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NIVELACIÓN EN MATEMÁTICAS
Lic. Walter Ramos Melo
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
3
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Es un conjunto letras y números (variables y constante) relacionadas entre si por las operaciones aritméticas
(suma, diferencia, multiplicación, división, potenciación y radicación) o alguna combinación de éstas en un
número limitado de veces.
La representación simbólica que permite reconocer las variables de una expresión algebraica es llamada
notación matemática
, es la expresión de variable
, es la expresión de variable e
Observación
En una expresión algebraica ninguna variable podrá formar parte de algún exponente y/o índice de un signo
radical, así las expresiones
no son expresiones algebraicas, al igual que estas otras
a éstas expresiones se les da el nombre de expresiones trascendentes
Término algebraico
Es la mínima parte de una expresión algebraica, donde no existen operaciones de adición y/o sustracción.
Todo término algebraico presenta tres partes: coeficiente con signo, variables y exponente (grado)
Clasificación de expresiones algebraicas
Racionales : Se le llama así cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros
a su vez pueden ser:
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a) Enteras : Cuando las variables están en el numerador y están afectadas con exponente enteros positivos
b) Fraccionarias : Cuando al menos una variable está afectada con exponente entero negativo o se
encuentra en el denominador
Irracionales : Se le llama así cuando al menos una variable está afectada con exponente fraccionario o figura
con un signo de radicación
VALOR NUMÉRICO
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al
sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
Ejercicios
01. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta)
a) La expresión es un término algebraico.
b) El valor numérico de , cuando , , es 0,25
c) La expresión es algebraica
d) El valor numérico de , cuando , , es
Resolución
a) presenta operación de sustracción, por lo que no es un término algebraico
Falso
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5
b)
÷
÷
÷
ˆ
Falso
c) , las variables son x; y
y los exponentes no presentan dichas variables
ˆ si es expresión algebraica
Verdadero
d)
÷
÷
÷
ˆ
Verdadero
02. Dada la expresión
calcule el valor de , cuando
Resolución
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6
÷
÷
÷
÷
ˆ
03. Dada la expresión
calcule el valor de , cuando y
Resolución
÷
÷
÷
÷
÷
ˆ
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DESPEJES DE VARIABLES
Dada una expresión algebraica igualada a otra, así como cualquier tipo de fórmula matemática, con frecuencia
se requiere aislar o “despejar” de dicha expresión alguna de sus variables; esto es, se pretende que dicha
variable quede sola en uno de los dos lados de la igualdad. No siempre es posible; pero para los casos en que
es factible hacerlo se deberá tener en mente las siguientes recomendaciones:
Los términos o monomios pasarán de un lado de la igualdad al otro cambiando de signo y es lo primero que se
hará, si es necesario.
Ejercicios
01. Despeje el valor de :
Resolución
Aislamos en la izquierda de la igualdad
÷
ˆ
02. Despeje el valor de :
Resolución
Aislamos en la derecha de la igualdad
ˆ
03. Despeje el valor de :
Resolución
Aislamos en la derecha de la igualdad
ˆ
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8
04. Despeje el valor de :
Resolución
Aislamos en la derecha de la igualdad
ˆ
05. Despeje el valor de :
Resolución
Aislamos en la derecha de la igualdad
efectuando la parte izquierda de la ecuación
invirtiendo ambos miembros
ˆ
06. Despeje el valor de :
Resolución
Como se encuentra en el numerador y denominador del primer miembro de la ecuación, pasamos su
denominador a multiplicar al otro miembro de la ecuación
÷
aislamos en la izquierda de la igualdad
÷
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factorizando en el primer miembro
ˆ
07. La fórmula
permite calcular la Velocidad de un cuerpo en movimiento armónico simple. Despeje modelando la
expresión que permita calcular el valor de .
Resolución
Como se encuentra en la parte interna de una raíz, despejamos el radical
elevamos al cuadrado para eliminar el radical
aislamos en la derecha de la igualdad
ˆ
08. En la fórmula
de dilatación lineal de los cuerpos debido al cambio de temperatura, despeje .
Resolución
Como se encuentra en la parte interna de la expresión, entonces despejamos las expresiones a su
entorno
÷
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10
÷
÷
÷
pasando y dejando solo a en la parte izquierda
ˆ
09. En la ecuación de los lentes:
despeje .
Resolución
Como se encuentra en la parte interna de la expresión, entonces despejamos las expresiones a su
entorno
÷
pasando y dejando solo a en la parte izquierda
÷
efectuando la parte derecha
÷
invirtiendo los dos miembros
ˆ
10. La expresión
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determina el área de la región de un triángulo equilátero de lado cm, calcule el área de la región del
triángulo equilátero cuyo lado mide 4 cm.
Resolución
nos piden
÷
ˆ
11. La expresión
permite calcular el volumen de un cilindro recto, con radio en base de cm y altura cm. Calcule el
volumen del cilindro con radio 2 cm y altura 10 cm.
Resolución
nos piden
ˆ
12. Calcule el valor de la expresión
para ,
Resolución
nos piden
÷
÷
ˆ
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Polinomio
Es aquella expresión racional entera, es decir la variable está afectada de exponentes enteros y positivos.
Ejemplos:
Representación general de un polinomio de una varia ble
Si , se dice que es un polinomio de grado
se llama término independiente
se le llama coeficiente principal
Ejemplo
Grado(P) = 3
Coeficiente principal = 7
Coeficiente del término cuadrático = 2
Coeficiente del término lineal = 5
Término independiente = 13
DEFINICIÓN: En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio mónico”
Ejemplos
Grado(P) = 7
coeficiente principal = 1 ÷ P(x) es mónico
Grado(Q) = 9
coeficiente principal = -1 ÷ Q(x) no es mónico
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VALORES NUMÉRICOS NOTABLES
Si P(x) es un polinomio, se cumple:
P(0) = Término independiente
P(1) = Suma de coeficientes
Grado
Es una característica de las expresiones algebraicas, relacionadas con los exponentes de sus variables.
Hay 2 tipos de grados y son:
Grado Absoluto (G.A.)
Grado Relativo (G.R.)
Grado de monomios
El grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el
grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable.
Ejemplo
Sólo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de todos sus grados relativos.
Grado de polinomios
El grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y
el grado relativo de una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable en todo el polinomio.
Ejemplo
entonces
Polinomio homogéneo
Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.
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Ejemplo
es un polinomio homogéneo de grado de homogeneidad “9".
Polinomios idénticos
Dos o más polinomios son idénticos, si tienen el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores
atribuidos a sus variables
Ejemplo:
Asignemos el valor de: , tenemos
÷
÷ cumple
Asignemos el valor de: , tenemos
÷
÷ cumple
En dos polinomios idénticos reducidos se cumple que los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.
Así, si:
÷ W W
Ejemplo
Determine los valores de a, b y c en
Solución
Efectuando
igualando los coeficientes de los términos semejantes
÷ ÷ ÷ ÷
ˆ
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POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Un polinomio reducido es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero.
Ejemplo:
Si: ax2 + bx + c / 0
entonces: a = 0 W b = 0 W c = 0
Observación
Un polinomio idénticamente nulo al ser evaluado para cualquier valor de su variable se ANULA (se hace cero).
Ejercicios
01. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta)
a. La expresión es un polinomio.
b. El grado absoluto del polinomio , es 8
c. La suma de los coeficientes de , es
d. En el monomio para que el grado relativo de la variable sea 20, el valor de ,
debe de ser 2.
02. El polinomio , se sabe que el término independiente es el triple de la suma de sus
coeficientes. Modele una ecuación que permita determinar el valor de .
03. Calcule , si el polinomio
es homogéneo.
Términos semejantes
Son aquellos términos que tienen la misma parte literal.
Ejemplos:
1. ; son términos semejantes.
2. ; son términos semejantes
Reducción de términos semejantes
Se suman los coeficientes y se escribe a continuación la misma parte literal.
Ejemplo:
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Ejercicios
01. Dados los sólidos:
a. Modele el polinomio que representa el área total de A, B y C
b. Calcule el G.A. del polinomio que representa el volumen de A + B + C
02. El lunes gané billetes de soles, el martes gané billetes de soles, y el miércoles
gané veces lo que gane en los dos días anteriores. Si inicialmente tenía , ¿cuánto tengo ahora,
asumiendo que no gasté nada?
03. Los lados de un rectángulo son: , . Calcule el perímetro y el área del rectángulo
Rpta. ;
04. Vendí mi bicicleta en soles, ganando , ¿cuánto costó la bicicleta?
Rpta.
05. En la figura muestra la vista panorámica del proyecto de un parque de forma rectangular. En su interior se
encuentran jardines cuyas dimensiones se muestran en la figura y una vereda alrededor de los jardines del
mismo ancho en todo el parque.
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a. Modele la expresión que represente el perímetro del proyecto del parque en función del ancho de la
vereda.
b. Modele la expresión que represente el área del proyecto del parque en función del ancho de la vereda.
Rpta.
a. , x ancho de la vereda
b. , x ancho de la vereda
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PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se pueden obtener en forma directa, sin necesidad
de efectuar la operación de multiplicación.
Entre las más importantes tenemos:
Binomio al cuadrado
Nota:
• Al producto se le llama trinomio cuadrado perfecto
•
Identidades de Legendre
Binomio al cubo
Identidades de Cauchy
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Multiplicación de la suma por la diferencia
Al producto se le llama diferencia de cuadrados
Multiplicación de un binomio por un trinomio
Al producto se le llama suma de cubos
Al producto se le llama diferencia de cubos
Producto de dos factores con un término común
Trinomio al cuadrado
Identidad Trinómica (Argan ''''D)
Ejercicios
01. Si , , simplifique
Resolución
desarrollando
reduciendo
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20
÷
ˆ
02. Efectuar
03. Indicar el equivalente reducido
04. Efectuar
05. Efectuar
06. Determine el resultado de efectuar
07. Efectuar
08. Halle el resultado de simplificar
09. Sabiendo que
calcule
10. Sabiendo que
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21
Calcule
11. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta)
a) Al efectuar se obtiene .
b) No es posible que ocurra .
c) Si entonces .
d) Si entonces necesariamente se tiene .
e) Si entonces necesariamente se tiene .
Resolución
a)
Falso
b)
efectuando la parte izquierda
reduciendo
÷
÷
ˆ Será posible cuando
Falso
c)
÷
÷
÷
ˆ
Verdadero
d)
÷
÷
÷
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÷
eliminando el factor común e igualando a para no perder soluciones
÷ w
÷ w
Falso
12. Modele una ecuación que permita determinar el polinomio , sabiendo que al multiplicarlo por
y sumar al resultado, se obtenga la cuarta potencia del exceso de sobre
Resolución
determinar el polinomio , sabiendo que al multiplicarlo por
y sumar
se obtenga la cuarta potencia
del exceso de sobre
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DIVISIÓN ALGEBRAICA
Dados dos polinomios dividendo divisor , la división es una operación que consiste encontrar otros dos
polinomios: y denominados cociente y residuo respectivamente que verifican la siguiente relación:
Una división es exacta si y solo si:
entonces , también se dice que D(x) es divisible por d(x)
PROPIEDADES
1.
2/
Ejemplo:
Luego:
El residuo como máximo es de grado 2, pero también podría ser de primer grado o de grado cero (una constante
real).
Métodos de división
1//// Clásico
Ejemplo:
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24
Observación
*
*
*
Luego:
2//// William Horner
Este método se basa en la división por coeficientes separados. Los polinomios dividendo y divisor se presentan
en el esquema como polinomios completos y ordenados por lo general en forma decreciente. Si faltase algún
término para que sean completos se colocará un cero.
Si la división es exacta, los polinomios dividendo y divisor pueden ser ordenados en forma creciente.
Esquema:
NOTA: El número de columnas que presenta el residuo es numéricamente igual al grado del divisor contado de
derecha a izquierda.
Ejemplo: Dividir:
Como no existe término cúbico, en el dividendo, se completa con cero
Nótese que los coeficientes del divisor cambia de signo, excepto el primero
Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor, para calcular el primer
coeficiente del cociente
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El coeficiente calculado se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor, con signos cambiados, para
formar la siguiente fila
Luego: ;
3//// Paolo Ruffini
Se utiliza cuando el divisor es de primer grado:
, a … 0
Esquema:
x' &ba
x' &ba
&ba
&ba
Ejemplo
Dividir:
Como no existe el término de cuarto grado, se completa con cero
Se baja el primer coeficiente del dividendo, la cual se multiplica con el valor calculado de “x”, cuyo resultado se
coloca en la siguiente columna
Nótese que los coeficientes encontrados se debe de dividir entre el coeficiente de “x”, para calcular los
coeficientes del cociente
x ' &32
&32
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Luego:
Teorema del resto
Tiene por finalidad hallar el resto de una división sin efectuar dicha operación.
Se aplica cuando el divisor es de la forma ax + b, o transformable a ella
Demostración
Sea la división: , donde se pide calcular el residuo
÷ Por la propiedad fundamental de la división
... (1)
Se desea calcular y no dividir, entonces debemos de eliminar el cociente , que se consigue igualando
a cero el divisor
÷ ÷
reemplazamos el valor encontrado en (1)
÷
ˆ
Pasos a seguir:
I. Se iguala el divisor a cero.
II. Se despeja una variable.
III. Se reemplaza el valor o equivalente de esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario.
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Ejercicios
01. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta)
a) Al efectuar se obtiene .
b) Al efectuar , se obtiene como cociente un polinomio y un resto igual a cero.
c) Al efectuar la división , se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes
es 2017.
d) No es posible efectuar en el campo de los polinomios.
Resolución
a)
Falso
b)
el residuo es
Falso
c)
por Ruffini
el cociente es
Suma de coeficientes del cociente es:
entonces
Falso
d) En el campo de los polinomios no es posible efectuar, dado que el grado del dividendo es mayor que el
divisor
Verdadero
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02. En una división de polinomios el cociente fue , mientras que el residuo fue tres unidades menor que el
doble del cociente. Modele una ecuación que permita determinar el divisor, sabiendo además que el
dividendo excede en unidades al cubo del cociente.
Resolución
cociente fue , entonces
el residuo fue tres unidades menor que el doble del cociente, entonces
el dividendo excede en unidades al cubo del cociente, entonces
÷
como nos piden determinar el divisor, sea el divisor
Del algoritmo de la división
por lo tanto la ecuación será
03. Calcule , sabiendo que el polinomio
es divisible por
Resolución
Como es divisible, entonces el residuo es cero. Por Horner
entonces v ÷ v
ˆ
04. Calcule si la división
deja resto nulo
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Resolución
Por Horner
entonces v
v
ˆ
05. Al dividir un polinomio entre y , separadamente se obtuvieron como restos 12 y 20
respectivamente. Calcule el resto de dividir entre .
Resolución
Según dato:
• el resto es 12, entonces por teorema del resto ... (1)
• el resto es 20, entonces por teorema del resto ... (2)
Nos piden el residuo de dividir
como el divisor es de segundo grado, entonces el máximo grado del residuo es 1, osea es de la forma
Aplicando el algoritmo de la división
entonces tenemos
como son polinomios idénticos, podemos darle valores convenientemente para que se elimine el cociente,
que no se conoce
para , ÷ ... (3)
para , ÷ ... (4)
resolviendo el sistema (3) y (4) se obtiene v
ˆ
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06. Al dividir un polinomio entre se obtiene como resto y un cociente cuya suma de
coeficientes es . Calcule el resto de dividir entre
Resolución
entre se obtiene como resto
entonces por el algoritmo de la división
... (1)
un cociente cuya suma de coeficientes es
entonces ... (2)
Nos piden el residuo de dividir , por teorema del resto, nos piden
en (1)
de (2)
ˆ
07. Al dividir entre se obtiene como resto , calcule el resto de dividir
entre .
Resolución
dividir entre se obtiene como resto
aplicamos el algoritmo de la división
... (1)
Nos piden el resto de dividir entre
por el teorema del resto, nos piden
en (1)
÷
÷
ˆ
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08. Determine un polinomio de grado tres, que sea divisible separadamente por y por ;
sabiendo además que la suma de sus coeficientes es 24 y su término independiente es 2.
Resolución
es divisible separadamente por y por
como y son primos, entonces es divisible entre el producto
por el algoritmo de la división
... (1)
Como de grado tres
entonces es de primer grado de la forma
en (1)
... (2)
su término independiente es 2
entonces
en (2)
, entonces , entonces
la suma de sus coeficientes es 24
entonces
en (2)
, entonces , entonces
remplazando en (2)
ˆ
09. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta)
a) El resto de dividir es 3.
b) El residuo de dividir cualquier polinomio entre siempre será un número (término
independiente de ).
c) Si es divisible por entonces siempre es posible hallar un polinomio , tales que
.
d) Si un polinomio es divisible por y también es divisible por , entonces necesariamente es
divisible por el producto de ellos, es decir, por .
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Resolución
a) Por teorema del resto ÷ , reemplazando en el dividendo
entonces ÷
ˆ
Verdadero
b) Como el divisor , es de primer grado, entonces máximo grado del residuo es 1 - 1 = 0, osea un
término independiente de
Verdadero
c) Como es divisible por , por el algoritmo de la división
Verdadero
d) es divisible por y también es divisible por
entonces es divisible por el mínimo común múltiplo de y
Falso
10. Se sabe que es divisible por . Modele una ecuación que permita
determinar el valor de .
Resolución
Por teorema del resto ÷ , reemplazando en el dividendo
y considerando el residuo cero, por ser divisible
entonces
11. Si al efectuar la división: , deja como residuo , calcule los valores de y .
Resolución
Por teorema del resto ÷
dando forma el dividendo con
÷
reemplazando , para calcular el residuo
÷
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÷
÷
Por dato
entonces ÷
ˆ
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FACTORIZACIÓN
Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de factores polinómicos primos entre si.
Divisores o factores de un polinomio
Dado un polinomio, se dice que un factor o divisor de este es cualquier polinomio que lo divide sin dejar resto.
Ejemplo:
Si
los factores son:
cada uno de ellos divide sin dejar residuo a
Factores primos de un polinomio
Un polinomio se considera primo sobre un campo numérico, si ya no se le puede factorizar sobre el mismo
campo numérico.
Si
los factores primos son:
Factorización de polinomios
Es un proceso inverso a la multiplicación, consiste en transformar el polinomio en un producto de dos o más
factores primos en el campo racional Q.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Factorización por factor común monomio
Aquí buscamos un término repetido en toda la expresión, dicho término también denominado factor común se
deberá extraer considerando a sus variables con su menores exponentes.
Ejemplo:
Factorice el polinomio
Resolución
El término repetido es , luego el polinomio factorizado es:
los factores primos son:
Factorización por factor común polinomio
En este método debemos tener en cuenta la cantidad de términos del polinomio a factorizar. Se requiere agrupar
los términos del polinomio de 2 en 2, de 3 en 3, ... buscando un factor común polinomio.
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35
Ejemplo:
Factorizar
Resolución
El polinomio no presenta factor común monomio, presenta 4 términos, dos términos positivos y dos términos
negativos, dos de ellos son múltiplos de 5, factorizamos esos términos por factor común monomio.
Dichos términos tiene en factor común monomio
agrupamos el segundo y tercer término
factorizando el factor común polinomio
los factores primos son:
Factorización por identidades
En este método se aplica las fórmulas de productos notables
Trinómio cuadrado perfecto
Ejemplo:
Factorice
Resolución
Diferencia de cuadrados
Ejemplo 1:
Factorice
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36
Resolución
Dando forma
por diferencia de cuadrados
Ejemplo 2:
Factorice
Resolución
La expresión parece provenir de , como no tiene el término , entonces podemos como:
por diferencia de cuadrados
Ejemplo 3:
se repite en los dos términos ; , entonces factorizamos éstas variables elevados a su menor exponente que
son:
por diferencia de cuadrados
Suma y diferencia de cubos
Ejemplo 1:
Factorice
Resolución
Dando forma
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por diferencia de cubos
Argan ''''s
Ejemplo
Factorice
Resolución
Factorización por aspas
Este método se aplica cuando existen variables al cuadrado ( ), productos de variables de dos en
dos ( ), variables lineales ( ) y un término independiente.
Para factorizar se descompone los términos que tienen las variables al cuadrado y el término independiente,
para comprobar los demás términos, mediante la suma del producto en aspa.
Ejemplo:
Factorice
Resolución
Se descompone los términos que tienen las variables al cuadrado, entonces se descomponen
se deben de comprobar los demás términos, mediante la suma del producto en aspa
, no existe término con , cumple
, no existe término con , cumple
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, cumple
÷ cumple
ˆ
Factorización por divisores binomios
Se emplea para factorizar polinomios de cualquier grado que admita por lo menos un factor binomio de la forma
o transformable a ella.
Ceros del polinomio
Es el valor o conjunto de valores que anulan al polinomio (valor numérico)
Ejemplo:
Sea el polinomio:
Si evaluamos para
÷
Como se anula para
÷
Teorema del factor
Si un polinomio se anula para entonces diremos que es un factor de
Sea un polinomio
Si entonces es un factor de
Si entonces es un factor de
Si entonces es un factor de
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Ejemplo:
Sea un polinomio
Si entonces es un factor de
Si entonces es un factor de
Si entonces es un factor de
Procedimiento para factorizar
1. Se calculan valores que anulen al polinomio (ceros del polinomio)
“Posibles ceros” del polinomio (PC):
2. Se evalúa cada posible cero (PC) en el polinomio: Si , entonces es un factor de
3. Luego de encontrar el factor o factores binomios, para calcular el otro factor se tendrá que dividir el polinomio
inicial entre el factor o factores binomios obtenidos utilizando el método de Ruffini y el cociente resultante
será el otro factor.
Ejemplo 1:
Factorice:
Resolución
i)
en el ejemplo tenemos ocho posibles ceros y se tiene que probar hasta que con uno de ellos
el polinomio se anule.
ii) Para
÷
÷
÷ es un factor de
iii) Por Ruffini:
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
40
como el polinomio por factorizar es de tercer grado y encontramos un factor , entonces el otro factor,
de segundo grado es el cociente
ˆ
Ejemplo 2:
Factorice
Resolución
se anula para , entonces un factor es .
se anula para , entonces un factor es , notese que el divisor se dividió entre 3, que es
el denominador de la fracción.
se anula para , entonces un factor es
El polinomio a factorizar es de cuarto grado, se encontró 3 valores que anulan al polinomio, entonces el
cociente es de grado uno, entonces el otro factor es .
ˆ
Ejercicios
01. Factorice
Resolución
El término repetido es , luego el polinomio factorizado es:
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41
02. Factorice
Resolución
El término repetido es , luego el polinomio factorizado es:
03. Factorice
Resolución
El polinomio presenta dos términos con un factor común polinomio
Factorizando se obtiene
04. Factorice
Resolución
El polinomio presenta tres términos, factorizando el signo negativo del término central, buscando factor
común polinomio
Factorizando el factor común polinomio se obtiene
05. Factorice
Resolución
El polinomio presenta seis términos, tres de ellos tienen factor común monomio , los otros tres tienen factor
común monomio , factorizando de tres en tres.
El polinomio presenta dos términos con un factor común polinomio
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
42
Factorizando el factor común polinomio se obtiene
06. Factorice
Resolución
El polinomio presenta cuatro términos, dos de ellos tienen factor común monomio , los otros tres tienen
factor común monomio , factorizando de dos en dos.
El polinomio presenta dos términos con un factor común polinomio
Factorizando el factor común polinomio se obtiene
07. Factorice
Resolución
Los dos términos que tiene el polinomio tiene la forma de diferencia de cuadrados
por diferencia de cuadrados se obtiene
reduciendo se obtiene
08. Factorice
Resolución
Por aspa
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43
, cumple
la factorización será:
se observa diferencia de cuadrados
por diferencia de cuadrados se obtiene
09. Factorice
Resolución
Se observa suma de cubos
por suma de cubos
efectuando se obtiene
10. Factorice
Resolución
Por aspa
, cumple
la factorización será:
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
44
se observa diferencia y suma de cubos
por diferencia y suma de cubos
efectuando se obtiene
11. Factorice
Resolución
Se observa que se repite , hacemos el cambio de variable , entonces
entonces tenemos que factorizar
por aspa se obtiene
reemplazando
efectuando y reduciendo se obtiene
12. Factorice
Resolución
multiplicando convenientemente, buscando que la suma de los términos independientes de dos factores
sean iguales, ellos son: ; y
entonces:
hacemos cambio de variable, sea
reemplazando tenemos
efectuando y reduciendo se obtiene
por aspas se obtiene
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
45
reemplazando se obtiene
13. Factorice
Resolución
multiplicando convenientemente, buscando que la suma de los términos independientes de dos factores
sean iguales, ellos son: ; y
entonces:
hacemos cambio de variable, sea
reemplazando tenemos
efectuando y reduciendo se obtiene
por identidades
reemplazando se obtiene
14. Factorice
Resolución
Por divisores binomios
se anula para , entonces un factor es .
se anula para , entonces un factor es
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
46
El polinomio a factorizar es de tercer grado, se encontró 2 valores que anulan al polinomio, entonces el
cociente es de grado uno, entonces el otro factor es .
ˆ
15. Factorice
Resolución
Por divisores binomios
se anula para , entonces un factor es .
se anula para , entonces un factor es
El polinomio a factorizar es de tercer grado, se encontró 2 valores que anulan al polinomio, entonces el
cociente es de grado uno, entonces el otro factor es .
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
47
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es el cociente indicado de 2 expresiones algebraicas racionales enteras llamadas numerador (el dividendo) y
denominador (el divisor) donde este último es a lo menos de 1/ grado.
Representación de una fracción
donde:
A es el polinomio dividendo (Numerador)
B es el polinomio divisor (Denominador)
Ejemplos:
son fracciones algebraicas
no es fracción algebraica
Signos de una fracción
En toda fracción podemos distinguir 3 signos:
+ : signo del numerador
- : signo del denominador
- : signo de la fracción
Nota: En toda fracción no se altera al cambiar cualquier par de sus signos.
Ejemplos
•
•
•
Reducir
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
48
Resolución
Buscando fracciones homogéneas
sumando las fracciones homogéneas
cambiando de signos convenientemente
simplificando
ˆ
Clases de fracciones
Fracciones Propias
Cuando el numerador es de menor grado que el denominador. Así:
Fracciones Impropias
Cuando el numerador es de mayor o igual grado que el denominador. Así:
Fracciones Homogéneas
Son aquellas que tienen iguales denominadores.
son fracciones homogéneas
Fracciones Heterogéneas
Son aquellas que tienen denominadores diferentes.
son fracciones heterogéneas
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
49
OPERACIONES CON FRACCIONES
Suma o diferencia
* (fracciones homogéneas)
*
(fracciones heterogéneas: bdf = MCM de los denominadores)
Multiplicación
División
o también:
TEOREMA
Si: tiene un mismo valor constante “k” para cualquier valor de x e y de su dominio,
entonces:
Fracciones parciales
Es posible expresar una fracción propia como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado
de sea menor que el grado de . Estas fracciones sencillas son conocidas como fracciones parciales
de .
Cuando es impropia, se divide la fracción para expresarlo de la siguiente manera
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
50
donde:
Ejemplo
, es fracción impropia
dividiendo
ˆ
Casos
Para descomponer una fracción propia, en suma de fracciones parciales, debemos de factorizar el denominador
y tener en cuenta que cada fracción parcial debe de ser también fracción propia, osea el grado del polinomio
numerador es de menor grado del polinomio denominador.
Caso 1
Cuando el denominador no presenta factores repetidos
Notese que cada fracción parcial se considera propia
Ejemplo 1:
Determine las fracciones parciales de
Resolución
Factorizando el denominador
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
51
tiene factor común monomio
por aspa simple
÷
efectuando
÷
como son idénticos podemos darle valores convenientemente
para ÷ ÷ ÷
para ÷
÷ ÷ ÷ ÷
para ÷
÷ ÷ ÷
ˆ
Ejemplo 2:
Determine las fracciones parciales de
Resolución
efectuando
÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
52
dando valores convenientemente
para ÷
÷ ÷ ÷
para ÷
÷ ÷ ÷ ÷
para ÷
÷ ÷ ÷ ÷
ˆ
Caso 2
Cuando el denominador presenta un factor repetidos
Notese que las potencias tienen la misma forma que su factor simple
Ejemplo
Determine las fracciones parciales de
Resolución
efectuando
÷
dando valores convenientemente
para ÷
÷ ÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
53
para ÷
÷ ÷
para ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷
ˆ
Ejercicios
01. Simplificar
Resolución
factorizando el factor común monomio del numerador
factorizando por aspas
simplificando
ˆ
02. Efectuar
Resolución
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
54
efectuando el primer factor
por Legendre y por suma por diferencia
simplificando
03. Reducir
Resolución
buscando fracciones homogéneas, cambiando de signos de dos en dos, convenientemente
sumando las fracciones homogéneas
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
55
04. Simplificar
Resolución
efectuando
ˆ
05. Simplificar
Resolución
Los dos primeros términos del numerador tienen factor común polinomio , lo factorizamos
efectuando por productos notables
reduciendo
los dos términos del numerador tienen el factor común polinomio , lo factorizamos
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
56
ˆ
06. Calcule , sabiendo que
Resolución
Efectuando el primer miembro
Cambiando un par de signos el segundo miembro
para ÷ ÷ ÷
para ÷ ÷ ÷
ˆ
07. Simplifique y efectúe la siguiente expresión
Resolución
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
57
ˆ
08. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta)
a) Si la fracción es equivalente a la fracción entonces se cumple .
b) Al sumar se obtiene cero.
c) La expresión es equivalente a .
d) Si la fracción , es igual a su recíproco, entonces .
e) Al sumar se obtiene .
Resolución
a) ÷
Verdadero
b)
cambiando un par de signo en la segunda fracción
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
58
Verdadero
c)
Verdadero
d) ÷ ÷ ÷ ÷
Verdadero
e)
Falso
09. Al sumar se obtiene . Modele una ecuación (o unas ecuaciones) que permitan determinar
los valores de y .
Resolución
÷
÷
÷
ˆ
10. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta)
a) La expresión puede ser una fracción parcial.
b) La expresión puede ser una fracción parcial.
c) La expresión se descompone en exactamente dos fracciones parciales.
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
59
d) La expresión no puede ser una fracción parcial.
Resolución
a) La fracción parcial debe de ser propia
Falso
b) La fracción parcial es propia y el denominador no se puede factorizar más.
Verdadero
c)
Falso
d) La expresión , el denominador es factorizable , entonces no puede
ser una fracción parcial.
Verdadero
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
60
ECUACIONES
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas donde a las variables que aparecen en la igualdad se les
denominan incógnitas y a los valores que verifican la igualdad se les llama soluciones de la ecuación las cuales
forman el conjunto solución (CS)
Notación general
Ejemplo:
Sea la ecuación:
Si: ÷ ÷
Si: ÷ ÷
como 3 y -1 verifican la igualdad, son las soluciones de la ecuación
ˆ
Observaciones
• Si la ecuación tiene una sola variable, la solución también se nombra raíz.
• La ecuación: es cuadrática de ahí sus dos soluciones
Clasificación de las ecuaciones
De acuerdo al tipo de solución se clasifica en:
1. Ecuaciones compatibles
Cuando admiten solución, éstas se dividen en:
1.1 Ecuación compatible determinada
Cuando tiene un número limitado de soluciones
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
Resolución
Efectuando tenemos
÷
ˆ
1.2 Ecuación compatible indeterminada
Cuando tiene un número ilimitado de soluciones
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
61
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
Resolución
Efectuando tenemos
÷
se verifica para cualquier valor de “ ”
2. Ecuaciones incompatibles
Cuando no admiten solución. El conjunto solución es vacío.
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
Resolución
Efectuando tenemos
÷
absurdo
ˆ
Definición
Se dice que dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo:
Si: ÷
Si: ÷
ˆ Las ecuaciones son equivalentes
Observación
Si las ecuaciones son equivalentes no necesariamente deben ser del mismo grado.
Recomendaciones para resolver ecuaciones
1. Si a ambos miembros de una ecuación se elimina un factor en el numerador , se le debe de considerar igual
a cero para no perder soluciones
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
62
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
Resolución
Eliminando los factores comunes de ambos miembros e igualando a cero
w w
w w
ˆ
2. Si a ambos miembros de una ecuación se elimina un factor en el denominador, se le debe de considerar
diferente a cero
Ejemplo:
Resolver la ecuación
Resolución
Eliminando los factores comunes de ambos miembros
v
v
ˆ
3. Para elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación, nos debemos de asegurar que los dos miembros
sean positivos y todos los radicandos sean positivos
Ejemplo:
Resolver la ecuación
Resolución
Analizando la existencia de la ecuación
÷ ... (1)
Como los dos términos son positivos, podemos elevar al cuadrado la ecuación
÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
63
÷
÷
÷ w
considerando (1)
ˆ
4. Podemos aplicar las propiedades de razones y proporciones
Ejemplo:
Resolver la ecuación
Resolución
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
64
Ejemplo:
Resolver la ecuación
Resolución
Sea
v
entonces tenemos
por proporciones
÷
÷
elevando al cubo
÷
por proporciones
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
65
ECUACIÓN LINEAL
Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la siguiente forma general:
, œ a … 0
cuya solución es:
Observaciones
1. Si: v ÷ La ecuación es compatible indeterminada
2. Si ÷ La ecuación es compatible determinada
3. Si v ÷ La ecuación es incompatible
Ejemplo:
Analizar la ecuación en
Resolución
Agrupando los que tienen la incógnita
÷
analizamos
a) Para que se compatible indeterminada
v
v
ˆ
b) Para que se compatible determinada
ˆ
c) Para que se compatible incompatible
v
v
(a - 3)(a - 2) … 0 v (a - 1)(a - 2) = 0
(a … 3 v a … 2) v (a = 1 w a = 2)
ˆ ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
66
Modelación de problemas
La parte más difícil al resolver un problema de aplicación, suele ser su traducción en una ecuación. Por tal
motivo antes de resolver algunos problemas, practicaremos la traducción del problema verbal a su
representación algebraica.
Representar los siguientes enunciados verbales en expresiones algebraicas:
01. El doble de un número, más uno.
Resolución
Sea el número: x
el doble:
multiplica toda la expresión hasta que exista una c oma o punto.
el doble del número, es: 2x
luego el doble más uno: “2x + 1"
02. El doble de un número más uno.
Resolución
Sea el número: x
el doble:
multiplica toda la expresión hasta que exista una c oma o punto.
el doble del número más uno, es: 2(x + 1)
03. Dos números cuya suma es 70
Resolución
Sea uno de ellos: x
el otro será: 70 - x
04. Tres enteros consecutivos
Resolución
Si “x” es el menor de los enteros
entonces (x + 1) y (x + 2) serán las otras dos.
05. Dos números cuya diferencia sea 11
Resolución
Si “x” es el número menor
entonces (x + 11) es el número mayor.
06. El exceso de 20 sobre el triple de un número
Resolución
Sea “x” el número dado
el exceso de 20 sobre 3x es: (20 - 3x)
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
67
07. La edad de Juan es el doble que la de Luis y la de éste es el triple que la de Ricardo.
Expresar cada una de estas edades en función de una de ellas.
Resolución
Sea x la edad de Ricardo
la de Luis será: 3x
y la de Juan será: 2(3x) = 6x
ENUNCIADO VERBAL REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA
Siete sumado al doble de un número
La suma del doble de un número más siete
El doble de un número, aumentado en siete
Siete más que el doble de un número
2x + 7
Tres menos que el doble de un número
El doble de un número, disminuido en tres
La diferencia del doble de un números y tres
Tres restado del doble de un número
2x - 3
ENUNCIADO VERBAL UN NÚMERO SEGUNDO NÚMERO
Dos números que difieren en tres
La edad de Ricardo y su edad dentro de 4 años
Un número es el quíntuplo de otro
La suma de dos números es 18
Un alambre de 30 metros cortado en dos
x
x
x
x
x
x + 3
x + 4
5x
18 - x
30 - x
ENUNCIADO REPRESENTACIÓN
Dos números proporcionales a 4 y 5.
Dos números en relación de 4 a 5.
Dos números son como 4 es a 5.
La relación de dos números es 4/5.
La razón de dos números es 4/5.
A = 4x; B = 5x
5A = 4B
ENUNCIADO REPRESENTACIÓN
A excede a B en 7.
B es excedido por A en 7.
El exceso de A sobre B es 7.
A es mayor que B en 7.
B es menor que A en 7.
La diferencia entre A y B es 7.
A - B = 7
A = x + 7; B = x
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
68
ENUNCIADO REPRESENTACIÓN
A es el triple de B.
A es tres veces B.
A es tres veces mayor que B.
A es dos veces más que B.
B es un tercio de A.
A = 3B
A = 3x; B = x
Nota : “m” veces más <> “m + 1" veces
El cuadrado de la suma de dos números A y B.
La suma de los cuadrados de los números A y B
El cubo de la suma de los números A y B
La suma de los cubos de los números A y B
La inversa de un número x
El reciproco de x
La suma de las reciprocas de x e y
La suma de los inversos de las reciprocas de x e y
Algo que recordar
PALABRA SIGNIFICADO
Veces
De , del , de los
Como...es a ...
en relación
Es , en ,sea, tiene, tendrá, equivale tanto como
Producto
Producto
Proporción
Proporción
Igualdad
Planteo y resolución de problemas de aplicación
A continuación indicaremos algunas recomendaciones para resolver un problema verbal:
01. Lea la pregunta con cuidado
02. De ser posible, haga un dibujo que le ayude a visualizar el problema
03. Determine la cantidad que se debe encontrar, elija una letra para representar a esta cantidad desconocida.
Escriba con exactitud lo que representa (significa). Si hay más de una cantidad desconocida, represente
todas las otras en términos de la primera.
04. Escriba el problema verbal como una ecuación
05. Despeje la incógnita de la ecuación
06. Responda a la o las preguntas planteadas
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
69
Ejercicios
01. Resolver la ecuación
Resolución
Juntando las fracciones homogéneas
efectuando las fracciones homogéneas
como eliminamos , debemos de considerar , entonces
ˆ
02. Resolver la ecuación
Resolución
Factorizando los denominadores
efectuando
eliminamos los factores y de los denominadores, debemos de considerar v
, entonces v
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
70
ˆ
03. Resolver la ecuación
Resolución
Efectuando
÷
÷
÷
÷
ˆ
04. Resolver la ecuación
Resolución
Despejando el radical
÷
para que exista el radical y el problema
v
v
elevando al cuadrado
÷
÷
÷
÷
÷ w
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
71
÷ w , pero
ˆ
05. Resolver la ecuación
Resolución
Despejando un radical
÷
para que exista el radical y el problema
v
v
÷
elevando al cuadrado
÷
÷
÷
Absurdo, dado que un negativo no puede ser igual a un positivo
ˆ
06. Resolver la ecuación
Resolución
Sea
v
entonces tenemos
por proporciones
÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
72
÷
elevando al cuadrado, dado que los dos términos son positivos
÷
÷
ˆ
07. Resolver la ecuación
Resolución
Despejando el radical
para que exista el radical y el problema
v
v
entonces
elevando al cuadrado
÷
÷
÷
÷ , pero
ˆ
08. Resolver la ecuación
Resolución
Efectuando
÷
÷
÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
73
÷
÷
ˆ
09. Resolver
Resolución
juntando los términos que tienen
÷
el primer miembro se factoriza el factor común monomio , en el segundo miembro se factoriza el factor
común polinomio
÷
por diferencia de cuadrados en el primer miembro y reduciendo el segundo miembro
÷
eliminando y factorizando 3 en el segundo miembro
÷
÷
ˆ
10. Resolver la ecuación
Resolución
Por proporciones
÷
÷
÷
÷
÷
÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
74
11. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta)
a) El conjunto solución de la ecuación es .
b) Una solución de la ecuación es 72.
c) La ecuación no es una ecuación de primer grado.
d) La ecuación , es equivalente a la ecuación
Resolución
a) , efectuando
÷
÷
eliminando e igualando a cero ara no perder soluciones
÷ w
ˆ
Falso
b) , efectuando
÷
÷
es una verdad absoluta
ˆ
Verdadero
c) , efectuando
÷
÷
es una ecuación de primer grado
Falso
d)
÷
eliminando e igualando a cero para no perder soluciones
÷ w
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
75
÷
÷
ˆ
Las ecuaciones no tienen el mismo conjunto solución, por lo que no son equivalentes
Falso
12. Una varilla de longitud se parte en dos pedazos, de tal modo que uno de ellos excede en unidades a
la mitad del otro. Modele una ecuación que permita determinar las medidas de ambas partes.
Resolución
Longitud de la varilla :
Sea la longitud del pedazo menor :
entonces la longitud del pedazo mayor es :
como : “uno de ellos excede en unidades a la mitad del otr o”
entonces , es la ecuación para calcular la longitud del pedazo menor.
Longitud de la varilla :
Sea la longitud del pedazo mayor :
entonces la longitud del pedazo menor es :
como : “uno de ellos excede en unidades a la mitad del ot ro”
entonces , es la ecuación para calcular la longitud del pedazo mayor.
13. Dos veces la diferencia de un número con 3 es igual a 18. El número es:
Resolución
“Dos veces ”
multiplica por 2 a toda la expresión hasta que exista una coma o punto
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
76
“Dos veces la diferencia ”
resta dos cantidades
“Dos veces la diferencia de un número con 3 ”
los números a restar es un número desconocido, llamémoslo , con 3
“Dos veces la diferencia de un número con 3 es igual a 18 ".
se completa la ecuación
dividiendo entre 2
ˆ
13. Dividir 5 000 en dos parte tales que la primera parte sea 200 más que el triple de la segunda parte.
Resolución
Comencemos desde el final de la oración
“el triple de la segunda parte ”
multiplica por 3 la segunda parte, sea la segunda parte
“200 más que el triple de la segunda parte”
suma 200 al triple de la segunda parte
“la primera parte sea 200 más que el triple de la segunda parte”
nos da el valor de la primera parte
pero,
entonces la suma de las dos parte nos da el total 5 000
se completa la ecuación
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
77
14. El producto de 3 números enteros consecutivos es igual a 15 veces el segundo. La suma de ellos es:
Resolución
Como son tres números consecutivos, entonces llamamos al número central , entonces el anterior será
y el posterior
como el producto de ellos es igual a 15 veces el segundo, la ecuación será:
eliminando e igualando a 0, para no perder soluciones
÷ w
por diferencia de cuadrados
÷ w
÷ w
÷ w
÷ w w
si
entonces los tres números serán: -1; 0 ; 1
ˆ
si
entonces los tres números serán: -5; -4 ; -3
si
entonces los tres números serán: 3; 4 ; 5
15. La altura de un rectángulo es 6 unidades menor que 2 veces su base. Si el perímetro es 96 unidades.
Calcular las longitudes de los lados del rectángulo.
Resolución
Comencemos desde el final de la oración
“2 veces su base ”
multiplica por 2 a la base, llamemos la longitud de la base
“6 unidades menor que 2 veces su base”
6 unidades menor que, resta 6 unidades a la frase que le sigue
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
78
“La altura de un rectángulo es 6 unidades menor que 2 veces su base”
nos da la altura del rectángulo
pero,
como el perímetro es 96 unidades
la ecuación será:
dividiendo entre 2
÷
÷
÷
ˆ
16. La base de un rectángulo es el doble más 2 cm que su altura, siendo esta altura igual a la de un cuadrado.
Calcular las dimensiones del rectángulo si su perímetro es el doble del perímetro del cuadrado.
Resolución
“La base de un rectángulo es ”
“La base de un rectángulo es el doble más 2 cm ”
“La base de un rectángulo es el doble más 2 cm que su altura ”
sea la altura del rectángulo , que es igual a la altura del cuadrado
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
79
como el perímetro del rectángulo ( ) es el doble del perímetro del cuadrado ( )
se completa la ecuación
efectuando
÷
÷
ˆ
17. Calcular la edad de Ricardo, si dentro de 30 años tendrá el cuadrado de la que tiene ahora.
Resolución
Sea la edad actual de Ricardo.
en 30 años su edad será:
por dato
÷
÷
÷ w
ˆ
18. Un padre tiene triple de la edad de su hijo, si el padre tuviera 20 años menos y su hijo 16 años más, ambos
tendrían la misma edad. Calcular sus edades actuales.
Resolución
“Un padre tiene triple de la edad de su hijo ”
Sea:
La edad del hijo :
entonces, la edad del padre es :
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
80
Supuesto
“si el padre tuviera 20 años menos ”
la edad del padre sería :
“y su hijo 16 años más ”
la edad del hijo sería :
“ambos tendrían la misma edad ”
se completa la ecuación
reduciendo
÷
÷
ˆ
19. Dentro de 20 años, Luis Enrique tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene
actualmente?
Resolución
Sea la edad actual de Luis Enrique : años
dentro de 20 años tendrá : años
hace 10 años tenía : años
“Dentro de 20 años, tendrá el doble de la edad que t enía hace 10 años ”
se completa la ecuación
efectuando
÷
÷
ˆ
20. Carla tarda en coser un vestido el doble de tiempo que a Rosa le toma hacerlo. Si trabajando juntas pueden
terminarlo en 9 horas. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno?
Resolución
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
81
“Carla tarda en coser un vestido el doble de tiempo que a Rosa le toma hacerlo ”
Si Rosa se tarda horas, entonces Carla se tarda horas
Si Rosa se tarda horas en terminar el trabajo, entonces en una hora hará del trabajo
Si Carla se tarda horas en terminar el trabajo, entonces en una hora hará del trabajo
entonces, trabajando juntas en una hora harán del trabajo ... (1)
“Si trabajando juntas pueden terminarlo en 9 horas ”
entonces, trabajando juntas en una hora harán del trabajo ... (2)
(1) = (2)
efectuando
÷
÷
ˆ
21. Dos motociclistas parte del mismo lugar en dirección opuesta. El primero viaja a 4 km/h más rápido que el
segundo. Después de 6 horas se encuentran a 3 000 km el uno del otro. ¿Cuál es la velocidad del primero?
Resolución
“El primero viaja a 4 km/h más rápido que el segundo ”
Sea la velocidad del segundo :
entonces la velocidad del primero es :
Entonces en 6 horas :
el segundo recorre :
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
82
el primero recorre :
“Después de 6 horas se encuentran a 3 000 km el uno del otro”
entonces
÷
dividiendo entre 6
÷
÷
÷
ˆ
22. Un camión de 30 m de largo se desplaza con velocidad de 15 m/s. si necesita 6 segundos para cruzar un
puente. ¿Cuál es la longitud de dicho puente?
Resolución
Sea m la longitud del puente, para que el camión termine de cruzar el puente, debe de recorrer longitud
del puente y su longitud
Entonces, espacio recorrido es :
tiempo :
velocidad :
como
entonces se completa la ecuación
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
83
23. El mercado de muebles de Occidente recibió 55 mesas, algunos burós y algunas mesas para café. La
factura fue por $ 645. Si cada buró cuesta $ 9 y cada mesa para café tiene un precio de $ 15. ¿Cuántas
mesas de cada tipo recibieron?
Resolución
Se recibieron 55 mesas, distribuidos de la siguiente manera
Cantidad Costo unitario Costo
Burós x $ 9 9x
Mesas para café 55 - x $ 15 15(55 - x)
Total 55 9x + 15(55 - x)
La factura fue por $ 645
entonces se completa la ecuación
efectuando
÷
÷
÷
ˆ
24. Un comerciante regala lapiceros a sus clientes. Si regala 8 a cada uno le sobra 15, si regala 11 a cada uno
le faltan 3
a) Modele la ecuación que permita calcular la cantidad inicial de lapiceros que tenía el comerciante.
b) Resuelva la ecuación y determine la cantidad inicial de lapiceros que tenía el comerciante.
Resolución
a) Sea la cantidad de lapiceros
“Si regala 8 a cada uno le sobra 15 "
Si le sobra 15, entonces reparte lapiceros
como a cada uno regala 8 lapiceros, entonces el número de clientes es:
“si regala 11 a cada uno le faltan 3 "
Como le falta 3 lapiceros, entonces necesita lapiceos para repartir 11 a cada uno, entonces el
número de clientes es
Igualando el número de clientes
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
84
ˆ
b)
por proporciones
÷
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
85
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Es aquel conjunto formado por dos o más ecuaciones en el cual su conjunto solución verifica cada una de las
ecuaciones dadas.
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Forma general:
donde: x e y son variables
, , , , , son coeficientes
Métodos de solución
También resolveremos problemas con (3) variables empleando los mismos métodos de solución.
I. Método de reducción
Cuando nos referimos a este método, la idea es eliminar una de las variables (la que sea más simple para
eliminar).
En algunos casos la reducción no es sencilla; se multiplicará por una cantidad a una u otra ecuación y luego
se procederá a reducirla.
Ejemplo
Resolver
Resolución
debemos de buscar que una incógnita tenga coeficientes iguales en valor absoluto, pero diferentes en signo,
en éste caso busquemos que ocurra con la incógnita , para ello buscamos el mínimo común múltiplo de
sus coeficientes , entonces multiplicamos a la primera ecuación por 4, para que resulte igual
al MCM y a la segunda por -3, así tendremos
Sumando las dos ecuaciones
÷
reemplazando en
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
86
÷
÷
÷
ˆ
Representación gráfica de la solución
La gráfica de la ecuación es una recta, necesitamos dos puntos para trazar la recta
Si ÷ ÷ , entonces un punto será
Si ÷ ÷ , entonces un punto será
La gráfica de la ecuación será
en la ecuación
Si ÷ ÷ , entonces un punto será
Si ÷ ÷ , entonces un punto será
La gráfica de la ecuación lo representamos junto a la anterior y será
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
87
II. Método de sustitución
Cuando nos referimos a este método, la idea es despejar una de las incógnitas de una ecuación y
reemplazarla en la otra:
Ejemplo
Resolver
Resolución
Despejando de la primera ecuación ÷
reemplazando en la segunda ecuación:
÷
÷
÷
reemplazando en la primera ecuación
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
88
III. Método de igualación
Cuando nos referimos a este método, la idea es despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y luego
igualarlas.
Ejemplo
Resolver
Resolución
Despejando de la primera ecuación ÷
Despejando de la segunda ecuación ÷
Igualando
÷
÷
reemplazando en la primera ecuación
÷
÷
ˆ
IV. Método de Cramer
En éste método se usa determinantes
Forma general:
Para calcular una incógnita, se forma una división de determinantes, en el numerador se escribe el
determinante de la incógnita, que se forma en eliminar la columna de la incógnita y colocar en su lugar la
columna de los términos independientes y en el denominador el determinante del sistema, así
;
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
89
para efectuar el determinante de segundo orden, se multiplica los coeficientes de la diagonal principal y se
resta el producto de la diagonal secundaria
Ejemplo
Resolver
Resolución
÷
÷
ˆ
Si el sistema presenta 3 incógnitas
Forma general:
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
90
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema por la regla de Cramer
Resolución
÷
÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
91
÷
ˆ
Estudio de las soluciones en el sistema de ecuacion es lineales
Sea el siguiente sistema:
1. Sistema Compatible Determinado (única solución)
En este caso el corte entre ambas rectas nos indica la única solución que existe.
2. Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluc iones)
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
92
En este caso las dos rectas están superpuestas, debido a esto hay infinitos cortes, entonces infinitas
soluciones.
3. Sistema Incompatible (No existe solución)
÷
En este caso observamos que las rectas son paralelas, entonces no hay solución.
Ejercicios
01. Resolver el siguiente sistema
Resolución
Sumando las tres ecuaciones
÷ ... (1)
reemplazando la primera ecuación en (1)
÷ ÷ ÷
reemplazando la segunda ecuación en (1)
÷ ÷ ÷
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93
reemplazando la tercera ecuación en (1)
÷ ÷ ÷
ˆ
02. En el siguiente sistema, hallar el valor de para que el sistema tenga infinitas soluciones e indicar su
conjunto solución.
Resolución
Para que tenga infinitas soluciones, las rectas deben de ser coincides o una es múltiplo de la otra
÷
÷
ˆ
La única ecuación será
Si
÷ ÷
ˆ
03. Las dos terceras partes de la edad de Juan exceden en 4 años a la de Susana, y hace 8 años era el doble
que la de Susana.
Modele el sistema de ecuaciones lineales que al resolverla permita conocer las edades de Juan y Susana.
Calcule las edades de Juan y Susana.
Resolución
Sea:
x : la edad de Juan
y : la edad de Susana
como “Las dos terceras partes de la edad de Juan exceden en 4 años a la de Susana ”
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
94
÷ ÷
además “hace 8 años era el doble que la de Susana ”
÷ ÷
Entonces el sistema que resuelve las edades de Juan y Susana es:
multiplicando la segunda ecuación por -2
÷
sumando las dos ecuaciones
÷
reemplazando en la primera ecuación
÷
ˆ
04. En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres veces menor que cada uno de los
otros lados. Determine la medida de los lados.
Resolución
Sea el triángulo isósceles
perímetro 14 cm, entonces ÷
como “el lado desigual es tres veces menor que cada uno d e los otros lados ”
entonces ÷
Entonces el sistema que resuelve los lados del triángulo isósceles es:
reemplazando la segunda ecuación en la primera
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
95
÷
reemplazando en la segunda ecuación
÷
÷
ˆ
05. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87 camas. Calcule el número
de habitaciones de cada tipo.
Resolución
Sea:
x : número de habitaciones dobles
y : número de habitaciones simples
como “en total hay 50 habitaciones ”
entonces
como “hay 87 camas”
entonces
Entonces el sistema que resuelve el número de habitaciones de cada tipo es:
multiplicando por -1 a la primera ecuación
sumando las ecuaciones
÷
como
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
96
06. Un oficinista compra 250 objetos entre lápices y bolígrafos con un costo de S/. 200. Si los lápices cuestan
S/. 0,50 y los bolígrafos S/.2. Calcule el número de bolígrafos y lapiceros que se compró.
Resolución
Sea:
x : número de lápices comprados
y : número de bolígrafos comprados
como “compra 250 objetos ”
entonces
como cada lápiz cuesta S/. 0,50 y se compró x lápices, entonces se invirtió S/. 0,5x en lápices
como cada bolígrafo cuesta S/. 2,00 y se compró y bolígrafos, entonces se invirtió S/. 2y en bolígrafos
entonces se invirtió en total
multiplicando por 2, entonces
Entonces el sistema que resuelve el número de lápices y bolígrafos es:
multiplicando por -1 a la primera ecuación
sumando las dos ecuaciones
÷
como
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
97
ECUACIONES EXPONENCIALES
Son aquellas ecuaciones cuya incógnita aparece en el exponente.
Si:
÷ œ a > 0 v a…1
Ejemplo:
Resolver:
Resolución
escribiendo las bases en función a la potencia 3:
como las bases son iguales:
÷
ˆ
Caso Particular:
Si:
÷ œ x … 0
Ejemplo:
Resolver:
Resolución
como los exponentes son iguales:
÷
÷
ˆ
Observación:
Si: v a … b
÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
98
Ejercicios
01. Calcular el valor de " " si:
Resolución
Factorizando , que es el menor de los tres términos
÷
÷
÷
ˆ
02. Resolver:
Resolución
Expresando la base 27 como potencia de 3
÷
a bases iguales, exponentes iguales
expresando la base 9, como potencia de 3
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
99
03. Resolver:
Resolución
Elevando a la octava, miembro a miembro
pasando a multiplicar, tenemos
trasladando términos
factorizando y
÷
ˆ
04. Resolver:
Resolución
Expresando las bases en función de la potencia 5
÷
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
100
05. Resolver:
Resolución
Expresando en potencia de 5
÷
÷
÷
÷
÷
ˆ
06. Hallar “x” en:
Resolución
Factorizando , que es el menor de los dos términos
÷
÷
÷
÷
÷ 2x - 2 = 1
ˆ
07. Determine los valores de e en:
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
101
Resolución
multiplicando por dos a la segunda ecuación
sumando las ecuaciones
÷
ˆ
reemplazando en la primera solución
÷
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
102
LOGARITMOS
El logaritmo de un número positivo en una base positiva y diferente de uno será igual al exponente al cual hay
que elevar la base para obtener dicho número.
Notación:
œ b > 0 v b … 1, N > 0
Donde:
N = número del logaritmo
b = base del logaritmo
x = logaritmo de N en base b
Ejemplos:
Identidades fundamentales
1. œ b > 0 v b … 1; N > 0
2. œ b > 0 v b … 1; v x 0 ú
Ejemplo:
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
103
Teoremas
Sean los números A > 0 v B > 0; además b > 0 v b … 1
1.
2.
Observación
œ b > 0 v b … 1;
I.
II.
Ejemplos:
3. , n 0 ú
4. , m … 0
Observación
Ejemplos:
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
104
6. Regla de la cadena:
Se deduce:
v
Ejemplos:
7. Cambio de base:
Ejemplos:
a base 2
8. œ a, c 0 ú+
Ejemplo:
Logaritmo decimal, vulgar o de Briggs
; N > 0
Ejemplos:
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
105
Logaritmo natural, neperiano o hiperbólico
; N > 0
e = 2,718281828459...
Ejemplos:
Ejercicios
01. Resolver
Resolución
Por definición de logaritmos
ˆ
02. Resolver
Resolución
Juntando los logaritmos
÷
por definición de logaritmos
÷
÷
Sea ÷
reemplazando
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
106
factorizando por aspa simple
÷
reemplazando
÷
÷
÷
ˆ
03. Si el conjunto solución de
tiene la forma . Calcule el valor de
Resolución
Juntando los logaritmos
÷
÷
por definición de logaritmos
÷
÷
÷
ˆ
04. Resolver
Resolución
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
107
por definición de logaritmos
elevando a la quinta
÷
÷
÷
÷
ˆ
05. Resolver
Resolución
÷
÷
pero para que exista el logaritmo
ˆ
06. Calcule el valor o valores de
Resolución
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
108
÷
÷
÷
÷
pero para que exista el logaritmo
ˆ
07. Resolver
Resolución
tomando logaritmo neperiano
÷
÷
ˆ
08. Resolver
Resolución
Sea ÷
reemplazando
factorizando por aspa simple
÷
reemplazando
÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
109
÷
tomando logaritmo neperiano
÷
÷
÷
ˆ
09. Determine el conjunto solución de
Resolución
÷
tomando logaritmo decimal
÷
÷
ˆ
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
110
DESIGUALDADES
Es la relación de orden que se establece entre dos cantidades que poseen diferente valor.
Definiciones
Siendo a 0 ú, se establece:
a es positivo ø a > 0
a es negativo ø a < 0
a es no positivo ø a # 0
a es no negativo ø a $ 0
Axiomas de orden
Si a; b v c 0 ú, entonces se define:
1. Ley de la Tricotomía: Siendo a y b reales, una y sólo una de las siguientes sentencias es válida.
a < b w a = b w a > b
2. Ley Aditiva
Si a < b v c 0 ú ÷ a + c < b + c
3. Ley Multiplicativa
Si a < b v c > 0 ÷ ac < bc
4. Ley Transitiva
Si a < b v b < c ÷ a < c
Recta de los números reales ( úúúú)
Sea el número “m” (m 0 ú)
Donde:
+4: más infinito
-4: menos infinito
Propiedades de las desigualdades
I. Sean (a, b, c, d) 0 ú
1. Si:
a > b ...... (i)
c > d ...... (ii)
(i) + (ii):
÷ a + c > b + d
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
111
2. Si:
a > b ...... (i)
c < d ...... (ii)
(i) - (ii):
÷ a - c > b - d
Intervalos
Es aquel subconjunto de los números reales, definiendo un conjunto de valores entre dos límites, inferior y
superior.
Clases de intervalos
1. Intervalo Cerrado :
Por definición [a; b] = {x/ a # x # b}
2. Intervalo Abierto:
Por definición ]a; b[ = {x/ a < x < b}
3. Intervalos Mixtos:
i) [a; b[ = {x/ a # x < b}
ii) ]a; b] = {x/ a < x # b}
También:
1) [a; +4[ = {x/ x $ a}
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
112
2) ]-4; a] = {x/ x # a}
3) ]a; +4[ = {x/x > a}
4) ]-4; a[ = {x/ x < a}
Operaciones entre intervalos
Si los conjuntos A y B representan un intervalo de números reales, se realizan entre ellas las siguientes
operaciones:
1. Unión: A c B = {x/x 0 A w x 0 B}
2. Intersección: A 1 B = {x/x 0 A v x 0 B}
3. Diferencia: A - B = {x/x 0 A v x ó B}
4. Complemento: A' = {x/x 0 ú v x ó A}
Ejemplo:
Sean los conjuntos: A = [-4; 5[; B = ]0; 8]; C = [-1; +4[
realizar las siguientes operaciones:
1) A c B 2) B 1 C
3) A - C 4) B'
Resoluciones
1) A c B = ?
Como: A = [-4; 5[ y B = ]0; 8]
Graficando:
÷ A c B = [-4;8]
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
113
2) B 1 C = ?
Como: B = ]0; 8] y C = [-1; +4[
Graficando:
÷ B 1 C = ]0; 8]
3) A - C = ?
Como: A = [-4; 5[ y C = [-1; +4[
Graficando:
÷ A - C = [-4;-1[
4) B' = ?
Como: B = ]0;8]
Graficando:
÷ B'= ]-4; 0] c ]8; +4[
Teoremas
1. œ x 0 ú: x2 $ 0
2. x2 = 0 ø x = 0
3. œ a; b; c 0 ú
si: a > b v c > 0 ÷
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
114
si: a > b v c < 0 ÷
4. œ a; b; c; d 0 ú
a < b
c < d
÷ a + c < b + d
5. œ a; b; c; d 0 ú
a < b
c > d
÷ a - c < b - d
6. œ a v b 0 ú+
7. œ x > 0
x +
œ x < 0
x +
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Indicar cuántas de las siguientes proposiciones
son verdaderas:
( ) 10 # 10 ( ) -9 < 0
( ) 7 $ 9 ( ) 0 $
( ) -6 > -8 ( ) 3 > B > 4
A. 2 C. 3
B. 4 D. 5
02. Sean:
A = {x 0 ú / x 0 ]-5; -1[ }
B = {x 0 ú / x 0 ]-2; 2] }
hallar: (A c B)
A. ]-5; 2[ C. ]-5; 2]
B. [-5; 2] D. [-5; -4]
03. Sean los intervalos:
A = [-6; 5]
B = ]-2; 9[
Halla la suma de los valores enteros de: A 1 B
A. 10 C. 11
B. 12 D. 14
04. Si: ; dar el menor valor de “m” si se
verifica (m 0 Z); x > -5.
A. -14 C. -13
B. -12 D. -6
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
115
05. Se define la operación # para los reales como:
a#b = ,
hallar el C.S. de la siguiente inecuación en ú.
x # 2 #
A. ]-4; 7/4] C. ]-4; -23/8]
B. [7/4; +4[ D. ]-7/4; +4[
06. Resolver el sistema: 5x - 4 < 2x + 5 < 4x+1
A. x 0 [2; 3[ C. x 0 ]-5; 5[
B. x 0 ]-1; 1[ D. x 0 ]2; 3[
07. Dados los intervalos:
A = { x , ú / x $ -1 }
B = { x , ú / x < 6 }
luego verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
( ) A - B = [ 6; +4[
( ) A 1 B = [ -1; 6 [
( ) = ] - 4; -1[
A. VVV C. VFV
B. FVF D. VVF
08. Si: , halle el intervalo de: (-x + 2)
A. [ -8; 1/3[ C. [ -4; 3/2[
B. [ -8; 8/3[ D. [ -6; 2/3]
09. Indique el mayor valor entero de “n” que verifica la
inecuación:
A. -3 C. -5
B. -4 D. -6
10. Si: A = { x , ú / }
Determine la suma de los elementos de A 1 ù
A. 5 C. 7
B. 6 D. 8
11. Se define el conjunto “T” como:
T = { x , ú / x < 2 ; x > 1}
halle “T”
A. [1; 2] C. ] 1; 2 [
B. ]1; +4[ D. ] - 4; 2[
12. Halle el conjunto solución de:
A. [ -2; 4] C. [ -1; 3]
B. [ -3; 4] D. [ 0; 2]
13. La suma de los enteros que verifican
simultáneamente las inecuaciones:
es:
A. 25 C. 18
B. -21 D. -18
14. Sabiendo que se cumple:
Calcule el menor valor de (m - n)
A. 5 C. 10
B. -5 D. -10
15. Calcular la suma de los valores enteros de “x” que
satisfacen: x - 5 < 3 < 2x - 7
A. 10 C. 12
B. 11 D. 13
16. Resolver el sistema:
x + 3 > 0
x - 8 > 0
x < 10
x - 14 < 0
el valor entero de “x” que satisface el sistema
A. 11 C. 9
B. 8 D. 10
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
116
17. Resolver:
> - x - 3
> x - 1
e indicar el mayor entero positivo para “x”
A. 12 C. 10
B. 9 D. 11
18. Resolver el sistema:
2(x - 3) < 3x -
6x - 5 <
y dar como respuesta la suma de todos los valores
enteros de x
A. -15 C. -13
B. -12 D. -14
19. Resolver:
< 2x + 4
> 2x - 5
A. x 0 ] -13/3; 18/5[
B. x 0 ]-13/3; 28/5[
C. x 0 ]-26/3; 18/5[
D. x 0 ]-26/3; 28/5[
20. Si: 11 < 2x - 1 < 29, “x” pertenece al intervalo
A. ]6; 15[ C. ]-1; 8[
B. ]-1; 4[ D. ]4; 15[
21. La relación entre las escalas de temperatura
Fahrenheit (/F) y Centígrada (/C) es:
C/ = 5/9(/F - 32)
Si 50 # ºF # 104, ¿A qué intervalo pertenece /C?
A. [5; 20] C. ]20; 5]
B. [-5; 20] D. [10; 40]
22. El intervalo para el cual se verifica:
es:
A. x > 2 C. -1 < x <-2
B. -2 < x < -1 D. x > -1
23. La suma de los valores enteros de “x” que
satisfacen el sistema de inecuaciones :
es:
A. 27 C. 14
B. 9 D. 20
24. Se desea saber el mayor número de postulantes
que hay en una aula. Si al doble del número de
estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor
que 29 y si al triple se le disminuye en 5, el
resultado es menor que el doble del número
aumentado en 16
A. 22 C. 20
B. 19 D. 21
25. Si al doble de la edad de cierta persona se le
disminuye 17 años, resulta menor que 35; pero si
a la mitad de la edad se le suma 3 el resultado es
mayor que 15. ¿Cuál es dicha edad?
A. 22 C. 24
B. 23 D. 25
26. El cuadrado de la edad de Kevin menos 3 es
mayor que 141. En cambio el doble de su edad
más 3 da un número menor que 30. ¿Cuántos
años tiene Kevin?
A. 12 C. 14
B. 13 D. 15
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
117
27. Hallar un número entero y positivo. Sabiendo que
la tercera parte del que le precede disminuida en
una decena, es mayor que 14, y que la cuarta
parte del que le sigue, aumentada en una decena
es menor que 29
A. 76 C. 74
B. 73 D. 75
28. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento
deportivo con sus hijos, si toma entradas de 50
soles le falta dinero y si toma de 40 soles le sobra
dinero. El número de hijos es:
A. 7 C. 5
B. 4 D. 6
29. Si la intersección de los intervalos:
A = ]-5; -1[ c ]2; 11[
B = [-3; 4]
es: [a; b[ c ]c; d], calcular “a + b + c + d”
A. 1 C. 2
B. 3 D. 4
30. Dado: x > 0; y > 0; x > y v z … 0; la desigualdad
que no siempre es verdadera, es:
A. x + z > y + z C. x - z > y - z
B. xz > yz D.
31. Siendo: x, y 0 ú/x > 0 > y, ¿cuál de las siguientes
relaciones no es verdadera?
A. (y - x)(x - y) < 0
B. > 0
C. x2 - xy < 0
D. x2 + y2 > 0
32. Si x 0 [2; 4] entonces el menor valor que toma la
fracción es:
A. 7/6 C. 5/4
B. 7/4 D. 6/5
33. Resolver la inecuación:
e indicar un valor entero admisible para “x”
A. 2 C. -10
B. -13 D. -19
34. Resolver: (x + 5)(x + 3) $ (x + 2)(x + 1) + 3
A. x 0 [-2; +4[ C. x 0 ]-4; -3]
B. x 0 [2; +4[ D. x 0 ]-4; -2]
35. Luego de resolver la inecuación:
- x < 3(x - 91)
indicar el menor valor entero de x
A. 77 C. 76
B. 80 D. 78
36. Indicar verdadero (V) o falso (F), según
corresponda:
( ) Si: -5 < x < 8 ÷ 25 < x2 < 64
( ) Si: -7 < x < -4 ÷ 0 < x2 < 49
( ) Si: -6 # x < 5 ÷ 0 # x2 < 38
A. FFF C. FVV
B. VVV D. FFV
37. Determinar el máximo valor que toma la
expresión:
si {a; b} d ú+
A. 2/3 C. 3/4
B. 3/2 D. 1/6
38. Resolver:
siendo 0 < a < b
A. ]-4, -1] C. ]-4, -2[
B. [-1, +4[ D. [1, +4[
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
118
39. Resolver:
A. [-60; 4[ C. ]-60; 4[
B. ]-4; -60[ D. ]-60; 0[
40. Indique la suma de todos los valores enteros que
satisface el sistema:
13 $ 2x - 3 $ 5
-6 $ 9 - 5x $ -26
A. 25 C. 30
B. 33 D. 22
TAREA
01. Indicar si las proposiciones son verdaderas (V) o
falsas (F):
( ) œ a; b 0 ú ÷ a < b w a = b w a > b
( ) Si a > b v n 0 ú ÷ a + n > b + n
( ) Si a > b v n 0 ú ÷ a.n > b.n
A. VVV C. VFV
B. VFF D. VVF
02. Señale el valor de verdad de las siguientes
preposiciones:
( ) œ a 0 ú ÷ a2 $ 0
( ) Si a > b v n < 0 ÷ a.n < b.n
( ) œ a; b 0 ÷
A. VVV C. VFV
B. VFF D. VVF
03. Si: m > 0 v n > 0, además m > n, diga donde está
el error del siguiente proceso:
I. mn >
ll. - + mn > -
lll. m(n - m) > (n + m)(n - m)
IV. m > n + m
V. 0 > n
A. II C. IV
B. III D. V
04. Determinar el valor de verdad de cada una de las
siguientes preposiciones:
( ) Si -1 < n < 1 ÷ 0 ] -1; 1[
( ) Si -1 # n # 1 ÷ n2 0 [ 0; 1]
( ) œ n 0 ú ÷ 0 ú
A. VVV C. VFV
B. VFF D. FVF
05. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)
verdadera(s)?
I. Si: x 0 ] -1; 5[ , entonces: -9 < 3x - 4 < 12
II. Si: A = ] -5; 10] v B = [ -4; 12], entonces
B - A = ] 10; 12]
lll. Si: a > 0 ÷ < 0
A. Todas C. Sólo l
B. l y ll D. ll y lll
06. Si x 0 ]3; 5], calcular la suma de los valores
enteros de:
A. 24 C. 17
B. 27 D. 34
07. Si: m > n, resolver:
e indicar cuántas soluciones negativas tiene la
inecuación
A. 1 C. 3
B. 2 D. 0
08. Si x 0 [2; 5], indicar la suma del mayor y menor
valor que toma la expresión:
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
119
A. 5 C. 7
B. 6 D. 8
09. Calcular el mayor valor de k que cumple:
A. C.
B. D.
10. ¿Cuántos números enteros satisfacen el sistema?
5x - 6 > 3x -14
A. 4 C. 5
B. 6 D. 7
11. Sean los intervalos:
M = [-6; 13[
N = ]-3; 5[
si M 1 N está representado por ]m + 1; n - 2[,
calcular: m+n
A. -3 C. -1
B. 0 D. 3
12. Resolver:
A. x > 5/6 C. x < 5/6
B. x > 5 D. x > 6
13. Resolver:
7(3 - 2x) + 2(2x - 15) < 2(5x - 7) - 3(2x - 11)
A. x 0 ]2; +4[ C. x 0 ]-4; -2[
B. x 0 ]0; +4[ D. x 0 ]-2; +4[
14. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
( ) Si: -2 < x < 3 ÷ 0 # x2 < 9
( ) Si: -3 < x # 4 ÷ 9 < x2 # 16
( ) Si: x 0 ú ÷ x2 > 0
A. VVV C. VFF
B. VFV D. FVF
15. ¿Cuál de las expresiones es correcta?
A. a $ b y b $ a ÷ a = b
B. a > b ÷ a - b $ 0
C. a …b ÷ a > b w a < b
D. Todas
16. Resolver: 2 # 5 - 3x < 11
2 > -3 - 3x $ -7
A. ]-5/3; 1] C. ]-5/3; 1[
B. ]-2; 1[ D. ]-2; -5/3[
17. Calcule Ud. el C.S de la siguiente inecuación:
sabiendo que a < b
A. ]-4; 3[ C. ]3; +4[
B. [3; +4[ D. ]-4; 3]
18. Luego de resolver la inecuación:
indicar el máximo valor entero de “x”
A. 8 C. 7
D. - 7 D. -8
19. Sólo una de las desigualdades es verdadera:
A.
B.
C.
D.
20. Hallar la suma de todos los valores enteros que
satisfacen el sistema:
Walter Ramos Melo Nivelación en matemática
120
A. 50 C. 60
B. 75 D. 84
CLAVES
01. D 02. A 03. C 04. D 05. B 06. B 07. D 08. C 09. D 10. D
11. D 12. A 13. D 14. C 15. D 16. A 17. C 18. D 19. A 20. C