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Derivadas
Derivadas
(24-03-2009 e 31-03-2009)
Derivadas Matematica II 2008/2009
Derivadas
Recta Tangente
Seja C uma curva de equacao y = f(x). Para determinar a rectatangente a C no ponto P de coordenadas (a, f(a)), i.e,P (a, f(a)), comecamos por considerar um ponto Q(x, f(x)), comx 6= a e calculamos a inclinacao da recta secante PQ:
mPQ =f(x) − f(a)
x − a
Depois, ”aproximamos o ponto Q” do ponto P , fazendo x tenderpara a. Se mPQ tender para um numero m, entao definimos arecta tangente t como a recta que passa por P e tem inclinacaom.
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A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P (a, f(a)) e arecta que passa por P e tem inclinacao
m = limx→a
f(x) − f(a)
x − a
( ou m = limh→0
f(a + h) − f(a)
h)
desde que esse limite exista.
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Velocidade
Suponha um objecto a mover-se sobre uma linha recta de acordocom a equacao y = s(t), onde s e o deslocamento do objecto apartir da origem. A funcao s que descreve o movimento e chamadafuncao posicao do objecto. No intervalo de tempo entre t = a et = a + h, a variacao na posicao sera de s(a + h) − s(a)
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A velocidade media nesse intervalo e
velocidade media =deslocamento
tempo=
s(a + h) − s(a)
h
que e igual a inclinacao da recta secante PQ.
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Suponha que a velocidade media e calculada em intervalos cadavez menores [a, a + h], isto e, fazemos h tender para 0.
Definimos velocidade (ou velocidade instantanea), v(a), noinstante t = a como o limite dessas velocidades medias:
v(a) = limh→0
s(a + h) − s(a)
h
Assim, a velocidade no instante t = a e igual a inclinacao da rectatangente a y = s(t) em P (a, s(a)).
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Taxa de variacao
(Recordemos...)Suponha que y e uma quantidade que depende de outraquantidade x. Assim, y e uma funcao de x e escrevemos y = f(x).Se x variar de a para a + h, entao a variacao de x e
∆x = (a + h) − a = h
e a variacao correspondente de y e
∆y = f(a + h) − f(a)
O quociente∆y
∆x=
f(a + h) − f(a)
h
designa-se por taxa media de variacao de y em relacao a x nointervalo [a, a + h].
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Consideremos as taxas medias de variacao em intervalos cada vezmenores (fazendo h tender para 0, logo ∆x tende para 0). Olimite das taxas medias de variacao e designado por taxa(instantanea) de variacao de y em relacao a x em x = a.
lim∆x→0
∆y
∆x= lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
se este limite existir.
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Assim, a velocidade de uma partıcula e a taxa de variacao dodeslocamento em relacao ao tempo.
Seja R = R(x) a funcao de receita total para um produto.Definimos receita marginal para um produto como a taxa devariacao instantanea de R em relacao a x. Assim,
Se a funcao receita total para um produto for dada por y = R(x),onde x e o numero de unidades vendidas, entao, a receita marginalpara a unidades e dada por
limh→0
R(a + h) − R(a)
h
desde que esse limite exista.
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O limite da forma
limh→0
f(a + h) − f(a)
h
surge sempre que calculamos uma taxa de variacao em varias areasde estudo. Uma vez que este tipo de limite surge amplamente, saodados a ele um nome e uma notacao especiais.
Definicao
A derivada de uma funcao f num ponto a, denotada por f ′(a), e
f ′(a) = limh→0
f(a + h) − f(a)
h
se o limite existir.
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Algumas notacoes alternativas para a derivada da funcao y = f(x):
f ′(x), y′
,dy
dx,
df
dx
Por exemplo, sendoy = f(x) = sinx
entao a derivada pode ser designada por
f ′(x) = cos x, y′ = cos x,dy
dx= cos x,
df
dx= cos x
Iremos utilizar mais a notacao f ′(x).
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Assim,
A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P (a, f(a)) e arecta que passa por P e tem inclinacao m = f ′(a).(E a recta de equacao: y − f(a) = f ′(a)(x − a) )
Se y = s(t) for a funcao posicao de um objecto, entao avelocidade do objecto no instante t = a, v(a), e s′(a).
A taxa de variacao (instantanea) de y = f(x) em relacao a x
quando x = a e f ′(a).
Se a funcao receita total para um produto for dada por y = R(x),onde x e o numero de unidades vendidas, entao, a receita marginalpara a unidades e R′(a).
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Em aulas anteriores ja determinamos a derivada de algumasfuncoes. Por exemplo, vimos que a derivada da funcao f(x) = ex ef ′(x) = ex, a derivada de g(x) = lnx e g′(x) = 1
x, a derivada de
h(x) = sinx e h′(x) = cos x e a derivada de m(x) = cos x em′(x) = − sinx.
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Fazendo uma analise ao grafico da funcao constante f(x) = c
observamos que o grafico e a recta horizontal y = c, cujainclinacao e 0, logo devemos ter f ′(x) = 0.
Por definicao podemos constatar que tal se verifica:
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)
h
= limh→0
c − c
h
= limh→0
0
h= 0
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Derivada de uma funcao constante
Se f(x) = c, para c uma constante, entao f ′(x) = 0.
Exemplos
Se f(x) = 5 entao f ′(x) = 0.Se f(x) = 1
3 entao f ′(x) = 0.
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Iremos apresentar a derivada de varias funcoes sem fazer arespectiva demonstracao.
Regra da potencia
Se n for um numero real qualquer, entao para f(x) = xn vemf ′(x) = nxn−1.
Exemplos
Se f(x) = x entao f ′(x) = 1x0 = 1Se f(x) = x2 entao f ′(x) = 2x1 = 2xSe f(x) = x3 entao f ′(x) = 3x2
Se f(x) = x13 entao f ′(x) = 1
3 × x( 13−1) = 1
3 × x−23
Se f(x) = 1x2 entao f(x) = x−2 logo f ′(x) = −2x(−2−1) = −2x−3
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Funcao exponencial f(x) = ex
Se f(x) = ex entao f ′(x) = ex.
Funcao exponencial f(x) = ax, com a > 0 e a 6= 1
Se f(x) = ax entao f ′(x) = ax ln a.
Exemplos
Se f(x) = 2x entao f ′(x) = 2x ln 2Se f(x) = (2
3)x entao f ′(x) = (23)x ln 2
3
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Funcao logaritmo neperiano f(x) = lnx
Se f(x) = lnx entao f ′(x) = 1x.
Funcao logaritmo de base a f(x) = loga x, com a > 0 e a 6= 1
Se f(x) = loga x entao f ′(x) = 1x ln a
.
Exemplos
Se f(x) = log3 x entao f ′(x) = 1x ln 3
Se f(x) = log 14x entao f ′(x) = 1
x ln 14
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Funcao seno
Se f(x) = sinx entao f ′(x) = cos x.
Funcao cosseno
Se f(x) = cos x entao f ′(x) = − sinx.
Quando uma funcao e formada a partir de outras funcoes (dasquais sabemos a sua derivada) por adicao, multiplicacao oudivisao, a sua derivada pode ser calculada em termos das derivadasdessas funcoes, pelas regras que se seguem.
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Constante c a multiplicar por uma funcao g
Se f(x) = cg(x) entao f ′(x) = cg′(x).
Exemplos
Se f(x) = 3x entao f ′(x) = (3x)′ = 3(x)′ = 3 × 1 = 3
Se f(x) = 2 sinx entao f ′(x) = (2 sin x)′ = 2(sinx)′ = 2cos x
Se f(x) = 4x3 entao f ′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4(3x2) = 12x2
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Soma de funcoes
Se f(x) = g(x) + h(x) entao f ′(x) = g′(x) + h′(x), i.e,
[g(x) + h(x)]′ = g′(x) + h′(x)
”a derivada da soma e igual a soma das derivadas”
Exemplos
Se f(x) = x2 + lnx e g(x) = 2x4 + cos x − ex entaof ′(x) = (x2 + lnx)′
= (x2)′ + (ln x)′
= 2x + 1x
g′(x) = (2x4 + cos x − ex)′
= (2x4)′ + (cos x)′ + (−ex)′
= 2(x4)′ − sinx + (−1)(ex)′
= 2(4x3) − sinx + (−1)ex
= 8x3 − sinx − ex
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Multiplicacao de funcoes
Se f(x) = g(x)h(x) entao f ′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x), i.e,
[g(x)h(x)]′ = g′(x)h(x) + g(x)h′(x)
”a derivada do produto e igual a
derivada da primeira vezes a segunda
mais
a primeira vezes a derivada da segunda”
Exemplo
Se f(x) = x3 sinx entaof ′(x) = (x3 sinx)′
= (x3)′ sinx + x3(sinx)′
= 3x2 sinx + x3 cos x
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Quociente de funcoes
Se f(x) =g(x)
h(x)entao f ′(x) =
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)], i.e,
[ g(x)
h(x)
]′
=g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]”a derivada do quociente e igual a
derivada do numerador vezes o denominador
menos
o numerador vezes a derivada do denominador,
tudo a dividir pelo
quadrado do denominador”
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[ g(x)
h(x)
]′
=g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
Exemplo
Se f(x) =cos x
2xentao
f ′(x) =[cos x
2x
]
′
=(cos x)′(2x) − (cos x)(2x)′
[2x]2
=(− sinx)(2x) − (cos x)(2)
4x2
=−2x sinx − 2 cos x
4x2
=−2(x sinx + cos x)
4x2
=−(x sinx + cos x)
2x2
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Composicao de funcoes
Se f(x) = g(x) ◦ h(x) entao f ′(x) = g′(h(x)).h′(x), i.e,
[g(x) ◦ h(x)]′ = g′(h(x)).h′(x)
Exemplos
Se f(x) = sin(3x5) entao[
(sin(u))′ = ddu
sin(u) = cos u, fazendo
u = 3x5 vem cos(3x5)]
f ′(x) = [sin(3x5)]′
= [cos(3x5)].(3x5)′
= [cos(3x5)].[3(x5)′]= [cos(3x5)].[3(5x4)]= [cos(3x5)].(15x4)= 15x4 cos(3x5)
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Tabela de Derivadas
f = f(x), g = g(x) funcoes, c =constante e α =uma constantenao nula
(c)′ = 0 (ef )′ = f ′ef
(x)′ = 1 (af )′ = f ′af ln a, a > 0, a 6= 1
(cf)′ = cf ′ (ln f)′ = f ′
f
(f + g)′ = f ′ + g′ (loga f)′ = f ′
f ln a, a > 0, a 6= 1
(fg)′ = f ′.g + f.g′ (sin f)′ = f ′ cos f
(fg)′ = f ′.g−f.g′
g2 (cos f)′ = −f ′ sin f
(fα)′ = αf ′fα−1
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Exercıcios
1 Determine uma equacao da recta tangente a parabolay = x2 + 1 nos pontos indicados.(a) (0, 1)(b) (−1, 2)(c) Faca um esboco da parabola y = x2 + 1 e das rectasobtidas nas alıneas anteriores.
2 Um projectil e lancado verticalmente do solo com umavelocidade inicial de 112 metros por segundo. Apos t
segundos, a sua distancia ao solo e de 112t − 4, 9t2 metros.Determine:(a) a velocidade do projectil para t = 2.(b) o instante em que o projectil atinge o solo.(c) a velocidade em que o projectil atinge o solo.
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Monotonia de uma funcao
Se uma funcao f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e secada recta tangente a curva nesse intervalo tiver declive positivo,entao a curva esta a subir no intervalo e a funcao e crescente.Mas, o declive da recta tangente a f em x e dado pela derivada def em x, f ′(x), logo, se f ′(x) > 0 num intervalo, entao f(x) ecrescente nesse intervalo.
Se uma funcao f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e secada recta tangente a curva nesse intervalo tiver declive negativo,entao a curva esta a descer no intervalo e a funcao e decrescente.Mas, o declive da recta tangente a f em x e dado pela derivada def em x, f ′(x), logo, se f ′(x) < 0 num intervalo, entao f(x) edecrescente nesse intervalo.
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Extremos de uma funcao
Maximo
Uma funcao f ≡ f(x) tem um maximo local (ou maximo relativo)em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A funcao f(x) = −x2 tem um maximo local em 0 poisf(0) ≥ f(x) para valores de x proximos de c.
−3 −2 −1 0 1 2 3−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
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Mınimo
Uma funcao f ≡ f(x) tem um mınimo local (ou mınimo relativo)em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A funcao f(x) = x2 tem um mınimo local em 0 pois f(0) ≤ f(x)para valores de x proximos de c.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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Os valores maximos e mınimos locais de uma funcao f saochamados extremos locais.
A derivada f ′(x) pode mudar de sinal somente nos valores de x
onde f ′(x) = 0 ou f ′(x) nao esta definida.
Ponto crıtico
Um valor crıtico de uma funcao f e um numero c no domınio de f
onde f ′(c) = 0 ou f ′(c) nao existe. O ponto correspondente aovalor crıtico c designa-se por ponto crıtico.
Se f tiver um maximo ou um mınimo local em c entao f ′(c) = 0ou f ′(c) nao esta definida, isto e, c e um valor crıtico.
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Exemplo
Esta funcao tem dois maximos locais, um em x = a e outro emx = c. Em x = a a derivada e zero e em x = c a derivada naoexiste. Esta funcao tem um mınimo local em x = b e f ′(b) = 0.
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Como determinar maximos e mınimos locais de uma funcao f
1 Calcular f ′(x).
2 Determinar os valores crıticos de f , isto e, determinar os x
tais que f ′(x) = 0 ou f ′(x) nao existe.
3 Calcular f ′(x) em alguns valores de x a esquerda e a direitade cada valor crıtico (fazendo um quadro de sinais).(a) se f ′(x) > 0 a esquerda e f ′(x) < 0 a direita do valorcrıtico, entao f tem um maximo local nesse valor crıtico.(b) se f ′(x) < 0 a esquerda e f ′(x) > 0 a direita do valorcrıtico, entao f tem um mınimo local nesse valor crıtico.
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Exemplo
Determinar os maximos e mınimos locais def(x) = 1
3x3 − x2 − 3x + 2.
1 Calculemos f ′(x). f ′(x) = x2 − 2x − 3
2 Determinemos os valores crıticos de f . Como f ′(x) existepara todo o x em R, basta determinar os x tais que f ′(x) = 0.
f ′(x) = 0 x =2 ± 4
2
x2 − 2x − 3 = 0 x =−2
2∨ x =
6
2
x =2 ±
√4 + 12
2x = −1 ∨ x = 3
x =2 ±
√16
2
Os valores crıticos de f sao x = −1 e x = 3.
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Exemplo (cont.)
3 Calculemos f ′(x) em alguns valores de x a esquerda e adireita de cada valor crıtico (fazendo um quadro de sinais).
f ′(−2) = 5 > 0 f ′(0) = −3 < 0 f ′(4) = 5 > 0
−1 3
f ′ + 0 − 0 +
f ր Max ց min ր
Como f ′(x) > 0 a esquerda e f ′(x) < 0 a direita do valorcrıtico x = −1, entao f tem um maximo local em x = −1.Como f ′(x) < 0 a esquerda e f ′(x) > 0 a direita do valorcrıtico x = 3, entao f tem um mınimo local em x = 3.
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Exemplo (cont.)
Pela analise grafica podemos confirmar a localizacao do maximo edo mınimo.
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Se a primeira derivada de f for zero no valor crıtico c mas naomudar de positiva para negativa ou de negativa para positivaconforme x passa por c, entao f nao tem nem maximo nemmınimo local em c.
Exemplo
Os valores crıticos da funcao f(x) = 14x4 − 2
3x3 − 2x2 + 8x + 4sao x = −2 e x = 2. A funcao f tem mınimo local em x = −2 enao tem nem maximo nem mınimo em x = 2.
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Aplicacao: Rectangulo de area maxima
Suponhamos o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectangulo, deperımetro igual a 100 metros, de modo ao rectangulo ter areamaxima.
Designemos os comprimentos dos lados do rectangulo por x e y
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Derivadas
A area e dada por A = xy e o perımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectangulos distintos com o mesmoperımetro e areas distintas. Por exemplo:para x = 10 e y = 40 vem P = 100 e A = 400para x = 20 e y = 30 vem P = 100 e A = 600
O que se pretende aqui, e determinar os valores de x e de y para seter P = 100 e obter o valor maximo para A.
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Derivadas
Vamos escrever a funcao area como uma funcao de uma sovariavel.
Como o perımetro e 100 metros, temos
2x + 2y = 100
x + y = 50
y = 50 − x
Substituindo y por 50 − x em A = xy obtemos
A = x(50 − x)
que e uma funcao na (unica) variavel x.
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Determinemos o(s) maximo(s) da funcao area
A(x) = x(50 − x) = −x2 + 50x
Comecemos por determinar a sua derivada.
A′(x) = −2x + 50
Determinemos os valores crıticos de A. Como A′(x) existe paratodo o x em R, basta determinar os x tais que A′(x) = 0.
A′(x) = 0 ⇔ −2x + 50 = 0 ⇔ x = 25
O (unico) valor crıtico de A e x = 25.
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Calculemos A′(x) em valores de x a esquerda e a direita de x = 25(fazendo um quadro de sinais).
A′(24) = 2 > 0 A′(26) = −2 < 0
25
A′ + 0 −A ր Max ց
Como A′(x) > 0 a esquerda e A′(x) < 0 a direita do valor crıticox = 25, entao A tem um maximo local em x = 25.
Uma vez que y = 50 − x, vem y = 50 − 25 = 25.
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Concluımos que os quatro lados tem o mesmo comprimento e aarea maxima e atingida se o rectangulo for um quadrado.
O valor maximo da area rectangular que e possıvel conter dentrodo perımetro 100 metros sera
A = 25 × 25 = 625m2
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Derivadas
Aplicacao: Rectangulo de perımetro mınimo
Suponhamos agora o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectangulo, dearea igual a 100 m2, de modo ao rectangulo ter perımetro mınimo.
Designemos os comprimentos dos lados do rectangulo por x e y
Derivadas Matematica II 2008/2009
Derivadas
A area e dada por A = xy e o perımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectangulos distintos com a mesmaarea e perımetros distintos. Por exemplo:para x = 2 e y = 50 vem A = 100 e P = 104para x = 5 e y = 20 vem A = 100 e P = 50
O que se pretende aqui, e determinar os valores de x e de y para seter A = 100 e obter o valor mınimo para P .
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Derivadas
Vamos escrever a funcao perımetro como uma funcao de uma sovariavel.
Como a area e 100 metros, temos
xy = 100
y =100
x
(E claro que x 6= 0, caso contrario a area seria nula. E tambemobvio que 0 < x ≤ 100 e 0 < y ≤ 100)
Substituindo y por 100x
em P = 2x + 2y obtemos
P = 2x + 2.100
x= 2x +
200
x
que e uma funcao na (unica) variavel x.
Derivadas Matematica II 2008/2009
Derivadas
Determinemos o(s) mınimo(s) da funcao perımetro
P (x) = 2x +200
x
Comecemos por determinar a sua derivada.
P ′(x) = (2x+200x−1)′ = 2+200(−1)x(−1−1) = 2−200x−2 = 2−200
x2
Determinemos os valores crıticos de P . Como P ′(x) existe paratodo o x em causa (0 < x ≤ 100), basta determinar os x tais queP ′(x) = 0.
P ′(x) = 0 ⇔ 2 − 200
x2= 0 ⇔ 2x2 − 200
x2= 0
Assim 2x2 − 200 = 0, logo x2 = 100, e portanto x = ∓10. Masx = −10 nao faz sentido (uma vez que x representa umcomprimento). Assim, o unico candidato a valor mınimo de P , quenos interessa, e x = 10.
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Derivadas
Calculemos P ′(x) em valores de x a esquerda e a direita de x = 10(fazendo um quadro de sinais).
P ′(9) = −38
81< 0 P ′(11) =
42
121> 0
10
P ′ − 0 +
P ց mın ր
Como P ′(x) < 0 a esquerda e P ′(x) > 0 a direita do valor crıticox = 10, entao P tem um mınimo local em x = 10.
Uma vez que y = 100x
, vem y = 10010 = 10.
Derivadas Matematica II 2008/2009
Derivadas
Concluımos que os quatro lados tem o mesmo comprimento e operımetro mınimo e atingido se o rectangulo for um quadrado.
O valor mınimo do perımetro rectangular que e possıvel delimitaruma area de 100 metros quadrados sera
P = 2 × 10 + 2 × 10 = 40m
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Derivadas
Exercıcio
A receita semanal de um filme lancado recentemente e dada por
R(t) =50t
t2 + 36, t ≥ 0
onde R esta em milhoes de euros e t em semanas.
1 Determine os extremos locais.
2 Durante quantas semanas a receita semanal aumentara?
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