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Teorıa de Modulos
Jose Luis Camarillo Nava
Febreero de 2015
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Capıtulo 1
La Teorıa de Modulos
1.1. Definicion y propiedades
Supongase que (M,+) es un grupo abeliano. Recuerdese que el conjuntoEnd(M) definido por
End(M) = {f : M −→M, f(x+ y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈M}
tiene una estructura natural de anillo unitario. Concretamente, se tienendefinidas las operaciones de suma
” + ” : M ×M −→M
y producto
” ◦ ” : M ×M −→M,
Para cada par g, f ∈ End(M), se definen g + f y g ◦ f , respectivamente,por
(g + f)(x) = g(x) + f(x), si x ∈M(g ◦ f)(x) = g(f(x)), si x ∈M
El elemento neutro para la suma es, obviamente, la el homomorfismonulo, el cual sera denotado por 0End(M). El elemento neutro para el producto(composicion de funciones) es, naturalmente, la funcion identidad de M , lacual sera denotada por 1M .
Ası, con estas operaciones se tiene el anillo unitario (End(M),+, ◦, 0End(M), 1M)llamado usualmente el anillo de endormorfismos de M .
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4 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS
Definicion 1.1. Supongase que (R,+, ·, 0, 1) es un anillo unitario y (M,+)un grupo abeliano. Se llama representacion de R en M a todo homomorfismode anillos
ρ : R −→ End(M)
Ası pues, notese que, en las condiciones de la definicion 1.1, a cada r ∈ Rle corresponde (por medio de ρ), un unico homomorfismo de grupos, ρ(r),que sera denotado por ρr.
Ademas, por ser ρ un homomorfismo de anillos, se tienen las siguientespropiedades para cada r1, r2 ∈ R:
ρ(r1 + r2) = ρ(r1) + ρ(r2) (1.1)
ρ(r1 · r2) = ρ(r1) · ρ(r2) (1.2)
ρ(1) = 1M (1.3)
Con la notacion acordada, se tiene que
ρr1+r2 = ρr1 + ρr2 (1.4)
ρr1·r2 = ρr1 · ρr2 (1.5)
ρ1 = 1M (1.6)
Teorema 1.1. Supongase que ρ : R −→ End(M) es una representacion deR en M . Entonces, ρ induce una ley de operacion externa, µ : R×M −→M ,definida por
µ(r, x) = ρr(x)
Ademas, si para cada par (r, x) ∈ R×M , el elemento µ(r, x) se simbolizapor
µ(r, x) = r · x
entonces la operacion µ tiene, para cada r, r1, r2 ∈ R y x, x1, x2 ∈ M , lassiguientes propiedades:
1. r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2
2. (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x
3. (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)
1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 5
4. 1 · x = x
Demostacion:
(1): En efecto, por la definicion, se tiene que
r · (x1 + x2) = ρr(x1 + x2)
=⇒ r · (x1 + x2) = ρr(x1) + ρr(x2)
=⇒ r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2
(2): Por definicion, se tiene que
(r1 + r2) · x = ρr1+r2(x)
=⇒ (r1 + r2) · x = (ρr1 + ρr2)(x)
=⇒ (r1 + r2) · x = ρr1(x) + ρr2(x) = r1 · x+ r2 · x
(3) : Por definicion, se tiene que:
(r1 · r2) · x = ρr1r2(x)
=⇒ (r1 · r2) · x = (ρr1 · ρr2)(x)
=⇒ (r1 · r2) · x = ρr1(ρr2(x))
=⇒ (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)
(4) : Por definicion, se tine que
1 · x = ρ1(x)
=⇒ 1 · x = 1M(x)
6 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS
=⇒ 1 · x = x
♠Ası pues, en las condiciones del Teorema 1.1, se dice que R opera sobre el
grupo abeliano M . En cuanto a la ley de operacion externa, µ : R×M −→M ,que se ha obtenido a partir de la representacion ρ, se suele decir que es unaestructura de R−modulo a izquierda sobre M .
Por tanto, lo que se ha demostrado es que toda representacion de Rsobre M induce una estructura algebraica nueva. Recıprocamente, se tieneel siguiente:
Teorema 1.2. Sea (R,+, ·, 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Supongase que se tiene definida una ley de operacion externa entreelementos de R y los elementos de M , ” · ” : R ×M −→ M . Para cada par(r, x) ∈ R×M denotese ·(r, x) por
·(r, x) = r · xSupongase ademas que esta operacion satisface las siguientes propiedades
para cada r, r1, r2 ∈ R y x, x1, x2 ∈M :
1. r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2
2. (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x
3. (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)
4. 1 · x = x
Entonces, esta operacion induce una representacion ρ : R −→ End(M).
Demostacion:
En efecto, la propiedad 1 establece que los elementos de R actuan li-nealmente sobre los elementos de M . Ası, para cada r ∈ R la aplicacionhr : M −→M definida por:
hr(x) = r · x, para cada x ∈M,
es un homomorfismo de grupos: pues, por 1, se tiene que
hr(x1 + x2) = r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2 = hr(x1) + hr(x2)
1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 7
Ademas, por 2, 3 y 4, se tiene que
hr1+r2 = hr1 + hr2 (1.7)
hr1·r2 = hr1 · hr2 (1.8)
h1R = 1M (1.9)
Es natural entonces definir la aplicacion ρ : R −→ End(M), por
ρ(r) = hr, para cada r ∈ R
Las propiedades (1.7),(1.8) y (1.9), garantizan que ρ es un homomorfismode anillos unitario.
♠
Ası pues, se tiene la siguiente
Definicion 1.2. Sea (R,+, ·, 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Entonces, se dice que M tiene una estructura de R−modulo a iaquierdasi, y solo, si existe una aplicacion µ : R ×M −→ M tal que si se hace lanotacion
µ(r, x) = r · x
para cada r ∈ R y x ∈ M , entonces se tienen, para cada r, r1, r2 ∈ R yx, x1, x2 ∈M , las siguientes propiedades:
1. r · (x1 + x2) = r · (x1) + r · (x2)
2. (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x
3. (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)
4. 1 · x = x