Post on 22-Jan-2017
Números Complejos
Antes de entrar en el tema hagamos una reflexión ver imagen para entenderlo mejor^ h** 6 nº. giro de 180º^ h =- nº
ejemplo 2. giro de 180º^ h
=a6 7 844444444 44444444
=- 2
2.a =- 2( a =- 1
** 6 nº. giro de 180º^ h . giro de 180º^ h = nº
ejemplo 2. giro de 180º^ h=a
6 7 844444444 44444444. giro de 180º^ h
=a6 7 844444444 44444444
= 2
2.a.a = 2( 2a2 = 2( a2 = 1
ahora que pasa se damos dos veces giro de 90º
ejemplo 2. giro de 90º^ h=a
6 7 84444444 4444444. giro de 90º^ h
=a6 7 84444444 4444444
=- 2
2.a.a =- 2( 2a2 =- 2( a2 =- 1 es imposible
se soluciono este problema en matematica, haciendo a = i = -1 ojo nunca se puede escribir -1^ h
El motivo por el cual no se puede escribir -1 es el seguiente:
i2 =- 1 también sabemos que i2 = i.i = -1 . -1 = -1^ h -1^ h = 1 = 1
lo cual nos indica que - 1 = 1 que es incierto. el i es un nº imaginario
y Son de la forma Z = a + bi , donde a,b^ h d R2 i2 =- 1
a parte real , b parte imaginaria la expresion a + bi se llama forma Binomica
El conjunto de los nº complejos es C = a + bi/ a,b^ h d R2" , , R 1 C
** Z = a + bi A Z es Imaginario puro sia=0real sib=0$
** conjugado de Z se presenta por Z = a - bi , opuesto es -Z =- a - bi
** Potencias de i
i0 = 1 , i1 = i , i2 =- 1 , i3 =- i , i4 = 1 , i5 = i
Para calcular in, se coge n ' 4si el resto es 1,2,3^ h( 1 A i , 2 A i2 =- 1^ h , 3 A i3 =- i^ h
si el resto es 0( in = 1'
** Propiedades
Sean dos nº complejos Z = a + bi y W = c + di
Z = W, b=da=c" , Z + W = a + c^ h + b + d^ hi , Z - W = a - c^ h + b - d^ hi
Z.W = ac - bd^ h + ad + bc^ hi , WZ =
c + dia + bi =
c2 + d2ac + bd +
c2 + d2bc - ad
i
Z.W = a + bi^ h c + di^ h = ac + adi + bci - bd = ac - bd^ h + ad + bc^ hiWZ =
c + dia + bi =
c + dia + bi
c - dic - di =
c2 + d2ac - adi + bci + bd =
c2 + d2
ac + bd^ h + bc - ad^ hi
Z.Z = a + bi^ h. a - bi^ h = a2 + b2
Modulo y Argumento de un nº complejo
Modulo: de un nº complejo Z es la longitud del vector y se representa por Z = a2 + b2
Argumento: de un nº complejo Z es el angulo formado entre Z y el eje x positivo Arg Z^ h = arctag ab = a
imagen de abajo se ve lo que es modulo , argumento, conjugado y opuesto
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
Z = a + bi = ra = eia = r cosa + i.sena^ h
si Z = a + bi, Z = a - bi,- Z =- a - bi , luego Z = Z = -Z = a2 + b2
** el inverso de Z es Z1 =
Z1
Z
Z =Z.Z
Z =a2 + b2
Z
** Z d R, Z = Z , Z es imaginario puro Ssi Z =- Z
** Z + W = Z + W , Z.W = Z .W , WZ` j =
W
Z
** Z + Z = 2.R Z^ h A R Z^ h = parte real de Z
** Z - Z = 2i.Im Z^ h A Im Z^ h = parte Imaginaria de Z
** Z.W = Z . W = Z . W ,W
Z=
WZ, Z + W # Z + W , Z - W $ Z - W
** Z = 0, Z = 0 , Z2 = Z.Z , Z ! 0( Z
1 =Z
2Z
Forma Binómica Trigonometrica Polar y Exponencial
Z = a + bi = r cos a + 2kr^ h + i.sen a + 2kr^ h^ hForma trigonometrica
6 7 8444444444444444444444 444444444444444444444
= ra
forma polar?
= e i a+2kr^ hforma exponencial6 7 8444 444
, siendo r = Z
modulo de ZA
= a2 + b2
Ojo kd Z a = arctag ab
Formula Euler eia = cosa + i.sena , cosa =2
eia + e-ia, sena =
2ieia - e-ia
Formula de Moivre Zn = r cos a + 2kr^ h + i.sen a + 2kr^ h^ h" ,6 @n = rn cos na^ h + i.sen na^ hn.2kr=2 lk r=0
6 7 8444444444444 444444444444c m** ra .rb
,= r.r,^ h
a+b AA r.e ia.r, .e ib = r.r,e i a+b^ h
** rb,
ra= r,
r_ ia-b
AA
r, .e ib
r.e ia
= r,r e i a-b^ h
** ra^ hn = rn^ ha+2kr^ h.n = rn^ hn.a AA r.e ia^ hn = rn
.e ina, a + 2kr^ h .n = na + 2knr = na
** ran = rn^ hn
a+2kr AA re ian = re i a+2kr^ hn = rn e ni a+2kr^ h
Calculo del Argumento
** Z = a + bi
si a 2 0 ( Arg Z^ h = arctag ab= a
si a = 0 y b 1 0( Arg Z^ h =-2r
si a = 0 y b 2 0( Arg Z^ h =2r
si a 1 0 y b 1 0( Arg Z^ h = arctag aba k-r = a
si a 1 0 y b 2 0( Arg Z^ h = arctag aba k+r = a
si a 1 0 y b = 0( Arg Z^ h = r = asi a 2 0 y b = 0( Arg Z^ h = 00 = 2r = asi a = 0 y b = 0( Arg Z^ h = Indefenido
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicios de nº complejos
1 Ejercicio
Hallar i12 , i37 , i-139
Respuesta:
** i12$ 012
34$ i12 = 1 ; ó bién i12 = i4^ h
3 = 13 = 1
** i37$ 137
94$ i37 = i1 = i ; ó bién i37 = i4^ h
9.i = i
** i-139$
319139
344$ i-139 = i-3 = i3^ h
-1= -i^ h
-1=-i1
ii = i
ó bién i-139 = i-4^ h34.i-3 =
i41a k
34
.i31a k = -i
1` j
ii = i
................................................................
2 Ejercicio
Sean los nº complejos :
z1 = 1 - i ; z2 = 1 - i 3 ; z3 =z2^ h
4
z1^ h5
a Halla sus modulos y argumentos y sus formas polares trigonometricas y exponenciales.
b Determine la parte real e imaginaria de z3 y cual es su afijo.
c Deduzca los valores de cos 12r
y sen 12r
Respuesta:Recuerda: Z = a2 + b2 , Arg Z^ h = arctag ab = a , zn = z
n, Arg zn^ h = n.Arg z^ h
wz =
w
zArg w
z_ i = Argz - Argw Z = a + bi
binomicaE
= ra
polar?
= eia
exponencial@
= r cosa + i.sena^ h
trigonometrica6 7 84444444444 4444444444
a b z1 = 1 - iArg z1^ h = arctag 1
-14º cuadrante^ h =
4-r
z1 = 1 + 1 = 2*
z1 = 1 - i = 2 cos 4-r_ i+ i.sen 4
-r_ i8 B = 2^ hei 4-r= 2^ h
4-r
afijo de z1 es 1, - 1^ h , Parte real = 1 Parte Imaginaria =- 1
z2 = 1 - i 3Arg z2^ h = arctag - 3 4º cuadrante^ h =
3-r
z2 = 1 + 3 = 2*
z2 = 1 - i 3 = 2 cos 3-r_ i+ i.sen 3
-r_ i8 B = 2ei 3-r= 2^ h
3-r
afijo de z2 es 1, - 3^ h , Parte real = 1 Parte Imaginaria =- 3
z3 =z2^ h
4
z1^ h5
=2ei 3
-r6 @42^ hei 4
-r6 @5=
2^ h8
2^ h5
ei 3-4r
ei 4-5r
= 2^ h-3ei 12-15r
ei 1216r
=42ei 12r
z3 =z2^ h
4
z1^ h5
=16 cos 3
-4r + i.sen 3-4r` j
4 2 cos 4-5r + i.sen 4
-5r` j=
4 cos r + 3r
_ i- i.sen r + 3r
_ i` j
2 cos r + 4r
_ i- i.sen r + 4r
_ i` j
z3 =4 -cos 3
r_ i+ i.sen 3
r_ i` j
2 -cos 4r_ i+ i.sen 4
r_ i` j
=42
2
-1 + i 3c m
2
- 2 + i 2c m
=42
-1 + i 3^ h
- 2 + i 2^ h
-1 - i 3^ h
-1 - i 3^ h
z3 = 42
46 + 2
+ i 46 - 2
c m
z3 = 42
cos 12r_ i+ i.sen 12
r_ i8 B =
42ei 12r
=42
c m
12r
afijo de z3 es 46 + 2
, 46 - 2
c m , Parte real = 46 + 2
Parte Imaginaria = 46 - 2
c cos 12r_ i =
46 + 2
, sen 12r_ i =
46 - 2
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
3 Ejercicio
Resolved en C las ecuaciones seguientes:
a 5z = 4 - i , b 1 + i^ h z + 1 - i = 0 , c 3z + 2iz = 5 - 3i
Respuesta: Recuerda: Z = a + bi, Z = a - bi,- Z =- a - bi , Z2 = Z.Z = a2 + b2
a + ib = c + id,b = da = c$
** a 5z = 4 - i, z = 54 -
5i, z = 5
4 +5i
** b 1 + i^ h z + 1 - i = 0, z =1 + i1 - i =
1 + i1 - i
1 - i1 - i =
21 - i^ h
2
=2-2i =- i, z = i
** c 3z + 2iz = 5 - 3i 1 , sea z = a + bi, z = a - bi
1 , 3 a - bi^ h + 2i a + bi^ h = 5 - 3i, 3a - 3bi + 2ai - 2b = 5 - 3i
1 , 3a - 2b + i 2a - 3b^ h = 5 - 3i(2a - 3b =- 33a - 2b = 5$
a =
23-3-2
-35
-3-2
=-9 + 4-15 - 6 =
521
b =
23-3-2
23-35
=-9 + 4-9 - 10 =
519
luego z = 521 +
519
i
................................................................
4 Ejercicio
z1 = 1 - 3 i , z2 = 3
Hallar ¿ z = z2z1
? , z^ h-1
Respuesta:
z = z2z1 =
31 - 3 i
=31 -
33i, z = 3
1 +33i
z^ h-1 =
z
1 =
31 + 3 i
1 =1 + 3 i
3 =1 + 3 i
3
1 - 3 i
1 - 3 i=
1 + 3
3 1 - 3 i^ h=
43 1 - 3 i^ h
................................................................
5 Ejercicio
sean los nº complejos z1 = 3 + i , z2 = 1 - i
a halla los modulos y argumentos de z1 , z2 , z2z1
y sus formas trigonometricas
exponenciales y polares
b deducir los valores de cos 125r
y sen 125r
Respuesta:
a modulos y argumentos de z1 , z2 , z2z1
y sus formas trigonometricas exponenciales y polares.
z1Argumento = Arg z1^ h = arctag
3
11º cuadrante^ h =
6r
modulo = z1 = 3^ h2+ 1^ h
2 = 4 = 2Z
[
\
]]]]]]]]]
z1 = 3 + i forma binomica^ h = 2 cos 6r + i sen 6
r_ i forma trigonometrica^ h
= 2ei 6r
forma exponencial^ h = 26r forma polar^ h
z2Argumento = Arg z2^ h = arctag 1
-14º cuadrante^ h =
4-r
modulo = z2 = 1^ h2 + -1^ h
2 = 2*
z2 = 1 - i forma binomica^ h = 2 cos 4-r + i sen 4
-r_ i forma trigonometrica^ h
= 2 e-i 4r
forma exponencial^ h = 2^ h4-r forma polar^ h
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
z2z1 =
2 e-i 4r
2ei 6r
=2
2ei 6r
ei 4r
= 2 ei 6r+i 4r
= 2 ei 125r
z2z1
Arg z2z1_ i =
125r
z2z1 = 2
*
= 2 cos 125r + i.sen 12
5r` j = 2 ei 12
5r= 2^ h
125r
z2z1 =
1 - i
3 + i=
1 - i
3 + i
1 + i1 + i =
23 - 1 + i 3 + 1^ h
= 22 2
3 - 1 + i 3 + 1^ h< Fb deducir los valores de cos 12
5ry sen 12
5r
z2z1 = 2 cos 12
5r + i.sen 125r
` j = 22 2
3 - 1+ i
2 2
3 + 1< F&sen 12
5r =2 2
3 + 1
cos 125r =
2 2
3 - 1Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
................................................................
6 Ejercicio
Calcula en forma trigonometrica , exponencial y polar z = 1 - i^ h4,y z
Respuesta:
Recuerda: Euler eia = cosa + i.sena , cosa =2
eia + e-ia, sena =
2ieia - e-ia
, z^ hn = zn^ h
de Moivre Zn = r cos a + 2kr^ h + i.sen a + 2kr^ h^ h" ,6 @n = rn cos na^ h + i.sen na^ h
n.2kr=2 lk r=06 7 8444444444444 444444444444d n
lz = 1 - i( lzArg lz = arctag 1
-1(4º cuadrante) = 4
-r
lz = 1^ h2 + -1^ h
2 = 2* luego lz = 2 e-i 4
r
z = 1 - i^ h4 = lz^ h
4= 2 e-i 4
r^ h
4= 4e-ir
exponencialD
= 4 cos -r^ h + i.sen -r^ h6 @
Trigonometrica6 7 8444444444444444 444444444444444
= 4-r
polarA
= -4
binomica@
z = 1 - i^ h4 = 1 - i^ h6 @4
Argz =- Argz = r
z = z = 4( & z = 4eir = 4 cos r^ h + i.sen r^ h6 @ = 4r =- 4
................................................................
7 Ejercicio
Hallar modulo y argumento de z =1 - i1 + i` j
5, 3z y - 5z y expresalos en su fomrma
trigonometrica, exponencial y binomica
Respuesta:
Recuerda: 6 n d N ,6 z d C*Arg zn^ h = n.Arg z^ h
zn = zn
( , z2z1 =
z2
z1, Arg z2
z1 = Argz1 - Argz2
6 m d R* ,6 z d C*
Arg m.z^ h =Arg z^ h + r si m 1 0
Arg z^ h si m 2 0(
m.z = m . zZ
[
\
]]]]]]]]]
sea z1 = 1 + iArgz1 = arctag 1
11º cuadrante^ h =
4r
z1 = 1 + 1 = 2* ( z1 = 2 ei 4
r
sea z2 = 1 - iArgz2 = arctag 1
-14º cuadrante^ h =
4-r
z2 = 1 + -1^ h2 = 2
* ( z2 = 2 ei 4-r
( z2z1 =
1 - i1 + i
Arg z2z1 = Argz1 - Argz2 = 4
r -4-r =
2r
z2z1 =
z2
z1=
2
2= 1
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
( z2z1 = 1ei 2
r
= ei 2r
z = z2z1_ i
5=
1 - i1 + i` j
5
Arg z2z1_ i
5= 5.Arg z2
z1 =25r = 2r + 2
r =2r
z2z1_ i
5=
z2z1 5 = 15 = 1
Z
[
\
]]]]]]]]]
( z2z1_ i
5= ei 2
r
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
z = z2z1_ i
5= ei 2
r
= cos 2r + i.sen 2
r = 12r = i
3z = 3. z2z1_ i
5
Arg 3z^ h = Argz = 2r
porque 3 2 0
3z = 3. z = 3* ( 3z = 3.ei 2
r
3z = 3.ei 2r
= 3. cos 2r + i.sen 2
r_ i = 3
2r = 3i
- 5z =- 5. z2z1_ i
5
Arg -5z^ h = Argz + r
porque -5106 7 84444 4444
=2r + r =
23r
-5z = -5 . z = 5. z = 5Z
[
\
]]]]]]]]]]
(- 5z = 5.ei 23r
- 5z = 5.ei 2r
= 5. cos 23r + i.sen 2
3r` j = 5
23r =- 5i
................................................................
8 Ejercicio
Calcula los nº complejos seguientes en forma binomica, trigonometrica,polar e exponencial
obteniendo a la vez sus opuestos y conjugados y por ultimo representalos graficamente.
1 za =- 3 , 2 zb = 2 + 2i , 3 zc = 3 - i , 4 zd =1 - 3 i
i90, 5 ze = 1 + i
-1 - i^ h3i53
Respuesta:Recuerda: z = z = -z , Arg z^ h =- Arg z^ h , Arg -z^ h = Arg z^ h + r
1 za =- 3 = 3 -1^ h = 3 cosr + i.senr^ h = 3 ei.r = 3^ hr
Conjugado z a =- 3 = 3 cos -r^ h + i.sen -r^ h^ h = 3 ei. -r^ h = 3^ h-r
Opuesto - za = 3 = 3 cos0 + i.sen0^ h = 3 ei.0 = 3^ h0
2 zb = 2 + 2iArg zb^ h = arctag 2
2 = 1` j
1º cuadrante1 2 34444 4444
=4r
zb = 2^ h2 + 2^ h
2 = 8Z
[
\
]]]]]]]]]]
( zb = 8 cos 4r + i.sen 4
r_ i = 8 ei. 4
r
= 8^ h4r
Conjugado zb = 2 - 2i = 8 cos 4-r + i.sen 4
-r_ i = 8 ei. 4-r
= 8^ h4-r
Opuesto - zb =- 2 - 2i = 8 cos 45r + i.sen 4
5r` j = 8 ei. 4
5r= 8^ h
45r
3 zc = 3 - iArg zc^ h = arctag
3
-1c m
4º cuadrante[
=3-r
zc = 3^ h2+ -1^ h
2 = 2Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
( zc = 2 cos 3-r + i.sen 3
-r_ i = 2ei. 3-r
= 2^ h3-r
Conjugado zc = 3 + i = 2 cos 3r + i.sen 3
r_ i = 2ei. 3
r
= 2^ h3r
Opuesto - zc =- 3 + i = 2 cos 32r + i.sen 3
2r` j = 2ei. 3
2r= 2^ h
32r
4 zd =1 - 3 i
i90calculemos 1º i90 = i4^ h
22.i2 = 1. -1^ h =- 1 asi que
zd =1 - 3 i
i90 =1 - 3 i
-1 =1 - 3 i
-1
1 + 3 i
1 + 3 i=
4
-1 - 3 i
zd = 4
-1 - 3 i
Arg zd^ h = arctag
4-14
- 3
= 3
J
L
KKKKKKKK
N
P
OOOOOOOO
3º cuadrante1 2 344444444 44444444
=3r- r =
3-2r
zd =4-1` j
2+
4
- 3c m
2
=41 =
21
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
( zd = 4
-1 - 3 i=21
cos 3-2r + i.sen 3
-2r` j =21ei. 3
-2r=21
3-2r
Conjugado zd = 4
-1 + 3 i=21
cos 32r + i.sen 3
2r` j =
21ei. 3
2r=
21` j
32r
Opuesto - zd = 41 + 3 i
=21
cos 3r + i.sen 3
r_ i =
21ei. 3r
=21` j
3r
5 ze = 1 + i
-1 - i^ h3i53calculemos 1º i53 = i4^ h
13.i1 = 1. i^ h = i asi que
^ h
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
1 i^ h ^ h
ze = 1 + i
- 1 + i^ h3i=- 3i = 3 -i^ h = 3 cos 2
-r + i.sen 2-r_ i = 3ei. 2
-r= 3^ h
2-r
Conjugado ze = 3i = 3 cos 2r + i.sen 2
r_ i = 3ei. 2
r
= 3^ h2r
Opuesto - ze = 3i = 3 cos 2r + i.sen 2
r_ i = 3ei. 2
r
= 3^ h2r
................................................................
9 Ejercicio
Calcula z = -646
Respuesta: Recuerda: zn( hay n soluciones de z
z = -646 = 64. -1^ h6 = 64 cosr + i.senr^ h6 @61 , hay 6 soluciones de z
z = 64 cos r + 2kr^ h + i.sen r + 2kr^ h^ h6 @61 = 646 cos 6r + 2kr` j+ i.sen 6
r + 2kr` j` j8 Bz = 2 cos 6
r + 2kr` j+ i.sen 6r + 2kr` j` j k d Z
para k = 0 A z0 = 2 cos 6r_ i+ i.sen 6
r_ i` j = 2. 2
3+ i 2
1c m = 3 + i
para k = 1 A z1 = 2 cos 2r_ i+ i.sen 2
r_ i` j = 2. 0 + i 1^ h = 2.i
para k = 2 A z2 = 2 cos 65r` j
r- 6r
E
+ i.sen 65r` j
r- 6r
Ef p
= 2 -cos 6r_ i+ i.sen 6
r_ i` j = 2. - 2
3+ i 2
1c m =- 3 + i
para k = 3 A z3 = 2 cos 67r` j
r+ 6r
E
+ i.sen 67r` j
r+ 6r
Ef p
= 2 -cos 6r_ i- i.sen 6
r_ i` j = 2. - 2
3- i 2
1c m =- 3 - i
para k = 4 A z4 = 2 cos 69r` j
r+ 63r
E
+ i.sen 69r` j
r+ 63r
Ef p
= 2 -cos 2r_ i- i.sen 2
r_ i` j = 2. -i^ h =- 2.i
para k = 5 A z5 = 2 cos 611r` j
2r- 6r
6 7 8444 444
+ i.sen 611r` j
2r- 6r
6 7 8444 444f p
= 2 cos 6-r_ i- i.sen 6
-r_ i` j = 3 + i
................................................................
10 Ejercicio
Sea el nº complejo z =- 2 1 + i^ h
a Halla el modulo y argumento de z
b Halla su forma trigonometrica,polar e exponencial.
c Halla modulo y Argumento de las raices cubicas de z.
Respuesta:
a b z =- 2 1 + i^ h = - 2 - 2 i^ h
Arg z^ h = arctag- 2^ h
- 2^ h3º cuadrante^ h =
4r - r =
4-3r
z = - 2^ h2+ - 2^ h
2= 4 = 2
Z
[
\
]]]]]]]]]]
z = 2 -22-
22ic m = 2 cos 4
5r` j+ i.sen 4
5r` j` j = 2ei. 4
5r= 2^ h
45r
c z3 = 23 cos 45r` j+ i.sen 4
5r` j` j3
1
aplicando de Moivre
z3 = 23 cos 345r + 2krd n + i.sen 3
45r + 2krd nd n = 23 cos 12
5r +32kr` j + i.sen 12
5r +32kr` j` j
z3 = 23 cos 125r +
32kr` j + i.sen 12
5r +32kr` j` j , k d Z A hay 3 soluciones.
para k = 0( z03 = 23 cos 12
5r` j + i.sen 12
5r` j` j
para k = 1( z13 = 23 cos 12
13r` j + i.sen 12
13r` j` j
para k = 2( z23 = 23 cos 12
21r` j + i.sen 12
21r` j` j
................................................................
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
11 Ejercicio
Halla Modulo y argumento del nº complejo zn = 1 + i 3^ hn
siendo n d N
para que valores de n,zn d R.
Respuesta: Recuerda: zn = zn
, Arg zn^ h = n.Arg z^ h
1 + i 3^ h
Arg 1 + i 3^ h = arctag 13
1º cuadrante^ h =3r
1 + i 3 = 1^ h2 + 3^ h
2= 2
Z
[
\
]]]]]]]]]
zn = 1 + i 3^ hn= 2n cos 3
r + 2kr_ i+ i.sen 3r + 2kr_ i8 Bn
zn = 1 + i 3^ hn= 2n cos 3
n.r + 2.nkr_ i+ i.sen 3nr + 2nkr_ i8 B
zn = 2n cos 3n.r + 2. lk r_ i+ i.sen 3
nr + 2 lk r_ i8 B
zn es real si y sólo si sen 3nr = 0 = sen0,
3nr = r + 2kr
3nr = 0 + 2kr* , 3
nr = kr
3nr = kr, n = 3k( n tiene que ser un multiplo de 3
................................................................
12 Ejercicio
Halla las Raices cubicas de la unidad.
Respuesta: Recuerda: a3 - b3 = a - b^ h a2 + ab + b2^ h
1º metodo
z3 = 1, z3 - 1 = 0, z - 1^ h z2 + z + 1^ h,z2 + z + 1 = 0
z = 1%
z2 + z + 1 = 0 3= b2 - 4ac = 1 - 4 =- 3( z = 2a
-b ! i -3=
2
-1 ! i 3
las soluciones son: z1 = 1 , z2 = 2
-1 + i 3, z3 = 2
-1 - i 3
2º metodo
z3 = 1, z = 13 = cos0 + i.sen03 = cos0 + i.sen0^ h31= cos 3
0 + 2kr + i.sen 30 + 2kr` j
z = cos 32kr` j+ i.sen 3
2kr` j` j k d Z
para k = 0 A z0 = cos 0^ h + i.sen 0^ h^ h = 1
para k = 1 A z1 = cos 32r` j+ i.sen 3
2r` j` j = cos r - 3
r_ i+ i.sen r - 3
r_ i` j = -cos 3
r_ i+ i.sen 3
r_ i` j
z1 = 2
-1 + i 3
para k = 2 A z2 = cos 34r` j+ i.sen 3
4r` j` j = cos r + 3
r_ i+ i.sen r + 3
r_ i` j = -cos 3
r_ i- i.sen 3
r_ i` j
z2 = 2
-1 - i 3
................................................................
13 Ejercicio
Halla las Raices cuartas de 16.
Respuesta:
z = 164 = 16.14 = 16 cos0 + i.sen0^ h4 = 16 cos0 + i.sen0^ h6 @41= 164 cos 4
0 + 2kr + i.sen 40 + 2kr` j
z = 2 cos 2kr` j+ i.sen 2
kr` j` j k d Z
para k = 0 A z0 = 2 cos 0^ h + i.sen 0^ h^ h = 2
para k = 1 A z1 = 2 cos 2r_ i+ i.sen 2
r_ i` j = 2.i
para k = 2 A z2 = 2 cos r^ h + i.sen r^ h^ h =- 2
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
^ h ^ h^ h
para k = 3 A z3 = 2 cos 23r` j+ i.sen 2
3r` j` j = 2 cos r + 2
r_ i+ i.sen r + 2
r_ i` j = 2 -cos 2
r_ i- i.sen 2
r_ i` j =- 2.i
................................................................
14 Ejercicio
Halla las raices en C de la ecuacion -1 + i^ hz3 - 2i = 0
Respuesta:
-1 + i^ hz3 - 2i = 0, z3 = -1 + i2i =
-1 + i2i
-1 - i-1 - i =
22 - 2.i = 1 - i
z3
Arg z3^ h = arctag 1-1
4º cuadrante^ h =4-r
z3 = 1 + 1 = 2* ( z3 = 2 cos 4
-r + i.sen 4-r_ i
z = 26 cos 4-r + 2kr_ i+ i.sen 4
-r + 2kr_ i8 B31 = 26 cos 12-r +
32kr` j+ i.sen 12
-r +32kr` j8 B , k d Z
para k = 0 A z0 = 26 cos 12-r_ i+ i.sen 12
-r_ i8 Bpara k = 1 A z1 = 26 cos 12
7r` j+ i.sen 12
7r` j8 B
para k = 2 A z2 = 26 cos 1215r` j+ i.sen 12
15r` j8 B = 26 cos r + 4
r_ i+ i.sen r + 4
r_ i8 B = 26 -cos 4
r_ i- i.sen 4
r_ i8 B
................................................................
15 Ejercicio
Resuelve en C la seguiente ecuación sabiendo que 1 + i^ hes una de las soluciones
2z2 + bz + 2 = 0 siendo b,z^ h d C2
Respuesta:
como 1 + i^ hes una de las soluciones de la ecuación( 2 1 + i^ h2 + b 1 + i^ h + 2 = 0
4i + b 1 + i^ h + 2 = 0, b =1 + i-2 - 4i
1 - i1 - i =- 3 - i, b =- 3 - i
como ya sabemos que en las ecuaciones de 2º grado az2 + bz + c = 0
siendo z1 y z2 las solucionesz1 .z2 = a
c
z1 + z2 = a-b
*
asi que z1 .z2 = 22 = 1 siendo z1 = 1 + i ( z2 = 1 + i
1, z2 = 1 + i
11 - i1 - i
, z2 = 21 - i
................................................................
16 Ejercicio
Resuelve la ecuación: z3 + z2 + -1 + i^ hz + 2 + 2i = 0 a
sabiendo que - 2 es una de las soluciones, representa graficamente las soluciones.
Respuesta:
como - 2 es una solucion( z + 2^ h z2 + az + b^ h = 0 , determinemos los coeficientes a y b.
z + 2^ h z2 + az + b^ h = z3 + z2 a + 2^ h + b + 2a^ hz + 2b = z3 + z2 + -1 + i^ hz + 2 + 2i
aplicando igualdad de dos polinomios(2b = 2 + 2i( b = 1 + 1
b + 2a =- 1 + ia + 2 = 1( a =- 1
)
luego a , z + 2^ h z2 - z + 1 + i^ h6 @ = 0(z2 - z + 1 + i^ h = 0 2
z + 2 = 0 1(
2 z2 - z + 1 + i^ h = 0 3= -1^ h2 - 4.1. 1 + i^ h = 1 - 4 - 4i
6 7 844444 44444=
fijate bién?
1 - 4i + 4i26 7 8444444 444444
= 1 - 2i^ h2
z = 21 ! 1 - 2i^ h
=i
1 - i$
................................................................
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
17 Ejercicio
Sea z =1 + i.taga
1halla su modulo y argumento.
Respuesta: Recuerda: cos -a^ h = cosa , sen -a^ h =- sena
z =1 + i.taga
1 =
cosacosa + i.sena
1 =cosa + i.sena
cosacosa - i.senacosa - i.sena =
cos2a + sen2a
cosa cosa - i.sena^ h
z = cosa cosa - i.sena^ h
** si cosa 2 0, 2-r + 2kr 1 a 1 2
r + 2kr k d Z^ h( z = cosa cos -a^ h + i.sen -a^ h^ hArg z^ h =-a
z = cosa(
** si cosa 1 0, 2r + 2kr 1 a 1 2
3r + 2kr k d Z^ h( z =- cosa cos r - a^ h + i.sen r - a^ h^ hArg z^ h = r - a
z =- cosa(
................................................................
18 Ejercicio
Calcula el nº complejo z = 1 + i 3^ h5+ 1 - i 3^ h
5
Respuesta:
sea z1 = 1 + i 3
Arg z1^ h = arctag 13
1º cuadrante^ h =3r
z1 = 1 + 3 = 2
*( z1 = 2.ei 3
r
luego z1^ h5 = 25 .ei 3
5r
sea z2 = 1 - i 3
Arg z2^ h = arctag 1
- 34º cuadrante^ h =
3-r
z2 = 1 + 3 = 2
*( z2 = 2.ei 3
-r
luego z2^ h5 = 25 .ei 3
-5r
Por último z = 25 cos 35r + i.sen 3
5r` j+ 25 cos 3
-5r + i.sen 3-5r` j
z = 25 cos 35r + i.sen 3
5r` j + 25 cos 3
5r - i.sen 35r
` j = 2.25 .cos 35r = 26 .cos r + 3
2r` j =- 26 .cos 3
2r` j
z =- 26 .cos r - 3r
_ i = 26 .cos 3r_ i = 26 2
1 = 25
................................................................
19 Ejercicio
Transformar z =1 - a.i1 + a.i
a d R^ h a la forma trigonometrica.
calcula3 - i 3
3 + i 3, w =
1 - i1 + i
, w93 y Lnw93
Respuesta: Recuerda: cos2a = cos2a - sen2a sen2a = 2.sena.cosa
haciendo cambio variable a = tag 2a
1 - a.i1 + a.i =
1 - i.tag 2a
1 + i.tag 2a
=
1 - i.cos 2a
sen 2a
1 + i.cos 2a
sen 2a
=cos 2a - i.sen 2
a
cos 2a + i.sen 2
a
=cos 2a - i.sen 2
a
cos 2a + i.sen 2
a
cos 2a + i.sen 2
a
cos 2a + i.sen 2
a
1 - a.i1 + a.i =
cos2 2a + sen2 2
a
cos2 2a - sen2 2
a + 2i.sen 2acos 2a
= cosa + i.sena = ei.a
3 - i 3
3 + i 3=
1 - i. 33
1 + i. 33
=1 - i.tag 6
r
1 + i.tag 6r
=cos 6r - i.sen 6
r
cos 6r + i.sen 6
r
= cos 3r + i.sen 3
r = ei. 3r
w =1 - i1 + i
A haciendo cambio variable tag 2a = 1 = tag 4
r( 2a =
4r + kr( a =
2r + 2kr
luego w =1 - i1 + i = cos 2
r + i.sen 2r = i = ei. 2
r
^ h ^ h
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
1 i
w93= w4^ h
23.w = i4^ h
23.i = i
Lnw93= Ln i^ h = Lnei. 2
r
= i. 2r+ 2kr k d Z
................................................................
20 Ejercicio
Halla el nº complejo z en forma binomica sabiendo que una de sus raices tercera es 1 - i
Respuesta:
z3 = 1 - i , sea z0 = 1 - i
z0Argz0 = arctag 1
-14º cuadrante^ h =
4-r
z0 = 1^ h2 + -1^ h
2 = 2* ( z0 = 2 cos 4
-r + 2kr_ i + i.sen 4-r + 2kr_ i` j
z3 = 2 cos 4-r + 2kr_ i + i.sen 4
-r + 2kr_ i` j, z = 2^ h3
cos 4-r + 2kr_ i + i.sen 4
-r + 2kr_ i` j3
z = 2 2 cos 4-3r + 2 lk r` j + i.sen 4
-3r + 2 lk r` j` j lk = 0 , 1 , 2
sólo queda por sustituir lk por los valores de 0 , 1 , 2
................................................................
21 Ejercicio
Halla el valor de a y b para que2 - 2ib - ai
sea real y de modulo 2
Respuesta:
2 - 2ib - ai
lo 1º la transformaremos en forma binomica
2 - 2ib - ai
=2 - 2ib - ai
2 + 2i2 + 2i
=4 + 4
2b + 2a + i 2b - 2a^ h=
82b + 2a + 2i b - a^ h
=4
b + a + i b - a^ h
2 - 2ib - ai
para que sea real( b - a = 0, a = b
sabemos que2 - 2ib - ai =
4b + a + i b - a^ h
=4
a + b` j2+
4b - a` j
2= 2 , 16
a2 + 2ab + b2 + a2 - 2ab + b2 = 2 +
, 162a2 + 2b2 = 2, a2 + b2 = 16, a2 + a2 = 16, a2 = 8, a = b
-2 2
2 2(
................................................................
22 Ejercicio
Describir el conjunto de puntos del plano determinado por las seguientes ecuaciones.
a z - i # 2 , b z - 2 2 z - 1 , c z.z 2 4 , d z - 3i = 2 , e z 1 1 y Img z^ h 2 0
Respuesta: Recuerda: Ecuación circonferencia: x - a^ h2 + y - b^ h
2 = r2 siendo a,b^ hcentro , r = radio
x - a^ h2 + y - b^ h
2# r2 A solución región interna x - a^ h
2 + y - b^ h2$ r2 A solución región externa
z = a + bi
afijo de z = a,b^ h
parte Imaginaria = Img z^ h = b
parte real = Re z^ h = a_
`
a
bbbbbbbbb
Z
[
\
]]]]]]]]]
, z = a - bi z2 = z.z
a z - i # 2
z - i = a + bi - i = a + i b - 1^ h, z - i = a2 + b - 1^ h2
luego z - i # 2 + a2 + b - 1^ h2# 2,
+ a2 + b - 1^ h2# 4 asi que el conjunto de puntos buscados es el interior del circulo de centro 0,1^ h y radio 2
b z - 2 2 z - 1
z - 2 2 z - 1 , a - 2^ h2 + b2 2 a - 1^ h
2 + b2 , a - 2^ h2 + b2 2 a - 1^ h
2 + b2, a - 2^ h22 a - 1^ h
2
, a2 - 4a + 4 2 a2 - 2a + 1,- 2a 2- 3,- 2a 2- 3, a 1 23
asi que el conjunto de puntos buscados es S = a + bi/a 1 23
y a,b^ h d R2$ .
c z.z 2 4
z.z = z2 = a2 + b2 2 4 asi que el conjunto de puntos buscados es el exterior del circulo de centro 0,0^ h y radio 2
d z - 3i = 2
z - 3i = 2, a2 + b - 3^ h2 = 2, a2 + b - 3^ h
2 = 4 = 22
asi que el conjunto de puntos buscados es un circulo de centro 0,3^ h y radio 2
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA
^ h
e z 1 1 y Img z^ h 2 0
Img z^ h 2 0, b 2 0 , z 1 1, a2 + b2 1 1, a2 + b2 1 1
a2 + b2 1 1 A nos indica que la solucion es el conjunto de puntos interiores del circulo de centro 0,0^ h y radio 1
pero cuidado b es positiva asi que la solucion es el interior del mediocirculo de centro 0,0^ h y radio 1
................................................................
23 Ejercicio
Resuelve z4 =- 8 + 8 3 .i y demuestre que los afijos A,B,C y D de las soluciones forman un cuadrado.
Respuesta: Recuerda: distancia entre A y B es AB
ABCD forman un cuadrado Ssi AB = BC = CD = DA y forman un angulo de 900
z4 =- 8 + 8 3 .i, z = -8 + 8 3 .i^ h41
w =- 8 + 8 3 .i
Arg w^ h = arctag -8
8 32º cuadrante^ h =
3-r + r =
32r
w = -8^ h2 + 8 3^ h
2= 16
Z
[
\
]]]]]]]]]
z = -8 + 8 3 .i^ h41
= 16 cos 32r + 2kr` j+ i.sen 3
2r + 2kr` j` j41
= 2 cos 122r +
2kr
` j+ i.sen 122r +
2kr
` j` j
z = 2 cos 6r +
2kr
` j+ i.sen 6r +
2kr
` j` j k = 0 , 1 , 2 , 3
Para k = 0 A z0 = 2 cos 6r_ i+ i.sen 6
r_ i` j = 2 2
3+ i 2
1c m = 3 + i ( A 3,1^ h
Para k = 1 A z1 = 2 cos 32r` j
cos r-3r
a k
6 7 84444 4444
+ i.sen 32r` j
sen r-3r
a k
6 7 8444444 444444f p
= 2 -cos 3r_ i+ i.sen 3
r_ i` j =- 1 + 3 i ( B -1, 3^ h
Para k = 2 A z2 = 2 cos r + 6r
_ i
-cos6ra k
6 7 8444444 444444
+ i.sen r + 6r
_ i
-sen6ra k
6 7 84444444 4444444f p
= 2 -cos 6r_ i- i.sen 6
r_ i` j =- 3 - i ( C - 3, - 1^ h
Para k = 3 A z3 = 2 cos 6r+
23r
` j
cos6
10r =2r- 62r
d n
6 7 844444444 44444444
+ i.sen 6r+
23r
` j
sen3-ra k
6 7 8444444444 444444444
J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO = 2 cos 3r_ i- i.sen 3
r_ i` j = 1 - 3 i ( D 1, - 3^ h
ver imagen de ABCD
A 3,1^ h B -1, 3^ h C - 3, - 1^ h D 1, - 3^ h
AB = -1 - 3, 3 - 1^ h & AB = -1 - 3^ h2+ 3 - 1^ h
2= 8
BC = 1 - 3, - 3 - 1^ h & BC = 1 - 3^ h2+ - 3 - 1^ h
2= 8
CD = 1 + 3, - 3 + 1^ h & CD = 1 + 3^ h2+ - 3 + 1^ h
2= 8
DA = -1 + 3, 3 + 1^ h & DA = -1 + 3^ h2+ 3 + 1^ h
2= 8
AB = BC = CD = DA ahora queda determinar el angulo que forman
AB . BC = AB BC . cos AB ,BC^ h\ a A producto escalar de dos vectores
AB . BC = -1 - 3, 3 - 1^ h - 3 + 1, - 1 - 3^ h = -1 - 3^ h - 3 + 1^ h + 3 - 1^ h -1 - 3^ h = 0
cos AB ,BC^ h\ =
AB BC
AB . BC =8 8
0 = 0, AB ,BC^ h\ =
2r
Por último podemos confirmar que los puntos ABCD forman una cuadrado.
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA