2 cuesta $50,75; los 9562,5m
2 valen: 87,485296$75,505,9562 .
EJEMPLO 2.
Se estima que la población del continente americano es de 840´000.000 millones de
habitantes. Si toda la población se pudiera reducir 200 habitantes de un pueblo,
determinemos:
a) ¿Cuántos habitantes del pueblo le tocaría a Colombia que tiene 42´000.000 millones de
habitante?
b) ¿Cuántos habitantes del pueblo le correspondería al departamento del Chocó que tiene
500.000 habitantes?
c) ¿Cuál será la población real de un país del continente que tendría 30 habitantes del
pueblo?
Solución:
Como se trata de recrear una realidad en función de una cantidad pequeña, el problema nos
conduce a una escala. Para establecer la misma, solo debemos expresar en forma de razón
cmx 8,6
1500
13000
1500
130001. O sea, este es
el valor que le corresponde a 130m en el dibujo.
8,6cm
10cm
13,3cm
h = 8,5cm
b) Para hallar el área del terreno:
Con una regla graduada, medimos
una de las alturas del triángulo, en el
dibujo h = 8,5cm.
Haciendo uso de la escala 1:1500,
determinemos el valor real de la
altura.
mcmx 127,5
127501
15005,8. Este es
el valor real de la altura del terreno.
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(fracción) las dos cantidades involucradas, ubicando la representación en el numerador,
preferiblemente. Esto es:
.000.200.4
1
000.000.84
200
americaPoblación
puebloPoblación Es decir: 1:4´200.000. Esta es la escala a
utilizar, significa, que una (1) persona que se tome del pueblo representa 4´000.000 personas
de toda la población americana. Entonces:
a) Para Colombia que tiene 42´000.000 habitantes:
Escala
Población
pueblo
Población
americana
1
k
4´200.000
42´000.000
b) Para el Chocó que tiene 500.000 habitantes:
Escala
Población
pueblo
Población
americana
1
k
4´200.000
500.000
c) Para un país del continente que tenga 30 personas del pueblo, la población real es:
Escala
Población
pueblo
Población
americana
1
30
4´200.000
k
EJEMPLO 3.
El gráfico muestra un segmento de plano de una casa. Identifiquemos la escala utilizada.
De igual forma:
.100:1100
1
100
1
5
5.100:1
100
1
100
1
3
3escala
cm
cm
m
cmescala
cm
cm
m
cm
Como se puede observar, en todo el plano se utilizó la misma escala.
10000.2004́
000.000´42k habitantes del pueblo, significa
toda la Población de Colombia se reduciría a este número.
11,0000.2004́
000.500k habitantes del pueblo. Como se puede
observar, la población del Chocó no es representada por
ninguna
persona del pueblo, porque no se puede tener 0,11 personas.
Bajo las perspectiva de esta escala, el Chocó no tiene
representación
000.000´1261
000.2004́30
k habitantes
Solución:
El tramo AB mide 4m, que en el dibujo es
representado por 4cm. Entonces:
escalacm
cm
m
cm
m
cm100:1
100
1
100
1
1
1
4
4
4m 1cm
m
3m 5m
Alcob
a Sala
A
B
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EJERCICIOS
1. Las dimensiones de un terreno triangular miden 80m, 100m y 120m.
a) Trace un dibujo a escala del terreno.
b) Halle el área y el perímetro del terreno.
c) Si el metro cuadrado cuesta $90,65; ¿cuánto dinero se paga por el terreno?.
2. Colombia tiene aproximadamente 42´000.000 millones de habitantes. Si esta población se
reduce a una vereda de 200 habitantes:
a) ¿Cuántos habitantes de la vereda le corresponde a Bogotá que tiene 8´000.000
millones de personas?
b) ¿Cuál será la población de un departamento que tiene 20 habitantes de la vereda?
3. El gráfico muestra el plano de una vivienda. Identifique la escala o escalas utilizadas.
4. Identifique la escala utilizada en la elaboración del siguiente plano.
5. Haz una representación gráfica del plano de tú casa, toma las dimensiones con un metro,
regla u otro elemento, e identifica las escalas utilizadas.
20m
60m
1cm
m 6,5m Alcoba
Baño
Sala comedor
AYUDA: Mide la distancia del
lado PQ y compara esta longitud
con los 10m que en realidad
mide PQ
10m Alcob
a
Alcoba Sala comedor
P
Q
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SISTEMAS DE MEDIDAS
RESEÑA HISTÓRICA
Desde que el hombre apareció en la tierra, siempre se preocupo por medir los objetos que
utilizaba a diario. Esta necesidad lo llevo a idear diferentes formas de medir: La longitud, la
masa, el volumen, el área y el tiempo (desgaste de los objetos o durabilidad)
Para la longitud utilizo: Los dedos, la palma de las manos, los pies, los brazos, pedazos de
palos y cualquier elemento que le sirviera para tal fin.
Para la masa: conchas, granos, piedras y cualquier objeto que le sirviera para comparar las
masas de dos cuerpos.
La duración de la jornada laboral, también fue una necesidad sentida del hombre, por eso
diseño diferentes formas de medir el tiempo. Para el tiempo utilizó: La sombra de los árboles
y de las personas, los pétalos de las flores, el canto de las aves, el comportamiento de los
animales, relojes de arenas entre otros; hasta llegar a los sofisticados relojes que hoy miden
el tiempo.
La dificultad radicaba, en que cada pueblo tenía su propio sistema de medidas, y las
unidades(cantidades) variaban demasiado de una comunidad a otra , esto frenaba el
intercambio comercial entre las regiones.
Para facilitar el intercambio comercial entre los pueblos, se creó el SISTEMA
INTERNACIONAL DE MEDIDAS(S.I.M.). En este curso estudiaremos el S.I.M. y otros sistemas
de medidas.
MEDIDAS DE LONGITUD
EL METRO
El Metro es la unidad patrón o fundamental de las medidas de longitud.
El Metro se utiliza para medir: La distancia entre dos pueblos, el largo de un salón, el
ancho de una cancha de fútbol, la estatura de una persona, la profundidad de el océano, el
largo de un rio, la distancia entre la tierra y la luna, etc.
El Metro se simboliza con la letra . Generalmente se utiliza la letra
moM m
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375
Gráfica de un pedazo de metro
1 2 3
Cada división del metro recibe el nombre de milímetro(mm). Así, un metro tiene
1000 mm.
Cada 10 divisiones del metro recibe el nombre de centímetro(cm). Entonces, un metro tiene
100cm.
Cada 10cm del metro recibe el nombre de decímetro(dm).
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO
M
ú
l
t
i
t
p
l
o
s
Nombre
Símbolo
Equivalencia en Metros
Yottámetro Ym
Zettámetro Zm
Exámetro Em
Pentámetro Pm
Terámetro Tm
Gigámetro Gm
Megámetro Mg
Miriámetro Mm
Kilómetro km
Hectómetro Hm
Decámetro Dm
U.P METRO m 1m = 100m
S
u
b
m
ú
l
t
i
p
l
o
s
Decímetro dm
Centímetro cm
Milímetro mm
Micrómetro um
Nanómetro nm
Picómetro pm
Femtómetro fm
Attómetro am
Zeptómetro zm
Yoctómetro ym
mmmseaO 10001:
cmmseaO 1001:
dmmseaO 101:
m2410
m2110
m1810
m1510
mm 000.000.000.000.11012
mm 000.000.000.1109
mm 000.000.1106
mm 000.10104
mm 000.1103
mm 100102
mm 10101
mm 1,010 1
mm 01,010 2
mm 001,010 3
mm 000001,010 6
mm 000000001,010 9
mm 010000000000,010 12
m1510
m1810
m2110
m2410
patrónunidadPU .
milímetros centímetros
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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CONVERSIÓN DE UNIDADES
PROCEDIMIENTO:
1. Se ubica el número dado en la unidad correspondiente.
2. Sí vamos de una unidad mayor a otra menor, se corre la coma de izquierda a derecha
tantos espacios como existan entre las dos unidades involucradas. Al número que resulta,
se le coloca la unidad exigida.
3. Sí vamos de una unidad menor a otra mayor, se corre la coma de derecha a izquierda
tantos espacios como existan entre las dos unidades involucradas. Al número que resulta,
se le coloca la unidad exigida.
EJEMPLOS:
a. Expresemos 2345,12m en km.
b. Expresemos 0,254km en cm.
c. Expresemos 52Hm en mm.
d. Llevemos 356cm a km.
Solución:
Consideremos la siguiente tabla.
De mayor a menor, bajamos. De menor a mayor, subimos.
Mm
km
Hm
Dm
m
dm
cm
mm
El procedimiento mostrado es muy útil
para las unidades que aparecen en la
tabla, porque se diferencian en 10
veces una de otra(la inmediatamente
superior es 10 veces la inferior).
Para las demás unidades, se hace
necesario aplicar una regla de tres
simple directa.
D
e
m
a
y
o
r
a
m
e
n
o
r
D
e
m
e
n
o
r
a
m
a
y
o
r
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NOTA 0Jooooo
Los espacios vacios se llenan con ceros(0).
Cuando la coma no se ve, la misma se ubica después de la última cifra
Sí delante de la coma no queda ningún número, se escribe un cero(0).
Sí los números que siguen después de la coma son ceros, no se escriben.
EJERCICIOS
OTRAS MEDIDAS DE LONGITUD
Nombre
Símbolo
Equivalencia
Pulgada Pulg. 2,54cm = 0,0254m
Pie Pie 12pulg = 30,48cm = 0,3048m
Vara Vara 80cm = 0,80m
Yarda Yard. 91,44cm = 0,9144m
Cuadra Cuad. 80m = 8000cm
Legua marina 5556m
Milla terrestre Mill. 1609m
Milla náutica Milln. 1852m
DmcmkmMmmHmmenresultadoelExprese
cmmmkmmcmenoperaciónsiguienteladeresultadoelExprese
horasenrecorrerákmCuántoshoraenkmrecorrerapimoteroUn
personalarecorremenciadisQué
HmycmmkmrecorridossiguienteslosrealizadíaunenpersonaUna
cmenhaydmyHmmkmCuántos
MmymkmammLleve
DmymmcmmenKmExprese
53004236035:.7
508,235345:.6
?5¿,219.5
?tan¿
.345500,56,7:.4
?2,546,,:¿.3
,:2018972.2
,,:623,45.1
Mm
km
Hm
Dm
m
dm
cm
mm
cmkm 25400254,0
mmHm 520000052
Kmcm 00356,0356
Kmm 34512,212,2345
ANÁLISIS:
0,254km se ha escrito en la unidad
correspondiente, o sea, en km. Como de km a
cm hay 5 lugares, la coma se ha corrido 5
espacios hacia la derecha. A sí: 0,254km queda
convertido en 25400cm.
Esto es: 0,254km = 25400cm
2345,12m se ha escrito en la Unidad
correspondiente, o sea, en m. Como de m a km
hay 3 lugares, la coma se ha corrido 3 espacios
hacia la izquierda. Así: 2345,12m queda
convertido en 2,34512km.
Esto es: 2345,12m = 2,34512km
Estas conversiones, también se pueden realizar
planteando una regla de tres simple directa
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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378
378
Para pasar de una unidad a otra, se aplican reglas de tres simple directas
EJEMPLO 1.
, representa el número de pulg. que hay en 456cm. Multiplicando en cruz y despejando ,
se tiene que: O sea, en 456cm hay 179,52pulg
EJEMPLO 2.
EJEMPLO 3.
Como no hay una conexión directa entre pies y km, los pies se expresan en una unidad que
tenga relación con pies y Km. En este caso, hemos escogido pies y cm
Ahora, de cm a km hay 5 lugares. Como vamos de una unidad menor a otra mayor
la coma se corre hacia la izquierda 5 espacios, entonces, 1689384,48cm queda convertido en
16,898448km. Luego, en 55426pies hay 16,898448km. Lo anterior se expresa de la siguiente
forma: 55426pies = 16,898448km.
.lg52,17954,2
4561:
456
54,21
.lg
:
?.lg¿,456
puxdondeDe
cm
x
pu
Solución
haypucuántascmEn
x x
.lg52,179456 pucm
piesmLuegopiesxdondeDe
m
x
pies
Solución
haypiescuántosmEn
41,1640500:41,16403048,0
5001:
500
3048,01
.
:
?¿,500
cmxdondeDe
x
cmpies
Solución
kmenpiesExpresemos
48,16893841
5542648,30:48,30
55426
1
.
:
55426
ANÁLISIS:
Como se puede observar, al
plantear la regla de tres simple
las unidades se escriben de tal
forma que se correspondan, es
decir, cm de bajo de cm y
pulg. de bajo de pulg.
NOTA: Al despejar la incógnita , el número que la multiplica va en el
denominador.
)(x
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379
EJERCICIOS
UNIDADES DE SUPERFICIE O ÀREA
Las medidas de áreas o superficie se utilizan para medir el largo y el ancho de una figura
plana cerrada.
Largo = 11m. Ancho = 5m. Área = Largo x Ancho = 11m x 5m = 55m2.
55 m2 es una medida de superficie o área. Escribe 5 medidas de superficie o área.
La unidad fundamental o patrón de las medidas de superficie o áreas es el metro
cuadrado(m2).
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO
Múl
Ti
Plos.
Nombre
Símbolo
Equivalencia en metros cuadrados
Kilómetro cuadrado km2
Hectómetro cuadrado Hm2
Decámetro cuadrado Dm2
U.P
Metro cuadrado
m2
Sub
múl
tiplos.
Decímetro cuadrado dm2
Centímetro cuadrado cm2
Milímetro cuadrado mm2
menalturaestaExpresealturadepiesaQuibdóporpasaersónicoaviónUn
puKmenExprese
haymilscuántasmEnhaycuadrascuántasKmEn
maasLlevehaypiescuántosmEnpummenExprese
..10000sup.7
.lg6231480125.6
?.¿,402568.5?¿,89.4
var9.3.?¿,48.2.lg35.1
cuadradometroléasem :,2
.1010000001
.101001.10100001
2622
22222422
mmcmm
dmdmmcmcmm
226 100000010 mm 224 1000010 mm
222 10010 mm
220 110 mm 222 01,010 mm
224 0001,010 mm
226 000001,010 mm
L A R G O
A
N
C
H
O
1m 1m
DOS
DIMENSIONES
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380
NOTA Cualquier unidad de longitud se puede expresar en unidades de áreas(cuadradas), solo hay que elevar
al cuadrado ambos miembros de una equivalencia y desarrollar las potencias
CONVERSIÓN DE UNIDADES
PROCEDIMIENTO:
Se aplica el mismo método utilizado en las medidas de longitud, teniendo en cuenta, que por
cada espacio la coma se corre dos lugares hacia la derecha o hacia la izquierda según el caso.
EJERCICIOS
UNIDADES AGRARIAS MÁS COMUNES
FANEGADA(Faneg)
Es un cuadrado que tiene 80 m por cada lado.
HECTÁREA(Ha)
Cuadrado que tiene 100m por cada lado.
figurasiguienteladeáreaelCalcule
mHmmmenoperaciónsiguienteladeresultadoelExprese
mmydmkmcmmenHmConvertir
DmyKmmmcmamLleve
kmyDmmencmExprese
.5
524:.4
.,,,:821.3
,,:5498,2.2
,:23,254691.1
2222
222222
22222
2222
4,25cm
2cm
2
2
640001
6400080801
mFaneg
mmmFaneg
80m
80m
80m 80m Faneg
2
2
100001
100001001001
mHa
mmmHa
Ha
100m
100m
100m
100m
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381
ÁREA(A)
Cuadrado que tiene un decámetro(10m) por cada lado.
CENTIÁREA(Ca)
Cuadrado que tiene un metro por cada lado.
EJERCICIOS
Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando reglas de tres simple directas.
OTRAS UNIDADES DE SUPERFICIE O ÁREA
Nombre
Símbolo
Equivalencia
Pulgada cuadrada Pulg2
6,45cm2
Pie cuadrado Pie2
929,03cm2
Vara cuadrada Vara2
6400cm2
Yarda cuadrada Yard2
8361,27cm2
Milla cuadrada Mill2
2588881m2
Acre Acre 4,047m2
EJERCICIOS
Aplicando regla de tres…
?.¿,9000.5.54:.4
5,2.324,.2.560000.1
22
22
hayfanegCuántasmEnHamaLeve
cmenHaExpreseHaAraLleveHaenmExprese
?¿,568900000.5?¿,500.4
lgvar1.334.2lg25,564.1
2222
22222
hayMillCuántasmEnhaypiesCuántosmEn
puenaExpresecmapiesLlevepuencmExprese
ArHamAr
mmmDmDmAr
100.10001
1001010111
2
2
mDm 101
Ar
Dm1
Dm1 Dm1
Ca
m1
m1
m1 m1
CaAr
CaHa
mCammmCa
1001
100001
111111 22
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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382
MEDIDAS DE VOLUMEN
La anterior figura geométrica es un ortoedro. Los ortoedros tienen tres dimensiones: Largo,
ancho y alto. El volumen(espacio que ocupa) de este ortoedro es:
Básicamente, las medidas de volumen se utilizan para medir el largo, el ancho y el alto de un
sólido o cuerpo geométrico.
La unidad patrón es el metro cúbico(m3).
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO
Múl
Ti
Plos.
Nombre
Símbolo
Equivalencia en metros cúbicos
Kilómetro cúbico k m3
1000000000 m3 = 10
9 m
3
Hectómetro cúbico H m3 1000000 m
3 = 10
6 m
3
Decámetro cúbico D m3 1000 m
3 = 10
3 m
3
U.P
Metro cúbico
m3
1 m3= 10
0 m
3
Sub
múl
tiplos.
Decímetro cúbico d m3 0,001 m
3 = 10
-3 m
3
Centímetro cúbico c m3 0,000001 m
3 = 10
-6 m
3
Milímetro cúbico m m3 0,000000001 m
3 = 10
-9 m
3
CONVERSIÓN DE UNIDADES
PROCEDIMIENTO:
Se aplica el mismo método que se utilizó en las unidades de longitud, teniendo en cuenta, que por
cada espacio la coma se corre tres lugares hacia la derecha o hacia la izquierda según el caso
EJERCICIOS
volumendemedidaunaesm
mmmmaltoanchoolVolumen
3
3
36
36236arg
cúbicometroléasem :,3
.1010000000001
.1010000001.1010001
3933
36333333
mmmmm
cmcmmdmdmm
:.2600052,14.4
.,,,:23,56.3
,,:280235.2
.,:56,4.1
333333
333333
33333
3333
menresultadoelExpreseDmmmmHmkm
kmyHmkmDmmmadmConvertir
kmyHmdmcmacmLleve
mmycmmenkmExprese
= 2 m
1m
L A R G O = 6m
A
L
T
O
C
A N
H O
1m
1m
= 3 m
TRES
DIMENSIONES
Cualquier unidad de longitud se puede
expresar en unidades cúbicas, solo hay que
elevar al cubo(a la 3) cada miembro
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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383
OTRAS MEDIDAS DE VOLUMEN
Nombre
Símbolo
Equivalencia
Pulgada cúbica Pulg3
16,38cm3
Pie cúbico Pie3
28316,84cm3
Vara cúbica Vara3
512000cm3
Yarda cúbica Yard3
764554,85cm3
MEDIDAS DE CAPACIDAD
La cantidad de liquido que cabe en un recipiente se llama capacidad del recipiente.
Las medidas de capacidad se utilizan para determinar la cantidad de líquido que cabe en un
recipiente.
La unidad patrón es el litro(L). . Un litro equivale a un decímetro
cúbico. . Comparando las expresiones (1) y (2), se tiene que:
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL LITRO
M
ú
l
t
i
p
o
s
Nombre
Símbolo
Equivalencia en litros
Kilolitro
Hectolitro
Decalitro
U.P
Litro
Sub
m
ú
l
ti
plos
Decilitro
Centilitro
Mililitro
litroléaseL :,
)1...(10001100010101011 333 cmLcmcmcmcmdmL
)2....(10001 mLL 311 cmmL
kL LL 1000103
HL LL 100102
DL LL 10101
L LL 1100
dL LL 1,010 1
cL LL 01,010 2
mL LL 001,010 3
.10.100 dLLcLL
Los mismos prefijos utilizados en las unidades de longitud, se pueden usar
en unidades de capacidad. Megalitro = 1000000litros
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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384
CONVERSIÓN DE UNIDADES
PROCEDIMIENTO
Se aplica el mismo método utilizado en las medidas de longitud.
EJERCICIOS
OTRAS MEDIDAS DE CAPACIDAD
Nombre Equivalencia
Botella(Botell)
Galón
Barril de petróleo
Tonel
EJERCICIOS
UNIDADES DE MASA
Masa: Cantidad de materia que posee un cuerpo.
Materia: Elemento constituyente de los cuerpos.
Cuerpo: Reunión de materia de la misma clase.
La unidad patrón de las medidas de masa es el gramo(g o gr). g o gr, léase: gramo.
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL GRAMO
Múl
Ti
plos
Nombre Símbolo Equivalencia
Kilogramo kg
Hectogramo Hg
Decagramo Dg
U.P Gramo g o gr
Sub
múl
Ti
plos
Decigramo dg
Centigramo cg
Miligramo mg
?¿
.99,81,82564,.5
?¿,56,125.4
..28949,062,45.3
.,,:8,54.2
.,,:978.1
capacidadmayortienesrecipientedoslosdeCuál
LotroelenymLviertenseunoensrecipientedostienenSe
haykLyHLcuántosdLEn
LenresultadoelExpresemLDLHLkLL
kLyDLcLLamLLleve
dLyHLmLkLenLExprese
375075075,0 cmmLL
Lbotell 78,35
Lgalones 15906,42
Lbotellgalones 13201760352
?¿,390846.5
?¿,56,125.4
?¿,4569.3
?¿,92
.:5604.1
haypetróleodebarrilescuántosLEn
haykLyHLcuántosdLEn
haytonelcuántosLEn
hayLcuántosgalonesEn
botellenLExprese
gr1000
gr100
gr10
gr1
gr1,0
gr01,0
gr001,0
NOTA
Los alumnos deben manipular
diferentes clases de recipientes, como:
botellas de diferentes capacidades y
forma, materiales y latas de gaseosas
de diferentes tamaños.
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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385
EJERCICIOS
OTRAS UNIDADES DE MASA
Nombre Símbolo Equivalencia
Tonelada t
Quintal Q
Saco o bulto
Arroba @
Libra lb
Onza oz
Quilate
Grano
EN EL DEPARTAMENTO DEL CHOCÓ
EJERCICIOS
NOTA: Aplique regla de tres simple directa
dgymggakgLleve
cgykggrenmgExprese
dgyDgmggenkgExprese
,:025,0.3
,:5,27532
.,,:5,4.1
gkg 6101000
gkg 510100
gkg 410550
glb 1134025
Ozg .166,453
g35,28
g2,0
g0647,0
orodelibra1 scastellano100
castellano1 esto min8
tomín1 granos3
grano1 tapas2
tapa1 granos5,0
?346¿.6
?24¿.5
?¿.4
?¿,8,2.3
?@¿,5462
.:2500.1
lbenhayOzCuántas
genhayquilatesCuántos
lbunaenhaymgCuántos
haybultoscuántostEn
haycuántaslbEn
OzengExprese
NOTA
Desarrolle estos ejercicios utilizando
el método que se manipuló en las
medidas de longitud.
Los mismos prefijos utilizados en las unidades de longitud, se pueden usar en las unidades
de masa. ggmicrogramo6
10)(
EN EL CHOCÓ:
7. En 20 tómines, ¿cuántas libras hay?
8. En 428 tapas, ¿cuántos granos hay?
9. En 2 libras , ¿cuántas tapas hay?
10. En 200 castellanos, ¿cuántas libras hay?
11. En 5,8 libras, ¿cuántos castellanos hay?
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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386
EQUIVALENCIA ENTRE LAS UNIDADES DE MASA, CAPACIDAD Y VOLUMEN
MASA
CAPACIDAD
VOLUMEN
Lo anterior se interpreta así:
tiene una masa de
ocupa un espacio de . De donde:
De igual forma:
tiene una masa de
ocupa un espacio de . De donde:
EJERCICIOS
g1 mL131 cm
kg1 L1 31000cm
mL1 g
mL1 31cm31cm1mL1g
L1 kg1
L1 31000cm31000cm1Lg1 k
?¿,1.4
?¿,2000.4
?¿,63.3
?3,2¿.2
?¿,42.1
3
3
3
hayLcuántosaguademEn
hayLcuántoscmEn
tienemasaquéaguadeL
kgcuerpountienevolumenQué
cuerpoeltienemasacuántacmdeescuerpoundevolumenEl
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387
MEDIDAS DE TIEMPO
Las medidas de tiempo se utilizan para determinar la duración de una persona, un objeto, un
acontecimiento político, un evento social, un fenómeno natural, entre otros.
Para medir el tiempo se utiliza un reloj. La unidad patrón es el segundo(seg).
El siguiente cuadro muestra las principales unidades de tiempo.
Nombre Símbolo Equivalencia
Segundo Seg 1 seg
Minuto min 60 segs.
Hora h o hr 60 minutos = 3600 segs.
Día 24 hr =1440 Min = 86400 segs.
Semana 7 días = 168 hr
Quincena 15 días
Mes 30días aprox.= 4 semanas aprox.
Bimestre 2 meses
Trimestre 3 meses
Semestre 6 meses
Año 365 días = 12 meses aprox.
Año bisiesto 366 días = 12 meses aprox.
Cuatrienio 4 años
Lustro o quinquenio 5 años.
Década o decenio 10 años.
Siglo, centenario o centuria 100 años
Milenio o Evo 1000 años
NOTA
Una ves transcurren 3 años, el que sigue es bisiesto. En el año Bisiesto, el mes
de febrero es de 29 días, normalmente es de 28 días.
BODAS DE PLATA, se celebran a los 25 años.
BODAS DE ORO, se celebran a los 50 años.
EDAD DE NACIMIENTO DE UN SER HUMANO, 9 meses aproximadamente DURACIÓN VIAJE SONDA HORIZONTE ENVIADA A PLUTÓN, 9 años aproximadamente
EJERCICIOS
Desarrolle los anteriores ejercicios aplicando regla de tres.
?arg.¿.5
..4
.3
?¿,253.2
.?.¿.1
colegiodelolmásdescansoeldurasegsCuántos
ninstituciólaenpermanecesquetiempoelsegsenExprese
horasenydíasenedadtúExpresa
hayhorasCuántasdíasEn
añountienesegsCuántos
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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388
OTRO MÉTODO PARA HACER CONVERSIONES DE UNIDADES(FACTOR DE
CONVERSIÓN)
Este método es un poco más complejo que el anterior, su importancia radica en que una vez
sea interpretado correctamente, permite resumir el proceso de conversión, cuando el mismo
involucra más de dos unidades.
El interés que muestre el estudiante, es clave en la interiorización de este procedimiento
ANÁLISIS:
Consideremos la equivalencia , obsérvese que es una ecuación algebraica. Si
ambos miembros de una ecuación se dividen por uno de los dos, la igualdad se mantiene y uno
de sus miembros queda convertido en 1(unidad).
Veamos:
cm
cm
cm
pie
48,30
48,30
48,30
1 ….Dividiendo ambos miembros por cm48,30 .
Entonces: )...(a130,48cm
1pie
pie
cm
pie
pie
1
48,30
1
1 ….Dividiendo ambos miembros por pie1 . Entonces: )...(b
1pie
30,48cm1
Las fracciones: 1pie
30,48cm11
30,48cm
1pie y , reciben el nombre de factor de
conversión.
Esto muestra, que de una equivalencia se pueden obtener dos factores de conversión. Lo
mismo se puede hacer con todas las equivalencias.
Actividad: Escoge 2 equivalencia de cada una de las tablas principales y aplícale la
propiedad analizada.
Para hacer conversiones de unidades haciendo uso del factor de conversión, se propone
interiorizar los siguientes pasos:
Se identifica la unidad de partida y la unidad de llegada
Se multiplica la unidad de partida por el factor de conversión de la unidad de llegada.
Como toda unidad de llegada tiene dos factores de conversión, se escoge el que permite
eliminar la unidad de partida.
Si entre la unidad de partida y la de llegada hay otras unidades, se hacen multiplicaciones
sucesivas hasta la unidad de llegada, pero siempre eliminando la unidad del factor
anterior.
EJEMPLO 1.
Expresemos 400cm en pies
Solución:
Como existe una equivalencia entre cm y pies, entonces:
cmpie 48,301
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
mapb
389
389
13,12pies48,30
400
30,48cm
1pie400
piescm . Se escogió el factor (a), porque es el que permite
eliminar los cm (unidad de partida). De donde: 13,12piescm400
EJEMPLO 2.
Llevemos 45,068pies a cm.
Solución:
Como existe una equivalencia entre cm y pies, entonces:
1373,67cm1373,67cm pies068,45:.30,48cm068,451pies
30,48cm068,45 Luegopies .
Se escogió el factor (b), porque es el que permite eliminar los pies(unidad de partida)
EJEMPLO 3.
Expresemos 0,98Km en pulg.
Solución:
No existe una equivalencia directa entre Km y pulg., pero, si hay una entre Km y cm, y entre
cm y pulg. Esto muestra, que para ir de Km a pulg., debemos pasar por cm. Entonces:
.98,0.lg67,3858254,2
.lg10000098,0 lg38582,67pu kmpu
cm
pu
km
cmkm
EJEMPLO 4.
Transformemos 986748,98segs. en años.
Solución:
La equivalencia directa entre segs. y años no existe. Pero, si hay una entre segs. y horas,
entre horas y días, y entre días y años. Entonces:
..98,986748:
.0312,031536000
98,986748
365
1
24.3600
1.98,986748
años0,0312
segsLuego
añosaños
días
año
horas
días
segs
horasegs
EJERCICIO
Haciendo uso de este método, realice las siguientes conversiones:
piesaHml
piesaHak
decadasahrj
kmapui
Haacmh
makmg
cmamf
mLaLe
piesamd
hraañosc
kgagrb
grakga
98,0
56,54
895639800
.lg3489298
4000000
866,0
864,0
8,9
30
46,3
4893
45,34
2
2
33
22
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390
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