1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE CIENCIAS POLTICAS Y ADMINISTRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORA

MATERIA DE.

Matemtica Bsica II

DOCENTE.

MS. Marlon Villa

ALUMNO.

Jhonn Robinson Dvila Garofalo

CURSO.

Segundo

PARALELO.

A

AO.

2015-2016

2

PORCENTAJE

Porcentaje es una parte de un cien

20% Por cada 100 unidades tomo 20. Tanto por ciento.

5% Por cada 100 unidades tomo 5. Tanto por ciento.

0,09% Por cada 1 unidad tomo 0,09. Tanto por uno.

Ejemplos

TANTO POR CIENTO. TANTO POR UNO

4% 0,04 0,05 5%

12% 0,12 0,19 19%

50% 0,50 0,65 65%

170% 1,70 3,29 329%

541 5,25% 0,0525

721 7,5% 0,075

1243 12,75% 0,1275

1953 19,60% 0,196

UTILIDADES DEL PORCENTAJE.

U= PV- PC

U= Utilidad

PV= Precio de Venta

PC= Precio de compra o Costo.

Hallar la utilidad de un pantaln cuyo precio de costo es $40 y su utilidad es de 17%

sobre el precio.

DATOS

U= 0.17 PV= PC (U)

PV= 40 PV= 40 (0,17)

PC= PV= 46,80

3

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO.

Hallar el precio de la factura de un refrigerador cuyo precio de vista es $930 y se aplica

un descuento del 9% por la compra al contado.

DATOS.

PF= PF= PV (1- d)

PV= 930 PF= 930 (1 0,09)

d= 0,09 PF= 930 (0.91)

PF= 846, 30

Hallar el precio de una factura de una cocina cuyo precio de lista es $930 y se ofrece un

descuento de 7 1/4% al contado.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d)

PV= 930 PF= 930 (0. 9275)

d= 0.0725 PF= 862,58

Hallar el precio de la factura de una computadora cuyo precio es de $1.650 y se ofrece

descuento de 2% y 11% respectivamente por su compra.

DATOS.

PF= PF= PV (1- d) (1- d)

PV= 1,650 PF= 1.650 (0. 98) (0.89)

d= 0,02 y 0,11 PF= 1.439,13

Hallar el precio de la factura de venta de un equipo de sonido cuyo precio de lista es

$700 y se ofrece un descuento del 3% y se aplica el impuesto del 12%.

DATOS.

PF= PF= PV (1- d) (1 + 12)

PV= 700 PF= 700 (1 0.03) (1 + 0.12)

4

d= 0,03 PF= 700 (0. 97) (1.12)

i= 0,12 PF= 760, 48

Hallar el precio de factura de un electrodomstico cuyo precio de lista es $190 y se ofrece

un descuento de 3%, 6% y se aplica impuestos del 5% y 17%.

DATOS.

PF= PF= PV (1- d) (1 + 12)

PV= 190 PF= 190 (1 0,09) (1 + 0,22)

d= 0,03 y 0,06 PF= 190 (0, 91) (1,22)

i= 0,05 y 0,17 PF= 210,94

Hallar la Utilidad de un pantaln, si el precio de compra es de $30 y de desea vender en

$45.

DATOS.

PC= 30 U= PV - PC

PV= 45 U= 45 - 30

U= U= 15

A qu precio se debe marcar un vestido para su venta y si se compr en $190 y se desea

ganar el 18% sobre el precio de compra.

DATOS.

PC= 190 PV= PC ( 1 + imp )

PV= PV= 190 (1,18)

U=0,18 PV= 224,20

A qu precio se debe marcar un calentador, cuyo precio de compra es de $75 y desea

obtener una utilidad del 20% sobre el precio de venta. Hallar tambin la utilidad con

respecto al precio de venta y al precio de compra.

DATOS.

PC= 75 PV= PC + U U= PV - PC

PV= PV= 75 + 0,20 PV U= 93,75 - 75

5

U=0.20 PV 0,20 PV = 75 U= 18,75

0.80 PV = 75

PV = 75

0,80

PV = 93,75

Utilidad en funcin del PV

93,75 100%

18,75 X= (18,75100)

93,75 =20%

Utilidad en funcin del PC

75 100%

18.75 X = (18,75100)

75 = 25%

Hallar el precio de compra de un artculo que se vendi en $130 con una utilidad del

35% sobre el precio de compra.

PC= PV = PC + U U= PV - PC

PV= 130 130 = PC + 0,35 PC U= 130 96,30

U= 0,35PC 30

1,35 = PC U = 33,70

PC= 96,30

Utilidad en funcin del PC

130 100%

33,70 X = (33,70100)

130 = 25,92%

CALCULO DE n e i

( + ) =

+ (

)

+

(1 + )21 =5225

56

6

(1 + ) = (5225

56)

121

= ,

( + ) +

+

= (

)

(1 + )4 = 23676,68

(1 + ) = (23676,68)14

= ,

( + ) +

+

= + ( , ) + (

)

(1 + )6 = 738,15

(1 + ) = (738,15)1

6

= , %

( + ) +

= (

)

+

(2 + )15 =10639

588

(2 + ) = (10639

588)

1

15

= 78,71

( +

)

=

+

( )

(1 +3

2)

n

=53

3

n log5

2= log

53

3

7

n =log

533

log52

= ,

(

)

+ +

=

+

(

)

(3

2)

n

= 32446,54

n =log 32446,54

log32

= ,

(

)

=

(

)

-(

)

= ,

= log 343,75

log ( )

No tiene solucin., no hay log

PROGRESIONES ARITMTICAS

2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20. Progresin Aritmtica creciente

6 , 11 , 16 , 21 , 26 , 31

30 , 28 , 24 , 20 Progresin Decreciente Ascendente

CALCULO DE LA DIFERENCIA

Seleccin de 2 trminos consecutivos de la progresin y resta el segundo menos el

primero

8

5, 2 12, 8

d= 2-5 d= 8-12

d=3 d= - 4

,

,

, ,

=4

3 7

= 17

3

,

,

,

=9

5 8

= 32

5

CALCULO DEL LTIMO O ENESIMO TRMINO

6, 9, 12, 15, 18, 21, 24. Es una progresin

3, 5, 7, 11, 15, 19..No es una progresin

1, 1 1, 12, 13, 14, 15, 16

Primer trmino ms diferencia

37 = 1 + 36

193 = 1 + 192

589 = 1 + 588

Para hallar el ltimo trmino aplicamos.

= + ( )

Primer trmino

Ultimo termino

Nmero total de trminos

9

Diferencia

CALCULO DE LA SUMA DE TERMINOS DE LA PROGRESIN ARITMTICA

Para sumar los trminos de una progresin aritmtica deducimos la siguiente frmula.

=

2(1 + )

=

2[21 + ( 1)]

Hallar el trmino 49 y la suma de la progresin siguiente.

6, 13

DATOS:

1 =6 = + ( ) =

( + )

= = 6 + (49 1)7 S =49

2(6 + 342)

n = 49 = 6 + (48)7 =8526

d = 7 =

S =

Hallar el trmino 153 y la suma de la progresin siguiente:

50, 60

DATOS:

a1 =50 = + ( ) =

( + )

an = = 50 + (153 1)10 S =153

2(50 + 1570)

n = 153 = =123930

d = 10

S =

Halar el trmino 39 y la suma de la progresin siguiente:

7/4 ,3/5

DATOS:

10

a1 =7

4 = + ( ) =

( + )

an = =7

4+ (39 1) (

23

20) S =

39

2(

7

4+ (

))

n = 39 =

=

d = 23

20

S =

Hallar el trmino 85 de la suma y la progresin siguiente:

1

2 ,

3

5

DATOS:

a1 =1

2 = + ( ) =

( + )

an = =1

2+ (85 1) (

1

10) S =

85

2(

1

2+

89

10)

n = 85 =

=

d =1

10

S =

Una persona adquiere una computadora por lo que se compromete a pagar el primer mes

$40 el segundo mes $ 48 el tercer mes $ 56 as sucesivamente. Hallar el precio total del

computador si los pagos lo hicieron durante un ao y medio.

40, 48, 56,

DATOS:

a1 = 40 = + ( ) =

( + )

an = = 40 + (18 1)8 S =18

2(40 + 176)

n = 18 = 176 =

d = 8

S =

11

Interpolar cuatro medios aritmticos entre 7 y 32.

7, 12, 17, 22, 27, 32

DATOS

a1 = 7 = + ( ) =

( + )

an = 32 32 = 7 + (6 1) S =6

2(7 + 32)

n = 6 32 7 = 5d =

d = =

S =

PROGRESIONES GEOMETRICAS

Es una serie de nmeros ordenados, tal que cada trmino posterior al primero se obtiene

multiplicando o dividiendo un nmero fijo llamado razn de la progresin.

EJEMPLO

4, 12, 36, 108

7, -12, 63, -189.. LAS TRES SON PROGRESIONES CRECIENTES

6, 24, 61, 384..

81, 23, 9, 3, 1, 1/3 ,1/9, 1/27 ES UNA PROGRESION DECRECIENTE

La razn es el segundo trmino dividido por el primero

36, 108 63, -21 96, 384 27, 9

r =180

36= 3 r =

21

63=

1

3 r =

384

96= 4 r =

9

27=

1

3

Es una progresin creciente cuando la razn es un nmero entero.

Es una progresin decreciente cuando la razn es una fraccin.

CLCULO DEL ENESIMO O LTIMO TRMINO Y LA SUMATORIA

Para hallar el ltimo trmino aplicamos

= ()

Primer trmino

12

Ultimo o ensimo trmino

Nnmero total de trminos

Razn

Suma

SUMA DE LOS TRMINOS.- Para sumar los trminos de una progresin geomtrica

deducimos la siguiente formula.

= 1 + 1 + 11+1

2 + 13 + 1

4 + () +

() ()

= 1 + 1 + 11+1

2 + 13 + 1

4 + () ()

=1

1 Utilizo cuando no conozco el

=11

1 Utilizo cuando no conozco el 1

Hallar el trmino 39 y la suma de los trminos dada la siguiente progresin geomtrica

7, 28, 112

DATOS

a1 = 7 = () =

an = = 7(4)(391) S =

77(4)39

14

n =39 = , = ,

r = 4

S =

Hallar el trmino 54 y la suma de los trminos dada la siguiente progresin geomtrica.

7, 28

DATOS

a1 = 7 = () =

an = = 7(4)(541) S =

77(4)54

14

13

n =54 = , = ,

r = 4

S =

Hallar el trmino 62 de la siguiente progresin

3

4,

5

7,

DATOS

a1 =3

4 =

() =

an = =3

4(

20

21)

(621)

S =3

4

3

4(

21

20)

62

120

21

n = 62 = . = ,

r =20

21

S =

DATOS

a1 = = () =

an = 620 620 = (5)(1) 2.300 =

620(5)

15

n = 620 =6100(5)

5 9200 + 3100 = 1

r = 5 3100 = 6100(5) =

S = 2.300 3100

6100= 5

log 31

61= log 5

No existe esta progresin.

Una maquina tiene un costo de $ 3.5000 y al final de cada ao sufre una depreciacin

del 4% del valor que tiene al principio del ao determine el costo de la mquina al final

del dcimo cuarto ao de uso.

14

DATOS

C = 3.500 = ( ) = ()

an = 1 = 3.500(1 0.04) = 3.360(0,96)(141)

n = 14 = . = . ,

d = 0.04

Determine el valor de una maquina al cabo de 20 aos de uso si su costo inicial fue de

20.000 y al final de cada ao sufre una depreciacin del % del precio que tuvo al

principio del ao.

DATOS

C = 20.000 = ( ) = ()

an = 1 = 20.000(1 0.0325) = 19.350(0,9675)(201)

n = 20 = . = ,

PROGRESIONES ARMONICAS

Es el reciproco de la progresin aritmtica

5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68 ARITMTICA

1/5 ; 1/12 ; 1/19 ; 1/26 ; 1/33 ;1/40 ; 1/47 ; 1/54 ; 1/61 ; 1/68ARMNICA

Hallar el trmino 17 y la suma de los 17 primeros trminos de la progresin siguiente.

3, 11, 19, 27, 35

DATOS

a1 = 3 = + ( ) =

( + )

an = an = 131 S =17

2(3 + 131)

n = an = 17 = .

d = 8

S =

an =1

131 Progresin armnica

=1

1.139 Progresin armnica

15

1

3,

1

11,

1

19,

1

27,

1

35

INTERS SIMPLE

=

(el timepo es un ao)

i tasa de interes

I interes

C capital

Calcular la tasa de inters de un capital de $ 230 que genera un inters de $ 35

Datos i =35

230

C = 230 i = 0,152174

I = 35 i = 15,217%

Calcular la tasa de inters de un capital de $13.600 que genera un inters de $ 325

Datos i =235

13.600

C = 13.600 i = 0,17279

I = 235 i = 1,728%

Calcular la tasa de inters de un capital de $21.980 que genera un inters de $ 5.320

Datos i =5,320

21.980

C = 21.980 i = 0,000242

I = 5,320 i = 0,024%

= ()()

C capital

I interes

i tasa de interes

t tiempo

16

Calcular el inters de un capital de $ 920 colocado con una tasa de inters del 4%

durante 2 aos.

Datos I = C(i)(t)

C = 920 I = 920(0,04)(2)

I = I = 73,60

i = 0.04

t = 2

Calcular el inters de un capital de $ 23.570 colocado con una tasa de inters del %

durante 1 aos y 6 meses.

Datos I = C(i)(t)

C = 23.570 I = 23.570(641)(1,5)

I = I = 2209,69

i = 641

t = 1,5

Calcular el inters de un capital de $ 13.100 colocado con una tasa de inters del %

durante 13 meses.

Datos I = C(i)(t)

C = 1938,58 I = 1938,58(0,1367)(1,083)

I = I = 287

i = 0,1367

t = 1,083

Calcular el inters de un capital de $ 9.550 colocado con una tasa de inters de 7 %

durante 8 meses.

Datos I = C(i)(t)

C = 9.550 I = 9.550(0,07) (2

3)

I = I = 445,67

17

i = 0,07

t =2

3

Calcular el inters de un capital de $ 2.200 colocado con una tasa de inters de 4%

durante 170 das.

Datos I = C(i)(t)

C = 2.200 I = 2.200(0,04) (17

3)

I = I = 498,67

i = 0,04

t =17

3

TIPOS DE INTERS SIMPLES

1. Inters simple exacto.- cuando utiliza el ao calendario (365 o 366 das ) 2. Inters simple ordinario.-cuando uso el ao comercial (3600 das)

Calculo del tiempo.

Fecha Final

- Fecha Inicial

Hallar el tiempo trascurrido desde el 30 de Agosto del 2006 hasta 31 de Diciembre del

2007.

2007 12 31 365

2007 08 30 -242

1 4 1 365

T.A=181 das T.E= 488 das

Hallar el tiempo trascurrido desde 30 de Mayo del 2011 hasta el 25 de Febrero del

siguiente ao.

2012 02 25 2011 14 25 2011 13 55 56

-2011 05 30 -2011 05 30 -2011 05 30 -150

18

1 0 9 0 8 25 365

T.A=265 das T.E= 271 das

Hallar el tiempo trascurrido desde 30 de Mayo del 2011 hasta el 25 de Febrero del

siguiente ao.

2009 05 2 2008 17 2 2008 16 32 122

2006 09 15 -2006 09 15 2006 09 15 -258

3 2 12 2 7 17 1095

T.A= 957das T.E= 959 da

T.A= 958 das T.E= 960

das

Hallar el inters de un capital de 3.200 colocado a una tasa de inters del 3% desde el 7

de Noviembre hasta el 15 de Abril del siguiente ao.

DATOS 2002 04 15 2001 16 15 105

C =3.200 -2001 11 7 -2001 11 7 -311

i = 0.03 1 8 0 5 8 365

T.A=158das T.E= 159 das

ISE CON T.A ISO CON T.A

I = 3.200(0,03) (158

365) I = 3.200(0,03) (

158

360)

I = 41,56 I = 42,13

ISE CON T.E ISO CON T.E

I = 3.200(0,03) (159

365) I = 3.200(0,03) (

159

360)

I = 41,82 I = 42,40

Hallar el inters de un capital de $ 5.600 colocado a una tasa de inters del 7% desde el

3 de Mayo del 2010 hasta el 15 de Abril del 2012.

DATOS 2012 04 15 2011 16 15 105

C =5.600 -2010 05 3 -2010 05 3 -123

19

i = 0.07 2 12 1 11 12 730

T.A=703das T.E= 713das

ISE CON T.A ISO CON T.A

I = 5.600(0,07) (703

365) I = 5.600(0,07) (

703

360)

I = 755,00 I = 765,49

ISE CON T.E ISO CON T.E

I = 5.600(0,07) (713

365) I = 5.600(0,07) (

713

360)

I = 765,74 I = 776,38

Hallar el inters simple en sus dos formas de un capital $ 8.300 colocado con una tasa

del 12% desde el 30 de Septiembre del 2011 hasta el 5 de Junio del siguiente ao.

DATOS 2012 06 5 2011 17 35 156

C =8.300 -2011 09 30 -2011 09 30 -273

i = 0.12 1 0 8 5 365

T.A=246das T.E= 249das

ISE CON T.A ISO CON T.A

I = 8.300(0,12) (246

365) I = 8.300(0,12) (

246

360)

I = 671,28 I = 765,49

ISE CON T.E ISO CON T.E

I = 8.300(0,12) (249

365) I = 8.300(0,12) (

249

360)

I = 679,46 I = 776,38

MONTO

M = C + I M = C + (i t)

M = C(1 + i t)

M Monto

20

C Capital

i Tasa de interes

t Tiempo

Hallar el monto de un capital $ 5.300 colocado con una tasa del 13% anual durante 7

meses.

Datos M = C(1 + i t)

C = 5.300 M = 5.300 (1 + (0.13) (7

12))

i = 0,13 M = 5701,92

t =7

12

Determinar el monto de un capital de $6.400 colocados a una tasa del 5% desde 5 Abril

hasta 1 de Noviembre del mismo ao.

Datos 305 M = C(1 + i t)

C = 6.400 -95 M = 6.400 (1 + (0.09) (210

360))

i = 0,09 210 das M = 7736

t = 210

Determinar el monto de un capital $ 8.200 colocados con una tasa del 13% semestral

durante 135 das.

Datos M = C(1 + i t)

C = 8.200 M = 8.200 (1 + (0.13) (153

180))

i = 0,13semest M = 8999,50

t = 153

Hallar el monto del capital del $13.000 con una tasa del 20% trimestral colocado desde el

5 de Febrero hasta el 1 de Diciembre.

Datos 335 M = C(1 + i t)

C = 13.000 -35 M = 6.400 (1 + (0.09) (210

360))

21

i = 0,20 trims 290 das M = 7736

t =

Hallar el monto de un capital de $1.500 colocado al 2% mensual desde el 7 de Abril del

2011 hasta el 20 de Febrero del mismo ao.

Datos 51 M = C(1 + i t)

C = 1.500 -97 M = 1.500 (1 + (0.02) (319

30))

i = 0,02 mens 365 M = 1819

t = 319 das

Hallar el monto de un capital de $4.200 con una tasa de 1% diario desde el 29 de Marzo

hasta el 31 de Diciembre del mismo ao.

Datos 365 M = C(1 + i t)

C = 4.200 -88 M = 4.200(1 + (0.01)277)

i = 0,01 diario 277dias M = 15834

t =

Hallar el monto de un capital de $9.300 colocado con una tasa de 11% durante 7 meses.

Datos M = C(1 + i t)

C = 9.300 M = 9.300 (1 + (0.11) (7

12))

i = 0,11 M = 986,75

t = 7 mese

CLCULO DEL VALOR ACTUAL

M = C(1 + i t)

=

( + )

= ( + )

22

Capital

Monto

Tasa de interes

tiempo q esta en aos

GRAFICA DE TIEMPO Y VALOR Monto

Valor nominal Valor Presente Valor final

Fecha de inscripcin Fecha de Negociacin Vencimiento

Hallar el valor actual, el da de hoy de un documento de $15.000 colocado durante 300

das con un tasa de 7% anual.

Datos 14.173,22 i = 0,07 15.000

C = 15.000 0 300 das

i = 0,07 anual =

(+)

t = 300 C =15.000

(1+(0.07)(300

360))

= ,

En el problema anterior determine el valor actual si el tiempo es 60 das antes de

vencimiento

14.173,22 14.827,02

60 das

=

(+)

C =15.000

(1+(0.07)(60

360))

= . ,

En el problema anterior determine el valor actual si el tiempo es 60 das antes de

vencimiento

14.173,22 14.827,02

23

60 das

=

(+)

C =15.000

(1+(0.07)(60

360))

= . ,

Una persona firma un documento de $9.300 con una tasa del 11% desde el 30 de Marzo

hasta el 5 de Diciembre del mismo ao, determine el valor actual de ese documento el 25

de Septiembre si se aplica una tasa del 19% semestrales.

Datos 9.300 i = 0,11

C = 9.300 89dias 268das 339 das

i = 0.11 339 = =

(+)

t = 250 -89 = 9.300(0.11) (250

360) C =

10010,42

(1+(0,19)(71

180))

250 =10010,42 = . ,

Un documento por $ 15.000 se firma el 12 de Marzo con una tasa de 15% desde su

suscricin desde el 1 de Noviembre del mismo ao. Determinar el valor actual del

documento el 7 de Julio si la tasa de inters es 3% mensual.

Datos 339 9.300 i = 0,11

C = 15.000 89 89dias 268das 339 das

i = 0.15 250 = =

(+)

t = 250 = 9.300(0.11) (250

360) C =

10010,42

(1+(0,19)(71

180))

=10010,42 = ,

El 7 de Febrero se suscribe un documento por $13.500con una tasa del 17% trimestral

hasta el 20 Diciembre del mismo ao. Determinar el valor actual del documento 20 das

antes de su vencimiento si se reconoce una tasa del % diario.

Datos 354 13.500 i = 0,17 trims

C = 17.500 -38 38dias 20das i=0,0125 354das

24

i = 0.17 316 = =

(+)

t = 316 = 17.5000(0.17) (316

90) C =

21.558

(1+(0,0125)(20))

=21.558 = . ,

Calculo de la tasa de inters

= = (1 + )

=

=

Hallar que tasa de inters se debe colocar un capital de $ 8.300 para que genere un

inters del $ 45 durante 7 meses.

Datos =

= 8.300 =45

(8.3007

12)

= 45 = 0,9294%

= 7

=

Halar a que tasa de inters semestral se debe colocar un capital de $ 5.200 desde el 5 de

Enero hasta el 3 de Diciembre del mismo ao, para obtener el triple.

Datos 337 =

= 5.200 -5 =15.6005.200

(5.200332

180)

M = 15.600 332 das = 108,4337%

= 332

=

A que tasa de inters trimestral se debe colocar un capital $ 800 para que nos produzca

4/3 veces ms, desde el 6 d Abril hasta el 9 de Mayo del mismo ao.

Datos 129 =

25

= 8000 -96 =1.400800

(80033

90)

M = 1.400 33 das = 204,5455%

= 33

=

Hallar la tasa del inters de un carro de $ 6.900 que se cambia un $ 13.700 en 8 meses.

Datos =

= 6.900 =13.7006.900

(6.9008

12)

M = 13.700 = 147,826%

= 8

=

Calculo del tiempo

= = (1 + )

=

=

En qu tiempo un capital de $ 2.800 genera $ 65 al 7%.

Datos =

= 2.800 =65

(2.8000,07)

I = 65 = 0,3316

= 0,07 0 aos; 3 meses; 29 das; 9 horas

=

En qu tiempo un capital de $ 7.000 gana $130 con un tasa del 11%

Datos =

26

= 7.000 =130

(7.0000,11)

I = 130 = 0.168

= 0,11 0 aos; 2meses; das; 12 horas

=

En qu tiempo un capital de $ 4.500 gana $ 135 al 0,5%

Datos =

= 4.500 =135

(4.5000,005)

I = 135 = 6

= 0,005

=

En qu tiempo un capital de $ 3.900 se convierte en $ 11.200 con una tasa del 17%

semestral.

Datos =

= 3.900 =11.2003.900

(3.900(0,17

180))

= 11.200 = 11 semestres; 1981 das

= 0,17

=

En qu tiempo un capital de $ 15.000 se convierte en $ 27.000 con una tasa del 23%

semestral.

Datos =

= 15.000 =27.00015.000

(15.000(0,23

180))

= 27.000 = 6 semestres; 5 meses; 16 das; 4 horas

= 0,13

27

=

CALCULO DE SALDOS DEUDORES

Algunas instituciones y casas comerciales que trabajan con crditos utilizan uno de los dos

mtodos.

Acumulacin de intereses o mtodo de lagarto

Intereses sobre saldos deudores

PROBLEMAS

Cuna cooperativa de ahorro y crdito otorga un prstamo de $ 14.000 con un tasa del 2%

mensual para aos. Determine el valor de la cuota mensual por los dos mtodos.

MTODO DEL LAGARTO

Datos = ( + ) =

#

= 14.000 = 14.000(1 + (0,02 42)) = 25.760

42

=42 meses =25.760 = 613,33

= 0,02 =

= = 25.760 14.000

= 1.760

MTODO DE SALDOS DEUDORES

=

# = ( ) = +

= 14.000

42 1 = 14.000(0,02 1) 1 = 333,33 + 280

= 333,33 1 = 280 1 = 613,33

= ( ) = + = , + ()(, )

2 = 13.66.67(0,02 1) 2 = 333,33 + 273,23 = 339,86

2 = 273,23 2 = 606,66

=

(, + , ) =

# = . , .

= 20.016,99 =20.016,99

42 = 6.016,99

28

= 476,60 =6.016,99

(14.00042)

= 1,0233%

Una agencia de autos vende automviles en $20.000 con una cuota inicial del 30% y el

resto a 40 meses plazos con una tasa del 13%. Determine el valor de la cuota mensual

por los dos mtodos.

MTODO DEL LAGARTO

Datos = ( + ) =

#

= 14.000 = 14.000 (1 + (0,13 40

12)) =

20.066,67

40

=40 meses =20.066,67 = 501,67

= 0,13 Anual =

= = 20.066,67 14.000

= 6.606,67

MTODO DE SALDOS DEUDORES

=

# = ( ) = +

= 14.000

40 1 = 14.000 (0,13

1

12) 1 = 350 + 151,67

= 350 1 = 151,67 1 = 501,67

= ( ) = + = , + ()(, )

2 = 13.650 (0,13 1

12) 2 = 350 + 147,88 = 353,86

2 = 147,88 2 = 497,88

=

(, + , ) =

# = . , .

= 17.110,60 =17.110,60

40 = 3.110,6

= 427,77 =3.110,6

(14.00040)

= 0.5555%

29

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLE

=

El 7 de diciembre se firm un documento de $ 3.600 a 190 das plazo. Hallar el descuento

racional de ese documento si se descuenta el 5 de Abril del siguiente ao con una tasa

del 3% mensual.

341 13.500 3.600

-190 341dias 95das i=0,03 166das

531 =

(1+) = COMPROBACIN

365 =3.600

(1+(0.0371

30))

= 3.600 3.361,34 = ( )

166 =3.361,34 = 238,66 = 3.361,34(0.03 71

30)

= 238.66

Determine el descuento racial de un pagare de $ 4.800 firmados el 6 de Octubre del 200

con una tasa del 17% desde su suscripcin hasta el 4 de Abril del 2011 si se descuenta el

29 de Noviembre del 2010 con una tasa del 22% semestral.

279 4.800 = , 3.600

-94 279--2009 333das i=0,03 94--2010

730 = ( + ) =

(+)

545 das = 4.800 (1 + 0,17 (545

360)) =

6.035,33

(1+0,22(126

180))

= 6.035,33 = 5.229,92

= COMPROBACIN

= 6.035,33 5.229,92 = 5.229,92(0,22) (126

180)

= 805,41 = 805,41

El 7 de Enero se firma un pagare por $5.800 con una tasa del 22% trimestral este

documento se tiene que pagar el 29 de Diciembre del mismo ao. Hallar el descuento

racional si se descuenta 20 dias antes de su vencimiento con una tasa de 0,01%.

30

365 5.800 = ,

-7 7 enero 20 das i=0,0001 29 diciembre

356 Das 7 365

= ( + ) =

(+)

= 5.800 (1 + 0,22 (356

90)) =

10.847,29

(1+0,0001(20

30))

= 10.847,29 = 10.846,57

= COMPROBACIN

= 10.847,29 10.846,57 = 10.846,57(0.0001) (20

30)

=0,72 = 0,72

EL DESCUENTO BANCARIO SE CALCULA DE LA SIGUIENTE MANERA

= = ( )

Hallar el descuento bancario de un banco, aplica a un cliente que descuenta un pagare

de $7.900 el da de hoy a 120 dias plazo consideran una tasa del 13%.

7.900 7.900

0 d=0,13 120 das

= 7.900(0,13) (120

360)

= 432,33

Determinar el descuento bancario de un Doc. $8.900 firmado el 7 de Febrero a 220 das

plazo con una tasa de interes del 11% si se descuenta el primero de mayo del mismo ao

con una tasa del 17% trimestral.

31

8.900 = 0,11

7 febrero 1 mayo 220 das

38 121 258

= ( + ) =

M = 8.900 (1 + 0,11 (220

360)) Mb = 9.498,28(0,17) (

137

90)

M = 9.498,28 Mb = 2.457,94

= ( ) =

Cb = 9.498,28 (1 0,17 (137

90)) D = 2.457,94 7.040,34

Cb = 7.040,34 D = 2.457,94

DESCUENTO SIMPLE

= =

= = ( )

=

()

El 7 de octubre se firma un documento de $ 5.800 con una tasa de 13% a 310 das plazo.

Hallar el valor efectivo que se recibe, si se descuenta este documento el 5 de Febrero del

siguiente ao con una tasa del 19% trimestral.

280 5.800 = ,

-225 7 octubre 15 febrero 29 diciembre

365 280 36 i=0,19 225

310das

= 5.800 (1 + 0,13 (310

360)) = 6.445,28 (1 0,19 (

189

90))

= 6.445,28 = 3.876.02

= COMPROBACIN

32

= 6.445,28 3.876.02 =

= 2.573,26 = 6.445,28(0,19) (189

90)

= 2.573,26

Cuanto debe solicitar margarita en el banco de pichincha para obtener $7.300 con una

tasa del 15% para dentro de 130 dias plazo.

=

(1) =

7.300

(10,15(130

360))

= 7.718,06

Relacin entre la tasa de interes (i) y la tasa de descuento

1. La tasa de interes simple se utiliza en el descuento racional o matemtico y se aplica generalmente sobre el capital.

2. La tasa de descuento se utiliza en el descuento bancario y generalmente se aplica en el monto

Hallar el descuento racional y el descuento bancario de un pagare de $8.000 a 290 dias

plazo si se descuenta 55 das antes de su vencimiento con una tasa del 11% trimestral.

800 = ,

0 55 290

= 0,11

=

(+) = ( ) =

=800

(1+0,11(55

90))

Cb = 800 (1 0,11 (55

90)) = 800(0,11) (

55

90)

= 749,60 Cb = 746,22 = 53,78

La r

La relacin entre las tasas queda establecida de la siguiente forma

= ( + ) =

()

=

() =

(+)

A que tasa de interes equivale una tasa de descuento del 22% durante 140 das.

33

=

(1) =

0,22

(10,22(140

360))

= 24,0583%

A que tasa de interes equivale una tasa de descuento del 25% durante 8 meses.

=0,25

(10,25(8

12))

= 3%

A que tasa de descuento equivale una tasa de 33% durante 230 das.

=0,33

(1+0,33(230

360))

= 27,2540%

A que tasa de descuento equivale una tasa de 30% durante 8 meses.

=0,30

(1+0,30(8

12))

= 25%

Una persona realiza el descuento de un pagare a 220 das plazo por $8.700. 40 das antes

de la fecha de vencimiento con una tasa del descuento del 11% ese mismo da el banco

de pichincha redescuento el documento en el banco internacional con una tasa del 7%.

Determine el dinero que recibe la persona y el dinero que recibe el banco del pichincha.

= 8.700(1 + 0,11) (40

360) = 8.700(1 0,07) (

40

360)

= 8.593,67 = 8.632,34

Recibe el persona recibe el banco

34

UNIDAD N=2

ECUACIONES DE VALOR

M = C(1 + i t) C =

(1+)

=

(1+) = (1 )

Fecha focal montos F .F valor actual

Se utiliza para resolver problemas de matemtica financiera donde se remplaza un conjunto d obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias

fechas de referencia por un valor o varios valores previo acuerdo ante acreedor y

deudor. Comparacin de oferta para comprar y vender

Para calcular el moto de una serie de depsitos a corto plazo

Para calcular el capital de una serie de depsitos d cort plazo

Remplazar un conjunto de valores, deudas, obligaciones para un solo valor.

Una empresa tiene las siguientes obligaciones de $15.000 a 60 dias plazo, $20.000 a 130

dias plazo, $30.000 a 250 dias plazo,$35.000 a 300 dias plazo. La empresa desea

remplazar todas estas obligaciones considerando una tasa del 15% a los 330 dias plazo.

15.000 20.000 30.000 35.000 X

0 60 130 250 300 310

= + + +

1 = 270 = 15.000 (1 + 0,15 (270

360)) + 20.000 (1 + 0,15 (

200

360)) +

2 = 200 30.000 (1 + 0,15 (80

360)) + 35.000 (1 + 0,15 (

30

360))

3 = 80 = 104.796,67

4 = 30

En el problema anterior determine el valor de pago si lo hacemos el da de hoy

X

15.000 20.000 30.000 35.000

0 60 130 250 300

2 3 4 1 =0,15

2 3 4 1 =0,10

35

F .F

= + + +

=15.000

(1+0,15(60

360))

+20.000

(1+0,15(130

360))

+30.000

(1+0,15(250

360))

+35.000

(1+0,15(300

360))

= 91.887,40

En el problema numero 1 hallar el valor de cada pago si la empresa realiza dos pagos

iguales a los 200 y 350 das plazo, tomado como fecha focal a los 200 dias.

X

15.000 20.000 30.000 35.000 X

0 60 130 200 250 300 350

F .F

= + + +

= 15.000 (1 + 0,15 (140

360)) + 20.000 (1 + 0,15 (

70

360)) +

30.000

(1+0,15(30

360))

+35.000

(1+0,15(100

360))

(1+0,15(150

360))

= 99.446,09 0,9411X

=99.446,09

1,9411

= 51.231,82

Una persona debe $2.600 a 90 dias plazo con una tasa del 1,5% mensual; $4.000 a 140

das plazo con una tasa del 6 %trimestral; $7.000 a 220 dias plazo con una tasa del 9%

semestral; $11.000 a 300 dias plazo con una tasa del 17% esta persona desea remplazar

todas estas deudas por una solo pago a los 200 dias plazo con una tasa de descuento del

11%. Hallar el valor de dicho pago.

M1 = 2.600 (1 + 0,015 (90

30)) =2.717

M2 = 4.000 (1 + 0,06 (140

90)) =54.373,33

M3 = 7.000 (1 + 0,09 (220

180)) =7.770

2 3 1 1 2

36

M4 = 11.000 (1 + 0,17 (300

360)) =12.558,33

X

2.717 4.373,33 7.770 12.558,33

0 40 60 63 65 200

= + + + F .F

=2.717

(10,11(110

360))

+4.373,33

(10,11(60

360))

+ 7.770 (1 0,11 (20

360)) + 12.558,33 (1 0,11 (

100

360))

=27.163,62

Una persona desea vender su terreno y recibe tres ofertas $2.000 al contado y 2.000 a 1

ao plazo; la segunda 1.500 al contado y 2 letras de 1250 a los 7 y 11 meses plazos;

tercero 600 al contado con una letra de 400 a 2 meses plazos y 2 letras de 1500 cada una

a los 5 y 9 meses plazo respectivamente. Determine cual oferta le conviene al vendedor si

se recarga una tasa del 2% mensual.

Primera oferta

X = 2.000 +2.000

(1+0,02(12))

2.000 2.000 = 3.612,90

0 12 meses

F.F

Segunda oferta

X = 2.500 +1.250

(1+0,02(7))+

1.250

(1+0,02(11))

2.500 1.250 1.250 = 3.621,08

0 7 11meses

F.F

Tercera oferta

X

600 400 1.500 1.500

0 2 meses 5 meses 9 meses

F.F = 600 +400

(1+0,02(2))+

1.500

(1+0,02(5))+

1.500

(1+0,02(9))

2 1 1 2

37

= 3.619,44

Desde el punto de vista del vendedor le conviene la segunda oferte

Desde el punto de vista del comprador le conviene la primera oferte

Hallar el monto de una serie de depsitos de $ 450 que se hacen durante 4 meses con

una tasa del 7%. M

450 450 450 450

1 2 3 4

= 450 (1 + 0,07 (3

12)) + 450 (1 + 0,07 (

2

12)) + 450 (1 + 0,07 (

1

12)) + 450

= 1.815,75

Si el problema anterior se utiliza una tasa anticipada y los meses por anticipado cual es

el monto.

450 450 450 450

0 1 2 3 4

= 450 (1 + 0,07 (4

12)) + 450 (1 + 0,07 (

3

12)) + 450 (1 + 0,07 (

2

12))

+ (1 + 0,07 (1

12))

= 1.826,25

Determinar el valor de la deuda original si Jessica deposita cada mes durante 5 meses

con una tasa del 11%

X 350 350 350 350 350

0 1 2 3 4 5

=350

(1+0,11(5

12))

+350

(1+0,11(4

12))

+350

(1+0,11(3

12))

+350

(1+0,11(2

12))

+350

(1+0,11(1

12))

= 1.703,43

La seorita Avils tiene una cuenta de ahorro en la cual realiza los siguientes

transacciones 2l 10-01 depositas 1500 para abrir su cuenta el 13-02 deposita 500 el 5-03

retira 800 el 10-04 retira 500 el 9-05 deposita 600. Cuanto tendr en su cuenta si se

aplica una tasa de interes de 8% al final del 1 semestre.

Depsitos (+) retiro (-)

38

1 = 1500(0,08) (17

360) 1 = 800(0,08) (

117

360)

1 = 57 1 = 20,80

2 = 500(0,08) (137

360) 1 = 500(0,08) (

81

360)

I1 = 15,22 I1 = 9

I3 = 600(0,08) (52

360)

1 = 6,93 = + = 20,80 + 9

= + + = TC = 29,80

TA = 57 + 15,22 + 6,93 IL = 79,15 29,80 =800+500

= , IL = 49,35 =1.300

CA = 1.500 + 500 + 600

= 2.600

CL = 2.600 1.300 M = 1.300 + 49,35

CL = 1.300 M = 1.349,35

La seorita XX posee una cuenta de ahorro con $200 el 30-06 y realiza los siguientes

transacciones, 04-07 deposita $600, el 09-08 retira $700, el 20-09 retira $300, el 20 -10

deposita $150, el 20-01 retira $200. Liquide esta cuenta al 31 -12 con una tasa del 9%.

FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO

10-ene 1.500 1500 57

13-feb 500 2000 15,22

05-mar 800 1200 20,8

10-abr 500 700 9

09-may 600 1300 6,93

30-jun 4,35 1349,35 79,15 29,8

(+) INTERES(-)

39

Una persona tiene una cuenta de ahorros en lo que realiza las siguientes transacciones;

1600 deposita el 3-01 para abrir su cuenta; 12-02 retira $600; 4-03 deposita 200; 15-04

retira 500; 2-06 deposita 900; 5-07 retira 300; 9-09 retira 100; 29-10 retira 400. La

cuenta se liquida semestralmente para el primer semestre se reconoce con una tasa del

7% y la segunda semestre con una tasa del 5% cuanto tendr esta persona el 31-12.

INTERES COMPUESTO

En el interes simple se utiliza a corto plazo y se calcula una sola vez

En el interes compuesto se utiliza largo plazo y se calcula varias veces

Hallar el interes simple y el interes compuesto de un capital de $10.000 colocado al 17%

durante 5 periodos.

Interes simple

M = 10.000(1 + 0,17(5)) = 18.500 10.000

M = 18.500 = 8.500

Interes compuesto

FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO

30-jun 2.000,00 2.000,00 92,00

04-jul 600,00 2.600,00 27,00

09-ago 700,00 1.900,00 25,20

20-sep 300,00 1.600,00 7,65

20-oct 150,00 1.750,00 270,00

20-ene 200,00 1.550,00 0,55

31-dic 88,30 1.638,30 121,70 33,40

(+) INTERES(-)

FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO

03-ene 1.600,00 1.600,00 55,37

12-feb 600,00 1.000,00 16,10

04-mar 200,00 1.200,00 4,59

15-may 500,00 700,00 4,47

02-jun 900,00 1.600,00 4,90

30-jun 44,30 1.644,30 64,86 20,57

30-jun 1.644,30 42,02

05-jul 300 1.344,30 7,46

09-sep 100 1.244,30 1,57

29-oct 900 2.144,30 7,88

23-dic 400 1.744,30 0,44

40,43 1.784,73 49,90 9,47

(+) INTERES(-)

40

M1 = 10.000(1 + 0,17(1)) M2 = 11.700(1 + 0,17(1))

M1 = 11.700 M1 = 13.689

M3 = 13.689(1 + 0,17(1)) M4 = 16.016,13(1 + 0,17(1))

M3 = 16.016,13 M4 = 18.738,87

M5 = 18.738,87(1 + 0,17(1)) = 21.924,48 10.000

M5 = 21.924,48 = 11.924,48

VARIABLES

=

=

Determinar el nmero de periodos de convertibilidad (n) y la tasa de inters (i) durante

11 aos al 13% convertible semestralmente.

=0,13

2 = 0,065 = 6,5%

= 2(11) = 22

Hallar i; n; durante 7 aos con una tasa del 11% capitalizable quimestralmente

=0,11

2.4*1000 = 4,58%

= 2.4(7 ) = 16,8

Hallar i; n; durante 5 aos con una tasa del 6,5% compuesto trimestralmente

=0,065

4*1000 = 1,63%

= 4(5 ) = 20

Hallar i; n; de un capital colocado al inters compuesto durante 12 aos y 4 meses con

una tasa del 20% convertible cuatrimestralmente

=0,20

3*1000 = 6.67%

= 3(16 ) = 48

41

Hallar i; n; de un capital colocado al inters compuesto durante 4 aos y 10 meses con

una tasa del 9% compuesto bimensual

=0,09

6*1000 = 1,5%

= 6(4 ) + 5 = 29

MONTO COMPUESTO

= (1 + )

= (1 +

)

Una empresa obtiene un prstamo de $35.000 a 8 aos plazos con una tasa del 17%

capitalizable. Hallar el inters compuesto.

= 35.000 = 35.000 (1 +0,17

2)

(28)

= 129.105,24 35.000

= 0,17 = 129.105,24 = 94.105,24

= 2

= 8

Una empresa obtiene un prstamo de $25.000 a 15 aos plazo con una tasa del 19%

capitalizable quimestralmente.

= 25.000 (1 +0,19

2.4)

(36)

= 388.177,38 25.000

= 388.177,38 = 363.177,38

CONVERTIBILIDAD CONTINUA O INSTANTNEA

2,27182

Determine el monto de un capital de $25.000 a inters compuesto durante 15 aos y 9

meses si la tasa de inters es:

a) 7% en efectivo

= 0,07 = 25.000(1,07)15,75

=15,75 = 72.566,22

42

b) 7% compuesto quimestralmente

= 0,2916 = 25.000(1,2916)37,8

= 37,8 = 74.695,80

c) 7% capitalizable cuatrimestral

= 0,0233 = 25.000(1,0233)47,25

= 47,25 =74.230,18

d) 7% convertible trimestral

= 0,0175 = 25.000(1,0175)63

= 63 =74.577,59

e) 7% convertible bimestral

= 0,0117 = 25.000(1,0117)94,5

= 94,5 =74.836,48

f) 7% compuesto mensualmente

= 0,00583 = 25.000(1,00583)189

= 189 = 75.004,36

g) 7% compuesto diariamente

= 0.000194 = 25.000(1,000194)5.745

=5.745 = 76.195,14

h) 14% invertible instantneamente

= 0.07 = 25.000(2,7182)(0,0715,75)

= 15,75 = 75.289,65

Determinar el monto de un capital del $39.000 a 9 aos 7 meses si.

a) 9% en efectivo

= 0,09 = 39.000(1,09)9,58

=9,58 = 89.045,19

b) 7% capitalizable semestralmente

= 0.055 = 39.000(1,055)19,17

= 19,17 = 108.846,45

43

c) 13% compuesto quimestralmente

= 0,05417 = 39.000(1,05417)23

= 23 = 131.022,89

d) 12% compuesto cuatrimestral

= 0,04 = 39.000(1,04)28,75

= 28,75 = 120.444,66

e) 19% compuesto trimestralmente

= 0,0475 = 39.000(1,0475)38,33

= 38,33 =230.976,95

f) 11% compuesto bimensualmente

= 0,01833 = 39.000(1,01833)57,50

= 57,50 =110.829,55

g) 13% compuesto mensualmente

= 0,0108 = 39.000(1,0108)115

= 115 = 134.142,51

h) 18% compuesto diariamente

= 0.0005 = 39.000(1,0005)3.495

=3.495 = 223.771,38

i) 14% invertible instantneamente

= 0.14 = 39.000(2,7182)(0,149,583)

= 9,583 = 149.178,15

MONTO COMPUESTO CON PERIODO FRACCIONARIO

Cuando el tiempo del plazo no con sida con el periodo de convertibilidad se utiliza este

mtodo.

Determine n en 4 aos y 11 meses si se convierte semestralmente

=4(12)+4

6

=59

6

44

= 9 +5

6= 96

5

Hallar n en 9 aos y 3 meses convertible quimestralmente

=9(12)+3

5

=111

5

= 22 +1

5= 225

1

Hallar en 7 aos y 11 meses convertible trimestralmente

=7(12)+11

3

=95

5

= 19

Para resolver estos tipos de problemas existen dos tipos

1. Mtodo matemtico.-Se utiliza la calculadora con el valor exacto de n. 2. Mtodo comercial.- Se utiliza la aparte entera para el clculo del inters compuesto

y la parte fraccionaria para el inters simple.

Determine el monto de una deuda $ 4.700 a inters compuesto durante 9 aos y 7 meses

con una tasa del 10% compuesta semestralmente.

=9(12) + 7

6

= 10 +1

6

a. METDO MATEMATICO b. METDO COMERCIAL

= 4.700(1.05)(115

6) = 4.700(1.05)(19) [1 + 0,05 (

1

6)]

= 11.973,64 = 11.975,64

Hallar el monto de un capital de $ 8.500 a 6 aos y 7 meses plazo con una tasa del 13%

convertible quimestralmente.

=6(12)+7

5 = 8.500(1.05417)(

79

5) = 8.500(1.05417)(15) [1 + 0,05417 (

4

5)]

= 15 +4

5 = 19.561,73 = 19.566,04

Determinar el monto de un capital de $ 2.800 a 9 aos y 5 meses con una tasa del 14%

capitalizable trimestralmente.

45

=9(12)+5

3 = 2.800(1.035)(

113

3) = 2.800(1.035)(37) [1 + 0,035 (

2

3)]

= 37 +2

3 = 10.230,84 = 10.252,18

Tasa equivalente

Tasa nominal (j) es aquella que se convierte varias veces en un ao

Tasa efectiva (i) es aquella que acta una sola vez en el ao

Dos tasas anuales de inters con diferente periodo de convertibilidad, son equivalentes si

produce el mismo inters compuesto al final del ao.

Hallar el monto de un capital de $100 con una tasa del 18% convertible trimestralmente.

= 100(1,045)4

= 119,25

Hallar el monto de un capital del $ 100 con una tasa efectiva del 19,252%.

= 100(1,19252)1

= 119,25

1 + = (1 +

)

= [(1 +

) 1]

= [(1 + )1

1]

A que tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 15% bimensualmente.

= [1 + (0,15

6)

6 1]

= 15,9693%

A que tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 8% convertible diariamente.

= [1 + (0,05

360)

360 1]

= 8,3277%

A que tasa nominal capitalizable semestralmente es equivalente con una tasa efectiva del

9%.

= [3(1 + 0,10)1

3 1]

46

= 9,6840%

A que tasa nominal capitalizable mensualmente equivale a una tasa efectiva 21%.

= [12(1,21)1

12 1]

= 19,2142%

Una persona convierte $55.000 durante 7 aos y tiene los siguientes opciones.

a) Una tasa de inters 421% efectivo.

= 421%

b) Una tasa de inters del 4% compuesto semestralmente.

= (1 +0,04

2)

2 1

= 4,04%

c) Una tasa del 4,8% convertible trimestralmente.

= (1 +0,045

4)

4 1

= 4,8871%

d) Una tasa d 4,9% compuesta cuatrimestralmente.

= (1 +0,049

3)

3 1

= 4,9805%

TASA ANTICIPADA

Calculo de la tasa de inters anticipado.- Esta tasa es utilizada para cobrar o pagar por

anticipado.

1 + = (1

)

= [(1

)

1]

= [1(1 + )1

]

A que tasa de inters efectiva anticipada es equivalente una tasa anticipada del 20%

convertible semestralmente.

= [(1 0,20

2)

2 1]

47

= 23,4568%

A que tasa de inters efectiva anticipada es equivalente una tasa anticipada del 17%

compuesta quimestralmente.

= [(1 0,17

2,4)

2,4 1]

= 19,2821%

A que tasa de inters anticipado convertible bimestralmente es equivalente una tasa

efectiva anticipada del 14%.

= 6 [1(1 + 0,14)1

6]

= 12,9608%

A que tasa anticipada capitalizable mensualmente es equivalente una tasa efectiva

anticipada del 15%.

= 12 [1(1 + 0,15)1

12]

= 13,8951%

CALCULO DE LA TASA DE INTERS EFECTIVA

= (1 + )

= (

)

1

A que tasa efectiva un capital de $300 se convierte en $ 1.500 durante 5 aos

= (1.500

300)

1

5

= 37,70%

A que tasa anual capitalizable un capital de $800 se convierte en $ 19.000 con su tasa del

20%. Determine la tasa efectiva equivalente.

= (

)

1

4= (

19.000

800)

1

24 = = 14,7696%

= (1 +

)

1 = (1 +

14,7696

4)

4 1 = 15,5076%

A que tasa anual convertible cuatrimestralmente un capital de $ 3.600 se duplica en 4,5

aos determine la tasa anual efectiva equivalente.

48

= (

)

1

3= (

7,200

3.600)

1

13,5 = = 15,8056%

= (1 +

)

1 = (1 +

15,8056

3)

3 1 = 16,6529%

CALCULO DEL TIEMPO

= (1 + )

log

= log(1 + )

log

= log(1 + )

=log

log(1+)

En qu tiempo un capital de 3.200 se convierte en $8.100 con una tasa efectiva del 10%

=log

8.100

3.200

log(1+0,10)= 9,7441 ; 9 ; 8 ; 28

En qu tiempo un capital de $8.200 se convierte en veces ms con una tasa del 25%

convertible semestralmente.

=log

14.350

8.200

log(1,25)=

4,7512

2= 2,3756; 2 ; 4 ; 15 . 2

En que tiempo un capital de $4.000 se triplica con una tasa del 8% compuesto

mensualmente.

=log

12.000

4.000

log(1,0067)=

164,5206

12= 13,71; 13 ; 8 ; 16 .

CALCULO DEL CAPITAL

= (1 + )

=

(1+) =

(1+

)

Determinar el valor actual de una letra de cambio cuyo valor es $5.100 durante 6 aos y

6 meses con una tasa del interes del 12% compuesto trimestralmente.

=5.100

(1+0,045)12= 5.248,01

Determinar el valor actual de un documento de $ 13.800 a 7 aos y 8 meses plazo con

una tasa del 16% capitalizable cuatrimestralmente.

49

=13.800

(1,053)23= 4,207,52

Determinar el valor actual de un documento cuyo valor es $5.100 durante 6 aos y 6

meses con una tasa del 12% compuesto trimestralmente.

=5.100

(1,03)26= 2.364,84

Un documento de $3.800 se firma el da de hoy para 230 das plazos con una tasa del

16% compuesto semestralmente. Hallar el valor actual del documento si se negocia 50

dias antes de su vencimiento con una tasa del 22% capitalizable trimestralmente.

3.800 = 0,08 4.192,68

0 t=50 230

= 3.800(1,08)(230

180) =

4.192,68

(1,055)(

5090

)

= 4.192,68 = 4.069,81

Una persona tiene un pagare firmado el 1 Febrero por $5.300 a 300 das plazos con una

tasa del 33% compuesto mensualmente. Hallar el valor del documento si se vende el 20

de Mayo con una tasa del 25% capitalizable.

5.300 = 0,0275

1 febrero 20 mayo 300

32 140 332

= 5.300(1,0275)(300

30) =

6.951,75

(1,1040)(

192150

)

= 6.951,75 = 6.123,41

Clculo del capital con periodo fraccionario

Existen dos tipos de mtodos que son.

El mtodo matemtico exacto

El mtodo comercial o prctico

Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 aos es $ 5.400 hallar el valor

actual a los 3 aos y 4 meses d la fecha de suscripcin considerando una tasa del 9%

compuesto semestralmente.

5.400 = 0.045

3a 4m 7 = 3 8

50

=3(12)+8

6 FORMA MATEMTICA

=44

6 = 5.400(1,045)(

44

6)= 3.910,28

= 734 FORMA COMERCIAL

= 5.400(1,045)(7) (1 + 0,045 (1

3)

1)=3.909,43

El da de hoy se firma un documento de $ 8.200 a 9 aos plazo con una tasa del 13%

compuesto cuatrimestralmente. Determine el valor actual de ese documento 2 aos y 7

meses de su suscripcin si se aplica una tasa del 15% compuesto trimestralmente.

8.200 = 0,0433 25.755,05

0 2a 7m 9a = 6 5

= 8.200(1,0433)27 =6(12)+5

3

= 25.755,05 =77

3

FORMA MATEMTICA FORMA COMERCIAL

=25.755,05

(1,0375)(

773

) = 25.755,05(1,0375)(25) (1 + 0,0375 (

2

3)

1)

= 10.011,54 = 10. .010,04

El da de hoy se firma un pagare de $ 9.300 para 7 aos y 4 meses plazo con una tasa del

20% compuesto semestralmente. Determine el valor actual de este documento 2 aos 9

meses antes de su vencimiento con una tasa del 10% convertible quimestralmente.

9.300 = 0,01 25.755,05

0 2a 7m 7 4m

=7(12)+4

6 =

2(12)+9

5

=44

3 = 9.300(1,01)(

44

3) =

33

5

= 1432 = 37.633,59 = 65

3

FORMA MATEMTICA FORMA COMERCIAL

51

= 37.633,59

(1,0416)(

335

) = 37.633,59(1,0416)(6) (1 + 0,0416 (

3

55)

1)

= 28.757,37 = 28.751,66

Despus de dos aos de la fecha de suscripcin se negocia un documento de $5.000 con

vencimiento de 7 aos y una tasa interes del 12% convertible semestralmente desde su

suscripcin. Calcule el valor actual

a. Con una tasa del 10% compuesto trimestralmente. b. Con una tasa del 12% capitalizable semestralmente. c. Con una tasa del 3% efectivo.

5.000 = 0,06 11.304,52

0 2a 7a = 5

= 0,025

= 5.000(1,06)14 =5(12)

3

= 11.304,52 = 20

a. b.

= 11.304,52(1,025)(20) = 0,06 = 10

= 6.898,82 Con premio = 11.304,52(1,06)(10)

= 6.312,38 Negocio a la para

c.

= 0,03 = 5

= 11.304,52(1,03)(5)

= 9.751,38 Con premio

ECUACIN DE VALOR

52

M = C(1 + i t) C =

(1+)

=

(1+) = (1 )

Fecha focal montos F .F valor actual

Una empresa tiene las siguientes obligaciones 800 a 12 meses plazo 1.500 a 18 meses

plazo;3.000 2aos plazo;4.000 30 meses plazo, la empresa desea remplazar todas estas

deudas el da de hoy considerando una tasa del 11% convertible semestralmente.

X 800 1.500 3.000 4.000

F.F 12m 18m 24m 30m

= 0,055

= 1 + 2 + 3 + 4

= 800(1,055)2 + 1.500(1,055)3 + 3.000(1,055)4 + 4.000(1,055)5

= . .

En el problema anterior determine el valor del pago si se realiza a los 35 meses el pago

con una tasa del 14% convertible trimestralmente.

800 1.500 3.000 4.000 X

12m 18m 24m 30m 35m

F.F

= 0,0375

= 800(1,0375)(23

3) + 1.500(1,0375)(

17

3) + 3.000(1,0375)(

11

3) + 4.000(1,0375)(

5

3)

= . ,

En el problema anterior determine el valor del pago si lo asemos a los 20 meses con una

tasa 15% convertible quimestralmente.

800 1.500 X 3.000 4.000

12m 18m 20m 24m 30m

F.F

= 1 + 2 + 3 + 4

= 800(1,0625)(8

5) + 1.500(1,0625)(

2

5) + 3.000(1,0625)(

4

5) + 4.000(1,0625)(

10

5)

53

= . ,

En el problema uno determine el valor de cada pago si se realiza 2 pagos iguales a los 15

y 22 meses respectivamente considerando una tasa del 8% convertible

cuatrimestralmente si la fecha F.F es 15 meses.

800 X 1.500 3.000 4.000

12m 15m 18m 22m 24m 30m

= 0,0267

= 800(1,0375)(3

4) + 1.500(1,0375)(

3

4) + 3.000(1,0375)(

9

4) + 4.000(1,0375)(

15

4)

(1,0375)(7

4)

= 8.739,57 0,550 = ,

El da de hoy se firma un documento por $ 5.000 a 7 aos plazo con una tasa del 11%

compuesto semestralmente si se realizan pagos de 4500 a los 2 aos; $700 a los 3 aos;

$900 a los aos, con una tasa del 14% compuesto trimestralmente determine el valor del

pago para saldar dicha cuneta.

= 500(1,055)14

= . ,

5.000 7.00 9.000

2a 3a 5a 7

= 0,035

10.580,46 = 500(1,035)20 + 700(1,035)16 + 900(1,035)8 +

10.580,46 = 3.393,81 +

= .