Post on 13-Dec-2015
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Dr. William Rojas
Universidad Dr. Rafael Belloso Chacín
Decanato de Investigación y Postgrado
Ingeniería de Control y Automatización de Procesos
Cátedra: Métodos Matemáticos para Ingenieros
METODOS MATEMATICOS PARA INGENIEROS
TEMA I
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS; CONCEPTOS, EJERCICIOS.
Maracaibo, Septiembre 2014- Enero 2015
Dr. William Rojas
Estructuras algebraicas
Es un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y una ley de
composición interna definida en él. Según sean las distintas propiedades que
verifique la ley de composición interna.
A una ley de composición de se le conoce, también, con el
nombre de operación binaria
Una estructura algebraica es un conjunto sobre el que se han definido unas
operaciones que cumplen determinadas propiedades. Sin embargo, es de
entender sobre una enorme cantidad de estructuras distintas, solo algunas de
ellas tienen interés y reciben el nombre específico de: grupos, anillos cuerpos,
módulos, ideales, entre otros.
Dr. William Rojas
Estructuras algebraicas
Dr. William Rojas
Conjunto: es una serie de objetos bajo unas condiciones bien definidas
y pueden ser cualquier cosa: materiales, instrumentos, personas, números,
colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un
elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, un sistema, está compuesto
por diferentes equipos y/o instrumentos.
Conjuntos
Sist. Aceite Lub. Transmisor, indicadores, válvulas, tuberías, etc.
B = {bujías, cables, carburador, inyec. etc} = {comp. de un
motor de comb. interna}
C = {a, e, i, o, u} = {vocales}
Estructuras algebraicas
Conjuntos Difusos
Conjunto de números Naturales
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A modo de resumen se incluye el siguiente cuadro
Conjuntos
Estructuras algebraicas
Dr. William Rojas
Conjuntos
Estructuras algebraicas
Ejercicios:
En una reunión hay mas hombres que mujeres, además, mas mujeres
que beben que de hombres que fuman y mas mujeres que fuman y no
beben que hombres que no beben ni fuman. Demostrar que hay menos
mujeres que no beben ni fuman que hombres que beben y no fuman
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Se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la
primera depende exclusivamente del valor de la segunda.
Funciones
Se muestra una función entre
un conjunto de polígonos y un
conjunto de números. A cada
polígono le corresponde su
número de lados.
Una función que
transforma los valores
de entrada en valores
salida.
Estructuras algebraicas
Dr. William Rojas
Estructuras algebraicas
En matemáticas, un operando es una de las entradas (argumentos
o variables) de un operador. Por ejemplo,
3 + 6 = 9 + es el operador, 3 y 6 son los operandos
Se llama relación a todo subconjunto del conjunto producto cartesiano.
El producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que
pueden formarse tomando como primer elemento un elemento del primer
conjunto y segundo elemento uno del 2º conjunto
A= {a, b, c} B = { 1, 2 }
A X B = { (a,1) (a, 2) (b, 1) (b, 2) (c, 1) (c, 2)} Ese es el producto cartesiano
Una relación puede ser : R = { (a, 2) (a, 1) (c, 1) (b, 2)}
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Estructuras algebraicas
Relación binaria de equivalencia
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Estructuras algebraicas
Relación binaria de equivalencia
Se llama Correspondencia G entre el conjunto inicial A y el conjunto
final B, a todo conjunto de AxB.
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Estructuras algebraicas
Relación binaria de equivalencia
Dr. William Rojas
Estructuras algebraicas
Variable
Cantidad a la que se le puede asignar durante el curso de un
proceso de análisis un número ilimitado de valores .
Función
Cuando 2 variables están relacionadas de tal manera que el valor de
la primera queda determinado si se da un valor a la segunda
Y = x(7) Y= 7 x y
1 7
2 14
3 21
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Estructuras algebraicas
Grupos
Un grupo es un conjunto A sobre el que se define una operación interna + que
verifica las siguientes propiedades
A.- Asociativa
B.- Existencia de elemento neutro
C.- existencia de simétrico para todos los elementos de A
Si la operación interna es conmutativa se dice que es un grupo abeliano o
conmutativo
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Estructuras algebraicas
Anillos
Una estructura algebraica formadas por un conjunto A y dos operaciones,
llamadas suma y producto, (A, +, .), también, se dice que es un anillo si cumple:
Un conjunto A en el que se han definido dos leyes de composición interna + y .,
la estructura algebraica (A, +, .) se denomina anillo y solo si (A, +) es un grupo
conmutativo, (A, .) es un semigrupo, y la operación . Es distributiva respecto a la
operación +.
Cuando el anillo no posee divisores de cero se dice que es de integridad o
anillo integro.
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Estructuras algebraicas
Anillos
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Estructuras algebraicas
Anillos
Con la adición y multiplicación módulo 2 es un cuerpo. En general,
Zp es un cuerpo si y solo si p es primo. Este cuerpo también es denotado por
GF(p), el cuerpo de Galois o campo finito de p elementos.
Ejemplo
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Estructuras algebraicas
Anillos de Polinomios
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Estructuras algebraicas
También; Se dice que “y” es función de “x”, cuando a cada valor de la
variable x, corresponde una o mas valores determinado de y
y = f(x)
Función lineal
Sistema de ecuaciones
2x+y= 18
4x-y= 5
Sist. de 2 ecuaciones
1er con 2 incógnitas
Compatible / tiene solución
Imposible / no tiene solución
Sist. Compatible
Cuando tiene una solución
indeterminado infinitas soluciones
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Estructuras algebraicas
Sistema de ecuaciones
Métodos mas
usados
.- Igualación
.- Reducción
.- Sustitución
Resolver:
2x+y=18
4x-y=5
7x+4y=13
5x-2y=19
2x+5y=-24
8x-3y=19
5x+6y=20
4x-3y=-23
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Estructuras algebraicas
Sistema de ecuaciones
Método gráfico
Resolver gráficamente
x + y = 6
5x-4y=12
Hallar la intersección de las rectas
x+y= 6
x=0 ; y = 6
y=0 ; x= 6
5x- 4y= 12
x=0 ; y = -3
y=0 ; x= 2
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Estructuras algebraicas
Matlab como herramienta de software matemático en el cálculo y
análisis numérico es un entorno de computación y desarrollo de
aplicaciones en donde se encuentren implicados elevados cálculos
matemáticos y la visualización gráfica de los mismos. Matlab integra
análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y visualización
gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son
expresados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente, sin
necesidad de hacer uso de la programación tradicional.
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Estructuras algebraicas
Sistema de ecuaciones
Método gráfico
Resolver:
5x+6y=20
4x-3y=-23
X-2y=6
2x-4y=5
5x+6y=20
4x-3y=-23
a=[5 6; 4 -3]
a = 5 6
4 -3
» b=[20;-23]
b = 20
-23
» x=inv(a)*b
x = -2
5
Plot(a,b)
title('Sist. De Ecuaciones')
» xlabel('x')
» ylabel('y')
Utilizando el
Matlab
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Funciones, con matlab
Resolver ecuación de segundo grado
−b √b²−4ac
2a x1,2=
ax²+bx+c=0
syms a b c x;
eq='1*x^2+2*x-3=0';
solve(eq,x)
ans = -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
Si tenemos los siguientes valores :
a = 1, b = 2, c = 3
Escribimos la formula para x1
Para x1
x1 = (-b+sqrt(b^2-4*a*c))/2*a
Para x2 :
x2 = (-b-sqrt (b^2- 4*a*c ))/2*a
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Funciones, con matlab
Resolver ecuación de segundo grado
X^2-9x+18
» % resolver la ec de 2do
x^2-9+18=0
» syms a b c x;
» eq='1*x^2-9*x+18';
» solve(eq,x)
ans =
[ 3]
[ 6]
» a=1;
» b=-9;
» c=18;
» x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/2*a
x1 = 6
» x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/2*a
x2 = 3
a * x2^ 2 + b * x2 + c
» ezplot(x^2+3*x-10)
» grid on
» title('Factorizar: x^2+3*x-
10=0')
» ylabel('y')
» xlabel('x')
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Funciones, con matlab
y=10x/(x^2+1)
x= -15:2:10;
y=((10)*x\(x.^2+1));
plot(x,y)
Title(‘ ‘)
Xlabel(‘x’)
Ylabel(‘y’)
1. Ejercicios:
2. y= x+(1/x)
3. Y= 1/x^2
4. Y=1/x^3
5. Y= 10x/(x^2+1)
6. Y=2x/(x^2+1)
7. Y=pi*sen(x)
8. y= -3x+2y=7
Ecuación 2do
2x^2-5x+2
Dr. William Rojas
x=1:1:5;
y=x*4;
plot(x,y)
Funciones, con matlab
Y=x^2
x=-15:2:15;
y=x.^2;
plot(x,y)
Dr. William Rojas
Funciones, con matlab
Y=x^2-2x+1
x=-20:2:20;
y=((x.^2)-(2)*(x)+(1));
plot(x,y)
y =-x^2+4x+12
x=-20:2:20;
y=((-1)*x.^2+(4)*x+12
plot(x,y)
Dr. William Rojas
y= x^2-x-12
x=-8:1:8;
y=(x.^2-(1)*x-(12));
plot(y)
Funciones, con matlab
y= x^2/x+1
x= -20:2:20;
y=((x.^2)\(x+1));
plot(x,y )
Dr. William Rojas
Factorizar el polinomio:
X^4 + x^3 – 6^2 – 4x +8
Funciones, con matlab
Factorización
1
1 1
1
-6
2
-4
-4
8
-8
2
1 2
2
-4
8
-8
8
0
-2
1 4
-2
4
-4
0
-2
1 2
-2
0
1 0
X = 1 (x - 1)
X = 2 (x - 2)
X = - 2 (x + 2)
X = - 2 (x + 2)
Resolver
3x^4-3x^2+x-5
3x^4-2x^3+4x-7
X^4-2x^2+1
Dr. William Rojas
% calcular las raíces de la
ecuación cúbica x^3+x^2-7x-6
» roots([1 1 -7 -6])
ans =
-2.7515
2.5926
-0.8411
Funciones, con matlab
Factorización % calcular las raíces de la
ecuación x^4-11x^2-18x-8
roots([1 0 -11 -18 -8])
ans =
4.0000
-2.0000
-1.0000 + 0.0000i
-1.0000 - 0.0000i
Dr. William Rojas
Funciones, con matlab
Factorización
» % Factorizar el polinomio X^4 + x^3 - 6^2 - 4x +8
roots([1 1 -6 -4 8])
ans =
2.0000
-2.0000
-2.0000
1.0000
Dr. William Rojas
Ejercicios:
• y= x+(1/x)
• Y= 1/x^2
• Y=1/x^3
• Y= 10x/(x^2+1)
• Y=2x/(x^2+1)
• Y=pi*sen(x)
• y= -3x+2y=7
Ecuación de 2do
2x^2-5x+2
X^2-15x+54
Funciones, con matlab
Resolver
X^3-8x^2+15x+2
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% Factorizar: x^2+3*x-10=0
» syms x
» factor(x^2+3*x-10);
ans =
(x+5)*(x-2)
» ezplot(x^2+3*x-10)
» grid on
» title('Factorizar: x^2+3*x-10=0')
» ylabel('y')
» xlabel('x')
Funciones, con matlab
Factorización
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Funciones, con matlab
Factorización
Cuando la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, o aplicando el
procedimiento de completación, la ecuación se puede expresar como,
ax²+bx+c= (x+a1)(x+a2) = 0
Resolver
• x²+3x-10=0 (x+5)(x-2)
• x²+ 6x+ 1=0;
• 4x²-x+1/16= 0;
• 2x²+ 3x-5=0;
• x²-2x-1 = 0
• x^4+x^3+2*x-4
% Factorizar: x^2+3*x-10=0
» syms x
» factor(x^2+3*x-10);
ans =
(x+5)*(x-2)
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• Introducción al álgebra lineal, José Manuel Casteleiro Villalba
• Algebra Lineal I - Esquemas de Teoría y Problemas Resueltos,
Volumen 1, Mercedes Orús Lacort
• Notas de Álgebra, Valentín Gregori Gregori, Bernardino Roig Sala,
Almanzor Sapena Piera
• Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. 4ta
edición. R kent Nagle. Edward B Saff. Arthur David Snider
• Calculo y Geometria analítica, 5ta Ed. Roland E. larson. Robert
Hosttetler- bruce H Edwards
• Física, Problemario de calculo de varias variables. Luz Marina Pereira
• Ejercicios resueltos de álgebra lineal, Manuel Iglesias Cerezal
• Apuntes de sistemas de control
• Cálculo avanzado. José Francisco Caicedo
• Álgebra lineal con métodos elementales. Luis M. Merino González,
Evangelina Santos Aláez
REFERENCIA
ESPACIOS VECTORIALES
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