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Teora de dnamo y el modelaje del ciclo solar
Trabajo nal de Dinamica No Lineal
German Cristiani
27 de julio de 2005
1 El ciclo solar
El campo magnetico en la fotosfera solar se encuentra concentrado en tubos
de ujo muy intensos y en las llamadas manchas solares, las cuales se ven
como peque~nas areas oscuras en la supercie del Sol. El aspecto oscuro de
estas manchas se debe a que se hallan mas fras que la fotosfera circundante,
debido a que la acumulacion de lneas de campo en la base de la fotosfera, en
la region de la mancha, inhibe la conveccion e impide el ujo de calor en forma
perpendicular a las lneas. La evolucion de las manchas es altamente compleja,
pero el comportamiento general es marcadamente ordenado dando origen al
denominado ciclo solar, el cual muestra entre otras las siguientes caractersticas
Un comportamiento periodico del numero de manchas solares con perodo
aproximado de 11 a~nos.
Restriccion de las manchas a dos cinturones de latitud (simetricos respecto
del ecuador).
Deriva de los cinturones de latitud de las manchas solares hacia el ecuador.
La migracion de las manchas origina los conocidos diagramas de mariposa
de Maunder.
La inclinacion de los grupos de manchas (alrededor de 10
) respecto del
ecuador.
Inversion de la polaridad en las manchas y en el campo dipolar del Sol
cerca del mnimo de manchas solares.
Si consideramos la inversion de la polaridad del campo magnetico, podemos
hablar de un ciclo de 22 a~nos para el campo magnetico solar.
Aqu hemos hecho referencia al numero de manchas solares, entonces debe-
mos tener en cuenta como se determina este numero. A partir del a~no 1848 el
astronomo suizo Johann Rudolph Wolf introdujo una nueva forma de estimar el
numero R de manchas visibles en un hemisferio solar a partir de una expresion
muy simple
R = k(10s+ f) (1)
1
donde f es el numero de manchas individuales (faculae) y s el numero de grupos
de manchas observables (set). El factor k es de correlacion, y se utiliza para
ajustar diferencias entre observadores. A medida que la ciencia astronomica
ha ido evolucionando el valor de k, el cual fue tomado como 1 originalmente
por Wolf, se ha modicado. Un nuevo observador determina su correspon-
diente valor de k comparando los datos obtenidos por el mismo con los de otros
observadores en el mismo intervalo de tiempo.
La existencia de un ciclo solar fue expuesta por Schwabe en 1843, quien ob-
servo un comportamiento aparentemente periodico en la evolucion del numero
de manchas solares. Todos los rasgos del ciclo solar, comentados anteriormente,
se piensa que son causados por algun mecanismo fsico operando en las profun-
didades de la zona convectiva, las cuales no son observables por los instrumen-
tos astronomicos. Sin embargo los detalles de la interaccion entre el plasma y
el campo magnetico en el Sol no son completamente comprendidos en la ac-
tualidad. El primer problema que se plantea es el de concebir un mecanismo,
dnamo, que pueda crear campo magnetico, el cual pueda ser mantenido activo
mas alla de los tiempos de difusion del campo magnetico, que son del orden de
las decenas de a~nos, si se tiene en cuenta el coeciente de difusion magnetica de
turbulencia () en la zona de conveccion. Por lo tanto el campo magnetico solar
no puede ser primordial, sino que, como ya hemos expresado, debe existir un
mecanismo en las capas mas profundas de la zona convectiva que genere y man-
tenga el campo magnetico, es decir un dnamo autoexcitado. En la generacion
y dinamica del campo magnetico solar esta involucrada una caracterstica muy
relevante del Sol que es su rotacion diferencial. Para poder plantear el problema
de la generacion del campo magnetico solar haremos una breve introduccion en
la teora MHD (magnetohidrodinamica).
2 Ecuaciones MHD
Las altas temperaturas reinantes en la corona solar ( 10
6
C) hacen que
los atomos de H y He se encuentren totalmente ionizados formando lo que
comunmente se conoce como un plasma. La teora MHD es una aproximacion
utilizada para describir los campos magnetico y de velocidades en un plasma.
Para ello se parte de las ecuaciones de Maxwell y de la ley de Ohm (en su forma
simplicada, donde se desprecian los terminos de presiones y Hall), ademas de
las ecuaciones de Navier-Stokes, la que establece un balance de fuerzas. Traba-
jando en el sistema de unidades CGS, las ecuaciones de Maxwell se expresan
8
>
>
>
:
rB =
4
c
j +
1
c
@E
@t
r:B = 0
rE =
1
c
@B
@t
r:E = 4
c
9
>
>
=
>
>
;
(2)
La ley de Ohm relaciona la densidad de corriente j con el campo electrico
mediante
j =
E +
1
c
v B
(3)
2
Aqu es la la conductividad electrica, la cual en general esta representada por
un tensor de segundo rango, pero si suponemos isotropa y homogeneidad queda
reducida a un escalar. En el caso en que estamos interesados, la atmosfera solar,
el termino de la corriente de desplazamiento puede ser despreciado, y a partir de
esto 0 =r:(rB) = 4=cr:j, por lo que las lneas de corriente son cerradas
y tenemos cuasineutralidad en el plasma, es decir que las acumulaciones locales
de carga neta son despreciables. Podemos plantear una ecuacion de evolucion
del campo magnetico en la que no aparecen ni E ni j
rB =
4
c
j =
4
c
E +
1
c
v B
)
r (rB) =r(
0
z }| {
r:B)r
2
B =
4
c
1
c
@B
@t
+
1
c
r (v B)
)
@B
@t
=r (v B) + r
2
B (4)
Esta ultima es la llamada ecuacion de induccion, donde hemos denido implcita-
mente la difusividad magnetica = c
2
=(4). Con la ecuacion de induccion
mas la condicion de nulidad de la divergencia del campo magnetico podramos
determinar totalmente el comportamiento del campo magnetico si el campo de
velocidades fuera conocido. El primer termino en el miembro derecho de la
ecuacion de induccion es el termino de transporte, el segundo termino es el
difusivo. El numero de Reynolds magnetico, R
m
, mide la importancia relativa
de estos dos terminos
R
m
jr (v B)j
jr
2
Bj
=
LV
(5)
donde L es una longitud caracterstica y V una velocidad caracterstica del
plasma. Debido a la alta conductividad del plasma solar, en general tenemos
R
m
1, con lo que el termino difusivo puede despreciarse frente al convectivo.
En consecuencia, las lneas de campo magnetico se mueven con el plasma en la
atmosfera solar, dando origen a un fenomeno conocido como congelamiento del
ujo magnetico. El uido puede moverse libremente solo a lo largo de las lneas
de campo magnetico, el movimiento del plasma en el plano perpendicular a las
lneas o bien es frenado por las mismas o se produce el arrastre de las lneas de
campo por el plasma.
Para considerar la evolucion del campo de velocidades es necesario incluir dos
ecuaciones mas en nuestro estudio que son la de Navier-Stokes, que no expresa
otra cosa mas que un balance de fuerzas, y la de continuidad, que es una ley
local de conservacion de masa
@v
@t
+ (v:r)v
= rp+
1
c
j B + r
2
v g(r)r (6)
@
@t
+r:(v) = 0 (7)
3
En la ecuacion de Navier-Stokes, o ecuacion de movimiento del plasma, del lado
izquierdo tenemos la derivada convectiva, siguiendo el elemento de uido, de
la velocidad y del lado derecho el primer termino es el gradiente de presiones,
el segundo la fuerza de Lorentz, el tercero la fuerza viscosa, donde es la
viscosidad cinematica uniforme, y el cuarto la fuerza gravitatoria, donde g(r)
es la aceleracion de la gravedad y r el versor radial. En general la atmosfera
solar se considera como un uido incompresible (=cte), entonces la ecuacion
de continuidad se reduce a r:v = 0.
3 Teora del dnamo solar
En las teoras de dnamo el campo magnetico se intensica por corrientes in-
ducidas en el plasma por el movimiento de este ultimo a traves de las lneas
de fuerza. Un movimiento (v) a traves de un campo magnetico (B) lleva a un
campo electrico inducido (v B), el cual produce una corriente electrica de
acuerdo a la ley de Ohm (j = (E+1=c vB)) que da un campo magnetico a
partir de la ley de Ampere (j = c=(4) r B). El campo magnetico crea por
un lado un campo electrico de acuerdo a la ley de Faraday (rE = 1=c @
t
B)
y por otro una fuerza de Lorentz (jB), la cual puede oponerse a la fuerza que
produce el movimiento y por lo tanto completa el circuito de causa y efecto.
La resolucion del problema de evolucion del campo magnetico implica re-
solver en forma acoplada las ecuaciones de induccion y de movimiento del plasma
8
>
>
>
:
@B
@t
=r (v B) + r
2
B
h
@v
@t
+ (v:r)v
i
= rp+
1
c
j B + r
2
v g(r)r
(8)
donde ademas tenemos las condiciones de que la divergencia tanto de B como
de v son nulas. Para una solucion completa de este problema altamente no
lineal es necesario resolver las ecuaciones magnetohidrodinamicas y demostrar
que existe un campo de velocidades capaz de mantener un campo magnetico
oscilatorio, y que este campo de velocidades es automantenido por las fuerzas
disponibles. Cowling demostro, a partir de su teorema antidnamo (1934), que
no es posible mantener un campo magnetico poloidal (en
y r) con un ujo
puramente axisimetrico. Sin embargo desde entonces se ha mostrado que existe
una gran diversidad de campos de velocidades que permiten mantener tanto
la componente poloidal como la toroidal del campo magnetico. El problema
completo es tan dicultoso de resolver que los primeros esfuerzos estuvieron
encaminados en resolver la ecuacion de induccion considerandose conocido el
campo de velocidades. Resolver este problema simplicado es lo que se conoce
como encontrar la solucion del dnamo cinematico. El problema completo de
hallar el campo magnetico y el campo de velocidades se conoce como el problema
de dnamo hidrodinamico, para el cual en general se plantean truncaciones que
permitan llevar el problema a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias
acopladas.
4
3.1 Dnamo !
Podemos suponer que la dinamica del campo magnetico es gobernada por la
rotacion diferencial del Sol, y que el campo magnetico no afecta la evolucion
de este campo de velocidades. En las teoras de dnamo el primer problema
que se plantea es como generar y alimentar campo magnetico con componente
poloidal y toroidal. Se ha observado que la region ecuatorial del Sol rota mas
rapido que las regiones polares; tal rotacion diferencial tiende a cancelar campo
puramente poloidal y crear ujo toroidal. Este efecto puede ser demostrado
matematicamente considerando un campo magnetico axisimetrico y un ujo
v = v
+ v
p
, donde se supone que v
v
p
. Con esto la componente
de la
ecuacion de induccion toma la forma
@B
@t
+ r(v
p
:r)
B
r
= rB
p
:r
v
r
+ (r
2
r
2
)B
(9)
donde r = R
sin, con R
representando el radio solar. El primer termino a la
derecha muestra como una rotacion diferencial, es decir una velocidad angular
v
=r ! no constante, puede producir ujo toroidal de un campo poloidal B
p
.
Este efecto es el que se conoce como efecto !. El estiramiento de las lneas de
campo puede continuar hasta que sea balanceado por la difusion ohmica repre-
sentada por el segundo termino de la derecha. Si B
p
=r (A
p
), integrando
la componente poloidal de la ecuacion de induccion obtenemos
@A
p
@t
+
v
p
r
:r(rA
p
) = (r
2
r
2
)A
p
(10)
Esta ultima ecuacion no permite la generacion de B
p
a partir de B
, porque la
ecuacion muestra que A
p
decae siempre, y por lo tanto tambien lo hacen B
p
y
B
a traves de la Ecuacion (9).
Una sugerencia para generar B
p
a partir de B
fue realizada por Parker en
1955. El apunto que a medida que las burbujas de plasma van ascendiendo ellas
se expanden y tienden a rotar debido a la fuerza de Coriolis. Estos movimientos
anticiclonicos son en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio norte y
en el sentido contrario en el hemisferio sur. Si el plasma acarrea tubos de ujo
en su movimiento, la torsion convierte campo toroidal en poloidal. la razon de
generacion de B
p
es proporcional a B
, por lo tanto Parker modelo el efecto
neto de muchas celdas de conveccion adicionando un campo electrico
E
=
c
B
(11)
por lo que la Ecuacion (10) toma la forma
@A
p
@t
+
v
p
r
:r(rA
p
) = B
+ (r
2
r
2
)A
p
(12)
Este nuevo termino es el que permite que la accion de dnamo sea posible,
y es llamado efecto . La constante tiene unidades de velocidad y es una
medida de la velocidad rotacional de los vortices. Es de imaginarse que si
5
bien hay movimientos ascendentes de plasma, tambien los hay descendentes,
los cuales tuercen el campo en el sentido opuesto. Entonces es necesaria alguna
asimetra entre los movimientos ascendentes y descendentes para crear un efecto
neto. La principal causa de esta asimetra es la estraticacion, ya que el plasma
ascendente se expande mientras que el descendente se contrae. Otras posibles
causas de asimetra son la geometra , el plasma tiende a subir en el centro de
una celda y a descender en lo bordes , y la otacion magnetica, la cual favorece
los movimientos ascendentes.
3.2 Modelo fenomenologico de Babcock y Leighton
Babcock (1961) y Leighton (1964, 1969) fueron estimulados por las observa-
ciones magnetogracas de la fotosfera a desarrollar un modelo cualitativo del
ciclo solar. En estos modelos tenemos cuatro etapas. Al comienzo de cada ci-
clo el Sol tiene un campo puramente dipolar (solo componente poloidal), las
lneas de campo salen a la supercie cerca de los polos. La rotacion diferen-
cial retuerce las lneas enrrollandolas varias veces alrededor del Sol. Por eso en
la segunda etapa el campo magnetico originalmente poloidal se transforma en
ujo toroidal; estas lneas toroidales se intensican con cada rotacion del Sol,
en especial en la base de la zona convectiva en una franja de latitud entre el
ecuador y los polos, explicando cualitativamente los diagramas de mariposa de
Maunder. En la tercera etapa la intensidad del campo alcanza un valor crtico
en que el campo toroidal se vuelve inestable. El gas connado entre las lneas
de campo esta sometido a la presion termodinamica mas una presion magnetica
dada por B
2
=(8), por lo que tiene una densidad menor que el campo fuera de
las lneas. Entonces las lneas ascienden por la fuerza de empuje y se retuercen
por la fuerza de Coriolis. Al alcanzar la fotosfera la erupcion de ujo genera
dos manchas las cuales tienen polaridades opuestas. Las manchas migran hacia
el ecuador y los polos en la ultima etapa, cancelando el campo magnetico dipo-
lar y luego reemplazandolo por otro con polaridad opuesta. El ciclo comienza
nuevamente con un campo puramente dipolar, pero con la polaridad invertida.
Tomando como premisas las cuatro etapas descriptas por Babcock, y pro-
mediando sobre r y las ecuaciones de dnamo para la evolucion de B
y B
r
,
Leighton logro arribar a las siguientes expresiones
@B
@t
= r sin B
r
@!
@r
C
0
jB
jB
(13)
@B
r
@t
=
C
sin
@
@
(B
sin) +
1
D
sin
@
@
sin
@B
r
@
(14)
Aqu !(r) es la velocidad angular, C y C
0
son constantes, es una constante que
se anula cuando jB
j < B
c
(B
c
es la intensidad crtica del campo para la cual el
campo toroidal se torna inestable) y es igual a la unidad cuando jB
j > B
c
,
D
es el tiempo caracterstico de difusion de vortices supergranulares (que se asume
igual a 22 a~nos), y es el angulo de inclinacion de los grupos de manchas respecto
al paralelo local de latitud. El primer termino a la derecha en la Ecuacion (13)
6
representa la produccion de B
a partir de B
r
por una dependencia radial en
la velocidad angular. Cuando la intensidad del campo toroidal excede el valor
crtico B
c
se asume que los tubos de ujo toroidales se tuercen y ascienden a
traves de la supercie solar, incrementando la intensidad de la componente B
r
y disminuyendo la de la componente B
, como es indicado por los signos de los
terminos que contienen a . El ultimo termino en la Ecuacion (14) representa
la difusion sobre la supercie solar del campo radial.
La integracion numerica de las Ecuaciones (13) y (14) reprodujo exitosa-
mente los rasgos principales del ciclo solar, aunque la falta de una dependencia
en r signica que la generacion de campo poloidal no es incorporada adecuada-
mente.
3.3 Dnamo turbulento
Parker sugirio, como se comento en la Seccion 3.1, que el efecto neto de prome-
diar muchos movimientos convectivos de peque~na escala podra ser el producir
un campo electrico de gran escala (=cB
) en la Ecuacion (12) y permitir la
regeneracion del campo magnetico poloidal. Una base formal para esta idea ha
sido dada por Steenback, Krause y Radler (1966), y ha sido investigada con
mayor detalle por Krause y Radler (1980). Ellos consideraron un movimiento
turbulento de peque~na escala (v) que fuera estadsticamente estacionario y ho-
mogeneo pero no isotropico, superpuesto al movimiento de rotacion diferencial
(v
0
). Esto produce un campo magnetico uctuante (b) en una peque~na escala
(l) y mantiene un campo (B
0
) en una escala mucho mayor (L) , teniendo en
denitiva un campo total B = B
0
+ b, que da una ecuacion de induccion
@
@t
(B
0
+ b) =r [(v
0
+ v) (B
0
+ b)] + r
2
(B
0
+ b) (15)
El promedio sobre alguna escala intermedia entre (l) y (L) lo indicamos por
una barra horizontal. Este promedio sobre la velocidad y el campo magnetico
uctuantes se debe anular (
v =
b = 0). Promediando la Ecuacion (15) se
obtiene
@B
0
@t
=r (v
0
B
0
) +r (v b) + r
2
B
0
(16)
substrayendo este resultado de la Ecuacion (15) llegamos a una ecuacion para
b en terminos de B
0
@b
@t
=r (v B
0
+ v b v b+ v
0
b) + r
2
b (17)
Para que este par de ecuaciones den un sistema cerrado es necesario hacer alguna
suposicion sobre la forma de v b. Generalmente se considera turbulencia
pseudo-isotropica de forma tal que el ujo no es invariante bajo reexiones a
traves del origen. La perdida de simetra pude deberse a rotacion rapida o
estraticacion por ejemplo. Si suponemos
v b = B
0
~rB
0
(18)
7
la Ecuacion (16) toma la forma
@B
0
@t
=r (v
0
B
0
) +r (B
0
) + ( + ~)r
2
B
0
(19)
Veamos que la suposicion expresada en la Ecuacion (18) se obtiene del hecho de
que para un b sucientemente peque~no podemos escribir
@b
@t
r (v B
0
) (20)
Si es el tiempo de coherencia de los movimientos convectivos ( 10
3
s),
podemos aproximar
b r (v B
0
) = (B
0
:r)v (u:r)B
0
(21)
Entonces, trabajando en coordenadas cartesianas, podemos escribir para la com-
ponente i de v b
(v b )
i
=
ijk
v
j
B
0l
@
l
v
k
ijk
v
j
v
l
@
l
B
k
il
B
0l
+
ilk
@
l
B
0k
(22)
donde en el ultimo paso hemos denido
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@B
@t
= r[r (A
p
)]:r! + (r
2
r
2
)B
@A
p
@t
= B
+ (r
2
r
2
)A
p
h
@v
@t
+ (v:r)v
i
= rp+
1
c
j B g(r)r
(27)
Fijandose en la ecuacion de movimiento puede advertirse que un aumento en la
componente poloidal del campo magnetico produce un incremento en la fuerza
de Lorentz que frena la conveccion. Ademas vimos en la Seccion 3.3 que el valor
de depende de la helicidad del campo de velocidades, por lo que un aumento
del campo magnetico produce una disminucion de . Zeldovich y Ruzmaikin
propusieron una ecuacion que modela el comportamiento de y reemplazaron
la ecuacion de movimiento por este modelo. Plantearon =
0
, junto con
una ecuacion de primer orden para
@
@t
=
+
A
p
B
4L
2
0
(28)
Aqu
es un tiempo caracterstico de la disipacion de y L
0
la profundidad
de la zona de conveccion. Podemos adimensionalizar los campos introduciendo
una magnitud muy utilizada en MHD que es la denominada velocidad de Alfven
v
A
~
B=
p
4, siendo
~
B una intensidad de campo caracterstica del problema
que se este considerando. Entonces adimensionalizamos segun lo siguiente
X =
B
v
A
p
4
Y =
A
p
v
A
L
0
p
4
(29)
9
Podemos adimensionalizar tambien la velocidad angular de rotacion del Sol
multiplicando por L
0
=v
A
L
0
v
A
! (30)
Ahora tambien podemos escribir la variable en funcion de una nueva variable
Z, que es la version adimensionalizada de
= v
A
(1 Z))
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
_
X =
X
R
m
+ (1 Z )Y
_
Y =
Y
R
m
+ (1 Z)X
_
Z =
Z
+
XY
(33)
El numero de Reynolds magnetico esta dado en funcion de las magnitudes ca-
ractersticas de nuestro problema, R
m
= v
A
L
0
=, y L
0
=R
es del orden de
0.1.
El bajo nivel de actividad durante el Mnimo de Maunder debera haber
sido causado por el dnamo trabajando menos ecientemente en forma tempo-
raria, ya que una intensidad de campo mas debil podra inhibir la erupcion de
ujo toroidal por otacion magnetica. Tal comportamiento no lineal no puede
ser explicado por la teora de dnamo cinematica estandard (lineal). Este com-
portamiento es tpico de sistemas no lineales, sistemas como al que arribaron
Zeldovich y Ruzmaikin, el cual se puede mostrar que es topologicamente equiva-
lente al sistema de ecuaciones de Lorenz, que da origen a los atractores extra~nos.
8
>
>
>
>
>
>
>
:
_
X
1
= (X
2
X
1
)
_
X
2
= rX
1
X
2
X
1
X
3
_
X
3
= X
1
X
2
bX
3
(34)
10
El sistema de Lorentz tiene un punto jo en el origen, independientemente del
valor de los parametros, y para los valores del parametro r > 1 se presentan dos
puntos jos mas. La estabilidad de los puntos jos depende de los parametros,
para ciertos valores todos los puntos jos se vuelven inestables. En este regimen
las soluciones se encuentran en un entorno de uno de los puntos jos alejados del
origen por algun perodo de tiempo, y luego subitamente saltan a un entorno
del otro punto jo alejado del origen. Para valores particulares de r, y b
las transiciones de una rama a la otra son cuasiperiodicas, mientras que en
forma irregular el sistema se queda en un entorno del origen por un intervalo
de tiempo equivalente al de varios perodos. Zeldovich y Ruzmaikin asociaron
este fenomeno con el mnimo de Maunder, las oscilaciones rapidas alrededor
de los puntos jos con las variaciones diarias en el numero de manchas, y las
transiciones cuasiperiodicas con la inversion del campo magnetico cada once
a~nos.
5 Analisis de series temporales
Modelo del oscilador de relajacion
Mininni, Gomez y Mindlin (2000) encararon el problema de obtener un sis-
tema dinamico para el ciclo solar desde otra perspectiva, el analisis de series
temporales. Utilizaron la base de datos acumulados de la observacion de las
manchas solares para reconstruir el espacio de fases correspondiente al sistema
dinamico subyacente en el ciclo solar. A partir de estos resultados generaron
un modelo dinamico sencillo que respetara la topologa del atractor observado.
En este trabajo tratamos de reproducir los calculos realizados por Mininni et
al., usando los datos proporcionados por el Observatorio de Zurich del numero
diario de manchas solares desde 1818 hasta la actualidad. En la Figura 1 puede
verse un graco generado con estos datos. En este graco se observa que en
todos los mnimos de actividad el Sol pasa por varios das sin manchas en su
supercie. Tpicamente en cada mnimo se registran alrededor de cincuenta das
sin manchas, y generalmente puede haber mas de diez das consecutivos con la
supercie del Sol completamente limpia. Durante estos perodos se produce el
cambio de polaridad de los campos magneticos.
En los modelos de dnamo solar el campo magnetico es la magnitud fsica
relevante. El numero de manchas en la supercie del Sol esta relacionado con
la amplitud del campo magnetico, esta amplitud no permite hacer un analisis
de la topologa del espacio de fases para obtener la dinamica subyacente del
sistema. Segun el modelo de Babcock el numero de manchas es proporcional
a la erupcion de campo magnetico poloidal en la fotosfera, y siguiendo este
modelo se puede considerar que el numero de Wolf es proporcional al cuadrado
del campo magnetico poloidal en la supercie del Sol
R / hjB
p
j
2
i (35)
Para cotejar esta suposicion con las observaciones se obtuvieron los valores del
11
campo magnetico medio (SMMF), segun el Observatorio de Stanford, para com-
pararlos con el numero de manchas. El campo magnetico medio se calcula
diariamente a partir de magnetogramas obtenidos para la supercie de la cara
visible del Sol. En la Figura 2 pueden verse estos datos de campo magnetico
medio.
Figure 1: Numero de Wolf R diario desde 1818 hasta la actualidad de acuerdo
al Observatorio de Zurich.
Figure 2: Campo magnetico medio (SMMF) de acuerdo a datos del Observatorio
de Stanford.
Sin embargo este tipo de mediciones se efectuan en forma sistematica desde hace
solo treinta a~nos, por lo que no se puede hacer un analisis de la serie temporal
12
como el que pretendemos con un perodo de tiempo inferior a dos ciclos solares.
En la Figura 3 se muestran el numero de Wolf y el campo magnetico medio
al cuadrado normalizados por sus respectivos valores maximos. Para tiempos
del orden del ciclo solar las envolventes de las dos curvas son similares y esto
refuerza la idea de que el numero de manchas sobre la supercie solar es un
indicador de la actividad magnetica solar.
Figure 3: Numero de Wolf(R) y campo magnetico medio al cuadrado.
Para tener una serie temporal que sea proporcional al campo magnetico se
puede invertir el signo de la serie del numero de Wolf en cada mnimo del numero
de manchas, tomando previamente la raz cuadrada de esta ultima serie. Para
ello se utilizan las fechas de los mnimos de actividad solar proporcionados por
el Observatorio de Zurich. Con el n de realizar una reconstruccion del espacio
de fases se necesitan hacer calculos de la serie temporal que representa al campo
magnetico, entonces es menester suavizar dicha serie temporal. Esto se logra
ltrando la serie con un ltro pasabajos, eliminando las componentes de alta
frecuencia. La serie temporal obtenida luego de este proceso la denominaremos
de aca en adelante como la serie B, el campo magnetico observacional. En la
Figura 4 se muestra la serie temporal previamente al ltrado y la serie ltrada
(B).
5.1 Reconstruccion del espacio de fases
Se puede reconstruir el espacio de fases, para obtener un sistema dinamico
sencillo del campo solar, calculando la derivada temporal de B (
_
B) utilizando
diferencias nitas
_
B =
B(t
i+h
)B(t
ih
)
t
i+h
t
ih
+O(h
2
) (36)
13
Figure 4: Serie temporal proporcional al campo magnetico obtenida del numero
de manchas solares diario luego de invertir el signo en cada mnimo de actividad
(rojo), y la version ltrada para eliminar las componentes de alta frecuencia de
la serie temporal (negro).
La dimensionalidad del espacio de fases no es conocida a priori, pero la rela-
tiva sencillez de la serie temporal sugiere que un espacio de fases bidimensional
es suciente para describir correctamente el sistema. En la Ecuacion (36) h
representa el paso de derivacion. Mininni et al. analizaron el espacio de fases
para distintos valores del paso. El calculo de la derivada aumenta en un or-
den de magnitud la razon se~nal/ruido respecto de la serie original. El ruido
aumenta considerablemente con la disminucion del paso. Para pasos suciente-
mente grandes el sistema parece mostrar un ciclo lmite casi rectangular como
atractor. En la Figura 5 se puede observar el espacio de fases reconstruido us-
ando un paso de mil das. La densidad de puntos en los lados del rectangulo
es distinta, en los lados horizontales la densidad de puntos es aproximadamente
el doble que en los lados verticales. Esto indica que la dinamica en los lados
horizontales es mas lenta que en los verticales. Este ultimo hecho junto con la
forma rectangular del ciclo, y con el hecho observacional de que el numero de
manchas (as como B) crece rapidamente y decrece mucho mas lento, sugirieron
la dinamica de un oscilador de relajacion tipo Van der Pol.
5.2 El oscilador de van der Pol
Las ecuaciones de Van der Pol corresponden a aun oscilador forzado cuyo coe-
ciente de rozamiento depende de la amplitud de las oscilaciones. Las ecuaciones
14
Figure 5: Espacio de fases de B con un paso de mil das.
de Van der Pol tienen la forma
8
>
>
>
:
z =
x(t
i+h
)x(t
ih
)
t
i+h
t
ih
_z = 4
x(t
i+h
)2x(t
i
)+x(t
ih
)
(t
i+h
t
ih
)
2
(39)
Luego, utilizando un codigo apropiado de ajuste de curvas, se encuentran los
valores optimos de los parametros para que el error cuadratico medio entre _z y
la funcion F = !
2
x z(3x
2
1) sea mnimo. Con los datos tratados en la
forma mencionada se obtuvieron los valores
8
>
>
>
>
>
>
>
:
! = 0:30
= 0:20
= 0:01
(40)
Figure 6: Espacio de fases obtenido integrando numericamente el sistema de
Van der Pol, con los valores optimos de los parametros (negro) y el espacio de
fases correspondiente a la serie temporal observacional (verde).
Con estos valores de los parametros se integro el sistema de Van der Pol uti-
lizando el metodo de Runge-Kutta de orden cuatro. En la Figura 6 se puede ver
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esta integracion junto con el espacio de fases correspondiente a la serie observa-
cional. En la Figura 7 se compara el campo magnetico observacional B con la
serie obtenida con la integracion numerica del oscilador de Van der Pol.
Figure 7: Serie temporal del campo magnetico observacional (rojo) y serie in-
tegrada numericamente con el oscilador de Van der Pol (negro).
17