Crecimiento Asintótico de una Función ƒ(x) y su relación con el rendimiento de la programación

Ing. Juan Ignacio Zamora MSc | Ulacit 2012.

•  Sean X y Y dos conjuntos de números reales.

•  Una función “ƒ” de una variable real “X” de X a Y es una correspondencia que asigna a cada numero {x} de X a un numero {y} de Y

Función Real de Una Variable Real

•  Al conjunto “X” se le llama dominio de “ƒ”. •  El valor {y} se le llama “imagen” de {x} por f y se denota

por ƒ(x).

–  X = { 1, 2, 3 ….. n} –  Y = {… 1, 2, 3, …}

•  El recorrido “ƒ” se denomina como el subconjunto de “Y” formado por todas las imágenes de los números de “X”

Función Real de Una Variable Real

Dominio  de  {x}  

Recorrido  y  =  ƒ(x)    

ƒ Y

X = {1,2,3}

Y = {1,2,3,4}

Recorrido  de  una  Función  

•  Una función X a Y es “Inyectiva” si a cada valor {y} perteneciente al recorrido le corresponde exactamente un valor del dominio.

•  Se dice que una función es “Suprayectiva” o “Biyectiva” si su recorrido es todo “Y”

•  Sobreyectiva: para cada imagen (y) existe un elemento en el dominio.

Dominio y Pertenencia

Pre  Imagen  {dominio}  

Imagen  {codominio}  

•  La variable {x} es la variable independiente.

•  La variable {y} es la variable dependiente. – Podemos decir que el área “A” de un círculo

está en función de su radio y denota como

Variables Involucradas y su relación…

Funciones Con dominio Explícito

Función Implícita y Explícita

•  Una relación entre 2 conjuntos “X” y “Y” es un conjunto de pares ordenados de la forma (x , y) donde {x} es un elemento de “X” y {y} es un elemento de “Y”.

Notación de Funciones

•  Los puntos de la gráfica están dados por los puntos (x, ƒ(x) ), donde {x} pertenece al dominio de ƒ.

– {x} : es la distancia al eje Y – ƒ(x) : es la distancia al eje X

Gráfica de una Función

El término ƒ(x) fue definido por el matemático Leohnard Euler

•  Funciones Algebraicas (polinómicas, radicales, racionales)

•  Funciones Trigonométricas (sen, cos, tan) •  Exponenciales y Logarítmicas

Funciones Elementales Y su clasificación

•  n: es el grado de la función •  ai: es el coeficiente y an es el coeficiente

dominante •  a0: es el término constante

Grado de una Función Y sus componentes

•  Grado Cero (constante)

•  Grado Uno (Lineal)

•  Grado Dos (Cuadrática)

•  Grado Tres (Cúbica)

Grados de una Función

Coeficiente Dominante

•  Se da por la combinación de 2 funciones •  Sean f y g dos funciones.

– La combinación dada por f * g(x) = f(g(x)) – El dominio de f * g es el conjunto de todos los

{x} del dominio de {g} tales que el dominio de g(x) pertenece a “f”….

Función Compuesta

Dominio de la Función Compuesta

{x}  

g(x)  

f(g(x))  

ƒ g

Dominio f

Dominio g

ƒ * g

•  La composición ƒ * g suele ser distinta a la composición g *ƒ –  f(x) = 2x – 3 – g(x) = cos x

Composición ƒ * g

Notación “Big O” Para la determinación del crecimiento en algoritmos programados

•  Se usa para representar consumo a través del tiempo (recursos, memoria, etc)

•  Permite cuantificar rendimientos de funciones con base a su estructura

•  Define la correlacion del crecimiento del tiempo de ejecución de un algoritmo en función de las operaciones a ejecutar.

Notación Asintótica

Comportamiento Asintótico

Posibles Comportamientos De una función

•  Para una determinada función g(n) se denota

•  g(n) define los límites asintóticos de la función ƒ(n).

•  Existen funciones asintóticas positivas y asintóticas no negativas para valores grandes de n.

•  Por tanto es asintótica no negativa

Notación Cuando existe el peor y el mejor rendimiento

Notación Cuando existe el peor y el mejor rendimiento

•  Una función cuadrática por tanto es para a>0

•  Es más, para cualquier polinomio

•  Como una constante es un polinomio grado cero

Notación Cuando existe el peor y el mejor rendimiento

•  La notación define los límites para el peor y el mejor caso

•  “Big - O”, define solamente el límite del peor caso. – Regla: – O(cg(n)) = { f(n) donde existe una constante c

positiva y 0 <= f(n) <= cg(n) para todo n0 >= n }

Notación “Big - O” El peor caso

Notación “Big - O” El peor caso Demostración

•  La notación “Big Omega” funciona inversamente al “Big O” al identificar el límite inferior de rendimiento. – Regla: – Ω(cg(n)) = { f(n) donde existe una constante c

positiva y 0 <= cg(n) <= f(n) para todo n0 >= n }

Notación “Big - Omega” Ω” El mejor caso

Para 2 funciones Tenemos que Sí y solo sí

Notación TEOREMA para ambos límites

•  O – Notación: f(n) puede alcanzar el límite superior…

•  o – Notación (“little o”): f(n) tiende al tratar de alcanzar el límite, pero no llega.

Otras Notaciones Little – o : cuando tiende al límite superior

•  ω – Notación es a Ω – Notación como o – Notación es a O Notación.

•  “ω” denota por tanto la tendencia al límite inferior, pero no lo alcanza. f(n) = ω(cg(n))

Otras Notaciones Little – omega ω : cuando tiende al límite inferior

Relación entre las Notaciones Tendencias

Análisis de Código Fuente Ejemplo 1

Análisis de Código Fuente Ejemplo 2

Análisis de Código Fuente Ejemplo 3

Ejemplo 4 Mejor y Peor Caso

Órdenes de Complejidad Tiempos Aproximados de Resolución ( n muy grande)