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MATEMÁTICA BÁSICA I
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1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIÓN ( ).- Se dice, que, dos o
más proposiciones forman una disyunción, si se les interponen la
letra “o”, con sentido incluyente. Ejemplo:
p : me compro zapatillas.
q : me compro una camisa.
p v q : me compro zapatillas o una camisa.
Principio del valor de verdad.- La relación de disyunción es
falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas.
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
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La disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son
falsas.
1.3.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ).- Dos o más proposiciones
forman una disyunción exclusiva ( ) si se les interponen la letra
“o” y al final se agregan las palabras “pero no ambos” (as). Principio del valor de verdad
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
El conectivo disyunción exclusiva; es verdadera sí y sólo sí, una
de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F).
1.3.4 EL CONECTIVO IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ( ).- Con las proposiciones p y q; se denomina relación de implicación
o condicional (p q); cuando se le antepone a la primera
proposición la palabra “si” y se les interponen la palabra
“entonces”.
Ejemplo:
p : Estudio mis asignaturas.
q : Aprobaré mis exámenes.
p q : Sí, estudio entonces aprobaré mis exámenes.
p : Antecedente q : Consecuente
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Principio del valor de verdad
Para demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos un
ejemplo muy humano con un niño:
p : Juanito se porta bien.
q : Le regalaré un chocolate.
p q : Sí, Juanito te portas bien entonces te regalaré un
chocolate.
- Juanito se portó bien (V); se le regala el chocolate (V) es
verdadera (V).
- Juanito se portó bien (V); no se le regala el chocolate (F); es
injusto, luego es falsa (F).
- Juanito se portó mal (F); como se le quiere y engríe, se le
regala el chocolate (V); es verdadero (V).
- Juanito se portó mal; no se le regala el chocolate; es justo,
luego es verdadero (V).
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
La implicación o condicional, es falsa (F) sí y sólo sí; la primera
proposición (antecedente) es verdadera (V) y la segunda
(consecuente) es falsa (F).
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1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE
IMPLICACIÓN ( ).- Dadas las proposiciones p y q, se denomina
bicondicional o doble implicación a la proposición
(p q) (q p).
Principio del valor de verdad
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
La bicondicional o doble implicación es verdadera (V) sí y sólo sí,
ambas proposiciones son verdaderas (v) o falsas (F).
1.3.6 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN NEGATIVA ( ).- Dadas las
proposiciones p y q; se dice que forman una conjunción negativa
sí y sólo sí; en el conectivo p q se niegan ambas proposiciones:
(~p ~q) (p q)
Principio del valor de verdad
p q p q ~p ~q ~p ~q p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
La conjunción negativa ( ) es verdadera (V) sí y sólo sí, ambas
proposiciones son falsas (F).
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dadas las siguientes proposiciones:
Si: p : Hace frío
q : La manzana es agradable
r : Juan es inteligente
s : Lorena es bonita
Representar con oraciones declarativas las proposiciones:
1. p q 7. ~p q
2. r s 8. s ~r
3. p s 9. ~p s
4. s q 10. s ~q
5. q s 11. ~q s
6. r q 12. r ~q
3. Indique (5) cinco ejemplos de proposiciones:
Niegue los (5) cinco ejemplos que propuso.
Con los ejemplos indicados represente con oraciones declarativas:
a) p q g) ~p q
b) t r h) ~r t
c) s p i) ~s ~p
d) q s j) q ~s
e) p q k) ~q p
f) s t r) ~s ~t
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1.4. PROPOSICIONES COMPUESTAS Si una proposición compuesta, se relaciona con otras
proposiciones simples o compuestas mediante signos de
colección: paréntesis ( ); llaves { }; corchetes [ ]; o barras / / se
les separan con punto y coma (;).
Ejemplos:
p : está lloviendo.
q : La fruta es deliciosa.
r : Juan es estudioso.
(p ~q) r
Si está lloviendo y la fruta no es deliciosa; entonces Juan es
estudioso.
p (q ~r)
Está lloviendo; o, la fruta es deliciosa sí y sólo sí Juan no es
estudioso.
EJERCICIOS PROPUESTOS p : está nevando.
q : Antonio es inteligente.
r : La rosa es bella.
Representar con oraciones declarativas:
1. p (q r)
2. (r ~q) v p
3. (p ~r) v (q p)
4. (p r) (q ~p)
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TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Y LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL A. TAUTOLOGÍA.- Se dice que una proposición compuesta es
tautológica; sí y sólo sí; en sus tablas de verdad, todas son
verdaderas sin que interesen las tablas de verdad de las
proposiciones simples.
B. CONTRADICCIÓN.- Se dice que una proposición compuesta,
forma una contradicción, sí y sólo sí, sus tablas de verdades,
todas son falsas, sin que interesen las tablas de verdades de las
proposiciones simples.
C. CONTINGENCIA.- Se dice que una proposición compuesta, forma
una contingencia, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, no son
tautológicas ni contradictorias.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Demostrar sus tablas de verdades, si son: tautológicas,
contradictorias o son una contingencia.
1. (~ p q) (p ~ q)
2. ~ (p q) (~p ~q)
3. ~ (p ~q) (p q)
4. [(p q) (p q)] p q
5. ~ [~ (p q)] (~p ~ q)
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1.4.1 LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL 1. Idempotencia
p p p
p p p
2. Involución
~ (~p) p
3. Asociativa
(p q) r p (q r)
(p q) r p (q r)
4. Conmutativa
p q q p
p q q p
5. Distributiva
(p q) r (p r) (q r)
(p q) r (p r) v (q r)
6. Identidad
6.1 p f f 6.2 p v p
6.3 p f p 6.4 p V v
7. Complemento
7.1 p ~p f 7.2 p ~ p v
7.3 ~ ~ p p 7.4 ~f v
7.5 ~ v f
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8. Leyes de Morgan
a) La negación de la conjunción es equivalente, sí y sólo sí, a
las negaciones de la disyunción
~ (p q) ~ p ~ q
b) La negación de la disyunción es equivalente, sí y sólo sí, a
las negaciones de la conjunción ~ (p q) ~ p ~ q
c) La negación de la implicación es equivalente, sí y sólo sí, a
la primera proposición y la segunda proposición negada.
~ (p q) p ~ q
9. Implicaciones asociadas
Directa p q
Recíproca q p
Contraria ~ p ~ q
Contra-recíproca ~ q ~ p
p q Recíproca q p
~ p ~ q Recíprocas ~ q ~ p
Se puede demostrar, mediante tablas de verdades que las contra-
recíprocas: son tautológicas.
Con
traria
s
Con
traria
s
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Demostrar:
1) (p q) (~ q ~ p)
2) (~ p ~ q) (q p)
Si la implicación directa es verdadera, no se puede asegurar
respecto a la verdad o falsedad de la implicación: recíproca o
contraria.
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VÁLIDO Lo más importante en la matemática es el razonamiento
deductivo; los teoremas se enuncian mediante una implicación,
cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente la tesis; de
acuerdo con lo establecido al analizar las condicionales
conjugadas se puede afirmar la validez del teorema directo, el
contra recíproco también se cumple; nada se puede asegurar del
teorema recíproco y contrario.
El razonamiento es deductivo, sí y sólo sí las premisas son
evidentes para una conclusión evidente. No tiene sentido afirmar
que un razonamiento es verdadero o falso; debe expresarse que
es válido o no.
1.5. REGLA DE INFERENCIA Se denomina Regla de inferencia a todo esquema válido de
razonamiento independientemente de la interpretación de las
proposiciones simples; es decir, toda regla de inferencia es
tautológica; y son: