Post on 30-Dec-2020
Cordial saludo, esta guía corresponde a la semana de trabajo virtual, iniciando el día 21 de julio hasta el 31 de julio, con
las cuales vamos a continuar desarrollando el III periodo académico. Las actividades aquí asignadas deben ser
TRANSCRITAS Y DESARROLLADAS en el cuaderno correspondiente EN SU RESPECTIVA FECHA.
Evidencias: Las evidencias de trabajo deben ser enviadas (TODAS) el día 31 de julio de 2020.
FUNCIÓN CUADRÁTICA.
El estudio de las funciones cuadráticas se aplica en la
ingeniería civil para resolver problemas específicos como
la construcción de puentes colgantes que se encuentran
suspendidos en uno de los cables amarrados a dos
torres. Por su parte, los biólogos utilizan las funciones
cuadráticas para estudiar efectos nutricionales de los
organismos.
Por ejemplo, las funciones 𝑔(𝑥) = 7𝑥2 + 3𝑥 + 1 ,
𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 8 y ℎ(𝑥) = −4𝑥2 son funciones
cuadráticas. A las funciones cuadráticas también se les
denomina funciones de segundo grado porque el
exponente del término 𝑎𝑥2 es 2.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
La representación gráfica de una función cuadrática es
una curva llamada parábola, la cual puede abrir hacia
arriba o hacia abajo.
Si en la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se cumple que
𝑎 > 0 , la parábola abre hacia arriba.
En cambio, si en la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se
cumple que 𝑎 < 0 , la parábola abre hacia abajo.
Las coordenadas del vértice V se representan (ℎ, 𝑘) y se
determinan mediante las expresiones ℎ = −𝑏
2𝑎 y
𝑘 = 𝑓 (−𝑏
2𝑎), esta segunda expresión nos indica que
debemos reemplazar el valor encontrado para h en la
función cuadrática que tenemos.
El dominio de una función cuadrática es el conjunto de
los números reales R, y el rango es el intervalo [𝑘, +∞)
si la parábola abre hacia arriba o es (−∞, 𝑘] si la
parábola abre hacia abajo.
La recta paralela al eje 𝑦 que pasa por el vértice de la
parábola, se denomina eje de simetría.
Para hallar el intercepto de la parábola con en el eje 𝑦, se
remplaza 𝑥 = 0 en la expresión 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, y para
hallar los interceptos con el eje 𝑥 se remplaza 𝑦 = 0
TIPOS DE GRÁFICAS DE FUNCIONES
CUADRÁTICAS.
Según los valores de a, b y c en la expresión 𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 + 𝑐, hay cuatro casos que se deben tener en cuenta
para graficar una función cuadrática:
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
MEGACOLEGIO LOS ARAUJOS
MONTERIA – CORDOBA
PLAN DE CLASES BAJO EL MODELO CONSTRUCTIVISTA
Docente Orientador: Luis Fernando Vergara Luna Asignatura: Matemáticas
Grado: 9 Grupo: 1,2,3
Unidad Didáctica: 2 Nombre: Racionalizando el mundo
Fecha De Inicio: 27 de julio Fecha De Finalización: 31 de julio
Total Horas: 7 Contenido: Función cuadrática
Una función cuadrática es una función de la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0
Caso 1. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 , donde b = 0 y c = 0.
En este caso las parábolas tienen como vértice el punto
(0, 0) y como eje de simetría el eje 𝑦. Además se cumple
que:
Si 𝑎 > 0, la parábola abre hacia arriba.
Si |𝑎| > 1, la parábola es más estrecha que la
parábola que representa a la función 𝑦 = 𝑥2, en
donde a es igual a 1.
Si 0 < |𝑎| < 1, 1, la parábola es más ancha que la
parábola 𝑦 = 𝑥2.
Ejemplo:
Graficar las funciones:
𝒇(𝒙) =𝟏
𝟐𝒙𝟐, 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐, 𝒓(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐, 𝒉(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐
en el mismo plano cartesiano. Luego, compararlas.
Primero, se realiza la tabla de valores, remplazando los
valores de x en cada una de las funciones y calculando
los valores correspondientes.
Luego, se ubican los puntos en el plano cartesiano y se
traza cada parábola.
Finalmente, se comparan las parábolas con respecto a
la función 𝑔(𝑥) = 𝑥2.
Caso 2. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 , donde b = 0.
La gráfica de la función 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 se obtiene
trasladando c unidades la gráfica de 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐. Si
𝑐 > 0, la traslación es hacia arriba. En cambio, si 𝑐 < 0,
la traslación es hacia abajo.
En este caso el eje de simetría de la parábola es el eje 𝑦
y las coordenadas del vértice son (0, c).
Caso 3. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙, donde c = 0.
En este caso las coordenadas del vértice (h, k) se pueden
hallar por medio de las expresiones ℎ = −𝑏
2𝑎 y
𝑘 = 𝑓 (−𝑏
2𝑎) el eje de simetría es una recta paralela al
eje 𝑦 cuya expresión algebraica es 𝑥 = −𝑏
2𝑎
Ejemplo:
1. Graficar la función 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑 Primero, se establece qué caso es. Como b 5 0, la
función corresponde al caso 2 y, por tanto, es de la forma
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄, donde a = 5 y c = -3. En este caso, el
eje de simetría es el eje 𝑦 y el vértice es (0, -3).
Luego, se realiza una tabla de valores.
Finalmente, se ubica el vértice 𝑦 las otras parejas
ordenadas de la tabla, y se traza la parábola como se
muestra en la figura 1.
2. Graficar la función 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝒙
Como c=0, la función es de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙
que corresponde al caso 3. Por tanto, se realizan los
siguientes pasos:
Primero, se determinan las coordenadas del vértice
(h, k) así:
Finalmente, se ubican los puntos y se traza la parábola
teniendo en cuenta que el eje de simetría es la recta
𝑥 =1
4. La parábola se muestra en la figura 2.
Caso 4. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
En este caso la gráfica de la función se obtiene
trasladando c unidades la gráfica de la función
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙. Cuando 𝑐 > 0, la traslación es hacia
arriba y cuando 𝑐 < 0 la traslación es hacia abajo.
Ejemplo:
Graficar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑
Primero, se determinan las coordenadas del vértice
(h, k).
De donde obtenemos que el vértice es (1, 2) y el eje de
simetría es la recta x = 1.
Luego, se realiza una tabla de valores.
Finalmente, se traza la parábola ubicando el vértice y los
otros puntos de la tabla de valores. La gráfica de la
función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 se obtiene al trasladar la
gráfica de 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 tres unidades hacia arriba,
como se muestra en la figura 3.
ACTIVIDAD 1.
1. Identifica cuáles de las expresiones representan
funciones cuadráticas. Justifica tu respuesta.
2. Determina el signo del coeficiente a en la expresión
que define cada parábola.
3. Grafica las siguientes funciones cuadráticas.
CEROS, RAÍCES O SOLUCIONES DE UNA FUNCIÓN
CUADRÁTICA.
Los ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática
son los puntos de corte de la parábola con el eje x.
Dependiendo de que los puntos de corte existan o no
existan, se presentan tres casos:
Caso 1. La parábola corta el eje x en un solo punto. En
este caso, el vértice de la parábola está sobre el eje x y
por esto la función tiene una única solución real.
Caso 2. La parábola corta el eje x en dos puntos. En este
caso la función tiene dos raíces reales diferentes.
Caso 3. La parábola no corta el eje x. En este caso la
función no tiene solución en los números reales.
ECUACIÓN CUADRÁTICA.
Dependiendo de los valores de las constantes b y c, las
ecuaciones cuadráticas se clasifican en incompletas y
completas.
Ecuaciones incompletas: son aquellas ecuaciones
cuadráticas en las que b=0, c=0 o que b=0 y c=0. Por
ejemplo, las ecuaciones 5𝑥2 − 1 = 0, −3𝑥2 = 0 y
𝑥2 + 6𝑥 = 0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.
Ecuaciones completas: son aquellas ecuaciones
cuadráticas en las que el valor de las constantes b y c es
diferente de cero. Por ejemplo, las ecuaciones
5𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 y 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 son ecuaciones
cuadráticas completas.
Resolver una ecuación cuadrática significa hallar el valor
o los valores de la incógnita que hacen verdadera la
igualdad.
Gráficamente, las soluciones reales de una ecuación
cuadrática corresponden a los puntos de corte de la
parábola con el eje x.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
INCOMPLETAS.
Las ecuaciones cuadráticas incompletas se resuelven
según su forma.
Luego, todas las ecuaciones cuadráticas de esta forma
tienen como única solución
X=0.
Para resolver ecuaciones cuadráticas que tengan esta
forma se realizan los siguientes pasos:
Una función cuadrática es una función de la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0
Por tanto, las ecuaciones de esta forma tienen dos
soluciones reales diferentes y
Para resolver las ecuaciones cuadráticas que tienen esta
forma, se realizan los siguientes pasos:
Por tanto, las ecuaciones de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 tienen
dos soluciones:
Ejemplos:
ACTIVIDAD 2.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas
incompletas.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
COMPLETAS.
Una ecuación cuadrática completa, es decir, de la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0 se puede
resolver utilizando tres métodos: solución por
factorización, solución completando cuadrados y solución
por fórmula general.
Solución por factorización.
Para resolver la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0 se
factoriza, si es posible, el trinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 y se
iguala cada factor a cero. Luego, se resuelve cada
ecuación lineal para hallar las soluciones.
Solución completando cuadrados.
Este método se utiliza cuando el trinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 no es factorizable. Para resolver una ecuación cuadrática
completando cuadrados se realizan los siguientes pasos:
Primero, se resta c en ambos lados de la igualdad
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0 con lo cual se obtiene la expresión
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 2𝑐
Segundo, se dividen entre a ambos lados de la
igualdad.
Luego, se suma en ambos lados de la igualdad
y se factoriza el trinomio cuyo término es 𝑥2.
Finalmente, se extrae la raíz cuadrada y se despeja
x.
Ejemplos:
Solución por fórmula general.
Completando cuadrados se puede deducir una fórmula
general para hallar las raíces de la ecuación cuadrática
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0 Esta fórmula general o fórmula
cuadrática se deduce de la siguiente manera:
Ejemplo:
Resolver la ecuación 5𝑥2 − 9𝑥 − 2 = 0 Se remplazan los valores de a, b y c en la fórmula
general, teniendo en cuenta que a=5, b= -9 y c= -2.
Luego, se simplifica
Las soluciones de la ecuación 5𝑥2 − 9𝑥 − 2 = 0 son:
𝑥1=9+11
10=2
y 𝑥2=9−11
10=
−2
10=
−1
5
ACTIVIDAD 3.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas
factorizando.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas
completando cuadrados.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas
aplicando la fórmula general.
ESTADISTICA.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
Son tres: la media, la mediana y la moda y,
dependiendo de cómo estén presentados los datos,
hay maneras para calcularlas.
La media o promedio: es una medida que permite
encontrar las características básicas de un conjunto
de datos de una variable cuantitativa. Su fórmula es
la siguiente:
La moda: de un conjunto de datos es el dato que más
veces se repite. En una tabla de frecuencias, la clase
de mayor frecuencia es la clase modal y el valor de
la moda es la marca de clase modal. La moda se
representa con las letras: Mo.
La mediana: es la medida que divide el grupo de
datos en dos partes, cada una de las cuales agrupa
el 50% del total. La mediana se representa con las
letras: Me.
Para calcular la mediana, primero se ordenan los
datos de menor a mayor, teniendo en cuenta los
siguientes casos:
Caso 1. Hay un número impar de datos. En este
caso, la mediana es exactamente el dato del centro.
Caso 2. Hay un número par de datos. En este caso
no hay un único dato en el centro sino dos, y la
mediana es el promedio de estos dos datos del
centro.
Las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0
, con 𝑎 ≠ 0 están dadas por:
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo:
1. Encontrar la media, mediana y moda de los siguientes valores: 84; 91; 72; 68; 87; 78; 65; 87; 79.
Solución.
Primero calculamos la media:
𝑥 =84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 + 65 + 87 + 79
9=
711
9= 79
Para calcular la mediana, primero agrupamos los datos: 65; 68; 72; 78; 79; 84; 87; 87; 91.
Ahora, encontramos el valor central:
65; 68; 72; 78; 79; 84; 87; 87; 91. Por lo tanto: Me = 79.
Finalmente, encontramos la moda, y podemos ver que el 87 aparece dos veces. Al ser el valor que se más se repite, Mo =
87.
2. Las edades de los 550 estudiantes que usan como medio de transporte el bus escolar para llegar al colegio, se
presentan agrupadas en la tabla
Como la mayor frecuencia se presenta en el intervalo [5, 8), esa se considera la clase modal.
La moda es la marca de clase de este intervalo, es decir, 5+8
2= 6,5 años.
Actividad de aprendizaje
1. Determina la media, mediana y moda en la distribución: 12, 13,13, 13, 14, 16, 17, 17, 18, 19
2. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3,
4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
3. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 14, 18. Calcular la moda,
la mediana y la media aritmética.
4. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3,
2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3. Hallar la moda, la mediana y la media aritmética.
La vida es más bonita cuando AMAS, cuando COMPARTES, cuando PERDONAS, cuando NO GUARDAS RENCOR y cuando
tienes a Dios en tu CORAZÓN.