Resultante de sistemas de fuerzas

Hasta ahora sabemos, que una partícula esta en equilibrio, si la resultante del sistema de fuerza concurrentes que actúa sobre ella debe ser igual a cero. Esto es:

F = 0

La condición de F = 0 no solo es una condición necesaria para el equilibrio, también es una condición suficiente.

Momento de una fuerza:Momento de una fuerza:Formulación EscalarFormulación Escalar

El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje.Fx es perpendicular a la manija de la llave y se esta ubicada a una distancia (dy) del punto (O). Fx tiende a girar el tubo alrededor del eje vertical (z). El efecto de rotación será más grande si Fx o dy se incrementan. La tendencia a rotar se le llama momento (M0) z

y

x

z

O

Fxdy

Momento de una fuerza: formulación escalar

La tubería tendera a rotar alrededor del eje x, (Mo)x, si se aplica sobre la llave una fuerza Fz aplicada a una distancia dy del origen O,

Fz y dy están contenidos en plano YZ que es perpendicular al eje x

y

x

z

O

Fz

dy

Momento de una fuerza – formulación escalar

Si sobre la llave actúa una fuerza dirigida a lo largo del eje y, Fy, no produce tendencia a la rotación de la tubería puesto que la línea de acción de la fuerza pasa por el origen

y

x

z

O Fy

dy

Momento de una fuerza:Formulación escalar

El momento Mo con respecto al punto O, o con respecto a un eje que pasa por O y sea perpendicular al plano, es una cantidad vectorial puesto que tiene una magnitud y dirección especificada.

Magnitud

MO = F d

Donde a “d” se le llama brazo palanca (distancia al eje de rotación en el punto O a la línea de acción F).

F d

O

Momento de una fuerza:Formulación escalar

Dirección

F

d

O

F

d

O

MO

MO

Momento resultante de un sistema de fuerzas coplanares

F1, F2, y F3 están contenidos en el plano horizontal (x-y). Sus distancias al punto (O) son d1, d2, y d3, respectivamente.

+ MO = (F d)

y

x

z

F1

F2

F3d1

d2d3

O

Ejemplo

Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. Desprecie el espesor del miembro

Ejemplo

Determine el momento resultante de las fuerzas con respecto al punto O.

Producto cruz

Si se tienen dos vectores A y B, entonces el producto cruz de los vectores es

C = A B(C es igual a A cruz B)La magnitud de C es :

C = AB sin C es perpendicular (dirección) al plano que contiene a los vectores A y B.Entonces

C = A B = ( AB sin ) uC

BA

C

uC

AB sin

Leyes de operaciónLeyes de operación

(1) Ley conmutativa

A B B A pero A B = - B A

BA

C = A B

AB

-C = B A

Leyes de operación

(2) Multiplicación por un escalar

a (A B) = (a A) B = A (aB) = (A B) a

(3) La ley distributiva

A (B + D) = (A B) + (A D)

Formulación vectorial cartesiana

Use C = AB sin () para encontrar el producto cruz de dos vectores

ij = k; ik = -j ; ii = 0

jk = i; ji = -k; jj = 0

ki = j; kj = -i; kk = 0

ij = ij seno(90°) = (1)(1)(1) = 1

ii = ii seno(0°) = (1)(1)(0) = 0

Formulación vectorial cartesiana

Si A y B son dos vectores, entonces :

A B = (Ax i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k)

= AxBx (i i) +AxBy (i j) + AxBz (i k)+…

…+ AyBx (j i) +AyBy (j j) + AyBz (j k)+…

…+ AzBx (k i) +AzBy (k j) + AzBz (k k)

= (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k

Formulación vectorial cartesiana

Formulación vectorial cartesiana

Momento de una fuerza : formulación vectorial

En la formulación escalar, hemos visto que el momento de una fuerza la F respecto a O o de un eje que de rotación que pase por el punto O es igual:

+ MO = F dDonde d es la distancia perpendicular entre la fuerza y el punto O. En la forma de vector, el momento puede ser expresado como:

+ MO = r FDonde r es el vector posición trazado desde O a cualquier punto que se encuentra sobre la línea de acción de F. El momento tiene tanto magnitud como dirección que se determinan mediante la regla de la mano derecha.

Momento de una fuerza : formulación vectorial

Magnitud

+ MO = r F = r F sin = F (r sin ) = F d

A

F

rO

MO

Eje de rotación

A

F

rO

MO

Eje de rotación

d

Principio de transmisibilidadEl momento producido por F respecto al punto O es igual a:

MO = r FHemos visto que r se puede trazar desde O a cualquier punto de la línea de acción de fuerza la F. Entonces:

MO = rA F = rB F = rC F

Entonces F tiene la propiedad de un vector deslizante y puede actuar en cualquier punto a lo largo de su línea de acción y por lo tanto producirá el mismo momento con respecto al punto O.

A

F

rA

O

MO rB

B

C

rC

x

y

z

Formulación vectorial cartesiana

Si F y r se expresan como vectores cartesianos, tenemos i j k

+ MO = r F = rx ry rz

Fx Fy Fz

Que al resolver la determinante se obtiene:

+MO = (ryFz - rzFy) i – (rxFz – rzFx) j + (rxFy – ryFx) k

Formulación vectorial cartesiana

La formulación vectorial tiene la ventaja cuando se enfrentan problemas que involucran fuerzas en tres dimensiones. El vector posición r se puede determinara mas fácilmente que el brazo palanca “d” (perpendicular a la línea de acción de la fuerza)

F

r

O

MO

Eje rotación

x

y

z

z

y

x

r

rx

ry

rz

F

Fx

Fy

Fz

Momento resultante de un sistema de fuerzas

+ MRO = ( r F )

F1

r1

F2

F3x

y

z

r2

r3

Ejemplo

Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O

Solución• Vector BC

BC = C – B = (5,0,0)-(1,4,2) = (4i-4j-2k) uBC = (4i-4j-2k)/6uBC = (0.667i-0.667j-0.333k)

• Vector FuerzaF = 120(0.667 i-667 j-0.333 k)LbF = (80 i-80 j-40 k)Lb

• Vector rr=OB=(5i+0j+0k)ft.

• Vector Momento.M= r x F = (5i+0j+0k) x (80 i-80 j-40 k)M= (0 i +200 j -400 k)lb-ftM= 447.21 lb-ft

Principio de momentos

Si F = F1 + F2+ MO = ( r F1 ) + ( r F2 ) = r (F1 + F2 ) = r F

Este principio establece que el momento de una fuerza con respecto aun punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al punto

F

F1

F2 r

O

Ejemplo

Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. F1=(100i-120j+75k) lib y F2=(-200i+250j+100 k) lib.

PRODUCTO ESCALAR

• El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q y el coseno del ángulo formado por P y Q .

• El producto escalar de P y Q se denota mediante P . Q

• Entonces, se escribeP . Q = PQ cos Ø

Propiedades del Producto Escalar

• A partir de su propia definición, se concluye que el producto escalar de dos vectores es conmutativo:

P . Q = Q . PP . (Q1 + Q2) = P . Q1 + P . Q2

• La propiedad asociativa no tiene apliacaión al producto escalar

(P . Q) . S ≠ P . (Q . S)

Otras Propiedades• El producto escalar de dos vectores P y Q puede expresarse

en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores.

P . Q = (P xi Pyj Pzk) . (Q xi Qyj Qzk)• Sin embargo:

i . i = 1 j . j = 1 k . k = 1 i . j = 0 j . k = 0 k . i = 0

• Por tanto, P . Q = PxQx + PyQy + PzQz

• En el caso particular, cuando P y Q son iguales:P . P = Px² + Py² + Pz² = P²

Aplicaciones

• Para determinar el ángulo formado por estos dos vectores

P = P xi + Pyj + PzkQ = Q xi + Qyj + Qzk

• Si igualamos las expresiones obtenidas para el producto escalar

PQ cosØ = PxQx + PyQy + PzQz• Despejando cos , se tiene

cosØ = (PxQx PyQy PzQz)/PQ

Aplicaciones• Para hallar la Proyección de un vector sobre un

eje dado. CPOL = P cosØ

• Si consideramos que Q esta dirigido a lo largo de OL con

• el mismo sentido que OLP . Q = PQ cosØ = P cosØ Q = POLQ

• por lo que se concluye que

Si Ø es agudo POL )+(Si Ø es obtuso POL )-(

Si Ø es recto POL = 0

Momento de una fuerza con respecto a un eje especifico

El momento de una fuerza con respecto a un eje se define como la componente del momento a lo largo de un determinado eje de rotaciónEs una medida del efecto de la fuerza para hacer girar el cuerpo alrededor del eje.

Momento de una fuerza con respecto a un eje especifico

Enfoque escalarDe la figura Para averiguar My Tenemos que multiplicar F por la distancia perpendicular esto es dy

My = F dy = F d cos

Si el eje es un eje cualquiera como a

Ma = F da

Momento de una fuerza con respecto a un eje especifico

EjemploDetermine el momento de la fuerza F con respecto al eje x, y, & z.

Momento de una fuerza con respecto a un eje especifico

Enfoque vectorial

La fuerza F produce un momento con respecto a un punto O

Mo = r x F

El efecto sobre el eje y será la proyección de Mo sobre y

My = j . Mo = j . r x F

En el caso de que el eje sea cualquier otro como a

Ma = ua . Mo = ua . r x F

r

Momento de una fuerza con respecto a un eje especifico

Enfoque vectorial

i j k

Ma = (uax i + uay j + uaz k ) . rx ry rz

Fx Fy Fz

• A la combinación del producto punto y cruz se llama triple producto escalar.

Momento de una fuerza con respecto a un eje especifico

uax uay uaz

Ma = ua . (r F) = rx ry rz Fx Fy FzSi Ma resulta positivo, entonces tiene el mismo sentido de ua y si Ma resulta negativo, entonces tendrá diferente sentido que ua

Puesto que ya se determino el modulo del momento (Ma), Ma se puede expresar como un vector cartesiano por:

+ Ma = Ma ua = [ ua . (r F) ] ua

El momento resultante de un sistema de fuerzas con respecto al eje es::Ma = [ ua . (r F) ] = ua . (r F)

Momento de una fuerza con respecto a un eje especifico

Ejemplo: Determine el momento de la fuerza F con respecto a un eje que pasa por A y C. Exprese el resultado como un vector cartesiano

Momento de un par

Que es un par?Dos fuerzas paralelas de igual magnitud y de sentidos

opuestos y están separados por una distancia perpendicular (d)

F

-F

d

Momento de un par

El Momento de un par y es igual a la suma de los momentos de ambas fuerzas con respecto a cualquier punto arbitrario

M = rB (-F) + rA F

M = ( rB - rA ) F

rA + r = rB

r = rB - rA

M = r F

F-F

r

A

B

rA

rb

O

Momento de un par

Formulación escalarFormulación escalarEl momento de un par es :M = FdDonde F es la magnitud de una de las fuerzas y d es la distancia perpendicular entre las dos fuerzas. La dirección del momento puede ser determinada según la regla de la mano derecha. El momento es perpendicular al plano que contiene a las dos fuerzas F

-Fd

M

Momento de un par

Formulación vectorialFormulación vectorial

El momento de una par se puede expresar por medio el producto de cruz de los vectores.

M = r F

Momento de un par

EjemploEjemplo

Determine el momento de par resultante de los pares que actúan sobre la placa

Momento de un par

EjemploEjemplo

Determine el momento de par que actúa sobre estructura y expréselo como un vector cartesiano

Pares equivalentes

Dos pares son equivalentes si tienen el mismo vector momento M (magnitud, dirección y sentido).

Para que la dirección de los vectores momentos se la misma, los pares de fuerzas que forman parte de los pares equivalentes deben estar en el mismo plano o en planos paralelos

F2-F2

d2

M2

F1-F1 d1

M1

Momento resultante de un par

Ya que los momentos de un par son vectores libres, ellos se pueden considerar aplicados en cualquier punto del plano, esto es, se pueden considerar aplicados en un mismo punto haciendo factible su suma vectorial.

M1M2

M1 M2

MR = M1 + M2

Si más de dos momentos de par actúan sobre el cuerpo, entonces

MR = ( r F)

Descomposición de un fuerza en un sistema fuerza - par

En esta sección analizaremos la forma de poder mover una fuerza a un punto que no este es su línea de acción, sin cambiar las condiciones de equilibrio ni de movimiento de cuerpo rígido

Descomposición de un fuerza en un sistema fuerza - par

El vector fuerza F no puede mover simplemente de a hacia O sin modificar la acción sobre el cuerpo.

Si se aplican dos fuerzas iguales y de sentidos opuestos a F en O no afecta al cuerpo

Las tres fuerzas pueden ser remplazadas por un vector fuerza equivalente y el momento de un par, a esto se llama sistema fuerza par

Descomposición de un fuerza en un sistema fuerza - par

Para mover F desde A hasta un punto diferente O ' se necesita adicionar un momento de par diferente MO ‘.

FrMO

'

FsM

FsFrFsrFrM

O

O

''

Los momentos de F con respecto a O y O` están relacionados por:

Sistema de fuerzas: reducción a un Sistema de fuerzas: reducción a un sistema fuerza - parsistema fuerza - par

Un sistema de fuerzas puede ser remplazado por un conjunto de fuerzas y pares aplicados en O.

Las fuerzas y los pares pueden combinarse para obtener el sistema resultante fuerza par

FrMFR RO

Problema de Aplicación• Una viga de 4.80 m de longitud está sujeta a las fuerzas mostradas

en la figura. Redúzcase el sistema de fuerzas dado a:• a) un sistema equivalente fuerza-par en A,• b) un sistema equivalente fuerza-par en B y • c) una sola fuerza o resultante.• Nota: Como las reacciones en los apoyos no están incluidas en el

sistema de fuerzas dado, el sistema no mantendrá la viga en equilibrio.

ProblemaSe usan cuatro remolcadores para llevar a un trasatlántico a su muelle. Cada remolcador ejerce una fuerza de 5 000 lb en la dirección mostrada en la figura. Determine: a) el sistema equivalente fuerza-par en el mástil mayor O yb) el punto sobre el casco donde un solo remolcador más potente debería empujar al barco para producir el mismo efecto que los cuatro remolcadores originales.

Problema

• Una losa de cimentación cuadrada soporta las cuatro columnas mostradas en la figura. Determine la magnitud y el punto de aplicación de la resultante de las cuatro cargas.