Post on 21-Apr-2015
Matemáticaspara alumnos de tercero medio
“Métodos de Conteo”
Por Moisés GrilloIng. Industrial
Contar pequeñas cantidades es fácil
Dos peras
Tres personas
CincoAviones
El problema es contar grandes cantidades
Las personas en una asamblea Los ladrillos de una pared
Multiplicación:Herramienta fundamental de conteo
6
12
6 X 12 = 72 aviones
¿Cuantos Aviones hay en la tabla?
Se debe contar el número de filas y el número de columnas y luego multiplicar los resultados
Ejercicios
40 autos
Ejercicios
24 laminas
Ejercicios
32 pupitres
Factorial de un número5!=5×4×3×2×1=120
3!=7!=9!=1!=0!=
65040362880
11
6!=6×5×4×3×2×1 =720
Variación – Permutación - Combinación
Cuando se desea contar las formas en las que puede ocurrir un suceso se utilizan los siguientes métodos
Variación: El suceso cambia al cambiar el orden o los
elementos
VariaciónEl suceso cambia cuando cambian los elementos o el orden
Los colores de una bandera
En las primeras dos banderas hay un cambio de orden
En la última bandera hay un cambio de elementos
Variación – Permutación - Combinación
Variación: El suceso cambia al cambiar el orden o los
elementos
Permutación:Sólo puede cambiarse el orden
PermutaciónSólo puede cambiar el orden
Los libros en un estante
Si tenemos un conjunto determinado de libros en un estante, sólo podemos cambiar el orden en el que colocamos los libros en el estante
Variación – Permutación - Combinación
Variación: El suceso cambia al cambiar el orden o los
elementos
Permutación:Sólo puede cambiarse el orden
CombinaciónEl suceso cambia al cambiar los elementos
CombinaciónEl suceso cambia al cambiar los elementos
Un grupo de estudio Si cambiamos el orden
del grupo, sigue siendo el mismo grupo
Si cambiamos uno de los integrantes, ya no es el mismo grupo
Ejercicios1. ¿De cuantas maneras diferentes podemos
ordenar seis libros en un estante?
2. ¿Cuántos grupos de trabajo deferentes de tres estudiantes se pueden formar con cuatro alumnos?
3. ¿Cuantas banderas diferentes de tres colores se pueden formar con los colores rojo amarillo blanco y verde, sin repetir ningún color?
Permutación
Combinación
Variación
VariaciónEl suceso cambia cuando cambian los elementos o el orden
¿Cuantas banderas diferentes de tres colores se pueden formar con los colores rojo, amarillo, blanco y verde, sin repetir ningún color?
!!
rn
nnVr
n!
nVr =n -r !
4 3
4!V =
4 -3 !4!
=1!
4×3×2×1=
1=24
n =4
r =3
Ejercicios ¿Cuantas banderas diferentes de dos
colores se pueden formar con los colores rojo, amarillo, blanco y verde, sin repetir ningún color?
¿De cuantas formas puedo ordenar los libros de un estantes, si tengo ocho libros y sólo entran seis?
¿De cuantas formas pueden sentarse cuatro personas en un banco si se las escoge de entre siete personas?
4 2V =12
8 6V =20160
7 4V =840
PermutaciónSólo puede cambiar el orden
¿De cuantas maneras diferentes podemos ordenar seis libros en un estante?
nP =n!
6P =6×5×4×3×2×1
6P =720
Ejercicios
¿De cuantas formas puedo ordenas cinco libros en un estante?
¿Cuántas banderas de tres colores se pueden formar con rojo blanco y verde, sin repetir ningún color?
¿De cuantas formas pueden ordenarse siete alumnos en una fila?
5P =120
3P =6
7P =5040
CombinaciónEl suceso cambia al cambiar los elementos
¿Cuántos grupos de trabajo deferentes de tres estudiantes se pueden formar con cuatro alumnos?
4 3
4!C =
3! 4 -3 !
n!
nCr =r! n -r !
4!=
3!×1!24
=6×1
=4
n =4
r =3
Ejercicios
¿De cuantas formas puede formar un grupo de cuatro alumnos seleccionados de entre nueve alumnos?
¿De cuantas formas puedo seleccionar tres colores de entre los siguientes: rojo, azul, verde, amarillo, negro, naranja y blanco?
¿De cuantas formas puedo seleccionar cuatro libros de entre cinco libros?
9 4C =126
7 3C =35
5 4C =5
Número Combinatorio
nCr
n=
r n!
=r! n -r !
6
2 6!
=2! 6 -2 !
6!=
2! 4 !
6×5×4!=
2!×4!30
=2
=15
Ejercicios
7
3
9
5
8
2
4
1
6
0
9
9
=35
=126
=28
=4
=1
=1
Binomio de Newton
-
0
nn n k k
k
na b a b
k
2x +y
2-0 0 2-1 1 2-2 22 2 2= x y + x y + x y
0 1 22 1 1 0 2=1x 1+2x y +1x y2 2=x +2xy +y
Binomio de Newton
-
0
nn n k k
k
na b a b
k
3x +y
3-0 0 3-1 1 3-2 2 3-3 33 3 3 3= x y + x y + x y + x y
0 1 2 3
3 2 2 3=x +3x y +3xy +y
Binomio de Newton
3a +b 3 2 2 3=a +3a b +3ab +b
4a +b 4 3 2 2 3 4=a +4a b +6a b +4ab +b
5a +b
5 4 3 2 2 3 4 5=a +5a b +10a b +10a b +5ab +b
Números Combinatorios
6
2Numerador
Orden
Se lee “ 6 sobre 2”
Números Combinatorios
6
2 6!
=2! 6 -2 !
6!=
2! 4 !
6×5×4!=
2!×4!30
=2
=15
6
26×5
=2×1
30=
2=15
Números Combinatorios
7
37×6×5
=3×2×1
35=
1=35
10
410×9×8×7
=4×3×2×1
210=
1=210
Ejercicios
8
2
7
5
9
3
8
4
5
0
6
6
=28
=21
=84
=70
=1
=1
2
35
2 2 25 5
×5
-1 × -2=
3×2×1
-5 -10× ×
=
2 2 25 5 5
6
2 -3 -8× ×
5 5 5=6
48125=
61
8=
125
__1
__1
Ejercicios
1
27
2
92
1
45
2
03
5
12
5=
128
2=
7
63=
8
21=-
625
=1
7=
256
3
34
Binomio de Newton
n n-
k=0
k kna +b
k a b
12x +y
...
1 310 20 21 1 1 1
- - - -2 2 2 32
1 1 1 1x y + x y + x y + x y2 2 2
32
210
1 1 3 5- - -2 32 2 2 21 1 1
x + x y - x y + x y ...2 8 16
Binomio de Newton
13a +b
...
...
1 1 1 1-0 -1 -2 -30 1 2 33 3 3 3
1 2 5 8- - -2 33 3 3 3
1 1 1 1= a b + a b + a b + a b3 3 3 3
0 1 2 3
1 1 5=a + a b - a b + a b
3 9 81
14a +b ...
...
1 1 1 1 1-0 -1 -2 -3 -40 1 2 3 44 4 4 4 4
1 3 7 11 15- - - -2 3 44 4 4 4 4
1 1 1 1 1= a b + a b + a b + a b + a b4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
1 3 7 77=a + a b - a b + a b - a b
4 32 128 2048