Post on 13-Sep-2015
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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Enfoque prctico
Lic Dylana Freer Paniagua. MBA
ndice
Propsitos y motivacin.
Ecuacin diferencial. Conceptos bsicos.
reas de aplicacin:
Enfriamiento y calentamiento de cuerpos.
Circuitos elctricos.
Ecuacin logstica.
Deflexin de una viga
Reflexiones finales.
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Propsitos del Webinar
Los participantes podrn:
Conocer algunos tipos de ecuaciones diferenciales.
Conocer aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en fsica e ingeniera.
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Agenda
Motivacin
Definiciones bsicas sobre ecuaciones diferenciales
reas de aplicacin
Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales
Cierre
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Motivacin
Para qu sirve la matemtica?
Por qu debemos llevar este curso?
La matemtica es el alfabeto con el que Dios ha escrito el Universo Galileo Galilei
(Novixar, 2009)
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Ecuacin diferencial
Una ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que contiene las derivadas de una o ms
funcin(es) dependiente(s) de una o ms
variables independientes. (Zill & Wright, 2012)
Ejemplos
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Condiciones iniciales
Cuando una ecuacin diferencial tiene infinitas soluciones, se puede especificar una solucin
concreta imponiendo una condicin inicial. Esto
es, que la solucin cumpla una condicin y(x0)=y0
para ciertos valores especficos x0 y y0. (Rogawski, 2012)
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Ecuacin lineal
Una ecuacin diferencial lineal es la que se puede expresar de tal forma que la funcin y(x) y
sus derivadas aparezcan de grado 1 y los
coeficientes de estos trminos sean funcin
solamente de x. (Simmons & Krantz, 2007)
Una ecuacin diferencial lineal de orden n se expresa de la forma:
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reas de aplicacin de las
ecuaciones diferenciales
Fenmenos fsicos: enfriamiento-calentamiento de cuerpos, cada libre de objetos.
Crecimiento poblacional.
Anlisis de circuitos.
Soluciones qumicas.
Vibraciones y oscilaciones.
Pandeo de vigas.
Deflexin de columnas.
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Ejemplos concretos
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Enfriamiento y calentamiento
de cuerpos
Ley de Newton
La velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a la diferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. (Zill & Wright, 2012)
T: temperatura del cuerpo
Tm: temperatura del medio
t: tiempo
k: constante de proporcionalidad
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Solucin de la ecuacin
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Los valores de c y k se pueden hallar a
partir de las condiciones iniciales del
problema que se va a resolver.
Aplicaciones de esta ley
Tratamientos trmicos en metales y otros materiales
Modelos climticos
Diseo de electrodomsticos y mquinas
Diseo de aislantes trmicos
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Circuitos elctricos
Elementos que conforman un
circuito
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Leyes de Kirchhorff
El voltaje E(t) que se genera en un lazo cerrado debe ser igual a la suma de las cadas de voltaje
en el lazo.
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Aplicaciones de las ecuaciones
en circuitos
Determinar la corriente en un circuito.
Determinar, a nivel industrial, el consumo de las mquinas.
Seleccionar equipos de proteccin elctrica (breaker).
Determinar el dimetro ideal de los conductores de corriente.
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Ejemplo particular
Encontrar una ecuacin de la corriente en funcin del tiempo si la corriente inicial est representada por I0 y
se aplica un fem constante E0. Considere un circuito
solamente con resistor e inductor.
Solucin:
Ecuacin:
Condiciones iniciales: i(0)= I0
Solucin de la ecuacin lineal:
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La ecuacin logstica
Utilizada para poblaciones que crecen exponencialmente bajo ciertas condiciones
ambientales.
k >0 es la constante de crecimiento y A>0 es constante de capacidad de carga.
La solucin de dicha ecuacin se puede expresar de la forma: (Rogawski, 2012)
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Ejemplo Propagacin de
un rumor
Considere una escuela con 1000 estudiantes. Sea y(t) la
fraccin de la poblacin estudiantil que ha escuchado un
rumor en el tiempo t.
Suponga que la tasa a la cual se extiende el rumor es
proporcional al producto de la fraccin y de la poblacin que
conoce el rumor por la fraccin que todava no lo ha
escuchado. Si a las 8:00 am, 80 estudiantes conocen el rumor y
al medioda la mitad de la escuela ya lo sabe.
Determine cundo el 90% de los estudiantes ya conocer el
rumor.
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Solucin
La ecuacin que modela la propagacin del rumor es
Las condiciones iniciales son y= 0,08 para t=0. Adems, y= 0,5 si t=4.
De ah, que al resolver la ecuacin, se obtiene
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Aplicando las condiciones iniciales y despejando para t se obtiene:
Siendo y se obtiene que el tiempo es aproximadamente 8 horas.
As que a eso de las 4 de la tarde se conocer el rumor por parte del 90% de los estudiantes.
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Aplicacin de la ecuacin
logstica
Biologa
Propagacin de un rumor
Propagacin de una enfermedad
Crecimiento poblacional
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Deflexin de una viga
Una viga es un elemento estructural que soporta
cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del
elemento. (Beer, Johnston, DeWolf, & Mazurek,
2013)
(Moaveni, 2008)
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(Moaveni, 2008)
Ecuacin diferencial
La deflexin se rige por una ecuacin diferencial de cuarto orden:
Donde E es el mdulo de Young de elasticidad de la viga.
I es el momento de inercia de un corte transversal de la viga.
(Zill & Wright, 2012)
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Ejemplo
Considerando una viga embebida en ambos extremos y que se le distribuye una carga
constante de manera uniforme a todo lo largo
de la viga. La curva de deflexin se deduce a
partir de
Integrando la ecuacin se obtiene
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Continuacin Aplicando las condiciones iniciales
Se despejan las constantes ci , obtenindose finalmente
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Representacin
Si se define por ejemplo que la viga sea de 1m de longitud y , una representacin grfica de la
deflexin de la viga es
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Usos
Clculo de punto mximo de deflexin
Aplicacin en diseo de estructuras
Ubicacin de puntos estratgicos donde colocar aros
Optimizacin de materiales
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Reflexiones finales
La matemtica se utiliza en gran cantidad de modelos.
En lo cotidiano se presenta con frecuencia.
Las aplicaciones motivan el aprendizaje de las matemticas.
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Bibliografa
Beer, F., Johnston, R., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2013). Mecnica de Materiales (Sexta edicin ed.). Mxico: McGraw-Hill Education.
Moaveni, S. (2008). Finite Element Analysis. Theory and application with ANSYS (Third edition ed.). Makato: Pearson Education.
Novixar. (2009, 6 1). Proverbia. Retrieved Noviembre 12, 2013, from http://www.proverbia.net/citasautores.asp
Rogawski, J. (2012). Clculo: una variable (Segunda edicin ed.). Espaa: Revert.
Simmons, G., & Krantz, S. (2007). Ecuaciones diferenciales. Teora, tcnica y prctica. Mxico: McGraw-Hill Education.
Zill, D., & Wright, W. (2012). Matemticas Avanzadas para Ingeniera (Cuarta edicin ed.). Mxico, Distrito Federal: McGraw-Hill.
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Informacin de contacto
Dylana Freer Paniagua
Profesora y coordinadora en la Universidad Latina,
Heredia.
Correo electrnico
dylana.freer@ulatina.cr
dylanafreerpaniagua@gmail.com
Muchas gracias!
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