Modelos de Redes: Modelos de Redes: ÁÁrbol rbol de expanside expansióón mn míínimanima

M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas

ObjetivosObjetivos

Conceptos y definiciones de redes.Conceptos y definiciones de redes.Importancia de los modelos de redesImportancia de los modelos de redesModelos de programaciModelos de programacióón lineal, representacin lineal, representacióón en n en redes y soluciones usando el computador para:redes y soluciones usando el computador para:* Modelos de asignaci* Modelos de asignacióónn* Modelo del vendedor viajero* Modelo del vendedor viajero* Modelos de la ruta mas corta* Modelos de la ruta mas corta* Modelos de la rama mas corta* Modelos de la rama mas corta

Y otros.Y otros.

Un problema de Un problema de redes redes es aquel que puede es aquel que puede representarse por:representarse por:

Nodos

Arcos

8

9

10

10

7

6

Funciones en los arcos

IntroducciIntroduccióónn

La importancia de los modelos de redes:La importancia de los modelos de redes:

* Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a trav* Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a travéés s de modelos redesde modelos redes

* El resultado de un problema de redes garantiza una soluci* El resultado de un problema de redes garantiza una solucióón n entera, dada su estructura matementera, dada su estructura matemáática. No se necesitan tica. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solucirestricciones adicionales para obtener este tipo de solucióón.n.

* Problemas de redes pueden ser resueltos por peque* Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeñños os algoritmos , no importando el tamaalgoritmos , no importando el tamañño del problema, dada su o del problema, dada su estructura matemestructura matemáática.tica.

TerminologTerminologíía de Redesa de Redes

* Flujo: * Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse Corresponde a la cantidad que debe transportarse desde un nodo i a un nodo j a travdesde un nodo i a un nodo j a travéés de un arco que los s de un arco que los conecta. La siguiente notaciconecta. La siguiente notacióón es usada:n es usada:

XXijij= cantidad de flujo= cantidad de flujo

UUijij= cota m= cota míínima de flujo que se debe transportarnima de flujo que se debe transportar

LLijij= cota = cota maxmaxíímama de flujo que se puede transportar.de flujo que se puede transportar.

* * Arcos dirigidos /no dirigidos: Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puede Cuando el flujo puede transportarse en una sola direccitransportarse en una sola direccióón se tiene un arco dirigido (la n se tiene un arco dirigido (la flecha indica la direcciflecha indica la direccióón). Si el flujo puede transportarse en n). Si el flujo puede transportarse en ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha).ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha).

* * Nodos adyacentes:Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i si Un nodo j es adyacente con un nodo i si existe un arco que une el nodo j con el nodo i.existe un arco que une el nodo j con el nodo i.

Rutas/ConexiRutas/Conexióón entre nodosn entre nodos

*Ruta: *Ruta: Una colecciUna coleccióón de arcos formados por una serie de n de arcos formados por una serie de nodos adyacentesnodos adyacentes* Los nodos est* Los nodos estáán conectados si existe una ruta entre ellos.n conectados si existe una ruta entre ellos.

Ciclos / Arboles /Arboles expandidosCiclos / Arboles /Arboles expandidos

* Ciclos :* Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta.un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta.* Arbol :* Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos.Una serie de nodos que no contienen ciclos.*Arbol expandido: *Arbol expandido: Es un Es un áárbol que conecta todos lo nodos de rbol que conecta todos lo nodos de la red (contiene nla red (contiene n--1 arcos).1 arcos).

77

ÁÁrbol de expansirbol de expansióón mn míínimanima

88

ÁÁrbol de expansirbol de expansióón mn míínimanima

Este problema surge cuando todos los nodos de una Este problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un red deben conectar entre ellos, sin formar un looploop..

El El áárbol de expansirbol de expansióón mn míínima es apropiado para nima es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es problemas en los cuales la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantconsidera instantááneo.neo.

99

ÁÁrbol de expansirbol de expansióón mn míínimanima

Este problema se refiere a utilizar las ramas o arcos de Este problema se refiere a utilizar las ramas o arcos de la red para llegar a todos los nodos de la red, de manera la red para llegar a todos los nodos de la red, de manera tal que se minimiza la longitud total.tal que se minimiza la longitud total.La aplicaciLa aplicacióón de estos problemas de optimizacin de estos problemas de optimizacióón se n se ubica en las redes de comunicaciubica en las redes de comunicacióón eln elééctrica, telefctrica, telefóónica, nica, carretera, ferroviaria, acarretera, ferroviaria, aéérea, marrea, maríítima, etc.; donde los tima, etc.; donde los nodos representan puntos de consumo elnodos representan puntos de consumo elééctrico, ctrico, teltelééfonos, aeropuertos, computadoras.fonos, aeropuertos, computadoras.Y los arcos podrY los arcos podríían ser de alta tensian ser de alta tensióón, cable de fibra n, cable de fibra óóptica, rutas aptica, rutas aééreas, etc.reas, etc.Si n = numero de nodos, entonces la soluciSi n = numero de nodos, entonces la solucióón n óóptima ptima debe incluir ndebe incluir n--1 arcos.1 arcos.

1010

Algoritmo de Algoritmo de KruskalKruskal

1111

Algoritmo de Algoritmo de KruskalKruskal1.1. Comenzar en forma arbitraria en cualquier Comenzar en forma arbitraria en cualquier

nodo y conectarlo con el mas prnodo y conectarlo con el mas próóximo (menos ximo (menos distante o costoso).distante o costoso).

2.2. Identificar el nodo no conectado que esta mIdentificar el nodo no conectado que esta máás s cera o menos costoso de alguno de los nodos cera o menos costoso de alguno de los nodos conectados. Deshacer los empates de forma conectados. Deshacer los empates de forma arbitraria. Agregar este nodo al conjunto de arbitraria. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.nodos conectado.

3.3. Repartir este aso hasta que se hayan Repartir este aso hasta que se hayan conectado todos los nodos.conectado todos los nodos.

1212

EJEMPLO 1EJEMPLO 1EL TRANSITO DEL DISTRITO EL TRANSITO DEL DISTRITO

METROPOLITANOMETROPOLITANOÁÁrbol de expansirbol de expansióón mn míínimanima

1313

EL TRANSITO DEL DISTRITO EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANOMETROPOLITANOLa ciudad de Vancouver esta planificando el La ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva ldesarrollo de una nueva líínea en sistemas de nea en sistemas de trtráánsito.nsito.El sistema debe unir 8 residencias y centros El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales.comerciales.El distrito metropolitano de transito necesita El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de lseleccionar un conjunto de lííneas que conecten neas que conecten todos los centros a un mtodos los centros a un míínimo costo.nimo costo.La red seleccionada debe permitir:La red seleccionada debe permitir:

-- Factibilidad de las lFactibilidad de las lííneas que deban ser construidas.neas que deban ser construidas.-- MMíínimo costo posible por lnimo costo posible por líínea.nea.

1414

5

2 6

4

7

81

3

Zona Oeste

Zona Norte Universidad

DistritoComercial

Zona EsteShoppingCenter

Zona Sur

Zona Centro

33

50

30

55

34

2832

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

RED QUE REPRESENTAEL ARBOL EXPANDIDO.

1515

SoluciSolucióón n -- AnalogAnalogíía con un problema de redesa con un problema de redes-- El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fmuy fáácil (cil (““trivialtrivial””).).-- Corresponde a una categorCorresponde a una categoríía de algoritmos a de algoritmos “á“ávidosvidos””..-- Algoritmo:Algoritmo:

* Comience seleccionando el arco de menor longitud.* Comience seleccionando el arco de menor longitud.* En cada iteraci* En cada iteracióón, agregue el siguiente arco de menor n, agregue el siguiente arco de menor

longitud longitud del conjunto de arcos disponibles , tomando la del conjunto de arcos disponibles , tomando la precauciprecaucióón de no formar ningn de no formar ningúún n looploop..* El algoritmo finaliza cuando todos los nodos est* El algoritmo finaliza cuando todos los nodos estáán n conectados.conectados.

SoluciSolucióón mediante el computadorn mediante el computador

-- Los entrada consiste en el nLos entrada consiste en el núúmero de nodos, el largo de los mero de nodos, el largo de los arcos y la descripciarcos y la descripcióón de la red.n de la red.

1616

Solución óptima mediante WINQSB

1717

ShoppingCenter

Loop

5

2 6

4

7

81

3

Zona Oeste

Zona Norte

Universidad

DistritoComercial

Zona Este

Zona Sur

ZonaCentro

33

50

30

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

Costo Total = $236 millones

RED QU EREPRESENTA LASOLUCIÓN ÓPTIMA

1818

EJEMPLO 2EJEMPLO 2RED DE COMUNICACIONESRED DE COMUNICACIONES

ÀÀRBOL DE EXPANSIRBOL DE EXPANSIÓÓN MN MÍÍNIMANIMA

1919

Ejemplo 1Ejemplo 1

Se va a instalar una red de comunicaciSe va a instalar una red de comunicacióón n entre 12 ciudades. entre 12 ciudades. Los costos de los posibles enlaces Los costos de los posibles enlaces directos entre pares permisibles es el que directos entre pares permisibles es el que se muestra en la figura. se muestra en la figura. Cada unidad de costo representa $10,000 Cada unidad de costo representa $10,000 ddóólares.lares.

2020

1

9

5

2

10

6

3

11

7

4

12

8

4

1

9

5

4

3

5

6

7

2

3 1

2

2

6

1

7

2121

SOLUCISOLUCIÓÓN CON N CON WINQSBWINQSB

2222

2323

2424

2525

2626

2727

2828

2929

3030

3131

3232

3333

3434

3535

3636

SoluciSolucióónnInteracción Nodo Con nodo Costo ($)1 1 5 12 1 2 43 2 6 34 6 7 55 7 8 26 8 4 17 7 11 28 11 12 19 11 10 310 10 9 511 2 3 6

SUMA $33

3737

MMéétodo Tabulartodo Tabular1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 4 12 4 6 33 6 6 74 6 15 1 4 96 3 4 5 77 7 5 2 28 1 2 29 9 510 7 5 311 2 3 112 2 1

3838

EJEMPLO 3EJEMPLO 3winqsbwinqsb

3939

Solucione el siguiente Solucione el siguiente áárbol de extensirbol de extensióón mn míínima para nima para la red de comunicaciones de emergencia usando el la red de comunicaciones de emergencia usando el mméétodo tabular. Las unidades son distancias en todo tabular. Las unidades son distancias en kmskms..

4040

SOLUCISOLUCIÓÓNN

4141

USANDO EL WINQSBUSANDO EL WINQSB

4242

4343

4444

4545

4646

4747

4848

4949

5050

5151

5252

5353

5454

5555

5656

5757

ITERACIITERACIÓÓNN DEL NODODEL NODO AL NODOAL NODO DISTANCIADISTANCIA11 11 1212 121222 1212 1515 131333 1515 1414 121244 1414 1313 4455 1313 1010 5566 1414 77 9977 77 88 1188 1010 99 101099 1414 1111 10101010 1111 66 881111 99 44 12121212 44 33 991313 33 22 11111414 44 55 1313

SUMASUMA 129129

5858

EJEMPLO 4EJEMPLO 4CENTRO REGIONAL DE CENTRO REGIONAL DE

CCÓÓMPUTOMPUTOÁÁrbol de expansirbol de expansióón mn míínimanima

5959

Un centro regional de cUn centro regional de cóómputo (mputo (C.R.CC.R.C.), debe .), debe instalar linstalar lííneas especiales para comunicacineas especiales para comunicacióón, a n, a fin de conectar a cinco usuarios satfin de conectar a cinco usuarios satéélite con una lite con una nueva computadora central, la companueva computadora central, la compañíñía a teleftelefóónica local es la que instalarnica local es la que instalaráá la nueva red la nueva red de comunicaciones, pero es una operacide comunicaciones, pero es una operacióón n costosa. costosa. Con el propCon el propóósito de reducir costos, se busca sito de reducir costos, se busca que la longitud total (que la longitud total (KmsKms.) de estas l.) de estas lííneas sea neas sea la menor posible. la menor posible. La red para este problema es la siguiente:La red para este problema es la siguiente:

6060

Un centro regional de cUn centro regional de cóómputo (mputo (C.R.CC.R.C.), debe instalar l.), debe instalar lííneas especiales para neas especiales para comunicacicomunicacióón, a fin de conectar a cinco usuarios satn, a fin de conectar a cinco usuarios satéélite con una nueva computadora lite con una nueva computadora central, la compacentral, la compañíñía telefa telefóónica local es la que instalarnica local es la que instalaráá la nueva red de comunicaciones, la nueva red de comunicaciones, pero es una operacipero es una operacióón costosa. n costosa. Con el propCon el propóósito de reducir costos, se busca que la longitud total (sito de reducir costos, se busca que la longitud total (KmsKms.) de estas l.) de estas lííneas neas sea la menor posible. sea la menor posible. La red para este problema es la siguiente:La red para este problema es la siguiente:

6161

SOLUCISOLUCIÓÓNN

6262

Desarrollo del algoritmo:Desarrollo del algoritmo:·· UbicarseUbicarse en el nodo 3 (puede ser en en el nodo 3 (puede ser en

cualquier otro nodo) y se encuentra que el cualquier otro nodo) y se encuentra que el nodo mnodo máás prs próóximo es el 4 (10 ximo es el 4 (10 KmsKms.).)

·· ElEl siguiente nodo msiguiente nodo máás cercano al 3 o 4 es s cercano al 3 o 4 es el nodo 6 (20 el nodo 6 (20 KmsKms).).

·· RepitiendoRepitiendo el paso anterior tenemos el el paso anterior tenemos el siguiente siguiente áárbol de extensirbol de extensióón mn míínima:nima:

6363

Con una extensión de 110 Kms.

6464

Interacción Nodos Distancia (Km.)

1 3-4 102 4-6 203 3-5 304 4-1 305 1-2 20

110 Km.

6565

1 2 3 4 5 6

1 20 40 30 50 40

2 20 40

3 40 10 30

4 30 10 20

5 50 40 30 40

6 40 20 40

MMÉÉTODO TABULARTODO TABULAR

6666

PROBLEMA PARA PROBLEMA PARA RESOLVERRESOLVER

CAMINOS EN EL PARQUECAMINOS EN EL PARQUE

RUTA MRUTA MÁÁS CORTAS CORTA

6767

6868

SOLUCISOLUCIÓÓNN

6969

7070

7171

7272

7373

7474

7575

Modelos de Redes: Modelos de Redes: Problema del flujo Problema del flujo

mmááximoximoM. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas

7676

Problema del flujo mProblema del flujo mááximoximo

7777

Problema del flujo mProblema del flujo mááximoximo

Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.entre ciertos puntos de partida y destino en una red.Existe un flujo que viaja desde un Existe un flujo que viaja desde un úúnico lugar de origen nico lugar de origen hacia un hacia un úúnico lugar destino a travnico lugar destino a travéés de arcos que s de arcos que conectan nodos intermediosconectan nodos intermediosCada arco tiene una capacidad que no puede ser Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedidaexcedidaLa capacidad no debe ser necesariamente la misma La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada direccipara cada direccióón del arco.n del arco.

7878

Considere una red con un nodo de Considere una red con un nodo de entrada (o fuente) y un nodo de salida (o entrada (o fuente) y un nodo de salida (o antifuenteantifuente). ). El problema del flujo mEl problema del flujo mááximo pregunta:ximo pregunta:¿¿CuCuáál es la cantidad ml es la cantidad mááxima de xima de vehvehíículos, lculos, lííquido, peatones o llamadas quido, peatones o llamadas teleftelefóónicas que pueden entrar y salir del nicas que pueden entrar y salir del sistema en un periodo determinado de sistema en un periodo determinado de tiempo?tiempo?

7979

En este tipo de problemas se intenta En este tipo de problemas se intenta conducir el flujo por las ramas o arcos de conducir el flujo por las ramas o arcos de la red en forma la red en forma óóptima, aunque dicho flujo ptima, aunque dicho flujo estestáá limitado por restricciones diversas limitado por restricciones diversas tales como: condiciones de la carpeta tales como: condiciones de la carpeta asfasfááltica, diltica, diáámetros de tubermetros de tuberíía, etc. a, etc. Al lAl líímite mmite mááximo de flujo de una rama se ximo de flujo de una rama se le denominarle denominaráá capacidad de flujo.capacidad de flujo.

8080

Se quiere transportar la mSe quiere transportar la mááxima cantidad de flujo desde un xima cantidad de flujo desde un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) ieie..

Al respecto diremos que existen muchos algoritmos Al respecto diremos que existen muchos algoritmos especializados para dar soluciespecializados para dar solucióón a los n a los P.F.MP.F.M..

8181

ObservaciObservacióón:n:1.Se debe considerar una red dirigida.1.Se debe considerar una red dirigida.2.Tiene una fuente y un pozo. 2.Tiene una fuente y un pozo. 3.Los otros nodos son de trasbordo.3.Los otros nodos son de trasbordo.4.Capacidad de los arcos.4.Capacidad de los arcos.5.El objetivo es determinar el patr5.El objetivo es determinar el patróón factible de flujo a travn factible de flujo a travéés de la s de la

red que maximice el flujo total desde la fuente de destino. red que maximice el flujo total desde la fuente de destino.

8282

DefiniciDefinicióón del Probleman del Problema

-- Existe un nodo origen (con el nExiste un nodo origen (con el núúmero 1), del cual los flujos mero 1), del cual los flujos emanan.emanan.

-- Existe un nodo terminal (con el nExiste un nodo terminal (con el núúmero n), en el cual todos los mero n), en el cual todos los flujos de la red son depositados.flujos de la red son depositados.

-- Existen nExisten n--2 nodos (2 nodos (nnúúmeradosmerados del 2, 3,....,ndel 2, 3,....,n--1), en el cual el 1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.flujo que entra es igual al flujo que sale.

-- La capacidad CLa capacidad Cij ij que transita del nodo i al nodo j, y la que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad capacidad CCjiji para la direccipara la direccióón opuesta.n opuesta.

8383

El objetivo es encontrar la mEl objetivo es encontrar la mááxima xima cantidad de flujo que salga del nodo cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.de los arcos.

8484

El problema consiste en encontrar la mEl problema consiste en encontrar la mááxima xima cantidad de flujo total que puede circular a cantidad de flujo total que puede circular a travtravéés de la red en una unidad de tiempo.s de la red en una unidad de tiempo.

El El úúnico requerimiento en ellos es que para nico requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o el destino) cada nodo (que no sea la fuente o el destino) la relacila relacióón de equilibrio debe cumplirse:n de equilibrio debe cumplirse:

flujo que sale = flujo que entra flujo que sale = flujo que entra

8585

Dicho en tDicho en téérminos formales, siendo f = flujo, n = rminos formales, siendo f = flujo, n = destino, l = origen:destino, l = origen:

Maximizar f sujeto a:Maximizar f sujeto a:

de la redde la red

capacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversocapacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversos arcos.s arcos.

=−∑∑ j jij ij xx= f, si i = 1

= -f, si j = n

= 0 en otro caso

ji

Ux ijij

,

0

∀

≤≤

=ijU

8686

El algoritmo de flujo mEl algoritmo de flujo mááximo se fundamenta en ximo se fundamenta en pasos de sentido compasos de sentido comúún: encontrar un camino n: encontrar un camino que inicie en la fuente y concluya en la que inicie en la fuente y concluya en la antifuenteantifuente, que tenga capacidad de flujo en el , que tenga capacidad de flujo en el sentido deseado y mayor a cero para todas las sentido deseado y mayor a cero para todas las ramas que integran el camino o ruta. ramas que integran el camino o ruta. Debemos continuar buscando caminos que Debemos continuar buscando caminos que vayan de fuentes a depvayan de fuentes a depóósitos y que sigan sitos y que sigan teniendo capacidad mayor a cero para todas las teniendo capacidad mayor a cero para todas las ramas en el sentido del flujo.ramas en el sentido del flujo.

8787

PASOS DEL ALGORITMOPASOS DEL ALGORITMO1. Encontrar un camino que vaya del origen al 1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a cero en destino y que tenga capacidad mayor a cero en el sentido deseado.el sentido deseado.2. Encontrar la rama de menor capacidad (2. Encontrar la rama de menor capacidad (PfPf) ) del camino seleccionado en el paso anterior y del camino seleccionado en el paso anterior y programar el envprogramar el envíío de dicha capacidad (o de dicha capacidad (PfPf).).3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la 3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad cantidad PfPf en las ramas involucradas y en las ramas involucradas y aumentar dicha cantidad en el sentido contrario.aumentar dicha cantidad en el sentido contrario.4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.

8888

EJEMPLO 1EJEMPLO 1Flujo mFlujo mááximoximo

8989

Una ciudad es atravesada por una red Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que le interestatal de carreteras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15,000 permite alcanzar un nivel de 15,000 vehvehíículos/hora en el horario culos/hora en el horario ““picopico””. . Debido a un programa de mantenimiento Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas vgeneral, el cual exige cerrar dichas víías, un as, un grupo de ingenieros ha propuesto una red de grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes.sur, la cual incorpora avenidas importantes.

9090

La red propuesta es la siguiente. Incluye el número de vehículos (miles) que pueden circular por dichas vías.

9191

1. 1. ¿¿Puede la red propuesta dar cabida a un Puede la red propuesta dar cabida a un flujo mflujo mááximo de 15,000 v/h de norte a ximo de 15,000 v/h de norte a sur?sur?

2. 2. ¿¿CuCuáál es el flujo ml es el flujo mááximo de vehximo de vehíículos culos que permite la red cada hora?que permite la red cada hora?

3. 3. ¿¿QuQuéé flujo se debe canalizar sobre cada flujo se debe canalizar sobre cada rama?rama?

9292

SOLUCISOLUCIÓÓNN

9393

3

2

0 5

1. 1-2-5-7 3

9494

36

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 6

0 11

9595

361

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 63. 1-4-6-7 1

0 11

4

4

0

9696

3611

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 63. 1-4-6-7 14. 1-4-6-5-7 1

0 11

4

4

0

3

3

0

4

9797

3+6+1+1+2=13

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 63. 1-4-6-7 14. 1-4-6-5-7 15. 1-2-3-5-7 2

0 11

4

4

0

3

3

0

4

0 01

2

SOLUCIÓN FINAL

9898

36112

2

0 5

0 1 1

4

4

0

3

3

0

4

0 01

2

5

2

2

3 6

26

2

61

7

9999

DeducciDeduccióón del modelo de n del modelo de programaciprogramacióón lineal para n lineal para

el problema del flujo el problema del flujo mmááximoximo

100100

El problema es enviar gas natural El problema es enviar gas natural desde un campo de produccidesde un campo de produccióón a n a una ciudad a travuna ciudad a travéés de gaseoductos.s de gaseoductos.

101101

El planteamiento con estos datos serEl planteamiento con estos datos seríía:a:MMááxx f sujeto a:f sujeto a:

fxxxxx

xxxxxxxfxx

=+=−+

=−−+=−−

=+

4535

453424

35342313

242312

1312

00

0

ijxxxxxxxx

ij ∀≥≤≤≤≤≤≤≤

,088753610

45

35

34

24

23

13

12

6

0

3

0 7

0

8

0

102102

Este planteamiento no se ajusta a la formulaciEste planteamiento no se ajusta a la formulacióón n estestáándar de programacindar de programacióón lineal de costo mn lineal de costo míínimo, nimo, puesto que se desconoce f y aparece puesto que se desconoce f y aparece simultsimultááneamente en la funcineamente en la funcióón objetivo y en el lado n objetivo y en el lado derecho de las restricciones.derecho de las restricciones.Si se plantea asSi se plantea asíí no es posible utilizar el algoritmo no es posible utilizar el algoritmo de programacide programacióón lineal, por ello utilizaremos el n lineal, por ello utilizaremos el artificio de agregar un arco ficticio entre los nodos artificio de agregar un arco ficticio entre los nodos inicial y final (x51), con ello ahora el planteamiento inicial y final (x51), con ello ahora el planteamiento serseríía:a:

103103

10410451

453551

453424

35342313

242312

131251

00

000

xfMAXxxx

xxxxxxx

xxxxxx

==++−

=−+=−−+

=−−=−−

ijxxxxxxxx

ij ∀≥≤≤≤≤≤≤≤

,088753610

45

35

34

24

23

13

126

0

105105

Ejercicio para resolverEjercicio para resolverFlujo mFlujo mááximoximo

106106

Un conjunto de vUn conjunto de víías ras ráápidas tiene las siguientes pidas tiene las siguientes capacidades (miles de vehcapacidades (miles de vehíículos/hora).culos/hora).

1. Determinar el flujo máximo de vehículos/hora que pueden pasar por el sistema.2. ¿Cuántos vehículos/hora deben pasar por cada vía para lograr el flujo máximo?

107107

SOLUCISOLUCIÓÓNN

108108

ITERACIÓN CAMINO SELECCIONADO

Pf(vehículos/hora)

FLUJO TOTAL DESPUÉS DE LA ITERACIÓN

1 1-4-6 (1-4) 3,000 3,000

2 1-2-5-6 (1-2) 3,000 6,000

3 1-3-6 (3-6) 2,000 8,000

4 1-3-4-2-5-6 (2-5) 1,000 9,000

5 1-3-4-5-6 (3-4) 2,000 11,000

3

3

5 3

61

2

2

1

109109

PROBLEMA LINEALPROBLEMA LINEAL

110110

111111

112112

113113

EJEMPLO 4EJEMPLO 4CENTRO REGIONAL DE CENTRO REGIONAL DE

CCÓÓMPUTOMPUTOÁÁrbol de expansirbol de expansióón mn míínimanima

114114

Un centro regional de cUn centro regional de cóómputo (mputo (C.R.CC.R.C.), debe .), debe instalar linstalar lííneas especiales para comunicacineas especiales para comunicacióón, a n, a fin de conectar a cinco usuarios satfin de conectar a cinco usuarios satéélite con una lite con una nueva computadora central, la companueva computadora central, la compañíñía a teleftelefóónica local es la que instalarnica local es la que instalaráá la nueva red la nueva red de comunicaciones, pero es una operacide comunicaciones, pero es una operacióón n costosa. costosa. Con el propCon el propóósito de reducir costos, se busca sito de reducir costos, se busca que la longitud total (que la longitud total (KmsKms.) de estas l.) de estas lííneas sea neas sea la menor posible. la menor posible. La red para este problema es la siguiente:La red para este problema es la siguiente:

115115

Un centro regional de cUn centro regional de cóómputo (mputo (C.R.CC.R.C.), debe instalar l.), debe instalar lííneas especiales para neas especiales para comunicacicomunicacióón, a fin de conectar a cinco usuarios satn, a fin de conectar a cinco usuarios satéélite con una nueva computadora lite con una nueva computadora central, la compacentral, la compañíñía telefa telefóónica local es la que instalarnica local es la que instalaráá la nueva red de comunicaciones, la nueva red de comunicaciones, pero es una operacipero es una operacióón costosa. n costosa. Con el propCon el propóósito de reducir costos, se busca que la longitud total (sito de reducir costos, se busca que la longitud total (KmsKms.) de estas l.) de estas lííneas neas sea la menor posible. sea la menor posible. La red para este problema es la siguiente:La red para este problema es la siguiente:

116116

SOLUCISOLUCIÓÓNN

117117

Desarrollo del algoritmo:Desarrollo del algoritmo:·· UbicarseUbicarse en el nodo 3 (puede ser en en el nodo 3 (puede ser en

cualquier otro nodo) y se encuentra que el cualquier otro nodo) y se encuentra que el nodo mnodo máás prs próóximo es el 4 (10 ximo es el 4 (10 KmsKms.).)

·· ElEl siguiente nodo msiguiente nodo máás cercano al 3 o 4 es s cercano al 3 o 4 es el nodo 6 (20 el nodo 6 (20 KmsKms).).

·· RepitiendoRepitiendo el paso anterior tenemos el el paso anterior tenemos el siguiente siguiente áárbol de extensirbol de extensióón mn míínima:nima:

118118

Con una extensión de 110 Kms.

119119

Interacción Nodos Distancia (Km.)

1 3-4 102 4-6 203 3-5 304 4-1 305 1-2 20

110 Km.

120120

1 2 3 4 5 6

1 20 40 30 50 40

2 20 40

3 40 10 30

4 30 10 20

5 50 40 30 40

6 40 20 40

MMÉÉTODO TABULARTODO TABULAR