Medidas de centralización para datos no agrupados

Un promedio es un valor que es típico o representativo de un conjunto de datos.Los promedios se conocen también como medidas de centralizaciónMedia aritmética o mediaLa media de un conjunto de N números x1, x2, …, xN se representa por x y se define como:

NN

x

x 321

N

1jj

Nxxxx

N

xxxx N

321

N

1jj

N

x

x

N

xxxx N

321

N

1jj

N

x

x

N

xxxx N

321

N

1jj

N

x

x

media

N

xxxx N

321

N

1jj

N

x

x

Ejemplo: la media de los números 4, 7, 12, 15, 17 y 18 es:

1817151274x

617.12

La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números de su media aritmética es cero.

Ejemplo: la media de los números 4, 7, 12, 15, 17 y 18 es 12.17 y las desviaciones son:

Ejemplo: la media de los números 4, 7, 12, 15, 17 y 18 es 12.17 y las desviaciones son:

Ejemplo: la media de los números 4, 7, 12, 15, 17 y 18 es 12.17 y las desviaciones son:

4 - 12.17 = -8.17 7 - 12.17 = -5.1712 - 12.17 = -0.1715 - 12.17 = 2.8317 - 12.17 = 4.8318 - 12.17 = 5.83

------ Total 0

La mediana de una serie de datos ordenados en magnitud es el valor medio o la media aritmética de los dos valores medios.Ejemplo: se tienen los siguientes datos:a)3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10

Mediana: 6 es el valor medioa) 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18

Mediana es ½(9+11) = 10

Mediana

La moda de una serie de números es aquel valor que se presenta con mayor frecuencia, es decir es el valor más común. La moda puede no existir, incluso si existe puede no ser únicaEjemplo: sea la siguiente distribución de frecuencias: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9

Esta distribución tiene dos modas, 4 y 7 y se denomina bimodal.

Moda

Media geométrica

La media geométrica G de un serie de números x1, x2, …, xn es la raíz N-ésima del producto de los números.

NNxxxx 321G

Ejemplo: hallar la media geométrica de la siguiente distribución: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12

7 )(10)(12)5)(6)(6)(7)(3(G

43.6G

7 600.453

Media cuadrática

La media cuadrática de una serie de números

Se define por:Nxxxx ,,, 321

N

x

SMR

N

jj

1

2

...

Esta medida es usada frecuentemente en multitud de aplicaciones físicas como los valores RMS de voltajes y corrientes, etc.

Media cuadrática

N

x

SMR

N

jj

1

2

...

Media cuadrática

N

x

SMR

N

jj

1

2

...

Ejemplo: hallar la Media cuadrática de la siguiente distribución: 2, 5, 5, 20, 20, 30, 30, 30, 14, 50

Media cuadrática

2, 5, 5, 20, 20, 30, 30, 30, 14, 50 N

x

SMR

N

jj

1

2

...

N

xN

jj

1

2

10

6250625

N

x

SMR

N

jj

1

2

... 625 25

Xi

2

5

5

20

20

30

30

30

14

50

N

x

SMR

N

jj

1

2

... 25

X2i

4

25

25

400

400

900

900

900

196

2500

62501

2

N

jjx

Medidas de posición no centrales para datos no agrupados

Cuando se organiza una distribución de frecuencias en orden de magnitud y se toma el valor medio ( o en otro caso, la media aritmética de los dos valores medios) se divide el conjunto de datos en dos partes iguales.

Medidas de posición no centrales para datos no agrupados

De igual forma si se divide el conjunto de datos en cuatro partes iguales, a cada valor que hace posible esta división se le denomina primero, segundo y tercer cuartil, respectivamente y se representa por Q1, Q2 y Q3. Nótese que Q2 es el valor de la mediana.

Medidas de posición no centrales para datos no agrupados

Así mismo, si se divide en diez partes iguales, los valores que hacen posible esta división se les denomina deciles y se representan por D1, D2, …D9: mientras que los valores que dividen los datos en cien partes iguales se llaman percentiles y se representan por P1, P2, …P99.

Medidas de posición no centrales para datos no agrupados

A todas estas denominaciones, cuartiles, deciles, percentiles y demás subdivisiones análogas de datos se les llama cuantiles.

CONSULTA: a) COMO SE CALCULAN LOS CUANTILES.

Medidas de dispersión para datos no agrupados

Las medidas de dispersión mas comunes son:

Rango: el rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos.

Medidas de dispersión para datos no agrupados

Desviación media: está definida para una serie de N números x1, x2, …xN así:

N

XX

MD

N

jj

1..

N

XX

MD

N

jj

1..

Ejemplo: hallar la desviación media de los números 5, 7, 14, 21, 25.Primero se debe hallar la media aritmética

4.145

25211475x

4.14x

N

XX

MD

N

jj

1..

Ejemplo: hallar la desviación media de los números 5, 7, 14, 21, 25.

4.14x

N

XX

MD

N

jj

1..

Ejemplo: hallar la desviación media de los números 5, 7, 14, 21, 25.

4.14x

N

XX

MD

N

jj

1..

Ejemplo: hallar la desviación media de los números 5, 7, 14, 21, 25. 4.14x

5

4.14254.14214.14144.1474.145..

MD

88.6.. MD

N

XX

MD

N

jj

1..

Medidas de dispersión para datos no agrupados

Varianza: la varianza de un universo es la media del cuadrado de las desviaciones de los elementos respecto a la media poblacional y se representa por 2. Se utilizan V y s2 para representar la varianza deducida de los datos muestrales.

Varianza:

N

XX

V

N

jj

1

2

Medidas de dispersión para datos no agrupados

En una muestra de tamaño N, extraída de una población de media µ, la varianza de la población está dada por:

X

Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza, y se conoce también como desviación estándar.

N

XX

s

N

jj

1

2

Medidas de dispersión para datos no agrupados