1. Un problema referente a Gauss

2. Un problema referente a Gauss PulsKarl Friedrich Gauss, matemtico, fsico y astrnomo alemn naci en la ciudad de Brunswick en 1777. Resolviendo el sistema de ecuaciones que definen las siguientes condiciones, es posible conocer el ao de su muerte. e para aadir texto 3. Un problema referente a Gauss

El nmero de tres cifras que falta, satisface que:

cinco veces la cifra de las unidades, ms diez veces la cifra de las decenas, menos cinco veces la de las centenas es igual a 35. La cifra de las unidades menos la cifra de las decenas, ms cinco veces la de las centenas es igual a 40. El doble de la cifra de las centenas, menos la de las unidades, ms el doble de la de las decenas es igual a 21

4. Un problema referente a Gauss

Solucin.

Llamamos x , y , y za las cifras de las unidades, de las decenas y de las centenas respectivamente.

Escribimos las ecuaciones

5. Un problema referente a Gauss

5 x+ 10 y5 z = 35

x y+ 5 z = 40(1)

x+ 2 y+ 2 z = 21

6. Un problema referente a Gauss

Observamos que el coeficiente de x en la segunda ecuacin es uno, entonces escribimos primero esta ecuacin. Si ninguna ecuacin tuviera coeficiente uno en la primera variable, multiplicamos por el nmero que corresponda para que ello suceda en la primera ecuacin.

7. Un problema referente a Gauss

As:

x y + 5z = 40

5x + 10y 5z = 35(2)

x + 2y + 2z = 21

Multiplicamos por (5 ) la primera ecuacin del sistema (2) y la sumamos a la segunda

8. Un problema referente a Gauss

5x + 5y 25z = 200

5x + 10y 5z =35

15y 30z = 165

Simplificamos dividiendo el resultado entre 15 y obtenemos y 2z = 11, ahora sustituimos la segunda ecuacin por la que acabamos de obtener:

9. Un problema referente a Gauss

xy + 5z =40

y 2z = 11(3)

x + 2y + 2z = 21

Repetimos el procedimiento ahora usando las ecuaciones primera y tercera, para eliminar x en la tercera ecuacin del sistema (3). Como en este caso el coeficiente de x en la ltima ecuacin es uno, no hace falta multiplicar la primera por algn factor, slo sumamos la primera y la tercera.

10. Un problema referente a Gauss

x y + 5z = 40

x + 2y + 2z = 21

y + 7z = 61

Sustituimos la tercera ecuacin de (3) por la obtenida y obtenemos

11. Un problema referente a Gauss

x y + 5z =40

y 2z = 11(4)

y + 7z =61

En la segunda ecuacin y tiene coeficiente 1; si no fuera as, multiplicamos por el factor que haga falta para lograrlo. Ahora multiplicamos la segunda ecuacin del sistema obtenido por 1 y la sumamos a la tercera

12. Un problema referente a Gauss

y + 2z = 11

y + 7z = 61

9z = 72.

Sustituimos la tercera ecuacin de (4) por la obtenida, entonces

13. Un problema referente a Gauss

x y + 5z =40

y 2z = 11(5)

9z =72

Dividiendo entre 9 la ltima ecuacin del sistema (5) obtenemos

z = 8

14. Un problema referente a Gauss

Entonces sustituyendo este valor de z en la segunda ecuacin de (5) y despejando la y tenemos

y 16 = 11

y = 11 + 16

y = 5

15. Un problema referente a Gauss

y por ltimo sustituimos el valor de la z y el de la y, en la primera ecuacin de (5) para obtener el valor de la x

x 5 + 5(8) = 40

x + 35 = 40

x = 5.

16. Un problema referente a Gauss

As el nmero buscado es 855.

Gauss muri en 1885.

17. Un problema referente a Gauss

Comprobacin:

Sustituimos los valores x = 5, y = 5yz = 8 en el sistema (1):

Primera ecuacin:

5x + 10y 5z = 5(5) + 10(5) 5(8) = 35

18. Un problema referente a Gauss

Segunda ecuacin:

x y + 5z = 5 (5) + 5(8)= 40

Tercera ecuacin:

5 + 2(5) + 2(8) = 21

19. Un problema referente a Gauss

El Mtodo usado para resolver el problema anterior se llama mtodo de Gauss o eliminacin Gaussiana.