Modelos secundarios

Tanto los parámetros que definen las curvas de Inactivación D ó z, como los que definen las curvasDe crecimiento , se ven afectados por factoresMediombientales pH, ClNa, aw, entre otros.

Los modelos probabilísticos o matemáticos que relacionan las variables dependientes, parámetros cinéticos, con los factores medioambientales son los denominados modelos secundarios

Modelos secundarios de inactivción

Modelo basado en la ecuación de Arrhenius (Davey, 1993)

Lnk = c0+(c1/T)+c2pH+c3(pH)2+

Modelo basado en la ecuación de Bigelow (Mafart y Leguérinel, 1998)

LogD = LogD*-(1/zT)(T-T*)-(1/zpH)2(pH-pH*)2+

Modelo cuadrático polinomial (Fernández y col., 1996)

LogD = c1+c2T+c3pH+c4(TpH)+c5T2+c6(pH)2 +

Modelo básico (Fernández y col., 1996)

LogD = c1+c2T+c3pH+

refref

pHTref TTR

EapHpH

tLn

11exp

),(

Curvas con colas o con hombros

Modelo basado en la distribución de

Frecuencia de Weibull (Fernández y col., 2001)

Modelos secundarios de crecimiento

Los modelos secundarios de crecimiento se puedenAgrupar en tres categorías:

Modelos de raiz cuadrada (Bélenrádek)

Modelos basados en la ecuación de Arrhenius (Davey)

Modelos polinomiales o de superficie de respuesta

Superficie de respuesta

Es una ecuación de regresión ajustada usando técnicasDe regresión normales y que puede contener términosLineales, cuadráticos, cúbicos incluyendo interacciones.

La ecuación es totalmente descriptiva del grupo particularDe datos usados para su cálculo y sin implicar relacionesTeóricas o mecanísticas.

Ejemplos

Relación lineal para describir alteración en pescado(Spencer y Baines 1964)

Velocidad de alteración (k)= Ko(1+aT)

a= constante linealKo= Velocidad a 0ºCT= Temperatura

Se han utilizado ecuaciones polinómicas para Predecir el valor de los parámetros B y M de laEcuación de Gompertz en función del pH, Atmósfera anaeróbica y aeróbica, la concentración de ClNa y la temperatura de almacenamiento en Salmonella y Listeria (Gibson y col 1988, Buchanany col 1989)

ji

n

j

n

ijijj

n

jj xxbxba

11

log

El modelo polinómico tiene esta forma general

VALIDACIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS MODELOS

La validación es una de las etapas más importantes en el desarrollo de un modelo de inactivación o de crecimiento.

Dos fasesValidaciónmatemática

Validación enalimento

Con nuevos datos obtenidos de forma independiente

En condiciones reales de elaboración del alimento

A través de ciertos índices (Estadísticamente)

Cómo se puede validar un modelo

Indices estadísticos

Coeficiente de determinación

Estudio de los residuos

Datos influyentes

Multicolinealidad

Índices para evaluar modelos en microbiología de alimentos

Coeficiente de determinación

Este coeficiente indica la proporción de variabilidadde las observaciones de la variable dependiente (lnK)explicada por el conjunto de las variables independientesconsideradas en cada caso.

Estudio de los residuos

Los residuos se definen como la diferencia entre el valorobservado de la variable dependiente y el valor ajustadoen el modelo.

Pruebas habituales para los residuos

Descriptivas básicas

Test de normalidad (Kolmogorov-Smirnov)

Linealidad, homocedasticidad (igual varianza) y valores atípicos

Autocorrelación entre residuos consecutivos (Durbin-Watson)

Descriptivas básicas 

  Mínimo Máximo Media Desv. típica

Residuo bruto -0.398 0.254 1.06E-15 0.128

Residuo típico -3.019 1.929 0.000 0.974

Residuo estudentizado -3.075 1.985 0.002 1.005

Residuo eliminado -0.412 0.276 4.27E-04 0.137

Residuo eliminado estudentizado -3.343 2.040 -0.002 1.032 

Normalidad

Residuos

,25

,20

,15

,10

,05

-,00

-,05

-,10

-,15

-,20

-,25

-,30

-,35

-,40

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Desv. típ

Media = 0,00

N = 60,00gráfico P -P de los Residuos

Valor observado

,4,3,2,1,0-,1-,2-,3-,4-,5

Val

or

Nor

mal

esp

era

do

,4

,3

,2

,1

0,0

-,1

-,2

-,3

-,4

valores ajustados

1,51,0,50,0- ,5- 1,0- 1,5

,3

,2

,1

,0

- ,1

- ,2

- ,3

- ,4

- ,5

residuos

Hocedasticidad y valores atípicos

TEMP2

200010000-1000- 2000

LOG

D

,8

,6

,4

,2

,0

-,2

-,4

-,6

-,8

-1,0

NACL

2,01,51,0,50,0-,5-1,0-1,5-2,0

LOG

D

,4

,2

-,0

-,2

-,4

-,6

PH2

100-10-20

LOG

D

,6

,4

,2

-,0

-,2

-,4

-,6

Linealidad

Autocorrelación

0 44-dl4-dududl 2

0<d<dl = aceptamos correlación positiva

dl<d<du= test no concluyente

du<d<4-du= no autocorrelación

4-du<d<4-dl= test no concluyente

4-dl<d<4= autocorrelación negativa

número datos

Número de variables1 2 3 4

dl du dl du dl du dl du

15

16

17

18

19

0.95 1.23 0.83 1.40

0.98 1.24 0.86 1.40

Tabla test Durbin-Watson

Datos influyentes

En algunos problemas se observa que un número pequeño de observaciones tienen una influencia exagerada sobre elmodelo ajustado.

Una forma de averiguar la presencia de datos influyenteses mediante la distancia de Cook.

Se considera que un dato es influyente si el valor de ladistancia de Cook que le corresponde es mayor de 1

Valores máximos de la Distancia de Cook para cada uno de los modelos analizados

Microorganismo/

alimento

N

Arrhenius

Bigelow

Cuadrático

Básico

C. botulinum Spaghetti Macarrón Arroz

32 32 32

0,663 0,502 0,347

0,334 0,323 0,263

0,402 0,429 0,156

0,636 0,525 0,426

C. sporogenes Tampón fosfato Puré de guisantes

30 30

0,233 0,502

0,168 0,689

0,133 0,337

0,241 0,424

B. stearothermophilus Champiñón (cítrico) Champiñón (GDL)

12 12

0,324 0,600

0,293 0,480

0,374 1,265

0,354 0,788

Multicolinealidad

Este problema se presenta cuando una o varias de las variables explicativas del modeloson, prácticamente, unacombinación lineal de las demás, aportando informaciónsobre la variable de respuesta claramente redundante.

Un indicador de multicolinealidad es lo que se llama:factor de inflacción de la varianza (VIF)

El factor de inflacción de la varianza se definecomo:

121

jR

Siendo: 2jR

el coeficiente de determinaciónobtenido aplicando la regresiónmúltiple para explicar esa variableexplicativa a través de las restantes

VIF debe ser menor de 10

Valores del Factor de Inflación de la Varianza (FIV) para cada uno de los modelos analizados

Microorganismo/

alimento

n

Arrhenius

Bigelow

Cuadrático

Básico

C. botulinum Spaghetti Macarrón Arroz

32 32 32

179 179 179

1,00 1,00 1,00

1980 1980 1980

1,00 1,00 1,00

C. sporogenes Tampón fosfato Puré de guisantes

30 30

347 347

1,00 1,00

5129 5129

1,00 1,00

B. stearothermophilus Champiñón (cítrico) Champiñón (GDL)

12 12

574 574

1,00 1,00

6259 6259

1,00 1,00

Nuevos datos obtenidos de forma independiente

Hay dos índices que nos pueden dar de forma rápidala diferencia entre los valores predichos por el modeloy aquellos obtenidos de forma independiente paradistintas combinaciones de las variables independientes

Hay dos índices que nos pueden dar de forma rápidala diferencia entre los valores predichos por el modeloy aquellos obtenidos de forma independiente paradistintas combinaciones de las variables independientes

BIAS Factor de exactitud

n

observadospredichos

fB

/log

10

n

observadospredichos

fA

/log

10

Valores del factor BIAS para cada uno de los modelos analizados

Microorganismo/

alimento n

Arrhenius

Bigelow

Cuadrático

Básico

C. botulinum

Spaghetti Macarrón Arroz

32 32 32

0,98 0,98 1,00

1,01 1,00 1,00

0,96 1,06 2,02

1,00 0,99 1,00

C. sporogenes Tampón fosfato Puré de guisantes

30 30

1,00 1,00

1,00 1,01

1,11 0,93

1,00 1,00

B. stearothermophilus Champiñón (cítrico) Champiñón (GDL)

12 12

1,01 1,00

1,00 1,00

0,50 4,10

0,92 1,08

Valores del factor de exactitud para cada uno de los modelos analizados

Microorganismo/

alimento

n

Arrhenius

Bigelow

Cuadrático

Básico

C. botulinum Spaghetti Macarrón Arroz

32 32 32

1,17 1,17 1,17

1,07 1,06 1,06

1,07 1,08 2,02

1,14 1,16 1,18

C. sporogenes Tampón fosfato Puré de guisantes

30 30

1,27 1,23

1,10 1,11

1,12 1,09

1,10 1,09

B. stearothermophilus Champiñón (cítrico) Champiñón (GDL)

12 12

1,29 1,32

1,15 1,15

2,01 4,10

1,13 1,13