Post on 12-Aug-2015
UM-FCEQyN-Lic. en Óptica Oftálmica-Matemática Aplicada-2013
Matemática Aplicada
Curso 2013
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Como buenos Ópticos que
seremos, hemos desarrollado una correcta
visión matemática
Les contamos…….
Empezamos por:
Aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto
cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y
sus opuestos
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En fin…., redondeando…………estudiamos tooooodos los números que existen…..
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Luego recordamos los polinomios….
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Y sus operaciones……
Hasta Ruffini y el Teorema de resto
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Pero antes de “lanzarnos” al
mundo de las FUNCIONES,
decidimos repasar……
Los casos de factoreo
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Para luego…..ingresar al tema central de la asignatura
Las FUNCIONES
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y su clasificación
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Empezamos por las más sencillas…
Las ALGEBRAICAS
Función Lineal: Ecuación de la recta y=mx+b
Función cuadrática# Definición
Es una función polinómica definida como F(x) = ax² + bx + c ,
cuyo gráfico es una parábola.
# Representación analíticaLa función cuadrática puede ser representada en tres diferentes maneras.
Forma desarrollada (convencional): F(x) = ax² + bx + c
Forma factorizada (en función a sus raíces): F(x) = a.(x – x1) . (x – x2)
Forma canónica (teniendo el par h;k, vértices): F(x) = a.(x – h)² + k
• # Representación gráficaCuando corta en el eje X
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:# Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0# Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0# Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
Cuando corta en el eje Y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0), por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
Extremos
Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo. La coordenada x del vértice será:
x = -b/(2.a), mientras que la coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.
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Y ya que estábamos con cuadráticas, no nos podíamos olvidar de las cuadráticas multiformes y sus gráficas….
Las CÓNICAS
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Y sus aplicaciones………
Su uso no sólo tiene sentido en condiciones de falta de energía o en situaciones de emergencia extremas,
puede ser una excelente aplicación para la optimización de energía y ahorro de las no
renovables.
Y entre las aplicaciones que más nos sorprendieron:
El horno parabólico
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Ah…estudiamos también las funciones geométricas
Homotecia y semejanza
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Y después de las algebraicas….. siguieron…
Las funciones TRASCENDENTES
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Función logarítmica
Función exponencial
Y SUS APLICACIONES
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Aplicaciones de funciones logarítmicas
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Aplicaciones de funciones exponenciales
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Los vectores también fueron de nuestro interés, previo al estudio de la trigonometría
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Vectores en la realidad
Un ejemplo para entender su aplicación
en un espacio tridimensional “3D”.
Un auto a 100km/h alcanza y choca por la parte de atrás con otro a 80km/h, como las magnitudes se restan, entonces la colisión ocurrió como si hubiera sido a 20km/h.
Si chocan de frente resultará una colisión que ocurrió a 180 km/h e imaginen los resultados.
Y finalmente llegamos a las…..
FUNCIONES TRIGOMÉTRICAS
Sus relaciones:
Sus gráficos:
Sus aplicaciones:
Teorema del seno
Teorema del coseno
Y hasta cuando los triángulos no son rectángulos…..:
Para luego, “tímidamente”, nos adentramos en el mundo del
“Cálculo”, para conocer los conceptos y alcances de:
• Límites funcionales• Derivadas de función• Integrales definidas e
indefinidas
Y nos asustamos un poco cuando nos mostraron la definición de límite funcional,
Pero luego comprendimos que el concepto es realmente sencillo….sólo es cuestión de aproximarnos
al punto, pero ¡OJO!.....NUNCA TOCARLO
Entendido el concepto, se comenzó con los Cálculos de Límites según las indeterminaciones
Por Ej.: 0/0• En expresiones algebraicas racionales se
resuelven por factorización de sus raíces.• En expresiones algebraicas irracionales se
multiplica y divide por el conjugado• En funciones trigonométricas recordamos que:
Infinito / infinito
• En expresiones algebraicas se divide todo por el término con mayor exponente.
1 elevado a la infinito• Se resuelve mediante el método del número
e.
Por supuesto.., del límite pasamos al concepto de Derivada de una función en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. Derivada en un puntoLa derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Su interpretación geométrica:
Como la pendiente de la recta tangente
en el punto
Su expresión matemática:
Y sus múltiples aplicaciones:
Y así llegamos al último tema del Programa de la asignatura:
Integrales definidas e indefinidas
La integral definida
Dada y = f(x), se desea encontrar el área S de la superficie limitada por la curva, el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Dividimos el intervalo [a; b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:
Cálculo del área debajo de la curva
Denotamos con x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con x2 y así sucesivamente hasta la ultima xn. En cada parte elegimos puntos r1; r2; …rn, de tal forma que f(rn). xn nos da el área de cada rectángulo.Sumando todas las áreas
A = f(r1) . x1 + f(r2) . x2 + … + f(rn) . xn
𝐴= lim∆𝑥→ 0
∑𝑛=1
∞
𝐹 𝑛 .∆ 𝑥𝑛=∫𝑎
𝑏
𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥
Pero no sólo desarrollamos todos estos temas en forma tradicional, sino que
también utilizamos algunas Herramientas de la Web, para mejorar la comunicación y trabajar y aprender en forma colaborativa.
• Somos los autores de un BLOG “Optimáticos” http://optimaticosum.blogspot.com.ar/, con casi 2000 visitas a la página.
• Entre todos confeccionamos apuntes sobre Límites y Derivadas en dos Wikis.
• Pertenecemos a un Grupo de Google MATEMATICAOPTICA, donde fuimos compartiendo desde links de interés hasta las notas de parciales.
• Hicimos uso intensivo del correo electrónico entre todos.• Y armamos entre todos esta Presentación (PPT), que recorre
lo aprendido, mediada por el correo electrónico.
Actividades como:
Creemos que hemos hecho un buen trabajo y, lo más
importante, que lo hicimos en todos,
colaborativamente.
Una de las mejores “aplicaciones” de este año fue poder ver “la Matemática con
otros ojos”, desde un simple Blog hasta llegar a profundizar lo que
“no vemos” diariamente, pero existe.
Esperamos que, así como a cada uno de los alumnos de este curso 2013, todo lo vivido nos llevó a integrarnos, a unirnos
desde lo virtual y desde cada mañana compartida, esta experiencia les pueda servir a los alumnos de años siguientes,
logrando ver tanto la asignatura Matemática Aplicada como la carrera en
sí, mas allá de lo que está a
nuestra simple vista ……..
Los autores
Bruno DelfosseCristian MajoranaDarío FerreroFabián IbáñezFederico SpinaIgnacio Guelissian Jorgelina AgüeroJuan Francisco López
Laura GómezLucrecia ParavanoMarcos AlarcónMaría Emilia Díaz Molina Nicolás LeónRaúl Ezequiel DonosoYislen FerreiraGraciela Rodera
¿Quieren conocerlos?
Los autores trabajando en su clase de Matemática Aplicada
Los autores posando para la foto en su último día de clase
Matemática Aplicada – 2013 - TM
¡Hasta pronto!
Nos estamos viendo…….